50
06
CAMPO ELÉCTRICO − ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ − + ⇒ ⇒ = ⋅ − + 6 1 9 1 2 r1 1 1 3 10 9 10 ( 0,29 0,96 ) 109 247,71 ( 0,29 0,96 ) N/C q E K u i j r E i j − − ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ ⇒ = − ⋅ + 6 2 9 2 2 r2 2 2 3 10 9 10 (0,29 0,96 ) 109 247,71 (0,29 0,96 ) N/C q E K u i j r E i jAsí, el campo total en el punto (0,10) es:
= + = − ⋅ ⇒
Total 1 2 495,41 0,29 N/C
E E E i
⇒ ETotal = −143,67 N/Ci
b) El potencial eléctrico creado por una carga q en un punto P, situado a una distancia r de la misma, viene dado por la expresión:
= q V K
r
Calculando para el punto (0,0):
− ⋅ = 1 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 ⇒ 1 1 1 3 10 9 10 3 q V K V r = ⋅ 3 1 9 10 V V − − ⋅ = 2 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 ⇒ 2 2 2 3 10 9 10 3 q V K V r = − ⋅ 3 2 9 10 V V
Entonces el campo total en el punto (0,0) es: = + =
Total 1 2 0
V V V VV
De igual forma en el punto (0,10):
− ⋅ = 1 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 1 1 1 3 10 9 10 V 10,44 q V K V r − − ⋅ = 2 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 2 2 2 3 10 9 10 V 10,44 q V K V r
Y el campo total en el punto (0,10) es: = + =
Total 1 2 0 V
V V V
c) El trabajo necesario para llevar una carga = ⋅ −6 0 2 10 C
q
desde el punto (2,0)A hasta el −B( 2,0), es la variación de energía potencial que sufre dicha carga al llevarla desde un punto al otro.
El potencial creado por las dos cargas en el punto (2,0)A es: − ⋅ = 1 ⇒ = ⋅ 9 6 ⇒ 1 1 1 3 10 9 10 V 1 q V K V r = ⋅ 4 1 2,7 10 V V − − ⋅ = 2 ⇒ = ⋅ 9 6 ⇒ 2 2 2 3 10 9 10 V 5 q V K V r = − ⋅ 3 2 5,4 10 V V
El potencial total en el punto (2,0)A es VA = V1 + V2 = 21 600 V. El potencial creado por las dos cargas en el punto −B( 2,0) es: − ⋅ = 1 ⇒ = ⋅ 9 6 ⇒ 1 1 1 3 10 9 10 V 5 q V K V r = ⋅ 3 1 5,4 10 V V
j
Sigue practicando
1. Dos cargas eléctricas puntuales de 3 μC y –3 μC cada una están situadas, respectivamente, en (3, 0) y en (–3, 0). Cal-cula:
a) El campo eléctrico en (0, 0) y en (0, 10). b) El potencial en los puntos anteriores.
c) El trabajo necesario para transportar una carga q0 de –2 μC desde (2, 0) a (–2, 0).
Datos: Todas las posiciones están en metros; K = 9·109
N·m2·C–2
.
a) El campo eléctrico creado por una carga q en un punto P que se encuentra a una distancia r de la misma, viene dado por la expresión = 2r
q
E K u
r
El vector u es un vector unitario, cuya dirección es la recta r que une la carga q y el punto P, y cuyo sentido va desde la carga hacia el punto P.
Si las cargas = ⋅ −6 1 3 10 C
q y = − ⋅ −6 2 3 10 C
q , están situadas en los puntos (3,0) y (-3,0), expresados en metros, tenemos que el campo creado por cada carga en el punto P (0,0) es:
− − ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ − ⇒ 6 1 9 2 2 1 2 r1 2 1 3 10 C 9 10 N m C ( ) (3 m) q E K u i r ⇒ = − ⋅ 3 1 3 10 N/C E i − − − ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ 6 2 9 2 2 2 2 r2 2 2 3 10 C 9 10 N m C ( ) (3 m) q E K u i r ⇒ = − ⋅ 3 2 3 10 N/C E i
Por lo tanto el campo total en el punto (0,0) es: = + = − ⋅
3
Total 1 2 6 10 N/C
E E E i
De igual manera calculamos y operamos para el punto (0,10), pero previamente se deben calcular las distancias desde las cargas hasta el punto (0,10), así como los vectores unita-rios.
Utilizando el Teorema de Pitágoras obtenemos: = = 2+ 2 =
1 2 3 10 10,44 m
r r
Los vectores unitarios los calculamos a partir del ángulo que forma el vector r con la horizontal.
Así:
α = ⇒ α = =
tg 10/3 arc tg(10/3) 73,30º
− =
180º 73,30º 106,70º .
Por tanto los vectores unitarios son:
= + ⇒ r1 cos (106,70º) sen (106,70º) u i j ⇒ ur1= −0,29i+0,96j = + ⇒ r2 cos (73,30º) sen (73,30º) u i j ⇒ ur2=0,29i+0,96j
51
06
CAMPO ELÉCTRICO ⇒ = + = ⇒ = α ⇒ = ⋅ ⋅ = Total 1 2 1x Total 1 Total 2 2 cos 2 900 cos71,47º 572,04 N/C E E E E i E E i E i ib) Cada punto del eje OY está a la misma distancia del punto −
1( 1,0)
P que del punto P2(1,0). Como el potencial creado por la carga = −6
1 10 C
q y por la carga = − −6
2 10 C
q son
de igual valor absoluto, pero de signo opuesto, el potencial total será cero.
Dado que = − ⇒V1 V2 VTotal= + =V1 V2 0 V
c) El campo eléctrico creado por cada carga es =E K q2ur r , y su módulo es =E K q2
r . Para cada carga en el punto (3,0)P , tenemos que: − = = ⋅ ⋅ = 6 1 9 1 2 r1 1 10 9 10 562,5 N/C 16 q E K u i i r − − = = ⋅ ⋅ = − 6 2 9 2 2 r2 2 10 9 10 2 250 N/C 4 q E K u i i r
Aplicando el principio de superposición:
= + = − ⇒
Total 1 2 562,5 2 250
E E E i i ETotal = −1687,5 N/Ci
d) El potencial creado por las dos cargas en el punto (3,0)P es: − = 1 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 = 1 1 1 10 9 10 2 250 V 4 q V K V r − − = 2 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 = 2 2 2 10 9 10 4 500 V 2 q V K V r
El potencial total en el punto (3,0)P es = + = −
Total 1 2 2 250 V
V V V .
j
Actividades propuestas
1. Discute si el razonamiento es verdadero o falso:
«Se colocan cuatro cargas puntuales +Q en los vértices de un cuadrado de lado d y se sitúa una carga -Q en el centro del mismo. La fuerza atractiva que siente -Q es cuatro veces mayor que si solo hubiese una carga positiva +Q en uno de los vértices del cuadrado.»
El razonamiento es falso, ya que la fuerza es una magnitud vec-torial, y no es lo mismo sumar vectores que sus módulos. En este caso, las fuerzas con que cada carga +Q, situada una en cada vértice del cuadrado, atraen a la carga -Q tienen el mismo mó-dulo, pero no la misma dirección; y la suma de las cuatro fuerzas iguales, que forman entre sí 90º, da como resultante el vector cero. Así pues, la suma de las fuerzas a las que está sometida la carga -Q es cero.
2. Cuatro partículas cargadas están colocadas en las esquinas de un cuadrado de lado a (ver fi gura), de forma que las par-tículas que ocupan las esquinas opuestas tienen la misma carga: − − ⋅ = 2 ⇒ = ⋅ 9 6 2 2 2 3 10 9 10 V 1 q V K V r V2= −2,7 10 V⋅ 4
El potencial total en el punto −B( 2,0) es: = + = −1 2 21 600 V
B
V V V
El incremento de potencial es: ∆VBA =VB−VA = −43 600 V
El trabajo necesario para llevar la carga q entre dos puntos 0 con una diferencia de potencial ∆V , es:BA
= ∆ AB 0 AB W q V Por tanto: − = − ⋅2 106⋅ −( 43 600) J⇒ AB W = ⋅ −2 AB 8,72 10 J W
Al ser positivo, es una fuerza externa al campo eléctrico la que realiza el trabajo, dado que el campo eléctrico por sí sólo no lleva la carga desde A hasta B.
2. Dos partículas con cargas +1 μC y de –1 μC están situadas en los puntos de plano XY de coordenadas (–1, 0) y (1, 0), respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expre-sadas en metros, calcula:
a) El campo eléctrico en el punto (0, 3). b) El potencial eléctrico en los puntos del eje Y. c) El campo eléctrico en el punto (3, 0). d) El potencial eléctrico en el punto (3, 0).
Dato: Constante de la ley de Coulomb: K = 9·109 N·m2·C–2.
a) Se puede plantear de forma similar al problema anterior, pero en este caso se va a resolver de forma diferente, apro-vechando la simetría.
La situación de cada carga es la siguiente: P1( 1,0)− para
− = 6 1 10 C q y P2(1,0) para = − −6 2 10 C q .
La distancia desde cada carga hasta el punto P(0, 3) es la misma y la calculamos utilizando el teorema de Pitágoras:
= = 2+ 2 =
1 2 1 3 10 m
r r
Calculamos el ángulo α a partir de su tangente, α = ⇒ α =3 ≈
tg arc tg3 71,47º 1
El módulo del vector campo creado por cada carga será el mismo, ya que las cargas tienen el mismo módulo y las dis-tancias tienen el mismo valor. Así:
− = = = ⋅ 9⋅ 6 = 1 2 2 10 9 10 900 N/C 10 q E E K r
Dada la simetría del problema, el campo eléctrico total ten-drá solamente componente en la dirección del vector unita-rio i, y será: = + = ⇒ = α ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ Total 1 2 1x Total 1 Total 2 2 cos 2 900 cos71,47 E E E E i E E i E i
52
06
CAMPO ELÉCTRICOEl sistema de ecuaciones obtenido es compatible pero inde-terminado, ya que ambas ecuaciones son equivalentes. Si to-mamos una de ellas, podemos expresar q’ en función de q.
+ = ⇒ = − ⇒ = − ’ 2 0 ’ 4 ’ 2 2 2 2 2 q q q q q q
b) Trabajamos ahora de forma análoga a como se ha hecho en el apartado a), pero con la carga q2.
F1 F 4 F3 1 2 3 4 = α + α 2 1 1 2 1 1 21 (cos sen ) q q F K i j d = α + α 2 3 3 2 3 3 23 (cos sen ) q q F k i j d = α + α 2 4 4 2 4 4 24 (cos sen ) q q F K i j d
Los valores de los ángulos y de las distancias entre cargas son: α =1 0º;α =3 90º;α =4 45º = = = 21 23 42 2 d d a d a
Sustituyendo los datos obtenemos:
= 1 2 ’ qq F K i a ; = 3 2 ’ qq F K j a ; = + 4 2 2 2 2 2 2 qq F K i j a
Por lo que la fuerza total sobre la carga q2 será =F2 F1+ +F3 F .4 Sustituyendo: = + + + 2 2 2 2 ’( ) ’( ) 2 2 2 2 2 qq qq qq F K i K j K i j a a a
Teniendo en cuenta que q’= − 8q y simplifi cando: − = + 2 2 2 7 2 ( )N 4 q F K i j a
El módulo del vector es 2 = 2
2
3,5 q N
F K
a
3. Dibuja aproximadamente las líneas de campo eléctrico con-tenidas en un plano en el cual hay dos cargas eléctricas, de valor Q y –2Q, respectivamente.
Las líneas de campo salen de las cargas positivas y entran en las negativas. Además, el número de líneas es proporcional al valor de la carga. qʹ qʹ q q a
a) Encuentra la relación entre q y q’ para que la fuerza sobre cada partícula q’ sea nula.
b) Con esta relación, determina el valor de la fuerza que actúa sobre cada carga q, en función de q.
a) Para que la fuerza total sobre una carga q’ sea cero, la carga q tiene que ser de igual módulo y de signo contrario al de la carga q’.
La diagonal de un cuadrado de lado a es 2a. Calculamos cada fuerza del modo siguiente:
F2 F4 F3 1 2 3 4 = α + α 1 2 2 2 2 2 12 (cos sen ) q q F K i j d = α + α 1 3 3 2 3 3 13 (cos sen ) q q F K i j d = α + α 1 4 4 2 4 4 14 (cos sen ) q q F K i j d
Los valores de los ángulos y de las distancias entre cargas son: α =2 180º;α =3 135º;α =4 90º = = = 12 14 13 2 d d a d a
Sustituyendo los datos, obtenemos:
= − 2 2 ’ ( ) q q F K i a ; − = + 2 3 2 ’ 2 2 2 2 2 q F K i j a = 4 2 ’ q q F K j a
La fuerza total sobre la carga q1 es cero, es decir,
+ + =
2 3 4 0
F F F
Si trabajamos componente a componente, obtenemos: − − + = + = 2 2 2 2 2 2 ’ ( ) ’ 2 0 2 2 ’ 2 ’ ( ) 0 2 2 q q q K i K i i a a q q q K j K j j a a
53
06
CAMPO ELÉCTRICO
El campo total será: = + + T 2 2 2 2 2 q d E K i a d a d
En el caso en que a >> d, entonces ET =0i
Mientras que en el caso de que a << d, se cumplirá que
= T 2 2 q E K i d ,
Es decir, el campo total equivale al que crearía una carga de valor 2q situada en el origen de coordenadas.
Para calcular el potencial total se ha de tener en cuenta que las dos cargas son iguales, y que la distancia desde cada carga hasta el punto P también es la misma. Por tanto:
= +1 2 V V V , y =V Kq r, por lo que: = + T 2 2 2 q V K a d
En el caso en que a >> d, se cumplirá que VT =2Kq a. Mientras que en el caso en que a << d, la relación será:
=
T 2
q
V K
d
7. Dos placas paralelas separadas una distancia de 0,03 m es-tán conectadas a los bornes de una batería de 900 voltios. Si suponemos que el campo eléctrico entre ambas placas es uniforme, calcula la intensidad del campo entre ellas. Si se abandona un electrón en reposo en la placa negativa,
¿cuál será su velocidad al llegar a la placa positiva? Y si se abandona un protón en la placa positiva, ¿cuál será su velocidad al llegar a la placa negativa? ¿Qué relación existe entre las energías cinéticas fi nales de ambas partículas? Datos: Carga del electrón = Carga del protón = 1,6·10–19 C
Masa del electrón: 9,1·10–31 kg.
Masa del protón: 1,67·10–27 kg.
Si el campo es uniforme, se cumplirá que ∆ = −V Ed , por lo que −∆
= V
E
d . El signo negativo indica que, cuando el movimiento se se produce en el sentido del campo, el potencial va disminuyendo. Sustituyendo en la última ecuación, obtenemos:
= 900 V = ⋅3 10 V/m4
0,03 m E
Como el campo eléctrico es conservativo, la energía mecánica se mantiene constante. Por tanto, en su interior una partícula cargada perderá energía potencial y ganará energía cinética.
∆ + ∆ = ⇒ ∆ = −∆Ec Ep 0 Ec Ep − ∆ = − ∆ ⇒ = 2 1 2 2 q V mv q V v m 4. ¿Qué relación hay entre el potencial y el campo eléctricos?
¿Cómo se expresa matemáticamente esa relación en el caso de un campo eléctrico uniforme?
En general, se cumple que dV = − ⋅E dr, o bien que ∆ = −V
∫
E ⋅dr. En el caso de que el campo eléctrico sea uniforme, la expresión será:∆ = − ∆V E r
Es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos tiene una relación lineal con la distancia entre dichos puntos. La constan-te de proporcionalidad es el valor del campo eléctrico.
5. En el interior de un conductor esférico cargado y en equi-librio electrostático se cumple: a) el potencial y el campo aumentan desde el centro hasta la superfi cie de la esfera; b) el potencial es nulo, y el campo, constante; c) el poten-cial es constante, y el campo, nulo.
En el interior de cualquier conductor en equilibrio, el campo eléctrico es cero. Teniendo en cuenta que la relación entre el potencial y el campo viene dada por la expresión dV = − ⋅E d ,r si el campo =E 0 entonces el dV =0, por lo que el potencial será constante. Así pues, la solución correcta es la c).
6. Dos cargas positivas e iguales están situadas en el eje y; una está situada en y = a y la otra en y = –a. Calcular el campo y el potencial eléctrico en un punto situado sobre el eje x, a una distancia d del origen. ¿Cómo varía el resultado si a >> d? ¿Y si es d >> a?
La situación de las cargas es la siguiente:
y P r r F1 a a d F2 FT B
El campo en el punto P será la suma de los campos creados por cada carga en dicho punto.
En este problema, la simetría facilita los cálculos. Así, la resul-tante solo tiene componente en la dirección de las x; además, esta resultante es el doble de la componente x de uno de los vectores intensidad de campo creado por una de las cargas. La expresión matemática es ET =2 cosE1 αi
El campo eléctrico creado por una carga viene dado por la ex-presión =E K q2ur
r .
La distancia desde la carga q1 hasta el punto P la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras: r2 =a2+d ,2
de modo que α = = + 2 2 cos d d r a d . Por tanto, α = + + 1cos 2 2 2 2 q d E K a d a d .
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06
CAMPO ELÉCTRICOEl campo tiene un módulo de 2 · 106 N/C. Si el rayo cae
des-de la nube a la tierra, el sentido des-del campo es des-desdes-de la tierra hacia la nube, ya que las cargas negativas se mueven en el sentido contrario al campo.
10. Tres partículas cargadas Q1= +2μC, Q2= +2μC y Q3 de valor
des-conocido están situadas en el plano XY. Las coordenadas de los puntos en los que se encuentran las cargas son Q1 (1, 0), Q2 (–1, 0), y Q3(0, 2). Si todas las coordenadas están expre-sadas en metros:
a) ¿Qué valor debe tener la carga Q3 para que una carga si-tuada en el punto (0, 1) no experimente ninguna fuerza neta?
b) En el caso anterior, ¿cuánto vale el potencial eléctrico resul-tante en el punto (0, 1) debido a las cargas Q1, Q2 y Q3? Dato: Constante de la ley de Coulomb: K = 9 · 109 N · m2 ·C–2.
a) Dado que la carga colocada en el punto P (0, 1) no está so-metida a ninguna fuerza, el campo eléctrico en dicho punto es nulo (E = 0). Para que el campo en el punto P (0, 1) sea 0, la carga Q3 tiene que ser positiva. La situación de las cargas y las distancias desde cada una al punto P se presenta en la fi gura siguiente y x Q1 = 2NC Q2 = 2NC Q3 E2 E1 P(0, 1) 45º 115º
Calculamos el campo en el punto P (0,1) por las cargas Q1, Q2 y Q3.
El campo creado por una carga q en un punto que dista r de la misma viene dado por la expresión =E K q2ur
r Sustituyendo: − ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + 6 1 9 1 2 r1 1 2 1 2 10 9 10 (cos135º sen 135º ) ( 2) Q E K u E i j r − ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + 6 2 9 2 2 r2 2 2 2 2 10 9 10 (cos 45º sen 45º ) ( 2) Q E K u E i j r = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ + 3 9 3 3 2 r3 3 2 3 9 10 (cos270º sen 270º ) (1) Q Q E K u E i j r
Simplifi cando obtenemos:
− = ⋅ ⋅ + 3 1 2 2 9 10 2 2 E i j = ⋅ ⋅ + 3 2 2 2 9 10 2 2 E i j = ⋅ − 9 3 9 10 3( ) E Q j Para el electrón: − − − − − − ∆ − ⋅ − ⋅ ⋅ = = ⋅ 19 e e 31 e 2 2 ( 1,6 10 C) (900V) 9,31 10 kg q V v m − = ⋅ 7 e 1,78 10 m/s v Para el protón: − − − ∆ − ⋅ ⋅ ⋅ − = = ⋅ + + + 19 p p 27 p 2 2 1,6 10 C ( 900V) 1,67 10 kg q V v m = ⋅ + 5 p 4,15 10 m/s v
Como las dos partículas, electrón y protón, tienen la misma car-ga en valor absoluto, ambas perderán la misma energía poten-cial. Por lo tanto las dos adquirirán la misma energía cinética. 8. Un protón se acelera desde el reposo bajo la acción de un
campo eléctrico uniforme E = 640 N/C. Calcular el tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 1,2·106 m/s.
Datos: Qprotón= 1,6 · 10–19C; m
protón= 1,67 · 10–27 kg.
Una carga q dentro de un campo eléctrico E está sometida a una fuerza F = qE. Así pues, aplicando la Segunda ley de Newton:
− − ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ 19 10 2 27 1,6 10 C 640N/C 6,13 10 m/s 1,67 10 kg qE a m
Utilizando la ecuación de la velocidad: = 0+
v v at
Sustituimos y despejamos el tiempo:
− ⋅ ⋅ = + ⋅ ⇒ = = ⋅ ⋅ 6 6 10 5 10 2 1,2 10 m/s 1,2 10 m/s 0 6,13 10 1,96 10 s 6,13 10 m/s t t
9. a) Enuncia y comenta la expresión de la fuerza de Coulomb entre cargas eléctricas en reposo.
En un relámpago típico, la diferencia de potencial entre la nube y la tierra es 109 V, la cantidad de carga
transferi-da vale 30 C. Suponemos que el campo eléctrico entre la nube y la tierra es uniforme y perpendicular a la tierra, y que la nube se encuentra a 500 m sobre el suelo: b) ¿Cuánta energía se libera?
c) Calcula el valor del campo eléctrico.
a) Ver epígrafe 6.2 de la Unidad 6 del libro del alumno. b) La energía liberada es la energía potencial perdida, es decir
∆ = ∆ = ⋅ 9 = ⋅ 10 p 30 C 10 V 3 10 J
E q V
c) Si suponemos el campo uniforme entre la nube y la tierra podemos utilizar la expresión:
∆ = −V Ed
El signo negativo indica, que, si el movimiento se produce en el sentido del campo, el potencial disminuye. Entonces:
−∆ ∆ = −V Ed⇒ =E V d − = 10 V9 = − ⋅2 10 N/C6 500 m E
55
06
CAMPO ELÉCTRICO ∆ + ∆ = ⇒ ∆ + 2= p c 1 0 0 2 E E q V mv − ∆ = 2q V v mLos electrones tienen carga negativa, por lo que se mueven en contra del campo, es decir, entre dos puntos entre los que el incremento de potencial sea positivo.
− − − ⋅ − ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ 19 3 7 31 2 ( 1,602 10 C) 10 V 1,88 10 m/s 9,11 10 kg v
14. Si una carga puntual produce, a cierta distancia r, un poten-cial eléctrico de 10 V y un campo de módulo E, ¿cuánto vale el potencial en otro punto en el cual el campo es E/4? El campo eléctrico creado por una carga q a una distancia r lo calculamos aplicando la expresión =E K q2
r En el punto donde el campo vale E/4 se cumple que:
=
2
4 ’
E K q r
Establecemos una relación entre ambas expresiones: = 2 ⇒ = 2 ⇒ = 2 2 ’ 4 ’ 2 / 4 ’ q K E r r r r q E K r r
El potencial que tiene un punto que dista r de una carga q es = q
V K r
El potencial del punto situado a r’ de la carga será:
= ⇒ = ⇒ = 1 ’ ’ ’ ' 2 2 q q q V K V K V K r r r
Por tanto, el potencial a una distancia r’ es la mitad que el poten-cial a una distancia r. Así pues, el potenpoten-cial pedido es V = 5V. 15. Sobre la circunferencia máxima de una esfera de radio
R= 10 m están colocadas equidistantes entre sí seis cargas positivas iguales y de valor q = 2 μC. Calcule:
a) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en uno cualquiera de los polos (puntos N y S).
b) El campo y el potencial debidos al sistema de cargas en el centro O de la esfera. q q q q q q N O S
La suma de los tres vectores tiene que ser cero, +E1 E2+E3 =0, luego resolviendo el sistema resulta = ⋅ −6 = µ
3 2 10 C 2 C
Q
b) El potencial total en el punto P será la suma de los poten-ciales creados por cada carga en el punto P:
= + +
total 1 2 3
V V V V
Como el potencial creado por cada carga es = V K q r , sustituyendo: − ⋅ = 1 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 = ⋅ 3 1 1 1 2 10 18 9 10 10 V 2 2 Q V K V r − ⋅ = 2 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 = ⋅ 3 2 2 2 2 10 18 9 10 10 V 2 2 Q V K V r − ⋅ = 3 ⇒ = ⋅ 9⋅ 6 = ⋅ 3 3 3 3 2 10 9 10 9 2 10 V 1 Q V K V r
Así, el potencial en el punto P será:
= + + = + ⋅ = ⋅ 3 4 total 1 2 3 36 9 2 10 V 3,82 10 V 2 V V V V
11. La diferencia de potencial, VB – VA, entre dos puntos, A y B, de una región en la que hay un campo eléctrico, vale 3 kV. ¿Qué trabajo mínimo se ha de hacer para llevar una carga de 6 mC desde A hasta B?
Una carga positiva no puede trasladarse de forma espontá-nea (solamente por la acción del campo eléctrico) hacia po-tenciales mayores; por lo tanto, al llevar la carga positiva
= 6 mC
q desde un punto A hasta otro B que tiene mayor potencial, tiene que ser desplazada por una fuerza externa. El trabajo que realiza esta fuerza externa coincide con la va-riación de energía potencial que experimenta la carga. Así,
−
= ∆ = ∆ = ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 =
AB p 6 10 C 3 10 V 18 J
W E q V
12. Considera dos puntos separados una distancia de 2 m que se encuentran en una región donde hay un campo eléctrico uni-forme de intensidad E = 10N/C en la dirección de la recta que une los dos puntos. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre estos dos puntos?
Teniendo en cuenta la relación siguiente y sustituyendo obtene-mos ∆ = −V Ed= −10 N/C 2 m⋅ = −20 V
El signo negativo nos indica que si se produce movimiento se-gún el sentido del campo, el potencial disminuye.
13. En un televisor convencional de tubo de rayos catódicos, un haz de electrones es acelerado mediante un campo eléctrico. Estima la velocidad de los electrones si parten desde el re-poso y la diferencia de potencial entre el ánodo y el cátodo es de 1 kV.
Datos: me = 9,11 · 10–31 kg; e = 1,602 · 10–19 C
Los electrones perderán energía potencial eléctrica y ganarán energía cinética.
