Una propuesta didáctica para la construcción del concepto teselación semiregular en estudiantes de sexto básico

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(1)UNIVERSIDAD ALBERTO HURTADO Facultad de Educación. Una propuesta didáctica para la construcción del concepto teselación semi regular en estudiantes de sexto básico. Tesis para optar al grado de Magíster en Didáctica de la Matemática. Por Alejandra Viviana Fairlie López. Director de Tesis. : Dr. Marcos Esteban Barra Becerra. Profesor informante. : Mg. Cecilia Rojas Pardo. Santiago, Chile 2017. 1.

(2) Agradecimientos Agradezco a mi profesor guía, el Dr. Marcos Esteban Barra, por sus importantes aportes a mi investigación. Agradezco su apoyo, sus sugerencias, sus comentarios y correcciones, cuando la meta se veía lejana y siempre confiar en que lo lograría. Gracias Marcos. A mi compañero de tantas circunstancias vividas, José R, por motivarme siempre a ser mejor, a que todo se puede alcanzar con paciencia. Gracias por apoyarme en todas las metas que me he propuesto. A mi familia, mi hijo Francisco y a mi hermano Richard por el apoyo incondicional. A Francisco, por el tiempo que no pude estar contigo y debí dedicar a este importante proyecto de estudio e investigación. A mis alumnas de 6to básico, por haberme inspirado a realizar un aporte a la educación escolar, por su importante cooperación y participación en mi investigación y por haberme mostrado que tienen grandes habilidades y talentos. A mis directivos del colegio San Francisco del Alba, por haber confiado en mis capacidades y mis estudios de magíster y poder así aportar a mejorar la calidad de la educación matemática de nuestro colegio. A mis profesores de la universidad. Todos y cada uno han dejado grandes huellas de aprendizaje en mi formación académica y personal. A mis compañeros tesistas, por haberme dado ánimo en los momentos más complejos de este estudio; por la buena convivencia de estos dos años, especialmente a Patricio R y Claudia C., por acompañarme también en lo humano. A Dios por haberme acompañado en tantas veladas escribiendo este hermoso trabajo, que sin duda, esto no habría sido posible sin su designio.. 2.

(3) TABLA DE CONTENIDOS INTRODUCCION ......................................................................................... 9. CAPITULO I 1.-ANTECEDENTES .................................................................................. 14 1.2.-La problemática .............................................................................. 21 1.3.-Análisis Didáctico ............................................................................ 22 1.3.1. El programa de estudio vigente; las orientaciones didácticas y el texto para el estudiante...................................... 22 1.4. El problema y pregunta de investigación ........................................ 35 1.4.1. Objetivos de la Investigación ................................................... 36. CAPITULO II 2. Análisis de aspectos Históricos Epistemológicos del concepto Teselaciones .............................................................................................. 38 2.1. Orígenes de la geometría ............................................................... 39 2.2. El hombre prehistórico y la geometría .................................... 39 2.3. Las antiguas civilizaciones .............................................................. 40 2.4. El mundo Árabe y la Alhambra ....................................................... 43 2.4.1. Teselaciones............................................................................ 48. CAPITULO III 3. Marco Referencial .................................................................................. 53 3.1. La Teoría de Situaciones Didácticas. Fundamentos. 53. A. Situación Didáctica ........................................................................ 55 3.

(4) B. El Medio ........................................................................................ 55 C. Situación a- didáctica .................................................................... 55 D. Devolución .................................................................................... 56 E. Variable didáctica .......................................................................... 57 F. Contrato didáctico.......................................................................... 57 3.1.2 Tipos de situaciones a- didácticas o de interacción con el medio ............................................................................ 57 1. Situación de acción ................................................................... 57 2. Situación de formulación ........................................................... 58 3. Situación de validación .............................................................. 58 4. Institucionalización .................................................................... 59 La resolución de problemas en la TSD.......................................... 60. 3.2 La ingeniería didáctica ..................................................................... 61 3.2.1 Fases de la ingeniería didáctica ............................................... 62 FASE 1: Análisis preliminar ........................................................... 62 FASE 2: La concepción y el análisis a priori .................................. 64 FASE 3: Experimentación ............................................................. 65 FASE 4: Análisis a posteriori y validación ..................................... 65. CAPITULO IV 4. Metodología ........................................................................................... 68 4.1 Metodología de investigación........................................................... 68 4.2 La ingeniería didáctica ..................................................................... 69 Análisis preliminar ........................................................................... 69. 4.

(5) Análisis del campo de restricción .................................................... 71 Recogida de datos ........................................................................... 72 4.3. Metodología de análisis .................................................................. 76 4.3.1. Determinación de las variables ................................................ 78 A.- Variables macro didácticas ................................................ 78 B.- Variables micro didácticas ................................................. 79 C.- Análisis metodológico Fase 2 ............................................ 82 D.- Análisis metodológico Fase 3 ............................................ 91. CAPITULO V Análisis de las Fases implementadas 5. Análisis preliminar .................................................................................. 95 5.1 Recuperación de conocimientos previos ......................................... 95 5.2 Análisis A priori ................................................................................ 98 5.3 Análisis a Posteriori ....................................................................... 104 5.4 Confrontación del análisis a priori y el análisis a posteriori ............ 125 5.5 Evaluación de la secuencia didáctica y rediseño de las actividades de la fase 2 ........................................ 131 5.6 Rediseño de la secuencia didáctica (fase 2) .................................. 134. CAPITULO VI CONCLUSIONES FINALES Y PROYECCIONES DE LA INVESTIGACIÓN. 6 Conclusiones Generales ....................................................................... 145. 5.

(6) 6.1 Conclusiones relacionadas con los objetivos específicos y pregunta de investigación del trabajo .................................................................... 147-152 6.2 Proyecciones del trabajo de investigación ..................................... 152 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................. 153-156. ANEXO 1 DISEÑO Y RE DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS. Anexo 1. Diseño inicial de las actividades propuestas a las estudiantes Fase 1 ............................................................................... 158-160 Fase 2 ................................................................................ 161-165 Fase 3 ................................................................................ 166-167 Rediseño de las actividades Fase 2 ................................................................................ 168-175. ANEXO 2 PRODUCCIONES DE LAS ESTUDIANTES EN LAS FASES 1, 2 Y 3 Producciones de los equipos de trabajo en la fase 1. análisis preliminar. Recuperación de conocimientos previos y algunas fotografías ................................................................... 177 Clase 1 (fase 1).................................................................................... 177 Clase 2 (fase 1).................................................................................... 180 Clase 3 (fase 2) actividad 1 ................................................................. 182 Clase 3 (fase 2) actividad 2 ................................................................. 185 Clase 3 (fase 2) actividad 3 ................................................................. 187. 6.

(7) Fase 3 Trabajo de Geometría .............................................................. 190. 7.

(8) INDICE DE FIGURAS Y TABLAS. Figura I. Concepto de Teselación en el texto del estudiante ..................... 26 Figura II. Clasificación de Teselación en el texto del estudiante ................ 28 Figura III. Actividades de Teselación en el texto del estudiante ................. 29 Figura IV. Actividades de Teselación en el texto del estudiante ................. 30 Figura V. Actividades de Teselación en el texto del estudiante .................. 31 Figura VI. Orientaciones didácticas al docente (Mineduc) ......................... 33 Figura VII. Orientaciones didácticas al docente (Mineduc) ........................ 35 Figura VIII. Sucesión geométrica ............................................................... 40 Figura IX. Motivo geométrico en la alfarería .............................................. 41 Figura X. Mosaicos de los artesanos musulmanes .................................... 45 Figura XI. Los diecisiete grupos de simetría de la Alhambra ..................... 46 Figura XII. Polígonos Nazaritas.................................................................. 47 Figura XIII. Las ocho combinaciones de polígonos regulares .................... 51 Figura XIV. Teselas con las que se trabajará en la investigación ............... 76 Figura XV. Patrón geométrico que encontrarán las estudiantes ................ 83 Figura XVI. Patrón geométrico que encontrarán las estudiantes ............... 84 Figura XVII. Patrón geométrico que encontrarán las estudiantes .............. 86 Figura XVIII. Patrón geométrico que encontrarán las estudiantes ............. 86 Figura XIX. Patrón geométrico encontrado por las estudiantes ................ 89 Figura XX. Propuesta 1 y 2 de teselas. Fase validación ............................ 92 Figura XXI. Momento 1, 2 y 3. Fase preliminar ......................................... 97 Figura XXII. Respuesta A. Grupo 1,2 y 3.Fase 2.Act.1.1er momento ...... 106 Figura XXIII. Respuesta B. Grupo 1,2 y 3.Fase 2.Act.1.1er momento ..... 107 Figura XXIV. Respuesta C. Grupo 1,2 y 3.Fase 2.Act.1.1er momento .... 109 Figura XXV. Respuesta A.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.2do momento ..... 111 Figura XXVI. Respuesta B.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.2do momento ...... 112 Figura XXVII. Respuesta C.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.2do momento .... 113 Figura XXVIII. Respuesta D.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.2do momento .... 115 8.

(9) Figura XXIX. Respuesta A.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.3er momento ....... 117 Figura XXX. Respuesta B.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.3er momento ........ 118 Figura XXXI. Respuesta C.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.3er momento ...... 119 Figura XXXII. Respuesta D.Grupo1, 2 y 3.Fase 2.Act.2.3er momento .... 120 Figura XXXIII. Combinación de polígonos. Fase 3.grupo 1, 2 y 3 ............ 122 Figura XXXIV. Situación problema. Fase 3.grupo1, 2 y 3 ................ 124, 125. Tabla I. Síntesis de uso de polígonos en la actividad 1 .............................. 85 Tabla II. Síntesis de uso de polígonos en la actividad 2 ............................. 87 Tabla III. Síntesis de uso de polígonos en la actividad 1 ............................ 90 Tabla IV. Fase 2. Actividad 1.1er momento. Análisis a priori .................... 100 Tabla V. Fase 2. Actividad 2.2do momento. Análisis a priori .................... 102 Tabla VI. Fase 2. Actividad 3.2do momento. Análisis a priori ............ 102,103 Tabla VII. Fase 3. Actividad 1.Situación problema. Análisis a priori ......... 104. 9.

(10) RESUMEN El presente trabajo de investigación, describe una propuesta de secuencia didáctica fundamentada en la “Teoría de Situaciones Didácticas” de Guy Brousseau con el objetivo de hacer emerger desde los estudiantes (de sexto básico), la regla que permite generar una tesela y por consecuencia una teselación. En este estudio se analizarán los argumentos, análisis y justificaciones que giran en torno a la discusión de las estudiantes ante las actividades propuestas para construir dicha regla con teselas semi regulares. La metodología de investigación utilizada para esta investigación es de corte cualitativo, descriptivo, interpretativo; con los aportes que entrega la micro ingeniería didáctica.. 10.

(11) INTRODUCCION. El. presente. trabajo de investigación aborda un fenómeno de la. enseñanza y aprendizaje de la Geometría Euclidiana, específicamente, sobre la construcción de la regla de tesela y por consecuencia teselación, asociado a la noción de Polígono regular. El marco referencial que utilizamos en este estudio, es la Teoría de Situaciones Didácticas, el cual nos permite abordar el fenómeno de construcción de un nuevo conocimiento matemático (en nuestro caso geométrico) desde una perspectiva de génesis artificial, propia de esta teoría, en un escenario o contexto de aula. El interés particular es mostrar que los procesos de construcción de este conocimiento y en la teoría mencionada como referente, se lograron sin haber entregado la definición a las estudiantes, ya que se intencionó un contexto planificado y organizado previamente (con los aportes de la Ingeniería Didáctica como metodología) y así, ser un aporte a lo que actualmente se realiza en la enseñanza tradicional. Para lograr dicho propósito se diseñó una secuencia de. situaciones. didácticas que permite la construcción de estos conocimientos transitando por tres fases: Fase 1: “Determinar ángulos de figuras poligonales regulares y su relación entre ellas” Fase 2: “Diseñar un patrón de tesela” Fase 3: “Teselar el plano” o una porción de él Tanto la micro ingeniería didáctica y la TSD como hilo conductor de la construcción del conocimiento propone. que el estudiante construya una. base de conocimiento sustancial, que le permita progresar y avanzar en la 11.

(12) adquisición de los nuevos conocimientos del estudio y en este caso de la Geometría en particular .Los elementos que fundamentan la importancia y pertinencia son precisamente los propósitos que tiene la TSD cuando lo que pretende es abordar la situación de enseñanza en torno a un objeto matemático desde una “génesis artificial” , con la cual, esperamos emerjan con los aportes de ellas, este nuevo conocimiento. Además se consideró una revisión a los planteamientos metodológicos de este conocimiento en el texto escolar actual entregado por el MINEDUC para los estudiantes del nivel en que se investiga (6to básico), así también los textos complementarios como la guía al docente y el propio programa de estudio de dicho nivel, con el propósito de. conocer el estatus actual de la. noción de tesela y por ende teselación y analizar algunos aspectos que permitan un posterior aporte a la situación de enseñanza-aprendizaje. Así mismo, un recorrido epistemológico de algunos aspectos del objeto matemático polígono en el que se fundamenta la noción de teselación. A continuación presentamos la organización de este trabajo, distribuida en 6 capítulos más los anexos 1 y 2. En el Capítulo I se muestra el desarrollo de antecedentes relacionados con la problemática que da origen a este trabajo de investigación, como también sus características generales y antecedentes de investigaciones realizadas previamente, que sirven de referencia para sustentar el desarrollo de la investigación. Se revisa el estatus en la enseñanza y aprendizaje de esta noción con el propósito de analizar cómo es que habita en la práctica escolar actual en el nivel educativo que esta investigación abordará. Además, se incluye el problema de investigación, la pregunta de investigación, el objetivo general, objetivos específicos que se ha trazado para lograr que emerja la regla de tesela y por ende teselación (asociados a la noción de Polígono que tienen los estudiantes).. 12.

(13) En el Capítulo II se presentan dos visiones en los aspectos históricos epistemológicos del objeto matemático, importantes para el desarrollo de la investigación. El primero es el objeto polígono como tal en la historia y su evolución desde las antiguas civilizaciones, con el propósito de ubicarlo en términos de su epistemología y así brindar elementos que puedan ser puestos en acción al momento de diseñar las situaciones didácticas que posteriormente se pondrán a prueba. La segunda visión, tiene que ver con el concepto tesela situado en sus orígenes culturales, con el fin de comprender cómo y por qué surge en la cultura Nazarí. En el Capítulo III se presentan los aspectos principales de la teoría de Situaciones Didácticas y la Micro Ingeniería Didáctica que son el sustento y fundamento teórico de la investigación, debido a que permite analizar y dar explicaciones sobre las producciones que realizan las estudiantes; enfocándonos en aquellos aspectos que hemos incorporado en nuestra investigación; es decir, sus análisis, argumentos y conjeturas al momento de enunciar sus respuestas. En el Capítulo IV se realiza una descripción de la Metodología realizada en base a análisis cualitativos, descriptivos e interpretativos como también a la Micro Ingeniería Didáctica; la forma en que se delimitará el objeto en estudio, la recogida de datos y el campo de restricción al momento de elaborar e implementar el diseño de las situaciones didácticas, en torno a la noción de tesela y por ende teselación. En el Capítulo V se muestra un análisis de las fases implementadas; análisis preliminar, como recuperación de conocimientos previos; análisis a priori, análisis a posteriori y la confrontación entre ambos. Además, el rediseño de las situaciones presentadas a los estudiantes y algunas reflexiones generales sobre lo realizado por las estudiantes.. 13.

(14) En el Capítulo VI se entregan las conclusiones y proyecciones del trabajo realizado, de acuerdo a los objetivos de investigación y pregunta de investigación planteada. Finalmente en el anexo 1 se presenta el diseño y rediseño de las situaciones propuestas a las estudiantes para esta investigación, de acuerdo a lo ocurrido durante la implementación de las tareas y en el anexo 2 las producciones de las estudiantes en las fases 1,2 y 3.. 14.

(15) ______________________________ Capítulo I: Antecedentes, problemática y formulación del problema ______________________________. 15.

(16) 1.-ANTECEDENTES La importancia de la geometría, como rama fundamental de la matemática, radica en que a través de ella la persona. adquiere el. conocimiento respecto de su pensamiento espacial (Uribe, Cárdenas y Becerra 2014, p.135). Esta idea se comprende sobre todo si las habilidades que se proponen para el currículo escolar, pretende que las desarrollen y que les permitan comprender el espacio y su forma; compararlo, medirlo, analizar propiedades y características de figuras geométricas. Es decir, esto se puede entender en que la primera importancia que tiene el estudio de la geometría, es. comprender el mundo que nos rodea; desenvolvernos en él; para. orientarnos reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos circundantes. Báez e Iglesias (2007) explican que la geometría ha sido considerada como uno de los pilares de formación académica y cultural del hombre, dada su aplicación en diversos contextos y su capacidad formadora del razonamiento lógico, la que contribuye a desarrollar en los estudiantes habilidades para visualizar, pensar críticamente, intuir, resolver problemas, conjeturar, razonar deductivamente, argumentar de manera lógica en procesos de prueba o demostración.. En el mismo. aspecto Araya y Ballestero (2016) señalan que. la. geometría se puede considerar como un instrumento reflexivo, que le permite al ser humano resolver problemas de diversa índole y comprender un mundo que le ofrece una amplia gama de variadas formas geométricas, en cada uno de los escenarios que lo conforman, sea este natural o artificial. Es decir, podemos comprender de este enunciado y basándonos en la Teoría de Situaciones didácticas (marco referente de nuestra investigación), que el trabajo en geometría permite analizar, conjeturar y reflexionar acerca de las tareas propias de esta rama de la matemática; aunque éstas sean problemas artificiales (entendiendo este último concepto, como una tarea intencionada 16.

(17) y/o planificada por alguien que desea enseñar un concepto o conocimiento nuevo).. Para Castiblanco, Urquina, Camargo y Acosta (2004), señalan que la importancia de la geometría radica fundamentalmente en el proceso de razonamiento que puede llevar a cabo un estudiante. Sin embargo, en algunas. instituciones escolares de nuestro país, se le asigna mayor. importancia al desarrollo y construcción del pensamiento matemático a partir de los conocimientos aritméticos. Al respecto Benítez y Cárdenas (2008), mencionado en Uribe et al (2014) opinan que se le da importancia a la adquisición de destrezas, habilidades y conocimientos aritméticos y numéricos, como también al uso de algoritmos relacionados con las operaciones básicas, memorización de procedimientos mecánicos para la resolución de problemas o ejercicios, así como una serie de fórmulas y algoritmos para resolver diversas tareas. Lo anterior se puede comprender en nuestro tema de interés, como lo mencionaremos más adelante, el fuerte carácter deductivo que ha traído tradicionalmente y por tiempo importante la enseñanza de la Geometría. Por ejemplo en educación básica (segundo ciclo) y secundaria, la Geometría se ha venido apoyando en el lenguaje del álgebra, algoritmos y fórmulas como se señala. En primaria, aún sin ese carácter plenamente algebraico, también, se ha fomentado el aprendizaje memorístico de conceptos y fórmulas como lo señalan los autores Benítez y Cárdenas (2008, p.2). Es decir, La simple apoyatura de unos conceptos en otros previos y la temprana eliminación de la intuición como instrumento de acceso al conocimiento geométrico; tratando de acelerar la adquisición de tales conceptos, teoremas y fórmulas, como si en ellas estuviera condensado el verdadero saber geométrico, avalan las investigaciones que se mencionan. Araya y Ballestero 2010, refuerzan estas ideas agregando que: 17.

(18) “La geometría se presenta a las estudiantes y los estudiantes como un conjunto de definiciones, fórmulas y teoremas totalmente alejado de su realidad y donde los ejemplos y ejercicios no poseen ninguna relación, consecuentemente, la geometría se percibe como poco importante, ya que no es aplicable a la vida cotidiana, cuando la realidad es otra”.1 Esta idea de los autores se puede analizar, entendiendo que para los saberes geométricos, es necesario que se relacionen con aspectos de la realidad del estudiante y con su vida cotidiana, de tal manera que tengan la posibilidad de conectarlo de alguna manera u otra con experiencias que ellos hayan vivido. Mori y Onaga, 2009, indican que “el trabajo hecho a partir de la exploración de los objetos del mundo físico, obras de arte, pinturas, dibujos, esculturas y artesanía posibilitaría que los alumnos establezcan conexiones entre la matemática y otras áreas del conocimiento”. Es decir, la geometría en general tiene un carácter interdisciplinar donde el estudiante puede acceder a desarrollar las habilidades que se proponen en los estudios de enseñanza para él. Este pensamiento se considera como “la facultad de reconocer y discriminar estímulos visuales e interpretarlos asociándolos con experiencias anteriores” (Frostig, 1978, p. 7), así también, una posibilidad de desarrollar habilidades de establecer relaciones espaciales para organizar, analizar y sistematizar los conocimientos espaciales (Sánchez, y Bonilla, 1999, p. 10). Esto contribuye a un mejor manejo, ubicación, orientación y localización espacial. Báez et al (2007) opina que, la enseñanza y aprendizaje de la geometría presenta dificultades, debido a que los profesores pueden o no, abordar todos los contenidos geométricos contemplados en los programas de 1. Araya, R. G., & Alfaro, E. B. (2010). La enseñanza y aprendizaje de la geometría en secundaria, la perspectiva de los estudiantes. Revista electrónica educare, 14(2), p,125. 18.

(19) estudio. Para el caso en que sí se desarrollan, se enfatiza el uso de fórmulas y el cálculo, no fortaleciendo la apropiación de habilidades como la visualización, el razonamiento y la justificación. Uribe et al (2010) refuerzan la idea de Báez (2007) señalando que: “Los problemas al respecto, radican en que la orientación espacial ha sido desplazada. por. aspectos. meramente. numéricos. desconociendo. la. importancia de ésta para el desarrollo integral del Pensamiento geométrico” Es decir, el proceso de construcción del pensamiento geométrico parece indicar, entonces, que éste debería abandonar los aspectos meramente numéricos/algebraicos siguiendo un proceso distinto. y mucho más. distendido, desde unas formas intuitivas iniciales de pensamiento, hasta las formas deductivas finales, ya que éstas últimas, corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que estaremos considerando aquí. De esta manera, entendemos que en Educación Básica. hay que. detenerse, en primer momento, de las interpretaciones deductivistas e ir a una geometría de carácter experimental e intuitivo. La Geometría, entonces, debe propiciar espacios para los procesos de aprendizaje abordando un método más empírico y con un tiempo que permita los espacios de reflexión y profundización de las actividades que realizan los estudiantes; como también, la conexión con los otros ámbitos del saber, “poniendo en juego una educación interdisciplinaria, donde se posibilite la expresión concreta geométrica de los estudiantes a partir del reconocimiento y utilización de nociones, las que promuevan el desarrollo del pensamiento matemático en términos generales”.(Herrera, Montes, Cruz y Vargas 2010). Lo que se observa al respecto del estudio de estos antecedentes, es que la problemática se presenta en dos focos hacia los estudiantes. Por un lado, no han tenido experiencias prácticas y concretas que les permita analizar, visualizar y conjeturar en las tareas geométricas que se les presentan, para desarrollar las habilidades mencionadas, que además son propias de la 19.

(20) geometría, y por otro lado, se permite débilmente que sean ellos los que construyen su saber geométrico sobre uno u otro objeto geométrico; ya que la manera actual de enseñanza entrega rápida y anticipadamente las reglas, fórmulas y generalizaciones de los saberes. Esta dificultad que se observa en la enseñanza/aprendizaje de la geometría, se manifiesta en distintos saberes que aborda esta rama de la matemática. Dentro de ella, y en el nivel que se investigó en este trabajo, hemos centrado nuestro interés en un tema específico propuesto por los programas de estudio vigente, el cual no deja de estar ligado a los problemas que presenta en general la enseñanza de la geometría actual en que los saberes se presentan como conductas acabadas y anticipadas, como se han expuesto en los párrafos anteriores. Nos referimos al estudio de las Teselaciones. Herrera, et al (2010) señalan que: “las teselaciones permiten que el estudiante reconozca las propiedades de las figuras y, las transformaciones geométricas conllevan a desarrollar destrezas como la orientación espacial, el razonamiento lógico y la resolución de problemas”. Imenes y Lellis (2009) al respecto, citan algunas razones para la importancia del estudio de éstas; como por ejemplo: La ampliación de la percepción geométrica. Su presencia en la naturaleza. Su importancia en las artes visuales. Su uso en la matemática, posibilita descubrir y demostrar propiedades geométricas y algebraicas. Con esta facultad están relacionadas siete habilidades señaladas por Frostig, (1978), las que comparativamente con los otros autores ya mencionados, coinciden en las habilidades que se desarrollan en el estudiante cuando estudia las teselaciones. Estas son: la coordinación visomotriz,. la. percepción. figura-fondo,. la. constancia. perceptual,. la. percepción de posición en el espacio, la percepción de las relaciones espaciales, la discriminación visual y la memoria visual. 20.

(21) Uribe, et al (2014), concuerdan con estas ideas señalando que: “El propósito fundamental en el estudio de las teselaciones, en los niños, es desarrollar las habilidades del pensamiento espacial (coordinación visomotriz, coordinación figura-fondo, constancia perceptual, percepción de. posición. discriminación. en. el. visual. espacio, y. relaciones. memoria. visual). de y. percepción la. espacial,. construcción. de. conocimientos, nociones y conceptos geométricos (euclidianos, como por ejemplo, línea, vértices, polígonos; topológicos, como región, interior, frontera; proyectivos e isometrías propias del plano euclidiano” De lo anterior, se puede interpretar en conclusión, que las teselaciones, siendo un área de trabajo en geometría; promueve el desarrollo de los procesos cognitivos; la coordinación y discriminación visual, la percepción y relación de posición en el espacio de una u otra figura y la construcción de conocimientos y nociones; necesarias para desarrollar el pensamiento geométrico en los estudiantes. Lo anterior se extiende ineludiblemente hacia la manera, los procedimientos pedagógicos y metodológicos. en que este saber se debe enseñar.. Entonces, es el profesor quien debe proponer a sus estudiantes situaciones matemáticas/geométricas donde ellos puedan por un lado, desarrollar estas habilidades mencionadas y por otro lado, crear un equilibrio que permita que el estudiante pueda vivirla, construirla, analizarla y relacionarla con su diario vivir. Situaciones que provoquen en ellos, la emergencia de los nuevos saberes y en los cuales el conocimiento que poseen se presente como una solución a las tareas que se les plantea. Es decir, si se propicia una adecuada enseñanza de la matemática basada en los conocimientos y experiencias previas del estudiante, se planifica y articula el nuevo saber; la comprensión de los conceptos y problemas planteados será más acorde con la realidad (siendo esta realidad dentro de la misma matemática o en su diario vivir) .Así se desarrollará en 21.

(22) los estudiantes una aprehensión del o de los. nuevos conocimientos y la. capacidad de visualizar, argumentar y justificar los problemas que se les plantean.. Al respecto, Florez (1994), plantea que el proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática, debe ser un proceso interactivo, constructivo, en el que las relaciones profesor-estudiante-contenido creen condiciones para que el docente tenga la necesidad de enseñar y, los estudiantes tengan la necesidad de aprender. En el ámbito geométrico, la Teoría de Situaciones Didácticas (marco referencial de nuestra investigación) adquiere fuerza si se comprende que el propósito que pretende es situar un espacio de enseñanza intencionado, planificado y articulado que permita al estudiante desarrollar los aprendizajes que construye. Transformando, generando, comunicando y reflejando la información que se va obteniendo in situ. En un espacio de trabajo, que se presenta algunas veces como “antagonista” de la tarea a realizar; que lo detiene; que lo obliga a pensar, analizar; pero a la vez también le permite avanzar; buscando otras formas de resolver el problema que se le presenta, manteniéndolo en la tarea que debe llevar a cabo. Lo anterior, claramente favorece el desarrollo de una geometría intuitiva, es decir, aquel conocimiento incorporado gracias a los análisis, argumentos, conjeturas y justificaciones que realizan los estudiantes ante una tarea o situación que les permita estos propósitos. Entonces, consideramos que las actividades planificadas, intencionadas y articuladas, como lo declara la Teoría de Situaciones Didácticas (de aquí en adelante TSD), permiten que el conocimiento matemático adopte significados dentro y fuera del ámbito escolar y en definitiva, que el conocimiento matemático sea “utilizado” por los estudiantes y no se quede al nivel de fórmulas que luego, no es capaz de relacionar a otras situaciones nuevas y posteriormente olvidarlas. 22.

(23) En consecuencia, se observa que los propósitos actuales para la adquisición de conocimientos nuevos, no está logrando los niveles. que. nuestros estudiantes requieren en torno al conocimiento matemático, debido a que se privilegia a los conceptos matemáticos acabados por sobre las circunstancias, que planificadas e intencionadas ; posibilitan la adquisición de los mismos. 1.2.-La problemática La problemática de este estudio, también se presenta en la propuesta que señalan para este aprendizaje el Programa de Estudio, Orientaciones Didácticas al Docente y Texto del estudiante en el nivel de sexto básico, en el que se intenciona débilmente la experiencia empírica en las actividades de adquisición de este conocimiento; en que los estudiantes puedan analizar, argumentar y conjeturar la regla que permite a los polígonos regulares en composición y en concurrencia a un vértice, emerja la regla de una tesela y en consecuencia una teselación. No existe concordancia entre los tres instrumentos educativos lo que genera desarticulación y confusión en los lineamientos de la enseñanza y el aprendizaje del objeto matemático polígono y de éste en la construcción del patrón geométrico tesela. Por otro lado, como se verá más adelante en la lectura, la enseñanza tradicional explicita anticipadamente los significados de conceptos no permitiendo que sean los estudiantes quienes los construyan.. 23.

(24) 1.3.-Análisis Didáctico 1.3.1.- El programa de estudio vigente; las orientaciones didácticas y el texto para el estudiante El Marco Curricular para la Educación de los estudiantes chilenos experimenta continuos ajustes con el fin de mejorar la calidad de la educación. Estos. ajustes, se dirigen a que los estudiantes adquieran. conocimientos, desarrollen habilidades y competencias que deben ser de utilidad para comprender el mundo que lo rodea. Al respecto, el programa de matemática vigente del 2012, en la unidad de geometría, propone que los estudiantes de sexto básico: “Aprendan a reconocer, visualizar y dibujar figuras, y a describir las características y propiedades de figuras 2D y 3D en situaciones estáticas y dinámicas. Se entregan algunos conceptos para entender la estructura del espacio y describir con un lenguaje más preciso lo que ya conocen en su entorno. El estudio del movimiento de los objetos —la reflexión, la traslación y la rotación— busca desarrollar tempranamente el pensamiento espacial de los alumnos”2 Específicamente, los aprendizajes esperados giran en torno a seis indicadores; los cuales son importantes al momento que se elabore la secuencia didáctica. De esta forma, este estudio se centrará en el AE (aprendizaje esperado) número tres. Estos aprendizajes esperados son: 1. Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y/o sus ángulos con instrumentos geométricos o software geométrico. 2. Demostrar que comprenden el concepto de área de una superficie en cubos y paralelepípedos, calculando el área de sus redes (plantillas) asociadas.. 2. Programa de Estudio de Matemática Sexto básico 2012,p.33. 24.

(25) 3. Realizar teselados de figuras 2D usando traslaciones, reflexiones y rotaciones. 4. Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos con instrumentos geométricos o software geométrico. 5. Identificar los ángulos que se forman entre dos rectas que se cortan (pares de ángulos opuestos por el vértice y pares de ángulos complementarios). 6. Demostrar de manera concreta, pictórica y simbólica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º. Así mismo, establece que los conocimientos previos para esta unidad y específicamente en lo que importa de este estudio son: › Traslaciones, rotaciones y reflexiones de figuras 2D. › Traslación de ángulos. › Concepto de ángulo. Los contenidos a tratar para estos estudiantes y en relación al trabajo de esta investigación, se enfocan en: “Construcción de ángulos. Determinación de ángulos en rectas paralelas cortadas por una transversal. Identificación de ángulos opuestos por el vértice. Realización de teselados”3. Al respecto, en el tema de interés de esta tesis, el programa de estudio propone para el OA (14): › Explican el concepto de teselado por medio de ejemplos. › Reconocen teselados regulares en contextos diversos. Por ejemplo, reconocen teselados construidos con cuadrados en patios del colegio, en el piso del baño o la cocina de sus casas. 3. Programa de Estudio de Matemática Sexto básico 2012 ,p.101. 25.

(26) › Reconocen teselados semi regulares en contextos diversos. Por ejemplo: reconocen teselados construidas con cuadrados y triángulos equiláteros en obras de arte. › Realizan teselados regulares, aplicando traslaciones. › Realizan teselados semi regulares, aplicando reflexiones. Por ejemplo: cubren una región del plano con 2 cuadrados y 3 triángulos equiláteros y reproducen ese teselado, aplicando reflexiones. Sin embargo, en lo puntual, el libro del estudiante, presenta actividades que promueven. escasamente un acercamiento a la construcción del. concepto teselación, ya que se puede observar en el último OA, se espera que los estudiantes reproduzcan algo que ya está hecho; entonces nos preguntamos ¿para qué hacer algo que ya está construido? ¿Cuál es su objetivo particular? Estas actividades en una primera clase, se presentan entregando la definición de teselación; luego un instructivo para construir una teselación regular (con cuadrados y triángulos equiláteros) y finalmente un cuestionario a modo de conclusión. Se puede observar en la siguiente figura:. 26.

(27) Figura I “Concepto de Teselación en el texto del estudiante” Sin el ánimo de realizar un análisis de texto, se observan las preguntas de esta actividad con la intención de cuestionarnos la manera en que se abordan en relación de los objetivos del programa de estudio entregado al docente. Si bien el estudiante sabe lo que es un patrón geométrico adecuadamente ( por lo que declara tanto el texto del estudiante en la unidad anterior y el programa de estudio cuando se refiere a los conocimientos previos que posee el estudiante para abordar esta unidad), nos preguntamos en base a qué características debería responder el estudiante en función del 27.

(28) patrón geométrico en las preguntas 2, 3 y 4; ya que los objetivos del programa para esta actividad entregan fuerza a las transformaciones isométricas y no a las propiedades angulares de los polígonos en cuestión ( triángulos “equiláteros” y cuadrados). Es más, el cuestionamiento es si será suficiente con que los estudiantes identifiquen sólo las transformaciones isométricas para responder las preguntas señaladas en este mini cuestionario referidas a la propiedad angular de los polígonos que generan la regla de tesela. Por otro lado, quisiéramos ubicarnos en el mejor de los casos y suponer que los estudiantes sí conocen las condiciones necesarias para responder las preguntas 2,3 y 4; entonces nos preguntamos por qué no están intencionadas las preguntas relacionadas con las propiedades angulares de los polígonos en acción, en las otras actividades. Se observa entonces la desarticulación entre las actividades y por ende, las preguntas propuestas para incorporar el nuevo saber en cuestión. Por los tiempos conocidos por los docentes para realizar una clase, la página siguiente correspondería a una segunda clase. En ella, se entrega al estudiante la clasificación de teselaciones: regulares; semi regulares y no regulares (se puede observar nuevamente en este caso que al estudiante se le entrega anticipadamente el conocimiento). La pregunta de reflexión en este caso es sólo una y dice ¿qué transformaciones isométricas fueron usadas para este teselado?; es decir; nuevamente alude con decisión a lo que el programa de estudio propone por objetivos y no a las propiedades angulares de los polígonos para generar un patrón geométrico (tesela).. 28.

(29) Figura II “Clasificación de Teselación en el texto del estudiante” Inmediatamente presenta en la siguiente página, otra representación, a modo de ejemplo, de una teselación No regular. En este caso no hay preguntas; sino una actividad que propone la técnica de alicatado 4 para generar una tesela NO regular.. 4”. alicatado”, es una pieza derivada de un azulejo cuadrado o rectangular, que generalmente se transforma en un polígono cóncavo cuyos lados pueden ser rectos o curvos, obtenidos mediante el principio de conservación de la superficie pero no de la forma, por movimientos de rotación y traslación del azulejo base. Rojo, F. R. H. (2010). Desde el estudio de los elementos de simetría de los mosaicos de la Alhambra hasta la creación de nuevos diseños. In Arte y geometría (pp. 48). Servicio de Publicaciones.. 29.

(30) Figura III “Actividades de Teselación en el texto del estudiante” Los cuestionamientos al respecto de esta actividad presentada son dos. Primero si es pertinente trabajar la técnica del alicatado con los estudiantes de este nivel si se está intencionando las teselaciones semi regulares y segundo si es coherente a los objetivos para este nivel y unidad que aparecen en el programa e estudio. Si bien, como se declara anteriormente, no es objetivo en este trabajo analizar el texto del estudiante en sí; tampoco es propósito dar respuesta a estas interrogantes ya que sólo se ha pretendido realizar un momento de reflexión de las tareas propuestas en estas páginas en el sustento de la 30.

(31) coherencia, articulación y pertinencia de las actividades del texto del alumno en función de los objetivos propuestos por el programa de estudio. Posteriormente, aparecen dos actividades. Una es llamada “práctica con supervisión”, en la que se pide al estudiante clasificar teselaciones y en una segunda pregunta identificar la o las figuras geométricas que dieron origen a la teselación.. Figura IV “Actividades de Teselación en el texto del estudiante” La segunda pregunta de esta actividad presentada en el texto del estudiante es débil; ya que apunta sólo a una necesidad más bien del profesor que del alumno (como lo señala la TSD); en este caso se requiere sólo saber el nombre del polígono en acción (y nada más). Es decir, no hay presencia de una pregunta que intencione la profundidad de las propiedades angulares de los polígonos que están en acción en las representaciones señaladas.. 31.

(32) La segunda actividad se llama “práctica independiente”. En ésta, nuevamente se le pregunta al estudiante por clasificación de teselaciones y luego hay un cuestionario para que el estudiante responda.. Figura V “Actividades de Teselación en el texto del estudiante” Las preguntas 19 y 20 aluden a transformaciones isométricas las que el estudiante podría responder de acuerdo al énfasis que se entrega en la unidad; sin embargo, en la pregunta 21 podría generar mucha confusión en el estudiante, ya que si bien intenta que éste relacione el patrón (lado derecho de la página), con la “paloma” realizada en la actividad anterior (la de la técnica del alicatado pág. 214); es sólo una suposición esperanzadora de la pregunta realizada. En la pregunta 23; crear una teselación con los polígonos propuestos, es una tarea donde no se señalan medidas de los polígonos, ni tampoco de la cuadrícula propuesta (¡aunque esta aludiera a la cuadrícula del cuaderno!) y los niños podrían considerar cualquier tamaño. Además, ¿para qué crearla?, ¿qué sentido geométrico tiene crear esta tarea si no hay pregunta que intencione la propiedad de los ángulos de los polígonos que se observan? Además, ¿en qué consideraciones geométricas específicas de los polígonos deberá prestar atención el estudiante para crear esta teselación?. 32.

(33) Es decir; las actividades que se proponen en estas páginas del texto del estudiante, promueven escasamente la construcción del conocimiento teselación cuando las preguntas que llaman a su análisis se enfocan débilmente en las propiedades angulares de los polígonos que en concurrencia a un vértice permiten que emerja una tesela y por ende una teselación. Respecto de las transformaciones isométricas, sabemos que por las sucesivas traslaciones, rotaciones y simetrías, éstas, acompañan el concepto de teselación y van casi “tomadas de la mano” una y la otra; pero ¡atención!, van tomadas de la mano respecto del movimiento que realizan los polígonos en el plano y no respecto de la regla angular de los polígonos que permite generar la tesela para luego realizar la teselación. Es decir, las transformaciones isométricas se presentan naturalmente en el proceso de adquisición del conocimiento tesela (el niño naturalmente traslada, rota y refleja; no lo necesita como un condicionante para generar la regla); no así, las propiedades angulares de los polígonos que se pongan en acción. En este último caso, los estudiantes necesitan tener un cierto dominio (conocimiento previo) que les permita poner en juego esos saberes para generar el patrón geométrico de una tesela y por ende teselación. Por otro lado, en las orientaciones didácticas al docente respecto de la enseñanza de este concepto; se observa inicialmente que no hay correspondencia entre las páginas que se mencionan en estas orientaciones y las páginas del texto del estudiante. Si bien, esto podría ser sólo un problema de compaginación, se interpreta que está referido a la unidad en cuestión. Entonces, al analizar los lineamientos de apoyo que se entregan al docente, se presenta lo siguiente:. 33.

(34) Figura VI “Orientaciones didácticas al docente (Mineduc)” Al hacer una triangulación entre el programa de estudio, el texto del estudiante y las orientaciones didácticas al docente; se puede establecer algunas conclusiones importantes para este trabajo de investigación; ya que la elaboración de las actividades fundamentada en la TSD; podrían ser un aporte a la forma en que se podría abordar este concepto geométrico. En términos generales, se puede observar que las actividades se presentan con un modelo conductista y tecnicista en el que se guía paso a paso las acciones a realizar y. posteriormente no revierte importancia al. momento de las conclusiones. Es decir, no se entiende para qué se realizó la 34.

(35) actividad; la que además, no intenciona el análisis de las propiedades angulares de los polígonos que se estudiaron en una unidad anterior (según lo declara en este sentido, el texto del estudiante). Por otro lado, es bueno recordar en este punto, que lo que propone el programa de estudio en los OA (Objetivos de Aprendizaje) es que el estudiante “reproduzca” teselados semi regulares. Queremos insistir en que si esto se pretende de esta forma, ¿para qué realizarlo si sólo se va a “reproducir” algo, sin hacer además ningún análisis de los elementos constitutivos de las propiedades angulares de los polígonos? Por otro lado, la actividad de la página 213 (que alude a transformación isométrica como una justificación a la teselación por las sucesivas traslaciones, rotaciones y reflexiones); no guarda coherencia con la actividad propuesta a continuación en la página 214, ya que en ella se solicita al estudiante construir una teselación No regular con la técnica de alicatado. Es decir, esta actividad no guarda relación con los objetivos propuestos en el programa de estudio para este nivel, y si bien, podría no presentar dificultad en la ejecución de la tesela mediante el procedimiento señalado (alicatado); se presenta desvinculada con el propósito último de los OA que tienen que ver específicamente con la realización de teselados semi regulares y no con teselados no regulares. Además, no hay articulación entre una y otra actividad. Al respecto, también se observa lo siguiente: Si el objetivo es trabajar. teniendo. por. fundamento. sustancial. las. transformaciones. isométricas, ¿cómo y por qué se le pregunta a los estudiantes en las actividades acerca de la condición necesaria para construir una tesela, si no se alude en las actividades, el análisis de las propiedades angulares de los polígonos que la conforman?, ¿cómo podría generar una tesela sin conocer los elementos constitutivos de los polígonos mencionados en esta actividad e inclusive en cualquier otra que requiera la construcción de una tesela? En las orientaciones didácticas al docente, se señala que en “charla matemática” (momento de institucionalización en el significado de la TSD), el 35.

(36) profesor junto a los estudiantes analicen lo que construyeron con triángulos y cuadrados. Si se observa la consecución de. preguntas (en la fotografía a. continuación), se puede advertir que el profesor, al momento de institucionalizar el aprendizaje, en las preguntas 3, 4 y 5 abordará el tema de patrón y condición de teselado; sin embargo, las actividades para dichas preguntas de reflexión en el texto del estudiante; están enfocadas a clasificar teselaciones regulares y semi regulares e identificar los polígonos que dieron origen a las teselaciones presentadas; además otra de las preguntas se refiere a identificar la o las transformaciones isométricas que permitieron la realización del teselado. Entonces, el cuestionamiento es: ¿de qué manera el estudiante podría responder la pregunta 5 (¿qué condición deben cumplir los ángulos de esos polígonos para generar un teselado?) si en las actividades no se intenciona el análisis de las propiedades angulares de los polígonos?. Figura VII “Orientaciones didácticas al docente (Mineduc)”. 36.

(37) Por lo anterior, es importante que los estudiantes tengan un espacio de aprendizaje geométrico que propicie la construcción del nuevo conocimiento tesela (y por ende teselación), desde un escenario geométrico que permita el análisis, las conjeturas y los argumentos de las propiedades angulares de los polígonos, como protagonistas de la construcción del patrón geométrico (tesela); un escenario en que la enseñanza de un saber geométrico, les permita generar razonamiento y justificación de las acciones que realizan.. 1.4.- El problema y pregunta de investigación El problema fundamental de esta investigación radica entonces, en hacer emerger en los estudiantes la regla de tesela y por ende teselación; con el propósito que los estudiantes comprendan dicho concepto. Para esto, empleamos la Teoría de Situaciones Didácticas, que permite el diseño de situaciones para construir una génesis artificial de dicho concepto y los aportes de la Ingeniería didáctica, que nos ofrece la posibilidad de interpretar el saber que han adquirido los estudiantes, en concordancia con sus fases. Esta investigación,. se centrará y pondrá el foco de atención en los. análisis, argumentos, conjeturas y justificaciones de los estudiantes y cómo surgen éstos en relación a la puesta en acción de las propiedades angulares de los polígonos regulares, al momento de que emerja la regla desde ellos; con el propósito de desarrollar las habilidades espaciales, que permiten por un lado, comprender dichas propiedades angulares de los polígonos, como también comprender de qué manera éstas ocupan cierta posición en el plano (a través de las rotaciones, traslaciones y reflexiones) manteniendo invariante sus propiedades. Con los antecedentes mencionados y expuestos, esta investigación asumirá como pregunta de investigación si: ¿Las actividades diseñadas bajo el sustento de la Teoría de Situaciones Didácticas, permiten emerger la regla matemática para la construcción de la tesela y por ende teselación,. 37.

(38) cuando se pone en acción las propiedades angulares de polígonos regulares? 1.4.1.- Objetivos de Investigación Objetivo general:  Construir el concepto teselación semi regular. a través de una. situación didáctica que haga emerger en los estudiantes la regla que permite elaborar una tesela y por ende una teselación. Objetivos específicos: I.. Articular una secuencia didáctica de actividades que permita emerger y construir la noción de tesela a través del aporte de la micro ingeniería didáctica.. II.. Analizar los argumentos y análisis que surgen en los estudiantes al momento de poner en acción las propiedades angulares de los polígonos regulares y las variables involucradas.. III.. Constatar los aportes pedagógicos de la secuencia didáctica, respecto de la adquisición del conocimiento del. concepto tesela en los. estudiantes, con el fin de ofrecer un referente a la enseñanza “tradicional”.. 38.

(39) ______________________________ Capítulo II: Análisis de aspectos históricos epistemológicos del concepto teselaciones ______________________________. 39.

(40) 2.-ANÁLISIS DE ASPECTOS HISTÓRICOS EPISTEMOLÓGICO DEL CONCEPTO TESELACIONES. En. este. capítulo. se. presentan. algunos. aspectos. históricos. epistemológicos de la noción de polígono y sus propiedades a partir de las primeras civilizaciones de nuestra humanidad, ya que las teselaciones se presentan estrechamente vinculadas y fundamentadas en esta noción. Como el uso de los polígonos hace referencia a los diseños que en combinación van generando un patrón que permite realizar la tesela y por consecuencia, una teselación, el propósito de este capítulo, es comprender cómo surge el significado de este concepto y su posterior evolución. El recorrido histórico será una síntesis de este período, enfocado en las antiguas civilizaciones como Mesopotamia, Egipto y Grecia, por ser éstas, la cuna de origen y fundamento de todo su posterior desarrollo en el tiempo. Otro aspecto que se presenta, hace alusión a las teselaciones en el mundo Musulmán; ya que nos interesa saber en este estudio como surgieron las teselaciones; qué las caracteriza; en qué contexto cultural se originaron y cómo ha sido su evolución. En las dos primeras civilizaciones surgen el estudio experimental de la figura geométrica ( en el sentido que no se encuentran demostraciones bajo la lógica aristotélica) y el descubrimiento de sus primeras propiedades basado en los hallazgos arqueológicos y los casos concretos que recoge esta ciencia de la historia. En Grecia este estudio se consolida formalmente como ciencia. Se transita desde enunciados de problemas particulares a enunciados generales y a una geometría axiomática.. 40.

(41) 2.1.-Orígenes de la geometría Para Boyer (2010) los orígenes de la geometría son más antiguos que el arte de la escritura y las evidencias que se tienen del uso de figuras geométricas en la prehistoria, están basados en los hallazgos de la arqueología, tanto como de las interpretaciones conjeturales que realiza esta ciencia, de los pocos utensilios, vasijas y vestigios en general, del arte rupestre que se han encontrado. Es decir, se puede interpretar que los orígenes de la geometría surgen con los primeros pictogramas (dibujos que por sí mismos comunican algo) y usos de objetos que utiliza el hombre primitivo, pues seguramente clasificaba y ordenaba inconscientemente lo que lo rodeaba según sus formas, tamaños y necesidades domésticas. 2.2.-El hombre prehistórico y la geometría “Los dibujos y diseños del hombre neolítico, revelan el interés en las relaciones espaciales que prepararon el camino de desarrollo a la geometría. La alfarería, la cestería y los tejidos muestran en sus obras, ejemplos de simetrías y congruencias que son en esencia, parte de la geometría elemental. Además, ciertas sucesiones sencillas de diseño, como la figura 1.1, sugieren una especie de teoría de grupos aplicada, así también como algunas proposiciones geométricas y aritméticas” (Boyer. p.25). Figura VIII “Sucesión geométrica”. 41.

(42) Otros ejemplos son los que se refieren a tablillas con motivos geométricos y alfarería de 75.000 años de antigüedad y 3.000 años de antigüedad como las que se presentan a continuación.. Figura IX “Motivo geométrico en la alfarería” Se cree también, que el interés del hombre prehistórico por los diseños y las relaciones espaciales puede haber surgido de su sentido estéticoarmónico, sólo por el afán de disfrutar la belleza de la forma; sin embargo, debido a que no existen documentos disponibles que avalen y fundamenten esta creencia de la época prehistórica, no es posible asegurar si estos diseños eran construidos utilizando algún interés por propiedades de las figuras geométricas. 2.3.-Las antiguas civilizaciones La versión de Boyer (2010) con respecto a los orígenes de la geometría, la. toma de historiadores griegos de la época como Heródoto, sitúa sus. orígenes como ciencia, en el antiguo Egipto. Boyer (2010) en su investigación alude a que el estudio de los polígonos y sus propiedades surge de la necesidad práctica del cálculo de área en dicha civilización. En Egipto, el faraón entregaba a sus súbditos terrenos en forma rectangular y sobre el uso de ellos debían tributar con respecto a sus producciones, pero en función del área asignada de dichos terrenos. Cuando 42.

(43) el río Nilo crecía y se desbordaba, borraba los bordes de los terrenos y surgían nuevas formas que debían estudiar para calcular lo que tenían por área y así pagar la superficie utilizada. Es decir, las primeras propiedades exactas de polígonos básicos que surgen en Egipto fueron descubiertas por medio de la experimentación concreta y la búsqueda de relaciones entre figuras, comparándolas con las que ya conocían. Posteriormente en Mesopotamia se estudian propiedades de otros polígonos por medio de la realización de tablillas. donde analizaban. regularidades. Ni los Mesopotámicos, ni los egipcios desarrollaron un edificio matemático teórico. Los principios de la geometría de Egipto, son una serie de principios empíricamente descubiertos referidos a casos concretos. Por otra parte, no hay claridad sobre lo que consideraban como resultados exactos o aproximaciones. Sin embargo, observamos que existía la necesidad de justificar las técnicas y relaciones encontradas en los análisis de carácter práctico y con casos concretos. Esto constituye claramente una construcción de conocimiento, pues es una parte de la epistemología de la construcción de las propiedades de las figuras geométricas. Se cree que en estas civilizaciones prehelénicas no existía la noción de generalidad como la entendemos actualmente. Sin embargo, el hecho de que no se haya conservado ninguna formulación de necesariamente. que. no. existiera. reglas al respecto, no significa en. el. pensamiento. antiguo. una. “generalidad” de dichas reglas o principios. En Egipto las evidencias. muestran procesos de prueba, donde los. “escribas” justificaban los procedimientos utilizados por medio de establecer relaciones y comparaciones con otras figuras geométricas conocidas, desarrollando un tipo de justificación no deductiva. Posteriormente, Tales de Mileto, en Grecia, quien. es considerado el padre de la demostración,. comienza a realizar justificaciones con mayor grado de precisión; las que tenían más bien la función o carácter de convencer, más que demostrar. Fue 43.

(44) aquí, donde la geometría se transforma en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico deductivo. Un punto de interés, lo constituye el hecho de que se cree que los primeros griegos que desarrollaron la geometría como ciencia, tomaron ideas de las culturas mencionadas (Egipto; Mesopotamia). Lo anterior desde el punto de vista epistemológico constituye un hecho de importancia, debido a que las prácticas desarrolladas por las civilizaciones prehelénicas, están presentes en la construcción de estos conocimientos y en la actualidad este tipo de prácticas en el aula, no son bien validadas por carecer del carácter fundamentado en la lógica aristotélica. Estos aspectos encontrados como la búsqueda de regularidades, los argumentos, análisis y justificaciones; que no están basados en la lógica aristotélica y el uso de la figura para el reconocimiento de sus propiedades, permiten fundamentar. un diseño basado en prácticas concretas para la. construcción de los conocimientos en cuestión de esta investigación. En síntesis y con respecto al proceso de prueba, en el análisis epistemológico de la figura de polígono se observa el tránsito entre el estudio de lo informal a lo formal y de lo particular a lo general a medida que transcurre la historia. La geometría desarrollada por las civilizaciones previas a la griega, desarrollaban una geometría informal y menos rigurosa. Los egipcios y mesopotámicos, establecieron relaciones entre figuras, aportaron con las primeras propiedades. Estos desarrollaron un tipo de justificación no deductiva, ya que sus estudios estaban fundamentados en dar respuesta a cuestiones concretas que ocurrían en su diario vivir. Fue en Grecia, donde la geometría se transforma en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico deductivo, porque es aquí donde surge la necesidad del estudio formal de ésta.. 44.

(45) Debían transcurrir muchos siglos, después de egipcios, mesopotámicos y griegos, para que la humanidad se maravillara por los mosaicos árabes; ya sea por su pulcritud, perfección y respeto a su cultura. Estos mosaicos se resistieron a desaparecer en el tiempo y este mismo tiempo transcurrido, nos ha permitido hasta el día de hoy, poder disfrutar de su belleza y comprender lo que geométricamente la conforma.. 2.4.-El mundo Árabe y la Alhambra El reino Nazarita (1238-1492), se corresponde con el último estado islámico de la Península Ibérica y fue el único estado que sobrevivió a la conquista cristiana por alrededor de ocho siglos. Su fundador creó un reino en el extremo sur de Al-Andalus que abarcaba una estrecha franja a lo largo de la costa desde Tarifa (Oeste) hasta más allá de Almería(Este) y desde el Mediterráneo (Sur) hasta un poco más arriba de Granada por el Norte. (Rojo, F. 2015, p 46) El reino de Granada se convirtió en una gran metrópolis con mezquitas, edificios y baños públicos. Destaca en este aspecto “La Alhambra” como uno de los conjuntos monumentales musulmanes medievales más importantes y de mayor atracción que aún existe, por la influencia cultural que ejerció la civilización árabe en la España medieval. A partir del siglo X, el estudio y la aplicación de la geometría cuentan con un desarrollo significativo y si bien, no se cuenta con documentos del legado cultural, se sabe que en matemática estudiaron a Euclides (Rojo, F.et al, p 48). De esta forma, la Geometría fue analizada desde un punto de vista teórico, enriqueciéndose con distintas generalizaciones y estudios críticos. Debido a que la religión musulmana prohíbe la representación de seres humanos y animales, los artistas musulmanes se enfocaron en el desarrollo de formas geométricas. A través de ella se representa la indivisibilidad de Dios. La forma perfecta es el círculo. Se utiliza como patrón que permite 45.

(46) crear otros motivos. La simetría casi perfecta de los mosaicos demuestra que los artesanos musulmanes dominaban la regla y el compás. Un ejemplo de esta habilidad, es lo que se presenta a continuación. Figura X “Mosaicos de los artesanos musulmanes” De la gran diversidad de patrones geométricos utilizados en el arte y decoración islámica, al menos dos elementos son distintivos. En primer lugar, el uso de polígonos estrellados, que normalmente se entrelazan y/o conectan entre sí, aprovechando sus propiedades de simetría. En segundo lugar, la superposición de teselaciones en planos paralelos, las cuales se relacionan y muchas veces confunden. En el caso que de interés, los mosaicos forman parte de la decoración geométrica de la Alhambra; la utilización de polígonos mediante la técnica del “alicatado” permite construir las teselas o baldosas para generar tramas geométricas de importante complicación. Se entiende en este contexto, que mosaico es la composición geométrica decorativa hecha de cerámica, que se utiliza para decorar superficies en la que existe un módulo o patrón que se repite en distintas direcciones. A ésta se le denominó “azulejo” (de forma rectangular o cuadrada). En la decoración de la Alhambra podemos encontrar los 17 grupos de simetría del plano como se muestra a continuación en la figura XI. 46.

(47) Figura XI “Los diecisiete grupos de simetría de la Alhambra” Un “alicatado”, es una pieza derivada de un azulejo cuadrado o rectangular, que generalmente se transforma en un polígono cóncavo cuyos lados pueden ser rectos o curvos, obtenidos mediante el principio de conservación de la superficie pero no de la forma, por movimientos de rotación y traslación del azulejo base. Uno de los más característicos es el que se presenta a continuación en la figura XII.. 47.

(48) Figura XII” Polígonos Nazaritas “5. Para explicar estas teselaciones y construcción de teselas, conservando la superficie pero no. la forma, se detalla a continuación cómo se. configuraron en la Alhambra.. “El hueso”, se obtenía mediante un alicatado del cuadrado original. Las partes que se alicatan de los dos lados del cuadrado se trasladan y rotan en los lados adyacentes de él.. “La pajarita nazarí”, la construían mediante el mismo proceso de alicatado del cuadrado pero en este caso, de un triángulo equilátero.. 5. “Polígonos Nazaritas. Geometría Nazarí de la Alhambra, 1990, p.17”. 48.

(49) “El pétalo”, lo construían mediante el alicatado de un rombo. “El pez volador”, lo construían mediante el alicatado de un cuadrado, traslaciones y rotaciones. “El sello de Salomón”, o lazo hispano-musulmán lo construían mediante otra técnica bastante frecuente y más elaborada que es el solapamiento de cuadrados que da origen a este tipo de mosaicos. Rojo (2010) señala que: “En términos específicos, se considera en este caso, la simetría como un conjunto de transformaciones isométricas que dejan invariante globalmente a un objeto matemático”.. 49.