UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
FACULTAD DE INGENIERÍA
INSTITUTO DE CIENCIAS BASICAS
Álgebra Lineal
Ejercicios
Matrices y Sistemas de ecuaciones lineales
1. La siguiente figura muestra las rutas de una línea aérea internacional que une cinco ciudades. Una línea que une dos ciudades indica que existe un vuelo directo entre ellas.
Esta información se puede representar mediante una matriz A =(aij)dada por:
=
j y i ciudades las
entre directo vuelo
existe no si 0
j y i ciudades las
entre directo vuelo
hay si
1 aij
Calcule A y compruebe que la entrada ij de 2 A representa el número de rutas con 2 una escala entre las ciudades i y j.
2. Escriba por extensión las matrices A=(aij) de orden 3 definidas como sigue y luego calcule sus respectivas trazas.
, j i 2
aij = − aij =mín{i, j}
≠ = −
=
j i si i 2
j i si 3 aij
3. Calcule la traza de A =(aij) y B=(bij) matrices de orden n definidas por:
, j 3 i 5
aij = −
≠ = +
=
j i si j
j i si j i b
2 ij
4. Resuelva la relación matricial en x, y, z, v, =
− +
+ −
6 7
1 8 v 4 x 2 x v 3
z y y x
5. Dadas matrices
− − =
5 2 0
1 3 2
A ,
− − =
1 3
0 2
4 1
B y
− − − =
4 3
1 1
C , determine
C ) B A 2
( − t t y la matriz X que satisface 2(AB −X)t = C2.
6. Considere las matrices
0 0
1 p D , 6 1
2 5 C , 3 1 0
0 1 B , z 3 2
3 y
A
−
=
− =
=
− −
= ,
A B
C
D
(
) (
)
− − ⋅ + +
− +
=
p 1 p 1 p p p
1 p 1
p
E 2 . Sabiendo que A·B = Ct y calculando previamente el
valor de y, z, determine la matriz X en términos de p tal que
X D E 2
z 3 y
4 z 4 y 2 1
⋅ =
−
− −
− −
.
7. Considerando las matrices:
− − =
− − =
1 2
2 1 B y 1 0 2
2 3 1
A , determine:
a) los valores de a, b y c de modo que
(
B A)
t c0 b 3
0 a
⋅ =
− .
b) usando los valores de a, b, c calculados anteriormente, obtenga la matriz X que satisface:
t Xt 2 B I2
4 c a 5
2 b 5 A A
2 = ⋅ ⋅
−
− +
− + ⋅
⋅ ; donde I2 es la matriz identidad.
8. Si
− =
1 2 1
2 1 1
3 1 2
A , muestre que A3−2A2−9A=0 pero que A2 −2A−9I3 ≠0.
9. Considere A =
−1 3
2 2
. a) Si f(x) =x3−3x2−2x+4, obtenga f (A).
b) Si g(x)=x2−x−f(x), obtenga g (A).
10. Determine la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) La suma de matrices diagonales es una matriz diagonal b) La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica
c) La suma de matrices antisimétricas es una matriz antisimétrica d) El producto de matrices diagonales es una matriz diagonal e) El producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica
11. Considere las matrices
−
− =
1 1
1 1
A y
−
− =
3 0 1
2 1 2
B para verificar que
AB
Bt es simétrica. Suponga que A es una matriz simétrica cualquiera y que B es una matriz tal que BtAB está definida para demostrar que BtAB es simétrica.
12. Suponga que A,B∈Mn(ℜ) conmutan y son tales que A es simétrica y B es antisimétrica. Demuestre que A·B es antisimétrica.
13. Si A es una matriz antisimétrica, demuestre que A es simétrica. Si A es una 2 matriz simétrica, ¿qué puede decir de A ? 2
14. Demuestre que ∀A∈Mn(ℜ), la matriz (A A ) 2
1 t
+ es simétrica y la matriz
) A A ( 2
1 t
− es antisimétrica. Use estos resultados para demostrar que toda matriz
cuadrada A se puede escribir como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.
15. Encuentre la forma característica que tienen todas las matrices que conmutan con la
matriz
−
=
2 1
1 2
A .
16. Demuestre que si A es una matriz de orden n, A2 =I ⇔ (I - A) (I + A) = 0.
17. Considere e1 = ( 1 0 0 ) , e2 = ( 0 1 0 ) , e3 = ( 0 0 1 ) y
=
7 1 1
1 0 2
5 1 3
A .
a) Determine ei ·A, para i variando de 1 a 3.
b) Si A es una matriz cualquiera de orden 3, describa e1 ·A.
c) Generalice la situación observada para el caso en que A∈Mn(ℜ)
18. Si
=
2 1
7 5
A ,
− − =
3 8
1 3
B y
− =
2 1
4 1
C , resuelva para X la ecuación
AXB = C.
19. Sea A =
4 1
4 3
2 1
20. Resuelva para X e Y el sistema
= −
= +
B 2 Y 2 X
A Y X
t
t t
con A, B ∈Mn(ℜ)
21. Si
=
a 0
1 a
A , con a∈ℜ, demuestre que
= ∈
∀ n n nn−1
a 0
na a A , IN
n
22. Considere la matriz
=
1 0 0
1 1 0
1 1 1
M para determinar M2,M3 y Mk, con k∈IN.
Determine además
∑
=
= n
1 k
k n M
S .
23. Sea
=
1 0 1
0 0 0
1 0 1
A ; demuestre que ∀n∈IN, An =2n−1A.
24. Demuestre que ∀a∈ℜ, la matriz
− −
+ =
a a 1
a 1 a
A es invertible y que A−1 =A.
25. Se dice que A∈Mn(κ) es involutiva si A2 =In, que es idempotente si A2 =A y que es ortogonal si AAt =In. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) Si A es involutiva y ortogonal, entonces A es simétrica
b) Si A es simétrica e involutiva, entonces A es ortogonal c) Si A es simétrica y ortogonal, entonces A es involutiva d) Si A es idempotente, entonces 2A−In es involutiva
26. Considere el polinomio p(x)=x3−x2 −5x+5 y la matriz
− =
1 0 0
0 1 2
0 2 1
A para
verificar que p(A)=A3−A2−5A+5I3 =0. Use este hecho para demostrar que A es invertible y para calcular A−1.
28. Demuestre que si A∈Mn(κ) es invertible, entonces a) A·X = A·B ⇒ X = B
b) A·B = B·A ⇒ A-1·B = B·A-1.
29. Si A∈Mn(κ) es una matriz idempotente, demuestre que 2A – I es invertible y que su inversa es ella misma
30. Sean
− =
0 1
2 2
1 1
A y
− =
4 4
1 3
B . ¿Existe una matriz C tal que CA = B? Si
existe, determínela.
31. Sean A, B, C∈Mn(κ) tales que B y C conmutan, C2 =0 y A = B + C. Demuestre que
a) CBn =BnC, ∀n∈IN
b) An+1=Bn(B+(n+1)C), ∀n∈IN
32. Encuentre la matriz escalonada reducida por filas equivalente a:
a)
−
2 4 3
0 2 1
1 1 1
b)
−
2 4 3
0 2 1
1 1 1
c)
− −
− −
2 1 1 0
1 7 5 2
0 4 3 1
d)
−
− − −
−
7 1 4 1
8 2 1 3
4 1 2 2
3 3 0 1
33. Determine el rango de cada una de las matrices del ejercicio anterior.
34. Encuentre todos los valores de k∈ℜ de modo que el rango de la matriz M sea 3, si
− −
− =
1 2 1 k
0 1 1 3
1 3 2 2 M
35. Analice el rango de la matriz
− −
− − =
3 4 0 1
0 2 3 a
3 1 2 3
1 0 1 1
36. Encuentre todos los valores de k∈ℜ de modo que las matrices A y B tengan un rango mínimo.
A =
3 4 2 2
3 17 7 1
1 10 4 k
4 1 1 3
y B =
− −
−
1 6 10 1
5 k 1 2
2 1 k 1
.
37. Determine las condiciones que debe cumplir h y k para que el rango de la matriz A
sea dos, si
− + −
− =
1 1
0
2 h 1 k 0
2 k 2 0
2 0
1
A
38. Calcule la inversa de las siguientes matrices usando operaciones elementales fila:
a)
− − −
1 0 0
1 2 0
1 5 3
b)
2 2 3
1 1 2
0 1 1
c)
−1 2 0
1 4 2
1 3 1
d)
− −
−
1 1 1 0
1 0 0 1
0 0 1 1
0 2 0 0
39. ¿Para cuáles valores de k∈ℜ la matriz
− −
− − −
=
1 5 3
0 3 k
1 k 1
A es invertible?
40. Calcule la inversa de la matriz A=(aij), de orden 4, definida por: para a∈ℜ,
+ = −
= =
otros si
0
1 i j si a
j i si 1
aij
41. Resuelva para X la ecuación matricial t A2 2 1 B
AX− = si
− − =
4 5
2 2
A y
− − =
6 8
2 4
42. Resuelva para X la ecuación (AX−1B)t =AB, donde
=
0 1 3
2 1 0
1 1 1
A y
=
0 1 1
0 2 1
1 0 0
B .
43. Mediante un modelo matemático el departamento de adquisiciones controla el stock H de tres artículos. El procedimiento consiste en ingresar diariamente las cantidades vendidas, las cantidades cotizadas por los clientes y el número de artículos defectuosos
(actualización). Sabiendo que en cierto día la matriz de actualización es:
A =
1 1 1
1 2 0
1 0 2
, calcule el stock H mediante la ecuación: ( 3·I3 − A)·H + Bt = C·H, en
donde B = [ 30 28 42 ] y C = 2·I3.
44. Considere las matrices
− =
1 0 2
1 1 1
A y
−
=
2 1
1 0
1 1
B para obtener la matriz X tal
que XtAB=BtAt. ¿Es BA invertible?
45. Resuelva para X e Y el sistema
= −
= +
− 0
B Y X
B Y
X A 2
1 t t
t t
si A, B ∈Mn(ℜ).
46. Sea
=
1 1
2 1
1 1
X ; determine si la matriz A = I−X(XtX)−1Xt es idempotente.
¿Cuál es el rango de A?
47. Para k∈ℜ, se define
−
= −
1 0 0
1 k
k 0 1 A
2 k k
2
. Demuestre que ∀k∈ℜ, Ak es
invertible y calcule Ak−1. Además demuestre que ∀p,q∈ℜ, Ap+Aq =Ap+q.
49. En cada caso, determine si las siguientes matrices admiten una factorización LU. En caso afirmativo, encuentre una factorización para cada una de ellas:
a) 3 2 4 1 b) − 3 6 5 1 c) − 5 2 3 3 1 2 6 4 1 d) − − 2 1 0 1 6 3 3 4 2 e) − − 5 6 4 8 3 6 2 9 3 f) − − − 4 6 1 1 4 1 3 2 8 5 1 0 4 1 2 1
50. En cada caso, escriba la ecuación matricial AX = B que representa a los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
= + − + = − + − 7 x 4 x x 3 x 2 1 x 2 x 5 x x 4 3 2 1 4 3 2 1 = + − − = − = + 10 y 6 x 3 y 5 x 2 5 y x
51. Encuentre todas las soluciones de los siguientes sistemas homogéneos:
52. Determine el o los valores de k∈ℜ de modo que el sistema AX = 0 tenga
soluciones no triviales si
− − − = 1 7 3 k 4 2 1 1 1 A
53. ¿Para cuáles valores de a∈ℜ, el sistema AX = 0, con
− − − = a 1 2 1 1 4 3 2 1
A tiene
solución única?
54. Analice las soluciones del sistema = + + = + + = + + 0 x x ax 0 x ax x 0 ax x x 3 2 1 3 2 1 3 2 1
dependiendo de los
valores de a∈ℜ.
55. Sea
− − = 2 0 a a 1 1 a 1 1 a 1 1
A con a∈ℜ. Demuestre que por lo menos para un valor
de a∈ℜ, el sistema AX = 0 tiene infinitas soluciones que se expresan en términos de dos parámetros.
56. Resuelva los siguientes sistemas cuando ellos sean compatibles:
57. Determine el o los valores que debe alcanzar k∈ℜ de manera que el sistema
= −
− +
= +
−
− = +
−
0 x
) 1 k ( x 3 x
1 x
3 x 5 x 2
1 k x
2 kx x 3
3 2
1
3 2 1
3 2 1
sea compatible.
58. Determine el o los valores que debe alcanzar k∈ℜ de modo que el sistema
− = −
+
= +
− −
= −
−
1 x
) k 1 ( x 2
5 x
3 x ) k 1 ( x 4
1 x
2 x ) k 5 (
3 1
3 2 1
3 1
tenga solución única.
59. Determine el o los valores que debe alcanzar c∈ℜ de modo que el sistema
= −
+ +
= +
+ +
= + +
0 z
) 1 c ( cy x
1 z
) 1 c ( y cx
c z
y 2 x
sea incompatible.
60. Determine los valores de k∈ℜ de modo que el sistema:
= + +
= + +
= − +
2 z
3 ky x
3 kz
y 3 x 2
1 z
y x
a) No tenga solución. b) Tenga solución única.
c) Tenga solución con más de un elemento
61. Analice la compatibilidad y las soluciones de los siguientes sistemas de acuerdo a los valores que tomen las constantes reales que aparecen.
a)
λ = λ + +
λ = + λ +
= + + λ
2
z y x
z y x
1 z
y x
b)
= −
= −
+
= + −
c x
x
b x
3 x 2 x
a x
x 3 x 2
3 1
3 2 1
3 2 1
c)
= −
+ +
= +
+ +
= + +
0 x
) 1 a ( ax x
1 x
) 1 a ( x ax
a x
x 2 x
3 2
1
3 2
1
3 2 1
d)
− = −
= +
= −
− + = +
b 2 a 5 y
13 x 5
b y
x
a y
7 x 3
1 b a y
e) = + + + − = + + + − = + + + a x ) 1 a ( x x 2 x x ) 1 a ( x a 2 x x x ) 1 a ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 f) = + + = + = + + m x mx x 2 1 x x m mx x x 2 3 2 1 3 1 3 2 1
62. En cada caso, resuelva el sistema AX = B usando una factorización LU para la matriz A: a) − = = 4 2 B 3 2 4 1
A b)
− = = 4 1 B 3 0 2 1 A c) A= − 5 2 3 3 1 2 6 4 1 B= − 2 7 1 d) A= 6 1 2 5 3 4 7 1 2 B= 1 1 6 e) A= − − − − 5 1 8 2 0 6 2 1 2 B= 4 0 1 f) − − − − = 2 5 4 0 0 2 5 2 1 2 7 4 6 1 3 2 A = 4 0 0 1 B
63. Resuelva el sistema AX = B usando la factorización LU dada para la matriz A:
a) A=
− − − − 0 4 6 1 5 3 2 7 3 B= − 2 5 7 − − − − − − − = 1 0 0 1 2 0 2 7 3 1 5 2 0 1 1 0 0 1 A
b) A=
− − − − 8 6 8 7 5 4 5 3 4 B= − 6 4 2 − − − = 2 0 0 2 2 0 5 3 4 1 0 2 0 1 1 0 0 1 A
64. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando descomposición LU:
65. Un empresario tiene tres máquinas que son empleadas en la fabricación de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estas estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas que cada máquina es usada en la producción de una unidad de cada uno de los cuatro productos está dado por
Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Prod. 4
Máq. 1 1 2 1 2
Máq. 2 2 0 1 1
Máq. 3 1 2 3 0
¿Cuántas unidades de cada producto se deben producir en un día bajo el supuesto que cada máquina se usa diariamente durante 8 horas?
66. Un dietista quiere combinar los alimentos A, B y C de manera que la mezcla obtenida contenga 900 unidades de vitaminas, 750 unidades de minerales y 350 unidades de grasa. En la siguiente tabla se indican las unidades de vitaminas, minerales y grasa contenidas en cada gramo de los tres alimentos
Vitaminas Minerales Grasa
1 gr. A 35 u 15 u 10 u
1 gr. B 10 u 20 u 10 u
1 gr. C 20 u 15 u 5 u
¿Cuántos gramos de cada alimento se deben emplear para obtener la mezcla requerida?
67. Dos productos A y B compite. Las demandas xA y xB de estos productos están relacionadas con sus precios pA y pB mediante las ecuaciones de demanda:
A A B B B pA
2 1 p 3 20 x y p
2 1 p 2 17
x = − + = − +
Las ecuaciones de oferta son: A A B B B xA
4 1 x 2 1 2 p y x
3 1 x 2
p = + + = + +
que indican los precios a los cuales las cantidades xA y xB estarán disponibles en el mercado. Calcule los valores de equilibrio de xA, xB, pA y pB
4 3 2 2 3 5 E
10 8 8 6 5 4 E
8 8 8 8 6 3 E
30 25 28 24 22 2 E
20 15 15 12 9 1 E
5 P 4 P 3 P 2 P 1 P
Respuestas a los ejercicios impares
1.
=
2 1 1 1 2
1 4 2 1 2
1 2 3 2 1
1 1 2 2 1
2 2 1 1 3
A2
3. tr(A) = n(n+1), tr(B) = n(n+1)(n+2)/ 3
5.
− − − = −
43 34
20 8
13 15 C
) B A 2
( t t ,
= −
2 23 2 29
2 33 12 X
7. a) a = -3, b = 6, c = 3. b)
=
3 4
4 14 X
9.
− − =
16 12
8 4 )
A (
f ;
− − =
16 12
8 12 ) A (
g
11.
− −
− − =
25 5 15
5 1 3
15 3
9 B
13. Si A es simétrica, A también lo es. 2 15. La forma es
−b a b a
con a, b∈ℜ
17. a) e1⋅A= (3 1 5 ), e2⋅A= (2 0 1), e3⋅A= (1 1 7) b) e1⋅A corresponde a la matriz formada por la primera fila de A.
c) ei ⋅A corresponde a la matriz formada por la i-ésima fila de la matriz A.
19. Las matrices B son las de la forma ∈ℜ
− −
+ −
−
= , con x, y
y y
y 4
x 1 x x 4 2 B
2 1 2
3 21. Indicación: use inducción matemática. 23. Indicación: use inducción matemática. 25. Todas son verdaderas.
27. Indicación: use inducción matemática. 29. Indicación: multiplique (2A – I) (2A - I) 31. Indicación: use inducción matemática. 33. a) 3 b) 3 c) 3 d) 3
35.
{ }
ℜ ∈
= =
20 -a si 4
20 -a si 3 rango(A)
41.
=
24 21 11 X
2 29
43.
=
16 28 14 H
45. X=(2At +Bt)−1Bt, Y=Bt(2At +Bt)−1Bt 47. Para todo k, rango de A es 3.
49. a) Sí b) Sí c) Sí d) No e) Sí f) Sí 51. a) (-1, -2, 1)λ, λ∈ℜ b) (0, 0, 0)
c) (0, 0, 0) d) (0, 0, 0) e) (4,4,2,0)λ+(−1,−1,0,1)µ; λ,µ∈ℜ f) (0, 0, 0)
53.
{ }
3 5 a∈ℜ−
55. Si a = 1, las infinitas soluciones se expresan en términos de dos parámetros. 57. k∈ℜ−
{ }
559. c = 0 o c = 2
61. a) Para todo λ∈ℜ−
{
1,−2}
existe solución única ( , , 2 ) ) 1 ( 2 1 21 2
+ λ+ λ + λ + λλ+
−
Si λ=1, existen múltiples soluciones: (-1, 1, 0)a+(-1, 0, 1)b+(1, 0, 0); a, b ∈ℜ Si λ= −2 el sistema es incompatible.
b) Sistema compatible si y sólo si 2a + 3b – 7c = 0. En este caso las soluciones son múltiples y se expresan así: (1, 1, 1)λ+(c, − ,0), λ∈ℜ
3 a c
2
c) Solución única ( , , ), a {0, 2}
) 2 a ( a 2
2 a 2 a ) 2 a ( a 2
2 a 2 a 2 a ) 2 a ( a 2
2 a 2
a3 3 2 3 ∀ ∈ℜ−
−+ −
− +
− − −− +
d) Sistema compatible si y sólo si a = 2 y b = 4. En este caso la solución es (3, 1) e) Sistema con solución única ( , ,1), a {0, 3}
a 2 a
a
2− − ∀ ∈ℜ− −
f) Sistema con solución única ( , , ), m {1}
1 m
2 m 1 m
2 m 1 m
1 ∀ ∈ℜ −
− − − −
− . Si m = 1,
existen infinitas soluciones que se escriben (−1,1,1)λ+(1,1,0),λ∈ℜ
63. a)
− =
6 4 3
X b)
=
1 2 X
4 1
65. Fabricar 3, 1, 1, 1 de los productos 1, 2, 3, 4 respectivamente, suponiendo que se produce por lo menos un artículo de cada tipo. También es solución producir 4 prod 1 y 2 prod 2. Y también es factible producir 2 prod 1, 2 prod 3 y 2 prod 4.
