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DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

Un triángulo es un polígono de tres vértices. Tiene tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Si los vértices son A, B y C lo denotamos ABC .

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS LADOS

Un triángulo es:

ESCALENO: Si tiene sus tres lados desiguales.

ISÓSCELES: Si tiene por lo menos un par de lados congruentes. Si AB AC entonces se dice que el ABC es isósceles de base BC.

EQUILÁTERO: Si tiene sus tres lados congruentes.

CLASIFICACIÓN SEGÚN SUS ÁNGULOS

Un triángulo es:

ACUTÁNGULO: Si tiene los tres ángulos agudos.

RECTÁNGULO: Si tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y los lados que lo forman son los catetos.

OBTUSÁNGULO: Si tiene un ángulo obtuso.

EQUIÁNGULO: Si tiene los tres ángulos congruentes.

TEOREMA: Todo triángulo equilátero es isósceles. (Ejercicio). El recíproco es falso.

LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

MEDIANA: Es el segmento que une un vértice con el punto medio M de su lado opuesto, por ejemplo AM.

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto o a su prolongación, por ejemplo AH . El lado BC es la base relativa a dicha altura.

BISECTRIZ INTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo interior, por ejemplo AD .

BISECTRIZ EXTERIOR: Es la bisectriz de un ángulo exterior, por ejemplo



AE

MEDIATRIZ: Es la perpendicular que pasa por el punto medio M de un lado, por ejemplo

MN  .

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes y sus tres ángulos respectivamente congruentes:

AB DE _{A D}

ABC DEF BC EF B E

C F AC DF

   _{   }

 

   

          

 _  _{  } 

 

 

 

Dos elementos respectivamente congruentes son homólogos. Escribiremos: LsHs (Lados Homólogos) y sHs (Ángulos Homólogos).

TEOREMA: La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia:

1. Reflexiva: ABCABC

2. Simétrica: ABCDEF DEFABC 3. Transitiva:

ABCDEFDEFGHIABCGHI

NOTA: La transitividad será muy útil para probar que dos triángulos son congruentes.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE S

CRITERIO L.A.L.

AXIOMA: Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo congruente formado por lados respectivamente congruentes.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes.

2. Todo triángulo equilátero es equiángulo. (Ejercicio)

3. En todo triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base también es mediana, altura y mediatriz con respecto a la base.

4. Por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a ella.

5. En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los dos ángulos interiores no adyacentes.

6. Todo triángulo tiene por lo menos dos ángulos agudos. (Ejercicio)

Dm:

1. Supongamos que el ABC es isósceles de base BC y tracemos la bisectriz AD del BAC, con B-D-C.

Tenemos:

L : AB AC hip. A : BAD CAD const. L : AD AD reflex.



 

 _{  } 

 

 _ 

 

, luego

por el axioma LAL, ABDACD, y por ángulos homólogos resulta B = C.

4. Debemos probar tanto la existencia como la unicidad de dicha perpendicular.

Existencia: Sea A un punto exterior a la recta L. Tomemos dos

puntos B y C sobre L y

tracemos AB.

Construyamos el CBD tal que BD=BA y CBDCBA, con D en el semiplano opuesto de A con respecto a L .

Tracemos AD que corta a L en el punto E. Por

construcción el ABD es isósceles y BEes bisectriz del ABD, luego BE es altura sobre

AD y en definitiva



AD

Unicidad: Supongamos que existe otro punto F sobre la recta L tal

que AF L, luego

AFB =90º.

Tracemos FD. Por LAL, ABFDBF, luego AFBDFB, (sHs) y entonces también DFB = 90º.

Sumando resulta AFD = 180º y por lo tanto A, F y D son colineales. Luego E y F coinciden porque las rectas



AD

en común.

5. En el ABC consideremos el ángulo exterior DAC y veamos que DAC BCA.

Tracemos la mediana BM y prolonguémosla hasta F de modo que BM=MF. Tracemos AF. Por LAL resulta AMFCMB, luego FACBCA, (sHs).

Pero



AF

FAC DAC 

 y por lo tanto DAC BCA.

CRITERIO A.L.A.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos ángulos y el lado común a ellos.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que BE, BC=EF y CF.

COROLARIOS:

1. Si un triángulo tiene dos ángulos congruentes entonces es isósceles.

2. Todo triángulo equiángulo es equilátero. (Ejercicio)

Dm: 1. Consideremos el ABC tal que BC. Tracemos las bisectrices

BD y CE, tales que A-D-C y A-E-B. Por el teorema ALA resulta BCDCBE luego BD=CE (LsHs), y BDCCEB (sHs), y por suplementos BDACEA. Por el teorema ALA se obtiene BDACEA luego AB=AC (LsHs).

CRITERIO L.L.L.

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente congruentes.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, BC=EF y AC=DF. Construyamos FEGCBA con G en el semiplano opuesto de D y EG=BA y tracemos DG. Por el axioma LAL se obtiene ABCGEF, luego AC=GF (LsHs) y BACEGF (sHs).

En resumen se tiene ED=EG y FD=FG y se forman los triángulos isósceles EDG y FDG, entonces EDGEGD y FDGFGD. Sumando EDFEGF y por transitividad BACEDF. En definitiva, por el axioma LAL se obtiene ABCDEF.

CRITERIO A1 A2 L1

TEOREMA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado opuesto a uno de ellos congruente.

Dm: Consideremos ABC y DEF tales que BE, CF y AB=DE. Tomemos sobre la semirrecta BC el punto G con BG=EF y tracemos AG . Por el axioma LAL se obtiene ABGDEF, luego AGBDFE (sHs), pero DFEACB entonces AGBACB (*).

Debemos probar que G coincide con C. Si no coinciden entonces G precede a C ó C precede a G. Si G precede a C entonces en el AGC se tiene AGBACB (exterior), lo que contradice (*). En forma similar se obtiene una contradicción cuando C precede a G. En definitiva G y C tienen que coincidir, luego BC=EF y por el axioma LAL se obtiene ABCDEF.

CONGRUENCIA DE s RECTÁNGULOS

TEOREMA: Dos triángulos rectángulos son congruentes si satisfacen alguna de las siguientes condiciones:

1. RCC: Si tienen respectivamente congruentes los dos catetos.

3. RCAop: Si tienen respectivamente congruentes un cateto y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto.

4. RHA: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo.

5. RHC: Si tienen respectivamente congruentes la hipotenusa y un cateto. (Ejercicio)

Dm:

1. Por el axioma LAL 2. Por el teorema ALA 3. Por el teorema A1 A2 L1

4. Por el teorema A1 A2 L1

CONGRUENCIA DE LAS LÍNEAS NOTABLES HOMÓLOGAS

TEOREMA: Si dos triángulos son congruentes entonces las medianas, las alturas y las bisectrices respectivamente homólogas son congruentes. (Ejercicio)

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO ISÓSCELES

TEOREMA:

1. Un triángulo es isósceles si y sólo si tiene dos ángulos congruentes.

2. En todo triángulo isósceles la mediana, la altura, la mediatriz (con respecto a su base) y la bisectriz del ángulo opuesto, coinciden y recíprocamente. (Ejercicio)

3. Todo triángulo isósceles tiene respectivamente congruentes dos alturas, dos medianas y dos bisectrices. (Ejercicio)

DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces al mayor de dichos lados se opone un ángulo mayor y recíprocamente.

Dm:

[] Supongamos que en el ABC AC AB. Tomemos D sobre AC con AD=AB y tracemos BD.

Resulta el ABD isósceles y ABDADB. Como BD es interior al ABC entonces ABC ABD luego

ABC ADB

   . Además ADB  DCB (por exterior en el DBC), y por transitividad

ABC DCB

   , es decir, en el ABC se obtiene que BC.

[] Supongamos que en el ABC BC(*) y probemos que AC AB. Supongamos que

AB

AC  ó AC=AB. Si AC AB entonces por la primera implicación se obtiene BC lo que contradice (*). Si AC=AB entonces el ABC es isósceles y resulta B=C que también contradice (*). En definitiva se debe cumplir que AC AB.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos. (Ejercicio)

DESIGUALDAD TRIANGULAR

TEOREMA: En todo triángulo cada lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que el valor absoluto la diferencia entre ellos.

Dm: En el ABC tomemos D sobre la prolongación de BA tal que AD=AC y tracemos DC y obtenemos el ADC isósceles con _ADC=ACD y como CA es interior al BCD resulta ACDBCD luego

BCD ADC 

 y en el DBC se obtiene C

D 

 , luego BC BDBAAC, es decir BC

AB

BC   . De un modo similar se prueba que AC ABBC y que ABACBC.

De las dos últimas desigualdades se obtiene AB

AC

BC   y BC ABAC entonces AC

AB

BC   .

COROLARIOS:

1. El camino más “corto” entre dos puntos es el segmento que los tiene por extremos. (Ejercicio)

2. Toda poligonal abierta convexa es menor que cualesquiera otra poligonal abierta envolvente que tenga sus mismos extremos. (Ejercicio)

3. Para que un triángulo exista dados sus tres lados, es suficiente que el lado mayor sea menor que la suma de los otros dos. (Ejercicio)

TEOREMA DE LA BISAGRA: Si dos triángulos tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido desigual entonces al mayor ángulo comprendido se opone un mayor tercer lado y recíprocamente.

Dm:

[] Consideremos ABC y DEF tales que AB=DE, AC=DF y   A D y probemos que

EF BC  .

Tracemos AG en el interior del BAC tal que BAGEDF y AG=DF; tracemos el segmento BG. Por el axioma LAL resulta BAGEDF, luego BG=EF (LsHs). Tracemos AR bisectriz del GAC con B–R-C y tracemos RG. Por el axioma LAL se obtiene GARCAR, luego RG=RC (LsHs). Además en el BRG se tiene

RG BR

BG   , luego EFBRRG, por lo tanto EFBC.

PERPENDICULARES Y OBLICUAS

TEOREMA: Si desde un punto exterior a una recta se trazan el segmento perpendicular a la recta y segmentos oblicuos a ella, con el otro extremo sobre la recta, entonces:

1. El segmento perpendicular es menor que cualesquiera de los segmentos oblicuos. (Ejercicio)

2. Dos segmentos oblicuos son congruentes sii sus pies equidistan del pie de la perpendicular. (Ejercicio)

3. Entre dos segmentos oblicuos aquel que tenga su pie más cercano del pie de la perpendicular es menor y recíprocamente.

Dm:

3. [] Sean AHL, AB y AC oblicuas tales

que HBHC y probemos que AB AC

Si HBHC entonces existe un punto D, tal que D-H-C y HDHB. Tracemos AD y entonces los pies de las oblicuas AB y AD equidistan del pie de la perpendicular y por lo tanto AB=AD, luego el ABD es isósceles con ABD=ADB.

Además el ADB ACD (ext. al ADC), luego ADB ACD , es decir, en el ABC se tiene que BC, luego AC AB.

[] (Ejercicio)

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Se llama “Distancia de un punto P a una recta L"”, y se denota por “d(P;L)”, a la

medida del segmento PQL, QL.

Si el punto P es interior a la recta L entonces

la distancia es cero.

La distancia de un punto a una semirrecta o a un segmento es la distancia del punto a la recta que contiene a la semirrecta o al segmento.

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

Una figura F es el lugar geométrico de una

propiedad P si está formada por todos los

puntos que cumplen la propiedad P y solamente

por ellos, es decir, F es el lugar geométrico de P si se cumple que:

1. (X) ( X F X cumple P)

2. (X) ( X cumple P X F)

LA MEDIATRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

Dm: [] Sea M la mediatriz de AB,

entonces M es perpendicular a AB en su punto

medio C. Sea XM, como AC=CB, los pies de

las oblicuas XA y XB equidistan del pie de la perpendicular entonces XA=XB.

COROLARIO: En un plano, si dos puntos equidistan de los extremos de un segmento entonces la recta que ellos determinan es la mediatriz del segmento. (Ejercicio)

** Este corolario será muy útil para realizar la construcción de perpendiculares.

LA BISECTRIZ COMO LG

TEOREMA: En un plano, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del interior del ángulo que equidistan de los lados del ángulo.

Dm: [] Ejercicio

[] Supongamos que un punto P en el interior del AOB equidista de los lados OA y OB, es decir PQ=PR con PQ OA Y PR OB .

Luego por RHC resulta QOPROP y entonces AOP=BOP (sHs) y por lo tanto

OPes la bisectriz del AOB.

COROLARIO: Si un punto del interior de un ángulo, equidista de los lados del ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo.

CONSTRUCCIONES BÁSICAS

1. Trazar la mediatriz de un segmento. 2. Trazar la perpendicular a una recta por un

punto interior a ella.

3. Trazar la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.

4. Construir un ángulo congruente con un ángulo dado.

5. Trazar la bisectriz de un ángulo con vértice dado.

6. Construir un triángulo dados dos lados y el ángulo formado por ellos.

7. Construir un triángulo dados dos ángulos y el lado adyacente a ambos.

8. Construir un triángulo dados sus tres lados.

9. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un ángulo agudo.

10. Construir un triángulo rectángulo dados la hipotenusa y un cateto.

11. Construir un triángulo dados dos de sus lados y la mediana relativa al tercer lado. 12. Construir un triángulo dados dos de sus