Universidad Nacional Aut´
onoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de F´ısica
Obtenci´
on de errores y an´
alisis de datos experimentales
Introducci´on
Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisi´on inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la informaci´on. El principal objetivo de la denominada teor´ıa de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experi-mentales. Dado que el valor de las magnitudes f´ısicas se obtiene experimentalmente por la medida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con el problema mediante una f´ormula f´ısica) debe admitirse como postulado f´ısico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparaci´on con el patr´on correspondiente en las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la pr´actica el valor “cierto” o “exacto”de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los l´ımites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.
Clasificaci´on de los errores
El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimen-talmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen est´a en m´ultiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistem´aticos y errores accidentales.
1. Error sistem´atico
Se denominaerror sistem´atico a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables pueden ser las siguientes:
a) Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo; el error de calibrado es de ´este tipo.
c) Error de la elecci´on del m´etodo. Corresponde a una elecci´on inadecuada del m´etodo de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el m´etodo de medida.
2. Error accidental
Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las peque˜nas varia-ciones que aparecen entre observavaria-ciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medici´on a otra, y no presentan m´as que por azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un observador.
Los errores accidentales son en su mayor´ıa de magnitud muy peque˜na y para un gran n´umero de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores m´as concordantes con el real, si se emplean m´etodos estad´ısticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor m´as probable en un conjunto de mediciones.
Conceptos de exactitud, precisi´on y sensibilidad
En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a definir exactitud, precisi´on, y sensibilidad.
Laexactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el expe-rimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con ´el son todas muy pr´oximas al valor “verdadero”de la magnitud medida.
Laprecisi´on hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma mag-nitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato ser´a preciso cuan do la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sea muy peque˜na. La exactitud implica normalmente precisi´on, pero la afirmaci´on inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sis-tem´aticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es m´as f´acil conocer la precisi´on de un aparato que su exactitud.
Lasensibilidad de un aparato est´a relacionada con el valor m´ınimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5mgsignifica que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviaci´on. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la divisi´on m´as peque˜na de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo err´oneo, se toman como id´enticos los conceptos de precisi´on y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos diferentes.
Si medimos una cierta magnitud f´ısica cuyo valor “verdadero” esx0, obteniendo un valor de la medida x, llamaremoserror absoluto en dicha medida, a la diferencia:
∆x=x−x0 Donde en general se supone que |∆x| |x0|
El error absoluto nos da una medida de la desviaci´on, en t´erminos absolutos respecto al valor ”verdadero”. No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviaci´on. Para tal fin, se usa el error relativo. Elerror relativose define como el cociente entre el error absoluto y el valor “verdadero”:
= ∆x
x0
En forma porcentual se expresar´a multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de la misma, para lo que acompa˜naremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma:
x±∆x
Cifras Significativas
Las cifras significativas son aquellas que est´an medidas con precisi´on, seg´un el instrumento utilizado; o tambi´en, si se realizan c´alculos a partir de los valores medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son precisas. Para saber cu´antas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que veremos a continuaci´on.
Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el n´umero 103 tiene tres cifras significativas, y el 0.000000103 tambi´en. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no le a˜naden precisi´on a la medici´on, sino que solamente sirven para establecer la posici´on del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notaci´on exponencial; as´ı, los n´umeros mencionados se convertir´ıan en 1.03×102y 1.03×10−7. Entonces, para contar las cifras significativas se parte del primer d´ıgito distinto de cero y se cuentan todos los d´ıgitos a partir de ´este.
Determinaci´on de los errores cometidos en las medidas directas
Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar siempre una esti-maci´on del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor “verdadero” de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimaci´on tanto del valor “verdadero” de la magnitud, como de una cota de error, que nos indique la incertidumbre en la determinaci´on realizada. Distinguiremos tres casos bien diferenciados:
1. Caso en el que se realiza una ´unica medida de una magnitud.
En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el resultado de una medida lo indicaremos en la forma:
x±∆x
donde ∆xes la sensibilidad.
2. Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.
Con el fin de alcanzar cierta validez estad´ıstica en los resultados de las medidas, es muy conveniente repetir varias veces la determinaci´on del valor de la magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas, en funci´on de esta dispersi´on ser´a conveniente aumentar o no, el n´umero de determi-naciones del valor de la magnitud. Para decidir el n´umero determinaciones del valor de una magnitud f´ısica que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento.
Se realizan siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas tres medidas, dado por:
¯
x= 1 3
3 X
i=1
xi
y se halla la dispersi´on total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valo-res extremos de las medidas (valor m´aximo de las medidas obtenidas menos el valor m´ınimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersi´on,T, que viene dado por:
T = D ¯
x ×100 %
T en las tres primeras medidas Cantidad de medidas necesarias
T ≤2 % Bastan las 3 medidas realizadas
2 %< T ≤8 % Hay que hacer 3 medidas m´as, hasta un total de 6 8 %< T ≤15 % Hay que hacer un total de 15 medidas
15 %< T Hay que hacer 50 medidas como m´ınimo
Una vez realizadas las medidas necesarias se toma comovalor verdaderode la magnitud, el valor medio de la misma calculado sobre el n´umero total de medidas realizadas.
3. Error estad´ıstico
El error estad´ıstico de un conjunto de N medidas de una misma cantidad corresponde a la desviaci´on est´andar de la media, para el caso de un conjunto de medidas realizadas la dispersi´on la medimos con la desviaci´on est´andar
σ(x) = v u u t
1
N
N
X
i=1
(xi−x¯)
2
Sin embargo el valor medido tambi´en variar´a de un conjunto de medidas a otro por lo que podemos definir la desviaci´on est´andar de la media el cual corresponde al error estad´ıstico de un conjunto de N medidas
σ(¯x) = σ√(x)
N
Determinaci´on del error de una magnitud medida indirectamente
La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicaci´on de una f´ormula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha f´ormula se obtiene tambi´en el error de la medida seg´un pasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha f´ormula aparecen n´umeros irracionales tales como π, e, etc, debemos elegir el n´umero de cifras significativas con que deben tomarse a la hora de realizar los c´alculos correspondientes, de modo que los errores cometidos al aproximar estos n´umeros irracionales no afecten a la magnitud del error abso-luto de la magnitud que queremos determinar.
Supongamos que la magnitud F es funci´on de otras magnitudes f´ısicas, estando relacionada con ellas por F = f(x, y, z, ...) Supongamos adem´as, que se han realizado medidas de las citadas variables, x, y, z, ... y se han determinado su valor y su error. Para realizar el c´alculo del error absoluto de F, en funci´on de los errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de x, y, z, ... se proceder´a de la siguiente forma:
En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en funci´on de las diferenciales de las variables x, y, z, ... mediante:
dF = ∂F
∂xdx+ ∂F
∂ydy+ ∂F
A continuaci´on asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y adem´as con-sideramos que en el c´alculo del error deF debemos ponernos en el caso m´as desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener una suma de t´erminos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de F el resultado:
∆F = ∂F ∂x
∆x+ ∂F ∂y
∆y+ ∂F ∂z
∆z+...=σx+σy+σz+...
La ecuaci´on anterior representa una sobre estimaci´on del error de la variable dependiente
F, en donde cada termina de la sumatoria representa una incertidumbre independiente, por lo que la incertidumbre adecuada o no sobreestimada de la medida indirecta F corresponde a la suma cuadr´atica de las incertidumbres independientes
∆F =pσx2+σy2+σz2 =|F0| s ∆x x 2 + ∆y y 2 + ∆z z 2 +...
Donde F0 es la medida indirecta de los mejores valores medidos de las variables indepen-dientes o medidas directas.
Nota:el an´alisis de errores para el caso de las pr´acticas de FS-200 se llevar´a a cabo con la sobreestimaci´on en el error propagado
∆F = ∂F ∂x
∆x+ ∂F ∂y
∆y+ ∂F ∂z
∆z+...=σx+σy+σz+...
Cada gu´ıa contiene los lineamientos para el tratamiento de errores, consultar a su instructor si se desea reportar un resultado con una incertidumbre obtenida con la regla de la sumatoria cuadr´atica.
Ejemplo num´erico del c´alculo de errores
Suponiendo que se pretende medir la aceleraci´on de la gravedad g midiendo el periodo T
de un p´endulo de longitud L, la expresi´on que relaciona las tres variables es
g = 4π 2L
T2
Sean L0 ±∆L y T0 ±∆T los resultados de las mediciones. Ahora se calcula la diferencial total de g tomando aL y a T como variables
∆g =
∂g ∂L
dL+
∂g ∂T
dT = 4π 2
T02
dL+ 8π 2L
T03
dT =σL+σT
Finalmente se sustituyen las variables por sus valores medidos, los diferenciales por los erro-res y se da signo positivo a todos los sumandos. Con todas las consideraciones anterioerro-res calculamos el error adecuado para g
g = ∆g =
p
σL2+σT2 =g0 s
∆L
L0 2
+
2∆T
T0 2
Construcci´on de gr´aficas
La representaci´on gr´afica de los fen´omenos f´ısicos que estudiemos debe ajustarse a las si-guientes normas:
1. Gr´aficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremos la magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande y clara). El t´ıtulo de la gr´afica ser claro y vendr´a indicado en la parte superior.
2. La variable independiente del fen´omeno debe ir representada en abscisas y la depen-diente en ordenadas.
3. Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura r´apida y sencilla. Para ello se elegir´an las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20 ,... etc. unidades (poniendo pocos n´umeros).
4. Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y s´olo el citado intervalo.
5. Sobre los ejes s´olo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar as´ı uniformemente espaciadas). Nunca se se˜nalan los valores correspondientes a las medidas realizadas.
7. Las gr´aficas han de ser l´ıneas finas “continuas” nunca quebradas, que han de pasar por todos los rect´angulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la gr´afica. Si al hacer esta operaci´on, alguno de los rect´angulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la gr´afica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe repetirse.
Ajuste de la recta de regresi´on por el m´etodo de m´ınimos cuadrados
Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresi´on matem´atica del tipo
y =f(x), de la ley f´ısica que rige el comportamiento de un determinado fen´omeno, a partir de una serie de N medidas (xi, yi), de las magnitudes x e y que lo caracterizan.
Cuando la representaci´on gr´afica del fen´omeno estudiado proporciona una distribuci´on de los puntos experimentales en forma pr´acticamente lineal, es conveniente determinar la ecua-ci´on de la recta que ser´a expresi´on de la ley f´ısica que rige el fen´omeno estudiado, utilizando para ello el m´etodo dem´ınimos cuadrados.
Dicha recta debe cumplir la condici´on de que los puntos experimentales, queden distribui-dos sim´etricamente a ambas partes de la misma, y adem´as, lo m´as pr´oximos posible. Esta condici´on se cumple si se obliga a que la recta de ecuaci´on:
y =ax+b
cumpla con la expresi´on:
c=
N
X
i=1
(yi −axi−b)2
Donde ccorresponde a un par´ametro de desviaci´on entre la recta y los valores discretos. Las condiciones para que c tenga un valor m´ınimo se calculan derivando respecto a “a” y “b”, y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene
a= N Sxy−SxSy
N Sxx−SxSx
b = N Sxy −SxSy
N Sxx−SxSx
donde
Sxx = N
X
i=1
xi2 Syy = N
X
i=1
yi2 Sxy = N
X
i=1
xiyi Sx = N
X
i=1
xi Sy = N
X
i=1
Para efectuar la estimaci´on de la incertidumbre de los par´ametros, es decir cu´al es el error de a y b, se utiliza la varianza de los datos, obteniendo
(a) = ∆a= s
N χ2(a, b)
(N Sxx−SxSx) (N −2)
(b) = ∆b = s
Sxxχ2(a, b)
(N Sxx−SxSx) (N −2)
donde
χ2(a, b) =
N
X
i=1
(yi−axi−b)
2
Adem´as de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlaci´on lineal “r”, que nos da una medida del grado de correlaci´on entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qu´e
’ punto x e y est´an relacionadas mediante una funci´on lineal. La expresi´on de “r”es
r= √ N Sxy−SxSy
N Sxx−SxSx
p
N Syy−SySy
