Unidad 6: Determinantes

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(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. UNIDAD 6 DETERMINANTES 1. DETERMINANTE DE ORDEN UNO. Dada una matriz cuadrada de orden uno A = (a 11 ) , se define el determinante de A , y se escribe det ( A) o bien A , como el número real:. det ( A) = A = a11 = a11. 2. DETERMINANTE DE ORDEN DOS ⎛ a11 ⎝ a21. a12 ⎞ ⎟ , se define el determinante de A a22 ⎟⎠. Dada una matriz cuadrada de orden dos A = ⎜⎜ como el número real:. det ( A) = A =. ⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 3 5⎠ ⎛ 14 − 2 ⎞ ⎟ B = ⎜⎜ 1 ⎟⎠ ⎝− 7. Ejemplos: A = ⎜⎜. a11 a21. a12 = a11a22 − a12 a21 a22. det ( A) =. 2 −1 = 2 ⋅ 5 − (− 1) ⋅ 3 = 13 3 5. det (B ) =. 14 − 2 = 14 ⋅1 − (− 2) ⋅ (− 7 ) = 0 −7 1. 3. DETERMINANTE DE ORDEN TRES ⎛ a11 ⎜ Dada una matriz cuadrada A de orden tres A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31 de A como el número real:. a12 a22 a32. a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ , se define el determinante a33 ⎟⎠. det ( A) = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33 Es fácil de recordar si utilizamos la REGLA DE SARRUS: Productos que “suman” Productos que “restan”. •. •. •. •. •. •. • •. • •. • •. • •. • •. • •. 1 2 ⎛1 2 −1⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo: A = ⎜ 3 1 2⎟ ⇒ det( A) = 3 1 ⎜ 2 −1 3⎟ 2 −1 ⎝ ⎠ 3 Ejercicio 1. Calcula el siguiente determinante: 2 1. −1 2 = 3 + 8 + 3 − (− 2 − 2 + 18) = 14 − 14 = 0 3 1 2 −1 3. Solución: 5.. −1 1 3 0 −2. Ejercicio 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: a ) 1. x. −1 1 Solución: a ) x = 2; x = − 43 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 1 1. 2 =0 x. b) 1 x 1 1. 1 1 =0 x2. b) x = 1; x = −1.. 1. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 4. DETERMINANTE DE ORDEN SUPERIOR Dada una matriz cuadrada A y un elemento cualquiera a ij . Definimos: Menor complementario de a ij : Determinante de la matriz que se obtiene al suprimir en A la. fila i y la columna j . Se representa por M ij . Adjunto del elemento a ij : Aij = (− 1). i+ j. ⋅ M ij. ⎧⎪si i + j par ⇒ (− 1)i + j = 1 Es decir, ⎨ ⎪⎩si i + j impar ⇒ (− 1)i + j = −1 ⎛ 2 −1 1 ⎜ 1 6 1 Ejemplo: Dada la matriz A = ⎜ ⎜ 3 −1 −1 ⎜ ⎜ 2 −1 0 ⎝ respectivos adjuntos. M 21. 2⎞ ⎟ 0⎟ calcula M 21 , M 22 , M 23 y M 24 y sus 3⎟ ⎟ 1 ⎟⎠. 2 −1 2 2 −1 1 −1 1 2 2 1 2 = − 1 − 1 3 = −3; M 22 = 3 − 1 3 = 5; M 23 = 3 − 1 3 = −1; M 24 = 3 − 1 − 1 = −1 2 −1 1 2 −1 0 −1 0 1 2 0 1. Adjuntos: A21 = 3; A22 = 5; A23 = 1; A24 = −1. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN SUPERIOR. DESARROLLO POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA (FILA O COLUMNA) El determinante de una matriz A es igual a la suma de los elementos de una línea cualquiera multiplicados por sus adjuntos:. det ( A) = ai1 ⋅ Ai1 + ai 2 ⋅ Ai 2 + K + ain ⋅ Ain (Desarrollo por una fila). det ( A) = a1 j ⋅ A1 j + a2 j ⋅ A2 j + K + anj ⋅ Anj (Desarrollo por una columna) Ejemplo: Calcula el determinante de la matriz A del ejemplo anterior. Si desarrollamos por los elementos de la segunda fila,. det ( A) = a21 ⋅ A21 + a22 ⋅ A22 + a23 ⋅ A23 + a24 ⋅ A24 =. = 1 ⋅ 3 + 6 ⋅ 5 + 1⋅1 + 0 ⋅ (− 1) = 3 + 30 + 1 + 0 = 34. Observación: Conviene desarrollar por una línea que tenga el mayor número de ceros, ya que de este modo se calculan menos adjuntos.. 2 −2 3⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ 0 4 − 6⎟ ⎜ 0 Ejemplo: Calcula el determinante de la matriz A = ⎜ 0 2 1 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜− 7 − 4 0 − 1 ⎟⎠ ⎝ Desarrollamos por los elementos de la primera columna, 0 M 11 =. 4 −6. 2 1 −4 0. 3 = −64; −1. 2 −2 M 41 = 0 2. 3. 4 − 6 = 36 ⇒ A11 = −64; A41 = −36 1 3. det ( A) = a11 ⋅ A11 + a41 ⋅ A41 = 5 ⋅ (− 64 ) + (− 7 ) ⋅ (− 36 ) = −68 Comprueba que se obtiene el mismo resultado si se desarrolla por la segunda fila. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 5. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. APLICACIONES: MÉTODO DE GAUSS Dada una matriz cuadrada A : P.1.Si una fila o columna es combinación lineal de otras ⇒ det ( A) = 0 .. En particular, si una fila o columna es proporcional a otra ⇒ det ( A) = 0 .. 1 4 −4. 1. Ejemplos: det ( A) = 2. −4. 4. 1 1 = 2 1 1 =0 F3 = F1 + F2 3 5 −3 1+ 2 4 +1 − 4 +1 1 2 3 ⋅1. 1 2 3. det (B ) = 2 1 6 = 2 1 3 ⋅ 2 = 0 3 6 9. C3 =3C1. 3 6 3⋅3. P.2.Si todos los elementos de una fila o columna son cero ⇒ det ( A) = 0 .. 7. 0 0. Ejemplo: det ( A) = 1. −1 0 = 0. 4. 2 0. P.3.Si se suma a una fila o columna una combinación lineal de otras filas o columnas el determinante no varía. Ejemplo: det ( A) =. −3. 0 1. 1 −1 4 −1. 1 = −34 3. − 3 1 − 1 + 3 ⋅ (− 3) + 2 ⋅1 − 3 1 − 8 0 4 1+ 3⋅ 0 + 2 ⋅ 4 = 0 4 9 = −34 1 − 1 3 + 3 ⋅1 + 2 ⋅ (− 1) 1 −1 4 C3 + 3C1 + 2 C2. P.4.Si se intercambian entre sí dos filas o columnas el determinante cambia de signo.. 1 Ejemplo:. 0. 2. 0. 1 2. C1 ↔C2. 2 − 3 1 = −3 ⎯⎯⎯→ − 3 −1. 1. 0. 1. 2 1 =3 −1 0. P.5.Si todos los elementos de una fila o columna se multiplican por un número k , entonces el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por ese número k .. ⎛ a11 ⎜ A = ⎜ a21 ⎜a ⎝ 31. ⎛ k ⋅ a11 ⎜ B = ⎜ k ⋅ a21 ⎜k ⋅a 31 ⎝. a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ a33 ⎟⎠. a12 a22 a32. 5. Ejemplo: det ( A) = 3. 1. a12 a22 a32. 2⋅5. 0. a13 ⎞ ⎟ a23 ⎟ ⇒ det (B ) = k ⋅ det ( A) a33 ⎟⎠. 1. 0. 2 4 = 64; det (B ) = 2 ⋅ 3 2 4 = 128; det (B ) = 2 ⋅ det ( A) 1 −3 0 2 ⋅1 − 3 0. Como consecuencia de esta propiedad: det (k ⋅ A) = k n ⋅ det ( A) siendo ord ( A) = n. P.6.Si los elementos de una fila o columna se descomponen en dos sumandos, su determinante puede descomponerse en suma de los determinantes de dos matrices, del siguiente modo: Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. a + a′ b d + d′ e g + g′ h. 1+ 2 1. 3. c. a′ b f + d′ e i g′ h. a. b. c. f =d. e. i. g. h. 1 1. 3. 2 1. c f i. 3. Ejemplo: 3 + 4. ( ). 0 2 =3 0 2+4 0 2 2 + 1 2 −1 2 2 −1 1 2 −1 14 4244 3 14243 14243 43. 21. 22. P.7. det At = det ( A) , es decir, el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. 1. Ejemplo: det ( A) = 2. 0. ( ). 1. ( ). 2. 3. − 2 − 1 = 21 det A = 0 − 2 1 = 21. 3 P.8. det A−1 =. 3. t. 1. 2. 3. −1 2. 1 det ( A). P.9.Si A es triangular ⇒ det ( A) = a11 ⋅ a22 ⋅ K ⋅ ann. P.10. det (I n ) = 1. P.11. det ( A ⋅ B ) = det ( A) ⋅ det (B ). ( ). P.12. det A k = [det ( A)]. k. Ejercicio: Si A y B son matrices cuadradas tales que A = 2 y B = 3 y ord ( A) = ord ( B ) = 3.. Calcula: a) AB b) 2 A c) A2. d ) At BA e) A−1B. f ) A8. CÁLCULO DE UN DETERMINANTE POR EL MÉTODO DE GAUSS. • Aplicando las propiedades de los determinantes obtenemos una matriz triangular. • También puede utilizarse para conseguir ceros en los elementos de una fila o columna y desarrollar por ella.. ⎛3 ⎜ ⎜1 Ejemplo: Halla el determinante de la matriz A = ⎜ 2 ⎜ ⎜3 ⎝ det ( A) =. 3 5 −2 6 1 2 −1 1 2 4 3 7. 1 =−. 5 − 2 6⎞ ⎟ 2 −1 1 ⎟ con el método de Gauss. 4 1 5⎟ ⎟ 7 5 3 ⎟⎠. 1 5. 1 2 −1 1 1 2 −1 1 3 5 − 2 6 F2 −3 F1 0 − 1 1 3 = − = − = 5 F1 ↔ F2 2 4 1 5 FF3 −−23 FF1 0 0 3 3 F4 + F2 4 1 3 3 7 5 3 0 1 8 0. 2 −1 1. 0 −1. 1 3. 0 0. 3 3 F4 −3 F3 0 0 9 3. 0 0. 2 −1. 1 = −. 0 −1 0 0. 1. 1 3. 3 3 0 −6. = −1 ⋅ (− 1) ⋅ 3 ⋅ (− 6) = −18. ⎛ 2 −1 4⎞ ⎜ ⎟ Ejercicio: Halla el determinante de la matriz B = ⎜ 3 2 − 1⎟ con el método de Gauss. ⎜1 5 2 ⎟⎠ ⎝ Solución: det (B ) = 77. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 6. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES Menor de orden k de una matriz A: Cualquier determinante de orden k formado por elementos pertenecientes a k filas y k columnas de la matriz A .. Propiedad: rang ( A) = Orden del mayor menor no nulo (distinto de cero).. ⎛ 2 1 −1 3 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 1: Calcula el rango de la matriz A = ⎜ 1 0 1 2⎟ ⎜3 1 0 1⎟ ⎝ ⎠ A lo sumo tiene rango 3 ya que dim( A) = 3 × 4 2 1 = −1 ≠ 0 ⇒ rang ( A) ≥ 2 (es al menos 2 ). 1 0 2 1 −1 1 0 3 1. 1 = 0; 0. 2 1. 1 0. 3 2 = 4 ≠ 0 ⇒ rang ( A ) = 3. 3. 1. 1. ⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 2: Calcula el rango de la matriz A = ⎜ 3 2 1 ⎟. A lo sumo tiene rango 3 ya que ⎜6 4 8⎟ Ord ( A) = 3 ⎝ ⎠ 3 2 3 4 = 0; = −9 ≠ 0 ⇒ rang ( A) ≥ 2 (es al menos 2). 3 2 3 1 Como det ( A) = 0 ⇒ rang ( A) = 2 (Observa que F3 = 2 F1 ) ⎛1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 3: Dada la matriz A = ⎜ 2 1 m ⎟ , halla m para que rang ( A) = 2 . ⎜0 3 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 = 1 ⇒ rang ( A) es al menos 2 . det ( A) = 6 − 3m 2 1 Como rang ( A) = 2 ⇒ det ( A) = 0 ⇒ 6 − 3m = 0 ⇒ 6 = 3m ⇒ m = 2 Ejercicio1: Calcula el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro m .. ⎛1 3 ⎜ a) A = ⎜ 1 m ⎜0 2 ⎝. 0⎞ ⎟ −1 ⎟ m ⎟⎠. ⎛1 m 1⎞ ⎟ ⎜ c) C = ⎜ 1 1 m ⎟ ⎜m 1 1 ⎟ ⎠ ⎝. ⎛ m 0 4⎞ ⎟⎟ b) B = ⎜⎜ ⎝ 3 0 6⎠. Solución: a) Si m ≠ 1 y m ≠ 2 ⇒ rang( A) = 3. b) Si m ≠ 2 ⇒ rang(B) = 2. Si m = 1 o m = 2 ⇒ rang( A) = 2. Si m = 2 ⇒ rang(B) = 1. c) Si m ≠ 1 y m ≠ 2 ⇒ rang(C) = 3 Si m = −2 ⇒ rang(C) = 2 Si m = 1 ⇒ rang(C) = 1. Ejercicio 2: Calcula el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro a .. ⎛3 1 ⎜ a) A = ⎜ 1 1 ⎜1 0 ⎝. −4. 6⎞ ⎟ 4 4⎟ − 4 a ⎟⎠. ⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ b) B = ⎜ 7 1 1 ⎟ ⎜ a 2 3⎟ ⎠ ⎝. ⎛1 − 2 1 ⎞ ⎟ ⎜ c) C = ⎜ 1 a 3⎟ ⎜5 −1 a⎟ ⎠ ⎝. Solución: a) Si a ≠ 1 ⇒ rang( A) = 3. b) Si a ≠ 1 ⇒ rang(B) = 3. c) Si a ≠ −4 y a ≠ 7 ⇒ rang(C) = 3. Si a = 1 ⇒ rang( A) = 2. Si a = 1 ⇒ rang(B) = 2. Si a = −4 o a = 7 ⇒ rang(C) = 2. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 7. CÁLCULO DE LA INVERSA POR DETERMINANTES Dada una matriz cuadrada A se define la matriz adjunta de A como:. Adj ( A) = (Aij ) ← Sus elementos son los adjuntos de la matriz A. Propiedad: A tiene inversa si y solo si det ( A) ≠ 0. 1 [Adj ( A)] t det ( A). −1 Por tanto, si det ( A) ≠ 0 , se tiene que A =. Ejemplo: Determina si las siguientes matrices tienen inversa y, en caso afirmativo, calcúlala.. ⎛ 1 ⎜ a) A = ⎜ 2 ⎜ −1 ⎝ 1 1 M 11 = 2 2. 0 2 0 M 31 = 1. M 21 =. 0 1⎞ ⎟ 1 1⎟ 2 2 ⎟⎠. =0. 1 = −2 2 1 = −1 1. det ( A) = 5 ≠ 0 ⇒ A tiene inversa. 2 1 =5 −1 2 1 1 = =3 −1 2 1 1 = = −1 2 1. 2 1 =5 −1 2 1 0 M 23 = =2 −1 2 1 0 M 33 = =1 2 1. M 12 = M 22 M 32. A11 = 0; A12 = −5; A21 = 2; A22 = 3; A31 = −1; A32 = 1;. M 13 =. A13 = 5 A23 = −2 A33 = 1. 2 − 1⎞ 5⎞ ⎛ 0 ⎛ 0 −5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ t Adj ( A) = ⎜ 2 3 1⎟ 3 − 2 ⎟ ⇒ [ Adj ( A)] = ⎜ − 5 ⎜ 5 − 2 1⎟ ⎜ −1 1 1 ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ −1 2 2 − 1⎞ ⎛ 0 5 5 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎟ ⎜ 1⎜ −1 Por tanto: A = ⎜ − 5 3 1 ⎟ = ⎜ − 1 53 15 ⎟ 5⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ −2 ⎝ 5 − 2 1⎠ ⎝ 1 5 5 ⎠ 3⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ b) B = ⎜ 1 2 − 1 ⎟ ⎜ 4 8 − 4⎟ ⎠ ⎝. det (B ) = 0 ⇒ B no tiene inversa. ⎛ 2 −1 3⎞ ⎜ ⎟ Ejercicio: Determina si la matriz A = ⎜ 1 0 1 ⎟ tiene inversa y, en caso afirmativo, ⎜ 4 − 2 − 1⎟ ⎝ ⎠ calcúlala. Solución:. ⎛ 2 − 7 − 1⎞ ⎛ −72 ⎟ ⎜ 1⎜ A−1 = − ⎜ 5 − 14 1 ⎟ = ⎜ −75 7⎜ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 72 ⎝− 2 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. 1 2 0. 1 7 −1 7 −1 7. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. MATRICES INVERSIBLES EN FUNCIÓN DE LOS VALORES DE UN PARÁMETRO. ⎛1 0 ⎜ Ejemplo: Dada la matriz A = ⎜ m 1 ⎜1 1 ⎝. m⎞ ⎟ 1 ⎟ se pide: − 1 ⎟⎠. a) Halla los valores de m para los cuales la matriz A NO tiene inversa. b) Halla su inversa para m = 1. Solución: a) det ( A) = m 2 − m − 2. ⎧m = −1 det ( A) = 0 ⇒ m 2 − m − 2 = 0 ⇒ ⎨ ⎩m = 2 Por tanto, A no tiene inversa (es singular) si det( A) = 0 ⇒ m = −1 ó m = 2 . b) Si m = 1. 1 − 1⎞ ⎛ 1 ⎛− 2 ⎟ ⎜ 1⎜ −1 A = − ⎜ 2 − 2 0⎟ = ⎜ −1 2⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 −1 1 ⎠ ⎝ 0. ⎞ ⎟ 0⎟ −1 ⎟ 2 ⎠. −1 2. 1 2. 1 1 2. ⎛ −1 −1 3 ⎞ ⎟ ⎜ Ejercicio: Dada la matriz A = ⎜ 0 2 k ⎟ . Averigua para qué valores de k la matriz ⎜ k 0 4 ⎟⎠ ⎝ tiene inversa. Halla su inversa para k = 2 . Solución: k ≠ −4, k ≠ −2. 4 − 8 ⎞ ⎛ −31 ⎛ 8 ⎜ ⎟ ⎜ 1 Si k = 2 ⇒ A −1 = − ⎜ 4 − 10 2 ⎟ = ⎜ −61 24 ⎜ ⎟ ⎜1 ⎝ − 4 − 2 − 2⎠ ⎝ 6 ⎛ a 11 ⎝ a 21. Observación: Si A = ⎜⎜. −1 6 5 12 1 12. ⎞ ⎟ ⎟ 1 ⎟ 12 ⎠ 1 3. −1 12. a12 ⎞ 1 ⎛ a 22 ⎜ ⎟⎟ y A es regular ⇒ A −1 = det(A) ⎜⎝ − a 21 a22 ⎠. − a 12 ⎞ ⎟ a 11 ⎟⎠. ⎛ 2 7⎞ ⎟⎟. ⎝ − 5 3⎠. Ejemplo: Calcula, si existe, la matriz inversa de A = ⎜⎜. det ( A) = 41 ≠ 0 ⇒ A tiene inversa.. 1 ⎛ 3 − 7 ⎞ ⎛ 413 ⎟=⎜ A = ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 415 41 ⎝ 5 −1. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. ⎞ ⎟. 2 ⎟ 41 ⎠. −7 41. 7. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 6: Determinantes.

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