1 Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J. J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W. R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con incógnitas.
•
Abreviadamente se puede expresar A = [ a ].
Llamamos matriz A, a un conjunto de elementos dispuestos en forma ordenada en “i” filas (líneas horizontales) o renglones y en “j” columnas (líneas verticales) que pueden representarse de la siguiente manera.
Se emplea la notación de doble subíndice que indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila n y el segundo la columna m. Por ejemplo a₂₃ será el elemento de la fila 2 y columna 3.
Columnas de la MATRIZ A
Sab
í
as que
…
mn m
m m
n n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
. . .
. . .
. .
. .
. . .
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
3 2 1
33 32 31
23 22 21
13 12 11
Filas de la MATRIZ A
•
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc. Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos.
•
Este ordenamiento consta de m renglones o filas y n columnas, por lo que decimos que la matriz es de orden m x n. Las matrices se denotan con letras mayúsculas (A, B, C, …) y sus elementos con letras minúsculas (a, b, c, …).
Ejemplos:
• A tiene 2 filas y 2 columnas, su tamaño u orden es 2x2.
• B tiene 2 filas y 3 columnas, su tamaño es 2x3.
• C tiene 4 filas y 3 columnas, su tamaño es 4x3.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas su tamaño o dimensión es m x n (siempre en primer lugar el n° de las filas y en segundo lugar el n° de columnas.
•
Es en la que todos sus elementos son cero y puede ser cuadrada o rectangular, la representamos mediante la notación [0].
4 3
1 2 A
1 2 1
0 4 6 B
0 0 1
2 5 1 1
0 4 2
0 1 3
C
0 0
0 0
0 0
3
Es aquella que tiene sólo una fila, es decir su dimensión es 1xn.
Es una matriz fila de tamaño 1x4.
Es aquella que sólo tiene una columna, es decir su dimensión es mx1.
Es una matriz columna de tamaño 3x1.
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m=n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n y no n x n.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos a la formada por los elementos de la siguiente matriz: a11, a22, a33,...,ann,
nn n
n n
n n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
. . .
. . .
. .
. .
. . .
. .
. . .
. . .
. . .
. . .
3 2 1
33 32 31
23 22 21
13 12 11
0 4 3
4 5 6
3 2 1
D
Matriz cuadrada de orden 3 9 4 0 1
En la matriz D, su esta formada por 1, 5, 0 y la está formada por los elementos 3, 5, -3.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal.
Es decir, traza (A)= y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0=6.
•Una matriz es triangular superior si y sólo sí los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos.
•Una matriz es triangular inferior si y sólo sí los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos.
•Una matriz es diagonal si es triangular superior e inferior simultáneamente, sólo tiene elementos en la diagonal principal.
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
D
78 16 3 1
0 5 4 3
0 0 4 0
0 0 0 1
E
5 0 0
5 9 0
3 1 4 1
E
0 4 3
4 5 6
3 2 1
D
11
5
•Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que todos sus elementos son diagonales entre sí . Se dice que una matriz es escalar cuando al principio de una fila hay un cero más que en la fila anterior.
Al principio de la segunda fila hay un cero más que al comienzo de la fila anterior, que es la primera. Al comienzo de la tercera fila hay dos ceros, es decir, uno más que en la fila anterior, que es la segunda fila y así sucesivamente.
•Una matriz es identidad, unidad o unitaria, si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal, que han de ser iguales a 1.
•
Dos matrices son iguales si son del mismo orden y sus elementos correspondientes son iguales, es decir, si y , son dos matrices del mismo orden, entonces:
Ejemplo:
Observa que al comparar cada una de ellas tenemos que A ≠ B y A = C. 1
0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
E
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
E nn d d
d
d11 22 33 ...
ij a
A B bij
ij ij b a B A
1 4
0 3
2 1
A
2 1 4
3 1 2 B
1 4
0 3
2 1
La trasposición de una matriz A es una operación que consiste en colocar las filas de A en forma de columna, respetando su orden. Se obtiene de esta manera otra matriz que se llamará la traspuesta de A y se representará por At.
Ejemplo:
Si A es una matriz de tamaño m x n, su traspuesta tendrá tamaño n x m, pues el número de columnas pasa a sr el de filas y viceversa.
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá el mismo tamaño.
En base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices, que son:
• , que es aquella para la que se cumple que . Ejemplo:
En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.
• , es aquella para la que se cumple que . Ejemplo:
En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.
Para sumar matrices, éstas pueden ser las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas deben ser igual tanto en la primera como en la segunda.
Si y son dos matrices del mismo orden m x n, la suma A+B de dichas matrices es una nueva matriz de orden m x n tal que es decir, los elementos de la matriz C son la suma de los elementos correspondientes de A y B.
1 7
2 0
4 1
3 2
1 2 4 3
7 0 1
2 t
A A
t A
A At
7 2 3
2 0 1
3 1 2
7 2 3
2 0 1
3 1 2
t A A
A At
0 2 3
2 0 1
3 1 0
0 2 3
2 0 1
3 1 0
t A B
ij a
A B bij
ij c
7 Ejemplo:
Para restar matrices, éstas pueden ser las dos cuadradas o las dos rectangulares. El número de filas y columnas de una ha de ser igual al número de filas y columnas de la segunda. Es lo mismo que en el caso anterior pero restando los valores que ocupan las mismas posiciones.
Definimos a la resta o sustracción de dos matrices Ay B, como A - B = C (cij = aij - bij) , lo cual equivale a restar de los elementos de A los correspondientes de B, obteniendo una nueva matriz. Deben ser del mismo orden.
Ejemplo:
NOTA: Condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas.
Cuando hablamos de producto tenemos que distinguir entre el producto de una matriz por un número real y producto de matrices.
•
Si multiplicamos una matriz por un número real, multiplicamos cada elemento de la matriz por ese número real.
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por
k, es decir, bij = k·aij.
Multiplicamos cada elemento por el número real 4.
•
No todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:
“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A∙B, es condición indispensable que el
número de columnas de A sea igual al número de filas de B”.
Si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observemos que el n° de columnas de A = n = n° de filas de B, entonces el producto de A∙B da como resultado una matriz C de tamaño n x P del siguiente modo.
“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A∙B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”.
6 7 5
1 1 2 4
6 28 20
4 4 8
6 4 7 4 5 4
1 4 1 4 2 4 E
9 Ejemplo:
Para multiplicar las matrices primero comprobamos que se pueda realizar el producto A∙B:
•El n° de columnas de A es 4
•El n° de filas de B también es 4
•El producto de A∙B da como resultado una matriz C de tamaño n (filas) x P (columnas). El resultado será una matriz de tamaño 2 x 3, (tiene 2 filas y 3 columnas) del siguiente modo:
•El elemento de la fila 1 y columna 1 de C = A ∙ B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:
•El elemento de la fila 1 y columna 1 de A ∙ B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 2 de B y sumar:
•El elemento de la fila 1 y columna 1 de A ∙ B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 3 de B y sumar:
2 3 5 2 4 1 2 3 A 1 2 3 2 0 2 1 2 1 1 4 0 B y ) (multiplicando
22 4 0 10 8 2 2 0 3 2 5 4 2
•El elemento de la fila 2 y columna 1 de A ∙ B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 2 de A por la columna 1 de B y sumar:
•El elemento de la fila 2 y columna 2 de A ∙ B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 2 de A por la columna 2 de B y sumar:
•El elemento de la fila 2 y columna 3 de A ∙ B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 2 de A por la columna 3 de B y sumar:
•Así se obtiene:
NOTA:
•Solo se pueden multiplicar matrices cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el número de filas del multiplicador.
•El resultado de un producto de matrices es una matriz con el número de filas igual al multiplicando y el número de columnas igual a las que tiene el multiplicador.
5
5 16 16
1 2 3
2 0 2
1 2 1
1 4 0
2 3 5 2
4 1 2 3
5 6 6 5 0 3 2 2 3 1 5 0 2
22 5
5 16 16
1 2 3
2 0 2
1 2 1
1 4 0
2 3 5 2
4 1 2 3
11 2 6 5 2 1 2 2 3 1 5 1 2
11 22 5
5 16 16
1 2 3
2 0 2
1 2 1
1 4 0
2 3 5 2
4 1 2 3
11 22 5
5 16 16
11 •
a) Asociativa:
b) Distributiva respecto de la suma:
c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n:
d) El producto de matrices no es conmutativo.
e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula.
Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.
La matriz inversa de una matriz es la que multiplicada por ésta se obtiene una matriz identidad.
Nota: Si todos los elementos son ceros o nulos excepto los que componen su diagonal principal que han de ser iguales a 1, se trata de una matriz identidad.
Dada una matriz cuadrada de orden n ∙ A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A¯¹ y tal que:
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar dos vías:
0 0
4 2 5
1 2 0
3 1 2
. ) ( )
(B C A B C
A
. )
(B C A B A C
A
A A I
A I A
m n
A B B A
3 2x
1
3x 2x1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
E
12 •
Consiste en determinar A¯¹ planteando un sistema de ecuaciones. Ejemplo, determinar la inversa de la matriz:
Lo que buscamos es otra matriz de igual tamaño (orden 2). Tenemos que calcular otra matriz cuyo producto con la matriz A obtengamos una matriz unidad o matriz identidad.
•Podemos establecer la siguiente igualdad:
•Donde el primer factor es la matriz A que ya conocemos, el segundo factor es la matriz cuyos elementos desconocemos y las representamos con las variables: x, y, z y t. El resultado tiene que ser una matriz identidad que tenemos a la derecha del signo (=).
•Multiplicando cada fila de la matriz A por cada columna de la matriz B y sumamos ordenadamente los productos obtenidos, e igualando a valores conocidos tendremos:
•Tenemos que resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).
•Resolviendo el sistema:
1 2 1 3 A 1 2 0 2 0 3 1 3 t y z x t y z x 1 0 0 1 1 2 1 3 t z y x Matriz A 1er. factor
2do. factor Matriz
13 NOTA:
•Revisar la parte de sistemas de ecuaciones lineales, en este caso utilizamos el método de sustitución para resolver estos sistemas.
•Se tiene que:
•Por lo que la matriz inversa es:
Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistema de 9 ecuaciones con 9 incógnitas.
•
Para calcular la inversa de una matriz cuadrada A, aplicando el método de Gauss, construimos, en primer lugar, la matriz ( A | I ), siendo I la matriz identidad del mismo orden que A. Después de realizar diversas operaciones sobre las filas de ésta nueva matriz, tendremos que conseguir que se transforme en la siguiente ( I | B ). La matriz B será la inversa de la matriz A, es decir: B = A-1.
Las operaciones que podemos realizar con las filas de la citada matriz son:
a) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero.
b) Sumarle a una fila otra fila multiplicada por un número distinto de cero.
1 2
0 3
t y
t y
y t
en t Despejando
t y
t y
3
: 1 0
2
0 3
2 3
0 3
0 1
3
: 1
z t
t t
ecuación en
x do Sustituyen
1
1 1 1
1 1 3 2
1 3 2
: 2
y y y
y y
y y
ecuación en
t do Sustituyen
1
x z 2 y 1 t 3
3 2
1 1
1
•
Un determinante es un ordenamiento de números en filas y columnas. Si del producto ab restamos el producto cd, tendremos la expresión ab-cd. Estas expresión puede escribirse con la siguiente notación:
determinante
•Las columnas de una determinante están constituidas par, las cantidades en una misma línea vertical.
•En el ejemplo anterior es la primera columna y la segunda columna.
•Las filas están constituidas por las cantidades que están en una misma línea horizontal. En el ejemplo dado, ad es la primera fila y cb es la segunda fila.
•Una determinante es cuadrada cuando tiene el mismo numero de columnas que de filas. Así,
•Es una determinante cuadrada porque tiene dos filas y dos columnas.
•El orden de una determinante cuadrada es el numero de elementos de cada fila o cada columna. Así, Son determinantes de segundo orden.
En la determinante con la línea que une a con b es diagonal principal y la línea
que une c con d, es diagonal secundaria.
•Una determinante de segundo orden equivale al producto de los términos que pertenecen a la diagonal principal menos el producto de los términos que pertenecen a la diagonal secundaria.
b c
d a cd ab
c a
b d
b c
d a
b c
d a
4 3
2 1
b c
d a
cd ab b c
d
a d. secundaria
