Libro de Texto Agosto 2021 Enero 2022 Cálculo Integral

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche

Libro de Texto

Agosto 2021 – Enero 2022

Plantel:

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Nombre del Alumno:

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Carrera:

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Semestre:

_______

Grupo:

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche

Eje: Pensamiento y lenguaje variacional.

Componentes: Cambio y acumulación: Elementos del Cálculo integral.

Contenido central: Antiderivada de funciones elementales (algebraicas y

trascendentes)

Contenido específico: Técnicas para obtener la antiderivada. ¿Qué

significa integrar una función?, ¿podrías imaginar el llenado y vaciado de

un recipiente en términos de la integración? ¿Qué patrones reconoces para

la integral de x, x2, x3 ...?

Aprendizajes esperados:

AE1. Reconoce el significado de la integral definida con el área bajo la

curva.

AE2. Calcula el área debajo de curvas conocidas, como gráficas de

funciones lineales, cuadráticas y cúbicas entre dos límites de integración.

AE3. Interpreta, por extensión o generalización, el área bajo la curva de

gráficas de funciones trigonométricas básicas (seno y coseno).

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Presentación

Como ya se sabe, la derivada proviene de trazar una tangente a una curva. De esta misma forma existe el problema histórico que conduce a la definición de la integral definida que es el de calcular áreas.

Hasta ahora has aprendido que partir de una función f(x), se puede calcular la derivada y de ser necesario utilizarla para obtener pendientes, velocidades y en general razones de cambio. También has aprendido a calcular integrales indefinidas inmediatas y aplicar algunos métodos de integración para calcular integrales no inmediatas.

Antes de iniciar este parcial, resuelve lo que se te pide.

I. Escribe debajo de cada gráfica la función que le corresponda,

𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2_{, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1, 𝑓(𝑥) = 𝑒}𝑥_{, 𝑓(𝑥) = −𝑥}2 _{+ 3}

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II. Relaciona las siguientes integrales con su resultado correspondiente uniéndolos con

una línea. 1. ∫(5𝑥3_{− 9𝑥)𝑑𝑥 =} (2𝑥 2_{+ 5)}2 8 + 𝐶 2. ∫(2𝑥 − 9)𝑑𝑥 = 1 2𝑥 2_{+ 𝐶} 3. ∫𝑑𝑠 𝑠 = − cos 𝑥 + 𝐶 4. ∫ 𝑥23𝑑𝑥 = 3 5𝑥 5 3+ 𝐶 5. ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 5𝑥4 4 − 9𝑥2 2 + 𝐶 6. ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥 + 𝐶 7. ∫𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑑𝑥 = 2 3𝑥 3 2+ 𝐶 8. ∫ 𝑥(2𝑥2− 5)𝑑𝑥 = 1 12(𝑥 3_{− 6𝑥 + 3)}4_{+ 𝐶} 9. ∫(𝑥2− 3)(𝑥3− 6𝑥 + 3)3𝑑𝑥 = 𝑥2− 9𝑥 10. ∫ √𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑠 + 𝐶

III. Imagina que eres un empresario que vende portarretratos elípticos, pero te hizo falta

vidrio para completar un lote y éste lo venden en metros cuadrados. Si te hicieron falta 20 piezas, ¿cuál será la superficie aproximada de vidrio que necesitarás solicitar a tus proveedores? En la siguiente figura se presenta una imagen de uno de los portarretratos, apóyate en él para realizar tus cálculos.

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Autoevalúate; para ello, escribe una ( ) en la celda que consideres que refleja los

saberes que posees o aún debes reforzar.

Indicador Cumple si no

Reconozco las funciones y sus gráficas

Recuerdo los conceptos básicos de cálculo

Identifico y aplico las fórmulas de integración adecuadamente Resuelvo la integral siguiendo un proceso matemático ordenado y coherente

Obtengo la solución correcta Termino en tiempo y forma.

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En este parcial se estudiará la integral definida, la cual está asociada a problemas que han sido de gran relevancia en la historia de la humanidad, como son el cálculo de longitudes y de áreas. Pero te preguntarás ¿qué tan complicado puede ser calcular un área si contamos con fórmulas, para ello? En efecto contamos con esos métodos, pero imagina que quieres calcular la longitud o área de las siguientes figuras.

¿Será que con los métodos que conoces será suficiente para dar solución al problema? Pues bien, es a partir de estos problemas que inicia el estudio de este parcial.

El problema que se nos plantea es calcular el área “A” comprendida entre la gráfica de una función f(x), el eje X y las rectas verticales x=a y x=b (fig.1).

Una solución aproximada al cálculo de esta área (como se vio en el primer parcial) se puede obtener dividiendo primero el área en rectángulos por debajo o por encima de la gráfica de f (x), después calculando el área de cada uno de ellos y finalmente sumando todas las áreas tal como se muestra en las figuras 2 y 3:

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Se nota que en la fig. 2 existe un error por defecto y en la fig. 3 error por exceso, por lo que se deduce que:

A- < A < A+

El error se puede reducir, dicho de otra forma, se puede mejorar la aproximación si se aumenta el número de rectángulos. Cuando se tiene un error por defecto se conoce como método de rectángulos inscritos y si el error es por exceso se le llama método de rectángulos circunscritos.

Integral definida y área bajo la curva

Si se considera un par rectángulos con base común que se usa para aproximar el área bajo la curva, se ve que la base es ∆x, la altura del rectángulo de mayor área es f (xi +

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El área “bajo” la curva es mayor que el área del rectángulo que queda por debajo de la curva y a su vez menor que el área del rectángulo que queda por encima. Algebraicamente:

∆𝑥 ∙ 𝑓(𝑥) ≤ ∆𝐴 ≤ ∆𝑥 ∙ 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) Al dividir la desigualdad entre ∆x, se obtiene:

𝑓(𝑥) ≤∆𝐴

∆𝑥≤ 𝑓(𝑥 + ∆𝑥)

Si se hace que ∆x tienda a cero, se obtiene que la derivada de la función que calcula el área debajo de la función y=f(x) es igual a f(x).

𝑓(𝑥) ≤𝑑𝐴

𝑑𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ⟹ 𝑑𝐴

𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)

En otras palabras, si se quiere calcular el área debajo de la curva de una función dada, se tiene que integrar, dado que la operación inversa de derivar es integrar. Generalizando y formalizando el procedimiento anterior para calcular áreas bajo una curva, se establece que para determinar el área bajo una curva se divide el intervalo [a,

b] en n subintervalos iguales ∆𝑥₁ = 𝑥₁− 𝑎, ∆𝑥₂ = 𝑥₂ − 𝑥₁, ∆𝑥₃ = 𝑥₃ − 𝑥₂,…, ∆𝑥_𝑛 = 𝑏 − 𝑥_𝑛−1donde cada uno de ellos será la base correspondiente a uno de los rectángulos los cuales podrán estar por arriba o por debajo de la curva, mientras que la altura de dicho rectángulo vendrá dada por el valor de la función para algún valor de x dentro de cada subintervalo, o sea y en particular 𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖). De donde se escribe que el área

aproximada para n rectángulos Sn bajo la curva como la suma de las áreas de todos los rectángulos de la siguiente manera:

𝑆_𝑛 = 𝑓(𝑥₁)∆𝑥1+ 𝑓(𝑥2)∆𝑥2+ 𝑓(𝑥3)∆𝑥3+ 𝑓(𝑥4)∆𝑥4+ ⋯ + 𝑓(𝑥1)∆𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

Por tanto, si se considera un número infinito de subintervalos en que se puede dividir [a,

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hallan más rectángulos y por tanto el área se aproximará más al total hasta igualarse a ella, es decir: 𝐴 = lim ∆𝑥𝑖→0 𝑆_𝑛 = lim ∆𝑥𝑖→0 ∑ 𝑓(𝑥_𝑖)∆𝑥_𝑖 𝑛 𝑖=1

Lo cual significa, que se puede determinar el área real mediante el cálculo del límite de la sumatoria de las áreas de los rectángulos usados en la aproximación. Y como se menciona en párrafos anteriores esta área calculada es lo que se conoce como integral

definida, cuya definición es:

De donde:

a y b son los límites de la integral, que no es otra cosa que el intervalo donde se quiere calcular el área.

El símbolo ∫ es una “S” estilizada que representa la suma de las áreas de los rectángulos cuando se hace que n tienda al infinito.

Propiedades de la integral definida. Si f(x) y g(x) son continuas en el intervalo de

integración a ≤ x ≤ b. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑎 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 ∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ∫ {𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)}𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 lim 𝑛→∞∑ 𝑓(𝑥𝑖) ( 𝑏 − 𝑎 𝑛 ) = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒃 𝒂 𝑛 𝑖=1

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Teorema Fundamental del Cálculo (T.F.C). Regla de Barrow

Si f (x) es continua en [a, b], y F(x) es la primitiva o integral indefinida de f(x), entonces se verifica que:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) |𝑏

𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏 𝑎

Ejemplos de integrales definidas

Calcular la integral definida

Ejemplo 1. ∫ 𝒙𝒅𝒙_𝟏𝟐

Lo primero que se hará es calcular la integral indefinida aplicando una fórmula adecuada. En este caso se utiliza la fórmula: ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1 + 𝐶 ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝟐 𝟏 =𝑥 2 2 + 𝐶 | 𝟐 𝟏

Habiendo calculado la integral indefinida, se aplica el Teorema Fundamental del cálculo, que consiste en sustituir los límites de integración y posteriormente realizar las operaciones indicadas. Observa que primero se sustituye el límite superior y posteriormente el límite inferior.

[(𝟐) 2 2 + 𝐶] − [ (𝟏)2 2 + 𝐶] = 𝟒 2+ 𝐶 − 𝟏 2− 𝐶 = 3 2= 𝟏. 𝟓 ∴ ∫ 𝒙𝒅𝒙 = 𝟏. 𝟓 𝟐 𝟏

Como puedes darte cuenta la constante de integración se cancela al momento de realizar la operación diferencia, por tanto, a partir del siguiente ejercicio no se tomará en cuenta, puesto que siempre se va a cancelar.

Ejemplo 2. ∫ 𝟐𝒙_−𝟏𝟑 𝟐𝒅𝒙

En este ejercicio por la propiedad de linealidad se puede sacar la constante de la integral y se utiliza la fórmula ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche ∫ 2𝑥2_𝑑𝑥 3 −1 = 2 ∫ 𝑥2_{𝑑𝑥 =} 3 −1 2𝑥 3 3 | 3 −1

Ahora se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo y se resuelve:

2 ([(3) 3 3 ] − [ (−1)3 3 ]) = 2 ([ 27 3] − [ −1 3 ]) = 2 ( 27 3 + 1 3) = 2 ( 28 3) ≈ 2(9.333) ≈ 𝟏𝟖. 𝟔𝟔𝟔 ∴ ∫ 𝟐𝒙𝟐_𝒅𝒙 𝟑 −𝟏 ≈ 𝟏𝟖. 𝟔𝟔 Ejemplo 3. ∫ (𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙_𝟎𝟑 ∫ (𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 =𝑥 2 2 + 3𝑥| 3 0 3 0= [ (3)2 2 + 3(3)] − [ (0)2 2 + 3(0)] = ( 9 2+ 9) − ( 0 2+ 0) = 9 2+ 9 =27 2 = 𝟏𝟑. 𝟓 ∴ ∫ (𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 = 𝟏𝟑. 𝟓 𝟑 𝟎 Ejemplo 4. ∫ (𝟑 − 𝟐𝒙_−𝟐𝟐 𝟐)𝒅𝒙 ∫ (𝟑 − 𝟐𝒙𝟐_{)𝒅𝒙 = 3𝑥 −}2𝑥 3 3 | 2 −2= [3(2) − 2(2)3 3 ] 𝟐 −𝟐 − [3(−2) −2(−2) 3 3 ] = (6 −2(8) 3 ) − (−6 − 2(−8) 3 ) = (6 −16 3) − (−6 − −16 3 ) = ( 2 3) − (−6 + 16 3) = 2 3− (− 2 3) = 2 3+ 2 3= 4 3≈ 𝟏. 𝟑𝟑𝟑 ∴ ∫ (𝟑 − 𝟐𝒙𝟐)𝒅𝒙 ≈ 𝟏. 𝟑𝟑𝟑 𝟐 −𝟐

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche Ejemplo 5. ∫ (𝟓 − 𝒙_−𝟏𝟐 𝟐)𝒅𝒙 ∫ (5 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 5𝑥 −𝑥 3 3| 2 −1 2 −1= [5(2) − (2)3 3 ] − [5(−1) − (−1)3 3 ] = [10 − 8 3] − [−5 − −1 3 ] = [22 3] − [−5 + 1 3] = 22 3 − (− 14 3) = 22 3 + 14 3 = 36 3 = 𝟏𝟐 ∴ ∫ (𝟓 − 𝒙𝟐_)𝒅𝒙 𝟐 −𝟏 = 𝟏𝟐 Ejemplo 6. ∫ (−𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙_−𝟒𝟐 ∫ (−𝑥 + 2)𝑑𝑥 = −𝑥 2 2 + 2𝑥| 2 −4= [− (2)2 2 + 2(2)] − [− (−4)2 2 + 2(−4)] 2 −4 = [−4 2+ 4] − [− 16 2 − 8] = (−2 + 4) − (−8 − 8) = 2 − (−16) = 2 + 16 = 𝟏𝟖 ∴ ∫ (−𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 𝟐 −𝟒 = 𝟏𝟖 Ejemplo 7. ∫ (𝟏 𝒙𝟑− 𝟏 𝒙𝟐) 𝒅𝒙 −𝟏 −𝟑 ∫ (− 1 𝑥3+ 1 𝑥2) 𝑑𝑥 −1 −3 = ∫ (−𝑥−3+ 𝑥−2)𝑑𝑥 = −𝑥 −2 −2 + 𝑥−1 −1 | −1 −3 = 1 2𝑥2− 1 𝑥| −1 −3 −1 −3 = [ 1 2(−1)2− 1 (−1)] − [ 1 2(−3)2− 1 (−3)] = [ 1 2(1)− 1 (−1)] − [ 1 2(9)− 1 (−3)] = [−1 2+ 1 1] − [ 1 18+ 1 3] = [ 3 2] − [ 7 18] = 3 2− 7 18= 10 9 ≈ 𝟏. 𝟏𝟏𝟏 ∴ ∫ (𝟏 𝒙𝟑− 𝟏 𝒙𝟐) 𝒅𝒙 ≈ 𝟏. 𝟏𝟏𝟏 −𝟏 −𝟑

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche Ejemplo 8. ∫ 𝒅𝒙 √𝒙 𝟒 𝟏 ∫ 𝒅𝒙 √𝒙 𝟒 𝟏 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥 1 2 = ∫ 𝑥 −1 2𝑑𝑥 = 𝑥 1 2 1 2 |4 1= 4 1 4 1 2𝑥12 1 | 4 1= 2𝑥 1 2|4 1= 2√𝑥 | 4 1 = [2√4] − [2√1] = [2(2)] − [2(1)] = 4 − 2 = 𝟐 ∴ ∫ 𝒅𝒙 √𝒙 𝟒 𝟏 = 𝟐 Ejemplo 9. ∫ (𝟒𝒙𝟏 𝟑− 𝟑𝒙𝟐_{+ 𝟒𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙} −𝟏 ∫ (𝟒𝒙𝟑_{− 𝟑𝒙}𝟐_{+ 𝟒𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙 =}4𝑥 4 4 − 3𝑥3 3 + 4𝑥2 2 + 𝑥 | 1 −1 = 𝑥 4_{− 𝑥}3_{+ 2𝑥}2_{+ 𝑥 |} 1 −1 𝟏 −𝟏 = [(1)4_{− (1)}3_{+ 2(1)}2_{+ (1)] − [(−1)}4_{− (−1)}3_{+ 2(−1)}2_{+ (−1)] =} = [1 − 1 + 2 + 1] − [1 − (−1) + 2(1) − 1] = [3] − [1 + 1 + 2 − 1] = 3 − 3 = 𝟎 ∴ ∫ (𝟒𝒙𝟑_{− 𝟑𝒙}𝟐_{+ 𝟒𝒙 + 𝟏)𝒅𝒙} 𝟏 −𝟏 = 𝟎 Ejemplo 10. ∫ (𝒙_−𝟏𝟏 𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 ∫ (𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 𝟎 −𝟐 =𝑥 3 3 + 3𝑥2 2 − 2𝑥 | 0 −2 = [(−0) 3 3 + 3(−0)2 2 − 2(−0)] − [ (−2)3 3 + 3(−2)2 2 − 2(−2)] = [0 + 0 − 0] − [(−8) 3 + 3(4) 2 + 4] = − [ −8 3 + 12 2 + 4] = − [− 8 3+ 10] = − [ 22 3] = − 22 3 ≈ −𝟕. 𝟑𝟑 ∫ (𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 − 𝟐)𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 ≈ −𝟕. 𝟑𝟑

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Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 𝟏. ∫ (𝟒𝒙𝟑− 𝟑𝒙𝟐+ 𝟏)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟓𝟔 𝟑 𝟏 𝟐. ∫ (𝒙𝟐+ 𝟒𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟔𝟔 𝟒 𝟏 𝟑. ∫ (𝒙𝟑− 𝟏)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟏𝟓𝟏. 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 𝟒. ∫ (𝒙𝟑_{+ 𝟐𝒙)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟔. 𝟕𝟓} 𝟏 −𝟐 𝟓. ∫ (𝟐𝒙𝟑− 𝟐𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟓𝟗𝟔 𝟔 𝟐 𝟔. ∫ (𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟏𝟕. 𝟓 𝟑 −𝟐 𝟕. ∫ (𝟐𝒙𝟐− 𝟖)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. −𝟏𝟑. 𝟑𝟑𝟑 𝟑 𝟏 𝟖. ∫ (𝟒𝒙 − 𝟔𝒙𝟐)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. −𝟏𝟐 𝟐 −𝟏 𝟗. ∫ (𝒙𝟏𝟑− 𝒙 𝟒 𝟑) 𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟔𝟓. 𝟔𝟖 𝟖 𝟏 𝟏𝟎. ∫ (𝟑𝒙𝟑_{+ 𝟑𝒙}𝟐_{− 𝟐𝒙 − 𝟔)𝒅𝒙 𝑺𝒐𝒍. 𝟐𝟐𝟐} 𝟓 −𝟏

Ejercicios de seguimiento

Aplica el teorema fundamental del cálculo para determinar el valor exacto de cada una de las integrales definidas.

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Identifico y aplico las fórmulas de integración adecuadamente y aplico el T.F.C

Resuelvo la integral siguiendo un proceso ordenado y coherente Utilizo las propiedades aritméticas y algebraicas.

Obtengo la solución correcta Resuelvo todas las integrales

Cálculo de áreas mediante la aplicación de la integral definida

Al calcular una integral definida esta nos puede dar un resultado positivo, negativo o cero. Pero ¿qué significan estos resultados? Para entender estas posibilidades observa la gráfica de la función 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏), se calculará la integral en diferentes intervalos, por ejemplo,en el intervalo [-3,-1].

∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥 2 2 + 𝑥 | 2 −3= [ (−1)2 2 + (−1)] − [ (−3)2 2 + (−3)] −𝟏 −𝟑 = [1 2− 1] − [ 9 2− 3] =1 2− 1 − 9 2+ 3 = −8 2 + 2 = −4 + 2 = −𝟐

Se puede notar en la gráfica que el área sombreada corresponde a 2 unidades cuadradas y el resultado coincide con el resultado que se obtuvo al integrar, solo que con signo negativo.

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Ahora, se integra la función en el intervalo [-1,1]; ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥 2 2 + 𝑥 | 1 −1= [ (1)2 2 + (1)] − [ (−1)2 2 + (−1)] 1 −1 = [1 2+ 1] − [ 1 2− 1] =1 2+ 1 − 1 2+ 1 = 𝟐

Puedes darte cuenta de que el valor del área sombreada coincide con la integral, tanto en magnitud como en signo, siendo este 2.

Por último, se calcula la integral en el intervalo [-3,1]. ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 = 𝑥 2 2 + 𝑥 | 1 −3= [ (1)2 2 + (1)] − [ (−3)2 2 + (−3)] 1 −3 = [1 2+ 1] − [ 9 2− 3] =1 2+ 1 − 9 2+ 3 = − 4 2+ 𝟐 = −𝟐 + 𝟐 = 𝟎 .

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Observa que el área sombreada correspondiente al intervalo [-3,1], lo forman los dos triángulos, esto significa que el área es 4 y si se compara con el resultado de la integral definida en el mismo intervalo no coincide ya que este es 0.

Lo anterior se debe a que en el intervalo [-1,1] la integral es igual a 2 y en el intervalo [-3,1] la integral da -2 y al realizar el cálculo de un solo intervalo [-3,1] la integral toma en cuenta el signo de tal manera que realiza una suma algebraica, es decir, 2 – 2 = 0. Si lo vemos por el lado geométrico notamos que las áreas pueden estar por debajo o por arriba del eje x. Las áreas que quedan por debajo del eje x son áreas negativas y las áreas que quedan por encima son positivas, por lo tanto, si se quiere calcular el área de una superficie “debajo” de una curva aplicando integrales es importante dibujar la gráfica para saber en qué intervalos las áreas son positivas o negativas, calcular las integrales en los intervalos correspondientes, tomar los valores absolutos y por último realizar una suma aritmética. De esta forma confirmar los que se dijo en un principio que: si se quiere calcular el área debajo de la curva de una función dada, se tiene que integrar, dado que la operación inversa de derivar es integrar.

Ejemplos de cálculo de áreas utilizando integrales

A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos de cálculo de áreas, inicialmente se muestran pasos a paso, posteriormente se omitirán algunos pasos o bien no se mencionarán.

Ejemplo 1. Calcular el área limitada por la curva f(x) = x2 en el intervalo [1,3] y el eje x. Se inicia graficando la función, para ello es recomendable apoyarse en una tabla donde se muestren los valores de la función.

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Con la gráfica dibujada se observa que el área solicitada queda por encima del eje x, por lo tanto, si se integra en el intervalo [1,3] nos dará un resultado positivo y por lo tanto proporciona el valor directo del área requerida. Así que, se procede a calcular la integral y se aplica el teorema fundamental del cálculo,

∫ 𝑥2𝑑𝑥 =𝑥 3 3 | 3 1= [ (3)3 3 ] − [ (1)3 3 ] = [ 9 3] − [ 1 3] = 8 3 3 1 ≈ 𝟐. 𝟔𝟔

Por lo tanto, el área solicitada es 2.66 u2.

Ejemplo 2. Calcula el área limitada por la curva𝒇(𝒙) = 𝟓 − 𝒙𝟐en en intervalo[-1,2]y el ejeX

Solución: para los ejercicios de cálculo de áreas es necesario dbujar la gráfica y marcar la superficie a calcular Se integra: ∫ (5 − 𝑥2)𝑑𝑥 = 5𝑥 −𝑥 3 3| 2 −1 2 −1= [5(2) − (2)3 3 ] − [5(−1) − (−1)3 3 ] = [10 − 8 3] − [−5 − −1 3 ] = [22 3] − [−5 + 1 3] = 22 3 − (− 14 3) = 22 3 + 14 3 = 36 3 = 𝟏𝟐 Por lo tanto, el área solicitada es 12 unidades cuadradas.

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Ejemplo 3. Determina el área de la región sombreada de la curva mostrada en la

gráfica

Solución: Para este caso observa que la región sombreada esta dividad en dos partes , una parte queda por arriba del eje X y otra por debajo. Por eso la importancia de dibujar las gráficas. En estas condiciones es conveniente calcular las áreas en partes, ya que si se realiza el cálculo directamente, es decir desde los extremos de los intervalos mostrados, lo que se estará calculando es una diferencia de áreas y no el área total. Esto porque las áreas por arriba del eje X son positivas y las que quedan por debajo son negativas

Entonces primero se calcula el área en el intervalo [-4 , 2] ∫ (−𝑥 + 2)𝑑𝑥 = −𝑥 2 2 + 2𝑥| 2 −4= [− (2)2 2 + 2(2)] − [− (−4)2 2 + 2(−4)] 2 −4 = [−4 2+ 4] − [− 16 2 − 8] = (−2 + 4) − (−8 − 8) = 2 − (−16) = 2 + 16 = 𝟏𝟖 ahora el área en [2 y 5] ∫ (−𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 5 2 −𝑥 2 2 + 2𝑥| 2 −4 = [− (5)2 2 + 2(5)] − [− (2)2 2 + 2(2)] = [−25 2 + 10] − [− 4 2+ 4] = (− 5 2) − (−2 + 4) = − 5 2− (2) = − 5 2− 2 = − 9 2= −𝟒. 𝟓

Aquí se puede verificar que una de las integrales resultó ser negativa, esto por el hecho de encontrarse el área debajo de eje x. Como se desea calcular el total se procede a tomar los valores absolutos de las integrales obtenidas, por lo tanto, el área total solicitada es:

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Ejemplo 4. Hallar el área comprendida entre la parábola 𝒙 = 𝟒 − 𝒚𝟐_{y el eje}_y.

Solución: Se dibuja la gráfica para identificar el área solicitada.

Gráfica original Giramos la Gráfica En este caso se observa que la grafica original es una parábola horizontal, es por ello que para poder resolver el problema se debe girar la parábola en forma vertical e integrar en términos de y en el intervalo [-2,2] como se puede observar en las gráficas anteriores. Se procede a resolver: ∫ (4 − 𝑦2)𝑑𝑦 = 4𝑦 −𝑦 3 3 | 2 −2= [4(2) − (2)3 3 ] − 2 −2 [4(−2) −(−2) 3 3 ] = [8 − 8 3] − [−8 − (−8) 3 ] = 8 −8 3+ 8 − 8 3= 16 − 16 3 = 32 3 ≈ 10.666 Por lo tanto, el área es 10.666 u2

Ejemplo 5. Calcular el área comprendida por la curva f(x) = x2 + 2x – 2, el eje x y las

rectas x =0 y x = 2.

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La gráfica muestra que la superficie total a calcular tienes un área debajo del eje x y otra por arriba del mismo eje, por lo tanto, se hará el cálculo de dos integrales una dará un valor negativo y la otra dará como resultado un valor positivo. Primero se calcula la integral en el intervalo [0,1]. ∫ (𝑥2+ 𝑥 − 2)𝑑𝑥 1 0 =𝑥 3 3 + 𝑥2 2 − 2𝑥 | 1 0= [ (1)3 3 + (1)2 2 − 2(1)] − [ (0)3 3 + (0)2 2 − (0)] =1 3+ 1 2− 2 = − 𝟕 𝟔≈ −𝟏. 𝟏𝟔𝟔

Y en el intervalo [1,2] el área es igual a 𝟏𝟏

𝟔, como se aprecia en seguida:

∫ (𝑥2+ 𝑥 − 2)𝑑𝑥 2 1 =𝑥 3 3 + 𝑥2 2 − 2𝑥 | 1 0= [ (2)3 3 + (2)2 2 − 2(2)] − [ (1)3 3 + (1)2 2 − 2(1)] = [8 3+ 4 2− 4] − [ 1 3+ 1 2− 2] = 8 3− 2 − 1 3+ 3 2= 7 3− 1 2= 14 − 3 6 = 𝟏𝟏 𝟔 ≈ 𝟏. 𝟖𝟑𝟑

Ahora se toman los valores absolutos de las integrales y se suman para obtener el área total, esto es:

𝐴 =7 6+ 11 6 = 18 6 = 𝟑 𝒖 𝟐

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I. Determina el área bajo la curva de las siguientes funciones en los intervalos dados. Dibujar las gráficas

𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 𝒆𝒏 [−𝟒, 𝟒] Sol. 20 u2

𝟐. 𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝟓 𝒆𝒏 [𝟐, 𝟖] Sol. 9u2

II. Determina las áreas de las regiones sombreadas mostradas en cada una de las

siguientes gráficas

3. Sol. 16u2

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4. Sol. 18u2

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Resuelvo la integral siguiendo un proceso ordenado y coherente Utilizo las propiedades

aritméticas y algebraicas. Obtengo la solución correcta Resuelvo todas las integrales

Área bajo la curva de funciones exponenciales y funciones que

involucran logaritmos

En este apartado aprenderás a aplicar el teorema fundamental del cálculo en funciones logarítmicas y exponenciales, para estos ejercicios al igual que en las funciones trigonométricas se hará uso de la calculadora para facilitar los cálculos.

Como recordarás las funciones exponenciales son aquellas que tienen la forma: base constantepotencia variable_{como por ejemplo}f(x) = 2x_{, dentro de estas funciones se tiene una} especial, la función exponencial natural cuya base es el número e. Para dibujar sus gráficas se debe tener en cuenta que las funciones exponenciales son crecientes en todo su dominio o decreciente en todo su dominio.

A continuación, se presenta la gráfica de la función f(x) = 3x, para dibujarla se dan las coordenadas de algunos de sus puntos en la tabla siguiente.

x f(x) -3 0.0370 -2 0.1111 0 1 2 9 3 27 4 81

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Se observa que la gráfica es creciente en todo su dominio, otro ejemplo de una gráfica exponencial f(x) = e-x,

en este caso la gráfica es decreciente.

Habiendo recordado como se traza la gráfica de una función exponencial, se realiza el cálculo del área bajo la curva de estas funciones. Para ello se aplica el teorema fundamental del cálculo y las fórmulas

∫ 𝒂𝒖𝒅𝒖 = 𝒂 𝒍𝒏𝒂 𝒖 + 𝑪 ∫ 𝒆𝒖_{𝒅𝒖 = 𝒆}𝒖_{+ 𝑪} ∫𝒅𝒖 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒖 + 𝑪

que son las que nos permiten realizar el cálculo de las integrales de funciones exponenciales.

Ejemplos de cálculo de áreas bajo la curva de funciones

exponenciales y funciones que involucran logaritmos

Ejemplo 1. Hallar el área limitada por la curva f(x) = ex y el eje x, en el intervalo [0,2].

Solución: como primer paso se dibuja la gráfica, se representa el área a calcular y se aplica la fórmula ∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖+ 𝑪 𝐴 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥|2 0 2 0 x f(x) -3 20.09 -2 7.39 0 1 1 0.37 3 0.05 5 0.01

(28)

Se aplica el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC):

𝐴 = 𝑒2_{− 𝑒}0_{= 7.3891 − 1}

𝐴 = 6.3891

Por lo tanto, el área es 6,3891 u2.

Ejemplo 2. Hallar el área limita por la curva 𝒇(𝒙) = 𝒆 −𝒙

𝟐_{y el eje x, en el intervalo [-2,4].} Se dibuja la gráfica, se representa el área a calcular y se resuelve la integral aplicando la fórmula correspondiente, 𝐴 = ∫ 𝑒− 𝑥 2𝑑𝑥 = −2𝑒− 𝑥 2| 4 −2 4 −2

Ahora se aplica la Regla de Barrow (TFC) 𝐴 = [−2𝑒− 4 2] − [−2𝑒− −2 2] 𝐴 = [−2𝑒−2_{] − [−2𝑒}1_] 𝐴 = −2𝑒−2_{+ 2𝑒} 𝐴 ≈ −0.2707 + 5.4367 𝐴 ≈ 5.166

(29)

Ejemplo 3. Hallar el área limitada por la curva 𝒇(𝒙) = 𝟓𝟓𝒙_{y el eje}_{x, en el intervalo} [0.5,0].

Se dibuja la gráfica, se representa el área a calcular y se resuelve la integral aplicando la fórmula adecuada, en este caso se aplica: ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 = 𝑎 𝑙𝑛𝑎 𝑢 + 𝐶 𝐴 = ∫ 55𝑥𝑑𝑥 =1 5∙ 5 𝑙𝑛5 5𝑥 | 0 −0.5 0 −0.5

Enseguida se aplica la regla de Barrow: A = [1 5∙ 5 𝑙𝑛5 5(0) ] − [1 5∙ 5 𝑙𝑛5 5(−0.5) ] 𝐴 = [1 5∙ 5 𝑙𝑛5 0 ] − [1 5∙ 5 𝑙𝑛5 −2.5) ] = [ 1 5 ∙ 𝑙𝑛5] [5 0_{− 5}−2.5_] 𝐴 ≈ [ 1 5 ∙ 𝑙𝑛5] [1 − 0.0179] ≈ [ 1 5 ∙ 𝑙𝑛5] [0.9821] 𝐴 ≈ [0.9821 5 ∙ 𝑙𝑛5] ≈ 0.9821 5 ∗ 1.6094≈ 0.9821 8.0472≈ 0.1220 Por lo tanto, el área es 0.1220 u2

Ejemplo 4. Calcula el área de limitada por la curva 𝒇(𝒙) = 𝟑

𝟑𝒙−𝟏 y el eje x en el intervalo [1,3].

Se dibuja la gráfica, se representa el área a calcular y se resuelve la integral aplicando la fórmula adecuada, en este caso se aplica:

∫𝑑𝑢

𝑢 = ln 𝑢 + 𝐶

Recuerda que para realizar la gráfica puedes realizar una tabla de valores con el apoyo de tu calculadora.

(30)

Se resuelve la integral con alguno de los métodos estudiados en el segundo parcial

𝐴 = ∫ 3𝑑𝑥 3𝑥 − 1= ∫ 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| 3 1 3 1 |3 1= 𝑙𝑛|3𝑥 − 1| 3 1 Datos 𝑢 = 3𝑥 − 1 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 Se aplica el TFC 𝐴 = [𝑙𝑛|3(3) − 1|] − [𝑙𝑛|3(1) − 1|] 𝐴 = [𝑙𝑛8] − [𝑙𝑛2] ≈ 2.0794 − 0.6931 𝐴 ≈ [𝑙𝑛3] ≈ 1.3863

(31)

Ejemplo 5 Calcular el área comprendida entre la curva 𝒇(𝒙) = 𝟑

𝟏𝟐𝒙−𝟏𝟑 , el eje x y las

rectas x = -2 y x = 1.

Se comienza dibujando la gráfica y se representa el área a calcular.

Se formula la integral de acuerdo con los datos proporcionados y se resuelve,

𝐴 = ∫ 3𝑑𝑥 12𝑥 − 13 = 1 4∫ 𝑑𝑢 𝑢 1 −2 1 −2 Datos 𝑢 = 12𝑥 − 13 𝑑𝑢 = 12𝑑𝑥 𝑑𝑢 4 = 3𝑑𝑥 𝐴 =1 4ln 𝑢 | 1 −2 = 1 4𝑙𝑛|12𝑥 − 13| | 1 −2 𝐴 = [1 4𝑙𝑛|12(1) − 13|] − [ 1 4𝑙𝑛|12(−2) − 13|] 𝐴 = [1 4𝑙𝑛|1|] − [ 1 4𝑙𝑛|−37|] 𝐴 = [1 4ln (1)] − [ 1 4ln(37)] = 1 4(0) − 1 4ln(37) ≈ − 1 4(3.6109) ≈ −0.9027

(32)

Ahora es momento de practicar lo aprendido, después de haber visto ejemplos de cómo calcular área bajo la curva de funciones exponenciales realiza los siguientes ejercicios. Todos los ejercicios deberán llevar su respectiva gráfica.

1. Calcula el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas:

𝑦 = 𝑒2𝑥_{, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1.5 Sol. 9.54 u}2

2. Encuentra el área de la región limitada por: 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥2_{, 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0,1].}

Sol. 0.86 u2

3. Determina el área de la región comprendida entre la curva 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2 , el eje X en el intervalo [-2,3]. Sol. 2.8 u2

4. Determina el área de la región comprendida entre la curva 𝑓(𝑥) = 8

𝑥+1 , el eje X en el

intervalo [1,8]. Sol. 22.03 u2

5. Determina el área de la región comprendida entre la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥

𝑥2₋₉ , el eje X en el intervalo [-4,0]. Sol. ∞

(33)

Indicador Cumple

si no

Dibujo la gráfica de y represento el área a calcular

Resuelvo la integral siguiendo un proceso ordenado y coherente Utilizo las propiedades aritméticas y algebraicas.

Obtengo la solución correcta Resuelvo todas las integrales

Área bajo la curva de funciones trigonométricas

De la misma forma como se trató con las funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, se puede realizar el cálculo de áreas limitadas por funciones trigonométricas. En este apartado se presentarán ejemplos sobre este tipo de funciones, es importante recordar para ello, las gráficas de las funciones trigonométricas, el manejo de los radianes y sus fracciones, ya que son de uso común en este tipo de representaciones (aunque también se puede trabajar en grados). Tampoco olvides el teorema fundamental del cálculo y las fórmulas de integración para funciones trigonométricas.

Como se vio anteriormente para calcular el área “bajo” una curva, lo primero que se debe hacer es dibujar la gráfica para saber si la superficie a calcular queda por abajo o por arriba del eje horizontal. Posteriormente se calculan las integrales en los diferentes intervalos, se toman los valores absolutos de los resultados y se realiza la suma aritmética para obtener el área total de la superficie a calcular.

Antes de iniciar con los ejemplos es necesario recordar que, en cálculo y en numerosas aplicaciones, los dominios de las funciones están formados por números reales. Por lo tanto, para considerar el dominio de una función trigonométrica como un subconjunto de los números reales, podemos usar la siguiente definición:

El valor de una función trigonométrica de un número real t es su valor en un ángulo de t radianes, siempre que exista ese valor.

(34)

Usando esta definición, podemos interpretar una notación tal como sen 2 o el seno del número real 2 de un ángulo de 2 radianes. Si se usan medidas en grados, escribiremos

sen 2°. Con esta idea,

𝑠𝑒𝑛2° ≠ 𝑠𝑒𝑛2

Por lo tanto, para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales con una calculadora, se usa el modo de radianes, por esta razón en las gráficas de funciones trigonométricas el eje horizontal está dividido en fracciones de π radianes. Para numerar el eje horizontal recuerda que:

180° = 𝜋 360° = 2𝜋

A partir de estos valores solo se aplica una regla de tres para realizar la conversión de grados a radianes, por ejemplo:

Ejemplo 1 Calcular el equivalente de 30° en radianes.

180° → 30° → 𝜋 𝑥 De aquí tenemos, 𝑥 =30° ∙ 𝜋 180° Reduciendo la fracción 𝑥 =15 ∙ 𝜋 90 = 5 ∙ 𝜋 30 = 𝜋 6 Por lo tanto 𝟑𝟎° =𝝅 𝟔 𝒓𝒂𝒅

Ejemplo 2: Convertir 270° a radianes

Se aplica la regla de tres;

180° → 270° → 𝜋 𝑥 𝑥 =270° ∙ 𝜋 180° = 135 ∙ 𝜋 90 𝑥 =45 ∙ 𝜋 30 = 15 ∙ 𝜋 10 = 3 ∙ 𝜋 2 Por lo tanto 𝟐𝟕𝟎° =𝟑𝝅 𝟐 = 𝟑 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅

(35)

Una forma práctica para saber las equivalencias a radianes sería hacer solo divisiones, por ejemplo; si se sabe que:

360° = 2𝜋

Si se divide 360° entre 2 se obtiene 180°, si se hace lo mismo para 2π da π, por lo tanto; 180° = 𝜋

Observa la siguiente tabla:

Y esto se puede hacer para cualquier ángulo que se necesite conocer su equivalencia, observa que para 240°, si se divide 360 entre 240 su resultado es 1.5 = 3/2, esto significa que: 360° 3 2 = 240°

Por lo tanto, si se desea saber su equivalencia en radianes, se procede de la siguiente manera:

2𝜋

3 2

=4𝜋 3

Ahora sí, observa el siguiente ejemplo, donde se calcula el área limitada por una arcada de la función 𝑓(∅) = 𝑠𝑒𝑛𝜃 .

Primero se dibuja la función, recordando que los ángulos se darán en radianes, para ello conviene apoyarse en una tabla de valores. Para encontrar los valores de la función

se debe de pasar la calculadora en modo radianes.

Y se procede a realizar los cálculos, por ejemplo, para obtener sen π, se realiza como se muestra a continuación: Grados Radianes 360° 2𝜋 360° 2 = 180° 2𝜋 2 = 𝜋 360° 4 = 90° 2𝜋 4 = 𝜋 2 360° 6 = 60° 2𝜋 6 = 𝜋 3 360° 8 = 45° 2𝜋 8 = 𝜋 4 360° 12 = 30° 2𝜋 12 = 𝜋 6

(36)

Es necesario tener mucho cuidado al momento de ingresar los datos en la calculadora, el no hacerlo conducirá a resultados erróneos. Calcular sen−𝝅

𝟐

con

Correcto Correcto

Incorrecto

Como recordarás del curso de trigonometría las funciones trigonométricas son periódicas, esto significa que se van repitiendo cada determinado intervalo, por lo tanto, en la gráfica de la función seno podemos observar que se repite la forma de la gráfica cada dos arcadas y las arcadas son todas del mismo tamaño, por lo que se calcula la integral en cualquiera de los intervalos que comprenden una arcada, por ejemplo, en el intervalo [0, π].

Primero se calcula la integral aplicando la fórmula correspondiente ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽 𝝅 𝟎 = − cos 𝜃 |𝜋 0

Ten en cuenta que aquí no se le suma la constante de integración porque al final se cancela.

Se aplica el teorema fundamental del cálculo:

Ɵ f(Ɵ) -π 0 -π/2 -1 0 0 π/2 1 π 0 3π/2 -1 2π 0

(37)

= −𝑐𝑜𝑠𝜃 |𝜋

0= [−cos (𝜋)] − [− cos(0)] = − cos(𝜋) + cos(0) = 1 + 1 = 𝟐 por lo tanto, el área es 2 u2.

Ejemplos de cálculo de áreas bajo la curva de funciones

trigonométricas

Ejemplo 1. Calcular el área comprendida entre la curva 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 y el eje x, en el intervalo[-π/4, π/4]

Se dibuja la gráfica:

Como se muestra en la figura el área a calcular está dividida en dos intervalos, uno que queda debajo del eje x y otro por encima de él, además son iguales. Esto significa que se puede calcular la integral de alguno de los intervalos y multiplicarlo por 2, así se obtiene el área que se solicita. En este caso se calcula para el intervalo [0, π/4],

∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ln(𝑠𝑒𝑐 𝑥) | 𝜋 4 0= ln (𝑠𝑒𝑐 ( 𝜋 4)) − 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑐(0)) ≈ 0.35 − 0 ≈ 0.35 𝜋 4 0

Ahora multiplicando por 2 se obtiene el área que se nos solicita, es decir: 𝐴 ≈ 2(0.35) ≈ 𝟎. 𝟕𝒖𝟐

Ejemplo 2. Determina la superficie acotada por la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 en el intervalo [-π/2, π/2] y el eje x.

(38)

La gráfica muestra que el área a calcular queda por arriba del eje x, por lo tanto, se realiza una sola integral en el intervalo mostrado.

∫ 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 | 𝜋 2 −𝜋 2 = 2 [𝑠𝑒𝑛 (𝜋 2) − 𝑠𝑒𝑛 (− 𝜋 2)] = 2(1 − (−1)) 𝜋 2 −𝜋₂ = 2(1 + 1) = 2(2) = 4

Por lo tanto, el área es 4u2.

Ejemplo 3. Determina la superficie acotada por la curva 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙

𝟐 en el intervalo [-π, 2π] y el eje x.

Se dibuja la gráfica y se sombrea el área a calcular.

En la gráfica se muestra que el área solicitada está dividida en dos, una que queda debajo del eje x y otra queda arriba, también se aprecia que el área que está debajo del eje x es la mitad del área que queda por arriba, por lo tanto, si se calcula el área entre el intervalo [0,2π] y luego se le suma la mitad de esta obtendremos el área total solicitada. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 2) 𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 ( 𝑥 2) | 2𝜋 0 = [−2𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 2 )] − [−2𝑐𝑜𝑠 ( 0 2)] = −2cos (𝜋) + 2cos (0) 2𝜋 0 = −2(−1) + 2(1) = 2 + 2 = 4

Ahora bien, si le suma a esta área su mitad obtendremos el total solicitada, esto es: 𝐴 = 4 + 2 = 𝟔𝒖𝟐

Ejemplo 4. Determina la superficie acotada por la curva 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 en el intervalo [-π, π/4] y el eje x.

Se dibuja la gráfica, se sombrea el área a calcular, se realiza la integral en el intervalo positivo [0, π/4] y se multiplica por 5, dado que el área a calcular está constituida por 5 subáreas del mismo tamaño.

(39)

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Campeche 𝐴 = 5 ∫ 2 cos(2𝑥) 𝑑𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛(2𝑥) | 𝜋 4 0= 5 [𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝜋 4) − 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 0)] 𝜋 4 0 = 5 [𝑠𝑒𝑛 (𝜋 2) − 𝑠𝑒𝑛(0)] = 5(1 − 0) = 5(1) = 𝟓 𝒖𝟐.

(40)

Ejemplo 5. Determina la superficie acotada por la curva 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒄𝟐_{𝒙 en el intervalo} [-π/4, π/3] y el eje x.

Se dibuja la gráfica y se sombrea el área a calcular.

El área que se pide queda por encima del eje x por lo tanto, se calcula la integral solamente en el intervalo dado y el resultado dará directamente el valor del área a determinar. 𝐴 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2_{𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 |} 𝜋 3 −𝜋 4 𝜋 3 −𝜋 4 = [𝑡𝑎𝑛 (𝜋 3)] − [𝑡𝑎𝑛 (− 𝜋 4)] = 𝑡𝑎𝑛 (𝜋 3) − 𝑡𝑎𝑛 (− 𝜋 4) = ≈ 1.7320 − (−1) ≈ 1.7320 + 1 ≈ 2.7320

(41)

Después de haber estudiado el cálculo de áreas “bajo” la curva de funciones trigonométricas te proponemos una serie de ejercicios para practicar lo aprendido en esta sección.

Para cada uno de los siguientes ejercicios calcular el área acotada por la función, el eje x y los intervalos propuestos. Recuerda que deberás dibujar la función y sombrear el área que se va a calcular.

1. 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 en el intervalo [−𝜋/4, 𝜋/2] Sol. 1.29 u2

2. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 en el intervalo [0, 2𝜋] Sol. 5.66 u2

Ejercicios de seguimiento

(42)

3. 𝑓(𝑥) = −3𝑐𝑜𝑠𝑥 en el intervalo [-π/3, 𝜋/4] Sol. 4.72 u2

Dibujo la gráfica de y represento el área a calcular

Resuelvo la integral siguiendo un proceso ordenado y coherente Utilizo las propiedades

aritméticas y algebraicas. Obtengo la solución correcta Resuelvo todas las integrales

(43)

Actividad de aprendizaje 1

Calcula las siguientes integrales definidas.

𝟏. ∫ (𝟐𝒙𝟐− 𝟑)𝒅𝒙 𝟏 −𝟏 𝟐. ∫ (𝒙−𝟐+ 𝟐𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 𝟒 𝟏 𝟑. ∫ √𝒙𝟑 𝟐_𝒅𝒙 𝟒 𝟎 𝟒. ∫ (𝒙𝟑_{− 𝒙}𝟐_{+ 𝟐)𝒅𝒙} 𝟐 −𝟏 𝟓. ∫ (−𝒙𝟐+ 𝟐𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 𝟑 −𝟏 𝟔. ∫ (−𝒙 + 𝟐)𝒅𝒙 𝟒 −𝟒 𝟕. ∫ (−𝒙𝟐+ 𝟖𝒙 − 𝟕)𝒅𝒙 𝟏𝟎 𝟒 𝟖. ∫ (𝟏 − √𝒙)𝒅𝒙 𝟒 𝟎 𝟗. ∫ ( 𝟏 𝒙−𝟐− 𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝟓 𝟎 𝟏𝟎. ∫ 𝟐𝒙(𝒙𝟐_{+ 𝟐)}𝟐_𝒅𝒙 𝟏 −𝟏

(44)

Actividad de aprendizaje 2

Determina el área limitada por la curvas y el eje X dentro de los intervalos dados. Dibujar las gráficas y representar el área a calcular.

𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑_{en el intervalo [-2,2]} 𝟐. 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 en el intervalo [1,3] 𝟑. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑− 𝟔𝒙𝟐+ 𝟖𝒙 en el intervalo [0,4] 𝟒. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 en el intervalo [2,5] 𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟏 en el intervalo [2,3] 𝟔. 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝒙 en el intervalo [1,8] 𝟕. 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟑 en el intervalo [-4,0] 𝟖. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐+ 𝟐𝒙 + 𝟑 en el intervalo [0,2] 𝟗. 𝒇(𝒙) = 𝟓 en el intervalo [-5,4] 𝟏𝟎. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑+ 𝟔𝒙𝟐+ 𝟖𝒙 en el intervalo [-2,0]

(45)

Actividad de aprendizaje 3

𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝒆𝟑𝒙 en el intervalo [-1, 1] 𝟐. 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙 en el intervalo [-3, 2] 𝟑. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐𝒆𝒙𝟑−𝟒 en el intervalo [0, 2] 𝟒. 𝒇(𝒙) = 𝟎. 𝟓𝟐𝒙_{en el intervalo [-1,}_2] 𝟓. 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙+𝟐 en el intervalo [-1, 4] 𝟔. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 𝒙𝟐_+𝟐 en el intervalo [-4, 4] 𝟕. 𝒇(𝒙) = 𝒆𝒙_{+ 𝟐 en el intervalo [-8, 2]} 𝟖. 𝒇(𝒙) = −𝒆𝒙 en el intervalo [-4, 2] 𝟗. 𝒇(𝒙) = −𝟑−𝒙 en el intervalo [-2, 5] 𝟏𝟎. 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝟐𝒙 en el intervalo [-3, 4]

(46)

Actividad de aprendizaje 4

𝟏. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 en el intervalo [0, π]

𝟐. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 en el intervalo [-π, π]

𝟑. 𝒇(𝒙) = 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 en el intervalo [0, π/5]

𝟒. 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 en el intervalo [-π, π]

(47)

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN: LISTA DE COTEJO 1 DE 1 ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL

NOMBRE DEL ALUMNO:

CARRERA: TODAS PARCIAL: TERCER

CICLO ESCOLAR 2020-2021

SEMESTRE: SEP 2021 – ENE 2022

GRUPO: APRENDIZAJE ESPERADO:

Reconoce el significado de la integral definida con el área bajo la curva.

PRODUCTO ESPERADO:

Ejercicios de integrales definidas.

PLAN DE EVALUACIÓN

NOMBRE TIPO MOMENTO PONDERACIÓN

Actividad de aprendizaje 1 FORMATIVA HETEROEVALUACIÓN 20%

CRITERIOS PARA VALORAR SI NO OBSERVACIONES

1. Sigue las instrucciones dadas por el docente para la realización de los ejercicios. (0.5 puntos por ejercicio) 2. Entrega completamente resueltos los ejercicios

propuestos. (1 punto por ejercicio)

3. Aplica de manera adecuada las fórmulas de integración (2 puntos por ejercicio)

4. Resuelve las integrales siguiendo un proceso ordenado y coherente. (1 punto por ejercicio)

5. Aplica correctamente el T. F. C. (1 punto por ejercicio)

6. Utiliza las propiedades aritméticas y algebraicas correspondientes (1 punto por ejercicio)

7. Refleja el dominio de los aprendizajes esperados (1 punto por ejercicio)

8. Las soluciones de las integrales definidas de funciones polinómicas son correctas (2 puntos por ejercicio)

9. El estudiante entrega en tiempo y forma los ejercicios (0.5 por ejercicio)

TOTALES

COMPETENCIAS GENÉRICAS:

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

ATRIBUTOS

4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

4.5 Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas. 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

(48)

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN: Escala de valores 1 de 2 ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL

CICLO ESCOLAR 2020-2021

SEMESTRE: SEP 2021 – ENE 2022

Calcula el área debajo de curvas conocidas, como gráficas de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas entre dos límites de integración.

Cálculo de áreas (funciones algebraicas)

Actividad de cierre 2 y 3 FORMATIVA HETEROEVALUACIÓN 60%

Indicador Ejercicios Puntaje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sigue instrucciones de forma adecuada

Dibuja la gráfica y se apoya de una tabla de valores

Construye y representa la integral definida. Identifica y aplica las fórmulas de integración adecuadamente. Aplica el TFC.

Resuelve la integral siguiendo un proceso matemático ordenado y coherente. Las soluciones son las correctas. Entrega en tiempo y forma. Totales

Nota: Las puntuaciones asignadas a cada uno de los indicadores será de 1 a 5. _Evaluación

Puntaje Nota 1 - 46 5 47 -90 6 91 - 134 7 135 - 222 8 223 -260 9 261 - 280 10 Concepto Puntaje Excelente 4 Bueno 3 Regular 2 Insuficiente 1 Deficiente 0 Observaciones:

TRABAJO NO ENTREGADO SE CONSIDERA CON CALIFICACIÓN CERO

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

ATRIBUTOS

(49)

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos 8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

(50)

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE CAMPECHE

INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN: Escala de valores 2 de 2 ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL

CICLO ESCOLAR 2021-2022

SEMESTRE: SEP 2021 – ENE 2022

Interpreta, por extensión o generalización, el área bajo la curva de gráficas de funciones trigonométricas básicas

Cálculo de áreas (funciones Trigonométricas)

Actividad de aprendizaje 4 FORMATIVA HETEROEVALUACIÓN 20%

Indicador Ejercicios Puntaje

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sigue instrucciones de forma adecuada

Dibuja la gráfica y se apoya de una tabla de valores

Construye y representa la integral definida. Aplica las fórmulas de integración

adecuadamente. Aplica el TFC

Resuelve la integral siguiendo un proceso ordenado y coherente

La solución es la correcta Entrega en tiempo y forma

Totales

Nota: Las puntuaciones asignadas a cada uno de los indicadores será de 1 a 5. Evaluación Puntaje Nota 1 - 28 5 29 -55 6 56 - 85 7 86 - 112 8 113 -139 9 140 - 170 10 Concepto Puntaje Excelente 4 Bueno 3 Regular 2 Insuficiente 1 Deficiente 0 Observaciones:

TRABAJO NO ENTREGADO SE CONSIDERA CON CALIFICACIÓN CERO

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y

ATRIBUTOS

(51)

herramientas apropiados.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

8.1 Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

(52)

FORMULARIO DE CÁLCULO INTEGRAL

∫ 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓 (𝑥) + 𝐶 ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) ± ∫ 𝑔(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛 + 1 𝑛+1 + 𝐶 ∫ 𝑢𝑛𝑑𝑢 = 𝑢 𝑛 + 1 𝑛+1 + 𝐶 ∫𝑑𝑢 𝑢 = 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 = 𝑎 𝑙𝑛𝑎 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝐶 ∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝐶

∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = −ln (cos 𝑢) + 𝐶 = ln (sec 𝑢) + 𝐶 ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln (sen 𝑢) + 𝐶

∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln (sec 𝑢 + tan 𝑢) + 𝐶 ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln (csc 𝑢 − cot 𝑢) + 𝐶 ∫ sec2𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶

(53)

∫ csc2_{𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶}

∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = −csc 𝑢 + 𝐶 ∫ du 𝑢2_{+ 𝑎}2 = 1 𝑎arctan 𝑢 𝑎+ 𝐶 ∫ du 𝑎2_{− 𝑢}2 = 1 2𝑎ln 𝑎 + 𝑢 𝑎 − 𝑢+ 𝐶 ∫ du 𝑢2_{− 𝑎}2 = 1 2𝑎ln 𝑢 − 𝑎 𝑢 + 𝑎+ 𝐶 ∫ du √𝑎2 _{− 𝑢}2 = arcsin 𝑢 𝑎+ 𝐶 ∫ du √𝑢2_{+ 𝑎}2 = ln |𝑢 + √𝑢 2_{+ 𝑎}2_{| + 𝐶} ∫ du √𝑢2_{− 𝑎}2 = ln |𝑢 + √𝑢 2_{− 𝑎}2_{| + 𝐶} ∫ √𝑎2_{− 𝑢}2_{𝑑𝑢 =}𝑢 2√𝑎 2_{− 𝑢}2₊𝑎 2 2 arcsin 𝑢 𝑎+ 𝐶 ∫ √𝑢2_{+ 𝑎}2_{𝑑𝑢 =}𝑢 2√𝑢 2_{+ 𝑎}2₊𝑎 2 2 ln |𝑢 + √𝑢 2_{+ 𝑎}2_{| + 𝐶} ∫ √𝑢2_{− 𝑎}2_{𝑑𝑢 =}𝑢 2√𝑢2− 𝑎2− 𝑎2 2 ln |𝑢 + √𝑢2− 𝑎2| + 𝐶

(54)

Referencias

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Carrión, M. L. (2014). Cálculo integral y sus aplicaciones. En M. L. Carrión, Cálculo

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