Capítulo 5 Las funciones logaritmo y exponencial (G.Izquierdo 02/2017)

Printer: Opaque this

Capítulo 5

Las funciones logaritmo y

exponencial (G.Izquierdo

02/2017)

Si bien este capítulo está dedicado al estudio de las propiedades de las funciones logaritmo y exponencial, también es una muestra del poder del Cálculo en el estudio de funciones.

Se invita al lector a que, antes de ver la demostración de varios de los resultados que se presentan a continuación, intente dar el o los argumentos que justi…can su validez.

5.1.

La función logaritmo natural

De…nición 5.1. _{Para cada x en el intervalo (0; 1) de…nimos el logaritmo} natural de x como ln x = Z x 1 1 d

Observemos que el logaritmo natural solo está de…nido para x > 0. La razón es que la función f (x) = 1_x no tiene límites laterales en 0 por lo que no es continua por tramos en ningún intervalo que contenga al origen y la integral no estaría de…nida si x 0.

También debe tenerse en cuenta que si 0 < x < 1, el logaritmo debe calcularse usando la convención

Z x 1 1 d = Z 1 x 1 d

Por supuesto, la primera propiedad de la función que acabamos de de…nir nos la da el TFC parte 2.

Teorema 5.1. La función ln x es diferenciable para todo x en el intervalo (0; 1) y

d ln x dx =

1 x

Demostración. Para poder aplicar el TFC parte 2 es necesario dar una intervalo [ ; ] donde la función f (x) = 1

x sea continua y por ende [ ; ]

encontrar una intervalo [ ; ] contenido en (0; 1) y en el cual se encuentren tanto el punto 1 como el punto x.

α

x

0

Si aplicamos el TFC parte 2 en el intervalo [ ; ] se obtiene que, en efecto,

d ln x dx =

1 x

Como se recordará, en el capítulo anterior vimos que las funciones de tipo f (x) = xr_{tienen como primitiva F (x) =} 1

r+1x

r+1_{excepto en el caso en el}

que r = 1 y dejamos pendiente el problema de encontrar una primitiva para la función f (x) = x 1 ₌ 1

x. El teorema anterior nos da la respuesta

para este caso.

Corolario 5.2._{En cualquier intervalo cerrado contenido en (0; 1), F (x) =} ln x es una primitiva de la función f (x) = 1_x

Dos hechos casi inmediatos de la manera en que se de…nió el logaritmo natural son los siguientes:

Proposición 5.3. ln 1 = 0.

Problema 5.1. Demuestre la igualdad ln 1 = 0

(Sugerencia: Recuerde como se de…neR_aaf (x) dx) Proposición 5.4. a) Si x > 1, ln x > 0

b) Si 0 < x < 1, ln x < 0.

y como f ( ) = 1 es continua y estrictamente positiva en [1; x], el teorema ??-b) garantiza que ln x = Z x 1 1 d > 0 b) Para 0 < x < 1, el mismo teorema nos dice que

Z 1 x

1 d > 0

pero, en este caso

ln x = Z x 1 1 d = Z 1 x 1 d por lo tanto ln x = Z 1 x 1 d < 0 cuando 0 < x < 1

Puesto que f (x) = 1_xes una función no negativa, para x > 1 el logaritmo se puede interpretar como el área bajo la grá…ca de la función 1_x en el intervalo [1; x] 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

x

y

x

De hecho una de las propiedades más importantes del logaritmo se basa en una cualidad sobre las áreas de hipérbolas como la descrita por la grá…ca de f (x) = 1

x. Esta propiedad nos dice que si un intervalo se multiplica

x

y

b

a

ab

1

Una manera de formular esta propiedad es la siguiente

Lema 5.5. Para cualesquiera dos números positivos a y b se cumple la igualdad Z b 1 1 d = Z ab a 1 d

Problema 5.3. Demuestre esta igualdad para el caso en el que b > 1. (Sug-erencia: Construya la sucesión de sumas de Riemann uniformes, con (n)_k el extremo derecho de cada subintervalo, para ambas integrales y factorice una a para veri…car que son iguales)

Demostración. La idea de la demostración surge al comparar las sumas de Riemann uniformes para ambas integrales.

Para b > 1, las particiones uniformes del intervalo [1; b] son P_nU([1; b]) = x(n)_k = 1 + k b 1

n , con k = 1; 2; : : : ; n y las correspondientes sumas de Riemann son

n X k=1 1 1 + k b 1_n b 1 n

Mientras que en el intervalo [a; ab] las particiones uniformes son P_nU([a; ab]) = x(n)_k = a + k ab a

n , con k = 1; 2; : : : ; n y las sumas de Riemann tienen la forma

Al simpli…car esta sumatoria se tiene que n X k=1 " 1 a + k ab a_n ab a n # = n X k=1 " 1 a 1 + k b 1_n a (b 1) n # = n X k=1 " 1 1 + k b 1 n b 1 n # Por lo tanto Z ab a 1 d = l m n!1 n X k=1 " 1 a + k ab a_n ab a n # = l m n!1 n X k=1 " 1 1 + k b 1_n b 1 n # = Z b 1 1 d

lo que muestra la igualdad en el caso b > 1

En el caso b < 1, también se tiene que ab < a (pues a > 0) por lo que Z b 1 1 d = Z 1 b 1 d y Z ab a 1 d = Z a ab 1 d

Las correspondientes sucesión de sumas de Riemann para los intervalos [b; 1] y [ab; a] son n X k=1 " 1 b + k 1 b_n 1 b n # y n X k=1 " 1 ab + k a ab_n a ab n #

Nuevamente, se tiene que

n X k=1 " 1 ab + k a ab_n a ab n # = n X k=1 " 1 a b + k 1 b_n a (1 b) n # = n X k=1 " 1 b + k 1 b_n 1 b n # por lo tanto Z ab a 1 d = Z a ab 1 d = l m n!1 n X k=1 " 1 ab + k a ab n a ab n # = l m n!1 n X k=1 " 1 b + k 1 b_n 1 b n # = Z 1 b 1 d = Z b 1 1 d

5.1.1.

El Álgebra y el logaritmo natural

Una consecuencia del lema 5.5 es la siguiente relación entre el producto de dos número y su logaritmo.

Teorema 5.6. Para cualesquiera dos números positivos a y b

ln ab = ln a + ln b (5.1.1)

Problema 5.4. Muestre esta igualdad (5.1.1). (Sugerencia: Use el teorema ??para reescribir la integralR₁ab1d y use el lema.)

Demostración. Por de…nición ln ab = Z ab 1 1 d de acuerdo al teorema ?? ln ab = Z ab 1 1 d = Z a 1 1 d + Z ab a 1 d

pero el lema que acabemos de demostrar nos dice que R_aab1d = R₁b1d por lo tanto ln ab = Z a 1 1 d + Z ab a 1 d = Z a 1 1 d + Z b 1 1 d = ln a + ln b

A continuación enunciamos y demostramos varias propiedades del loga-ritmo natural que de desprenden del teorema 5.6 y las reglas de los expo-nentes.

Proposición 5.7. _{Para todo a y b en (0; 1) se tiene que} ln a

b = ln a ln b (5.1.2)

Problema 5.5. Demuestre la fórmula (5.1.2) (Sugerencia: Use el hecho de que a_b b = a)

Demostración. Puesto que a

b b es el producto de dos números positivos,

se sigue del teorema 5.6 que ln a

bb = ln a b + ln b Por otra parte, como a_b b = a, se tiene que

De estas dos igualdades obtenemos que ln a = ln a

b + ln b y despejando llegamos a la fórmula

ln a

b = ln a ln b

Proposición 5.8. Para cada entero positivo n y para cada a en (0; 1)

ln (an) = n ln a (5.1.3)

Problema 5.6. Deduzca la igualdad (5.1.3). (Sugerencia: Vea lo que ocurre al aplicar el teorema 5.6 a ln a2_{; ln a}3_{, etc. y recuerde como se de…ne a}n₎

Demostración. Como a2_{= a a, ln a}2_{= ln (a a) y por el teorema 5.6}

ln a2= ln (a a) = ln a + ln a = 2 ln a Para ln a3_{, se tiene que}

ln a3 = ln (a a a) = ln ((a a) a) = ln a2 a = ln a2+ ln a = 2 ln a + ln a = 3 ln a Para ln a4 _{se obtiene que}

ln a4 = ln (a a a a) = ln ((a a a) a)

= ln a3 a = ln a3+ ln a = 3 ln a + ln a = 4 ln a

y uno podría seguir así y veri…car que se cumple el resultado para cada n dado.

Sin embargo, si uno quiere ser riguroso, debe usar un argumento induc-tivo.

Es claro que para n = 1

ln a1= ln a = 1 ln a Puesto que an+1_{= a}n _{a, el teorema 5.6 nos dice que}

ln an+1= ln (an a) = ln an+ ln a pero por hipótesis de inducción ln an _{= n ln a por lo tanto}

ln an+1= ln an+ ln a = n ln a + ln a = (n + 1) ln a

Por lo que la propiedad se cumple para n + 1 y la demostración inductiva está completa

El siguiente resultado hace uso de las proposiciones 5.3 y 5.7 y del hecho de que a n₌ 1

an = 1_a n

Proposición 5.9. _{a) Para cualquier a en (0; 1)} ln 1

a = ln a b) Para cada entero positivo n

ln a n= n ln a Problema 5.7. Deduzca ambas igualdades. Demostración. a) De la proposición 5.7

ln 1

a = ln 1 ln a

pero sabemos que ln 1 = 0 (proposición 5.3) por lo tanto ln 1 a = ln 1 ln a = 0 ln a = ln a b) Puesto que a n= 1 an = 1 a n y 1

a está en (0; 1) podemos usar la proposición 5.8 para concluir que

ln a n= ln 1 a

n

= n ln 1 a y por lo demostrado en el inciso a)

ln a n= n ln 1

a = n ( ln a) = n ln a

Observamos que todo entero negativo m es de la forma n con n un entero positivo, por lo tanto

ln am= ln a n= n ln a = m ln a Así, las proposiciones 5.8 y 5.9 muestran que

Proposición 5.10. Para cada entero m y cualquier número positivo a

ln am= m ln a (5.1.4)

En lo que sigue intentaremos extender este resultado al caso de expo-nentes fraccionarios, por lo que es conveniente que el lector recuerde que para una número positivo a se tienen las siguientes propiedades

Proposición 5.11. Para cada entero positivo n y cualquier número a en (0; 1)

ln pn

a = ln an1 = 1

nln a (5.1.5)

Problema 5.8. Demuestre (5.1.5). (Sugerencia: Use an1 n

= a y la fór-mula (5.1.3))

Demostración. Puesto que a1n n

= a, ln an1

n

= ln a Por otro lado usando la igualdad (5.1.3)

ln an1 n

= n ln an1

Combinando estas dos igualdades se obtiene que n ln an1 = ln a

y multiplicando por 1

n llegamos a la fórmula

ln a1n = 1

nln a como se quería demostrar

Todas las fórmulas para los exponentes obtenidas se pueden sintetizar en el siguiente resultado

Teorema 5.12. Para todo exponente racional q y cualquier número posi-tivo a, se cumple que

ln aq= q ln a (5.1.6)

Problema 5.9. Demuestre el teorema 5.12. (Sugerencia: Recuerde que todo racional q se puede escribir en la forma q = m_n con m y n enteros y n > 0.)

Demostración. Como todo racional q se puede escribir en la forma q = m n

con m y n enteros y n > 0, para todo a > 0 aq = amn = a 1 n m y por ende ln aq = ln amn = ln a 1 n m

Usando la fórmula (5.1.4) se tiene que ln aq = ln an1

m

y de (5.1.5) obtenemos que

ln aq= m ln an1 = m 1

nln a = m

n ln a pero m_n = q por lo tanto

ln aq= q ln a

Terminamos este apartado con un ejemplo de como se pueden usar los resultados que hemos visto para desarrollar el logaritmo de una expresión algebraica más o menos complicada.

Ejemplo 5.1. Veamos como se pueden usar las propiedades del logaritmo para llegar a la igualdad

ln 0 @ 5 p x2_y4₍p3_z) 3 q x25y 1 2z4 1 A = 4 15ln x + 29 30ln y 19 15ln z con x; y; z > 0 Empezamos usando (5.1.2) para ver que

ln 0 @ 5 p x2_y4₍p3_z) 3 q x25y 1 2z4 1 A = ln 5 q x2_y4 p3_{z ln} 3 q x25y 1 2z4

Ahora usamos (5.1.5) para llegar a la igualdad

ln 0 @ 5 p x2_y4₍p3_z) 3 q x25y 1 2z4 1 A = 1 5ln x 2_y4 p3_z 1 3ln x 2 5y 12z4 Aplicando el teorema 5.6 ln 0 @ 5 p x2_y4₍p3_z) 3 q x25y 12z4 1 A = 1 5ln x 2_y4 p3 z 1 3ln x 2 5y 1 2z4 = 1 5 ln x 2_{+ ln y}4_{+ ln}p3_z 1 3 h ln x25 + ln y 12 + ln z4 i la fórmula (5.1.6) nos da ln 0 @ 5 p x2_y4₍p3_z) 3 q x25y 12z4 1 A = 1 5 2 ln x + 4 ln y + 1 3ln z 1 3 2 5ln x 1 2ln y + 4 ln z Finalmente, simpli…cando obtenemos que

5.1.2.

El cálculo de límites y el logaritmo natural

Veamos ahora como el Cálculo nos ayuda a obtener límites, derivadas e integrales relacionadas con el logaritmo natural, así como otras propiedades de esta función.

Empezaremos con un resultado auxiliar que intuitivamente se desprende de la siguiente idea: Consideremos la grá…ca de la función f (x) = 1_x

0 1 2 3 4 5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

x

y

Es claro que en el intervalo [1; 2] la grá…ca de la función 1_x está por encima de la grá…ca de la función constante h1(x) = 1₂, esto es, 1₂ 1_x. Para el

intervalo [2; 3] la función 1_x está arriba de la constante h2(x) = 1₃, 1_{3 x}1.

En el intervalo [3; 4] 1_x es mayor que la función constante h3(x) = 1₄ y así

sucesivamente.

De acuerdo con esto, el área del rectángulo con base en el intervalo [1; 2] y altura 1₂ es menor que el área bajo la grá…ca de f (x) = 1_x y por tanto

1 2 1 Z 2 1 1 xdx

El área del rectángulo con base en [2; 3] y altura 1₃es menor que área bajo la grá…ca de f (x) = 1_x en ese mismo intervalo, así que

1 3 1 Z 3 2 1 xdx En el intervalo [3; 4] se tiene que

1 4 1 Z 4 3 1 xdx En general, usando el que la función f (x) = 1

x es monótona decreciente,

positivo mayor que 1 se cumple la desigualdad _N1 _x1 y, en consecuencia, 1 N 1 Z N N 1 1 xdx Sumando estas desigualdades se llega a que 1 2 + 1 3 + 1 4+ + 1 N Z 2 1 1 xdx + Z 3 2 1 xdx + Z 4 3 1 xdx + + Z N N 1 1 xdx pero el teorema ?? (vea el problema ??), nos dice

Z 2 1 1 xdx + Z 3 2 1 xdx + Z 4 3 1 xdx + + Z N N 1 1 xdx = Z N 1 1 xdx por lo que 1 2+ 1 3+ 1 4 + + 1 N Z N 1 1 xdx (5.1.7)

Usando esta desigualdad se puede demostrar la siguiente propiedad Lema 5.13. Para cada entero positivo N > 1 y para cualquier x > N se cumple N X k=2 1 k ln x

Note que, convenientemente, hemos cambiado el nombre de la variable de integración.

Problema 5.10. Demuestre el lema 5.13. (Sugerencia: Recuerde la de…ni-ción del logaritmo, use la desigualdad (5.1.7) y el hecho de que, para x > N , la integralR_Nx 1d es positiva. Note que, convenientemente, hemos cambia-do en nombre de la variable de integración.)

Demostración. El argumento expuesto anteriormente muestra que

N X k=2 1 k Z N 1 1 d

Puesto que x > N y la función f ( ) = 1 es positiva para > 0, se sigue

y por la transitividad de las desigualdades concluimos que N X k=2 1 k Z x 1 1 d

peroR₁x1d = ln x, por lo tanto

N

X

k=2

1 k ln x

El lema 5.13 es clave en la demostración del siguiente resultado. Proposición 5.14. Para la función logaritmo se cumple que

l m

x!1ln x = 1

La demostración de esta proposición y la siguiente son un tanto técnicas y hacen uso del hecho de que la sucesiones de sumas

fsng = ( _n X k=2 1 k )

diverge a 1, por lo pueden omitirse en una primera lectura.

Demostración. Recordemos que para ver que una función F (x) diverge a +1, cuando x tiende a in…nito hay que mostrar que para cada R > 0 es posible encontrar un número N tal que para todo x > N se cumple que R < F (x).

Como la sucesión de sumas Pn_k=21_{k diverge a 1, para cada R > 0 es} posible encontrar N tal que

n

X

k=2

1

k R para todo n N

en particular PN_k=21_k R y por el lema 5.13, podemos a…rmar que, en efecto, para cada R > 0 existe N tal que para todo x > N se cumple que

ln x N X k=2 1 k R y por lo tanto l m x!1ln x = 1

Existe una relación entre el comportamiento de logaritmo natural en in…nito y su comportamiento cuando x se aproxima a 0. El cual está dado por la igualdad

Como se sabe, si x > 0 y se aproxima a 0, entonces, su recíproco _x1 se hace cada vez mas grande. De acuerdo con esto, el comportamiento del ln x cuando x se aproxima a 0 por la derecha, debe ser el mismo que el del logaritmo natural cuando la variable crece pero con un signo menos. Proposición 5.15. Para la función logaritmo se cumple que

l m

x!0+ln x = 1

Demostración. Nuevamente partimos de que la serieP1_k=21

k diverge y, por

lo tanto, para cada R > 0 existe N tal que

N

X

k=2

1

k R

Ahora bien para cada R > 0 elegimos = _N1, entonces, se tendrá que si 0 < x < =_N1

1 x> N lo que implica, por la proposición 5.14 que

ln x = ln1 x> R y por lo tanto si 0 < x < = 1

N

ln x < R lo que muestra que

l m

x!0+ln x = 1

Puesto que el logaritmo natural es una función diferenciable, también es continua, por lo que a los dos resultados anteriores podemos agregar uno más.

Proposición 5.16. _{Para cada a en el intervalo (0; 1) se cumple que} l m

x!aln x = ln a

Estos resultados junto con la regla de L’Hôpital permiten calcular muchos límites relacionados con la función logaritmo. He aquí algunos ejemplos. Ejemplo 5.2. Para ver que

l m

x!1

observemos que tanto ln x como x son diferenciables y ambas divergen cuando x tiende a in…nito, por lo que podemos aplicar la regla de L’Hôpital para concluir que

l m x!1 ln x x = l mx!1 d ln x dx dx dx = l m x!1 1 x 1 = l mx!1 1 x = 0

Ejemplo 5.3. Más aún, para cualquier entero positivo n se tiene que l m

x!1

ln x xn = 0

En efecto, aplicando L’Hôpital obtenemos que l m x!1 ln x xn = l m_x!1 1 x nxn 1 = l m_x!1 1 nxn = 0

Ejemplo 5.4. El veri…car que l m

x!0+x ln x = 0

es un tanto menos directo pues, en principio, no se tiene un cociente. Sin embargo, si uno observa que x ln x se puede escribir en la forma

x ln x = ln x₁

x

y que tanto ln x como _x1 divergen cuando x se aproxima a 0 por la derecha, entonces, uno puede usar nuevamente la regla de L’Hôpital para concluir que l m x!0+x ln x = l m_x!0+ ln x 1 x = l m x!0+ 1 x 1 x2 = l m x!0+ x2 x = l mx!0+ x = 0

Problema 5.11. Muestre que para cualquier entero positivo n l m

x!0+ n

p

x ln x = 0 (Sugerencia: Note que pn_{x ln x =} ln x

1 n

p_x, use la regla de L’Hôpital y recuerde

que l mx!1x1r = 0 para cualquier exponente positivo r.)

Problema 5.12. Calcule el siguiente límite l m

x!0+x ln 3

x

(Respuestas: Usando la regla de L’Hôpital varias veces debe llegar a que l m

x!0+x ln

3_{x = l m}

5.1.3.

La derivada y el logaritmo natural

Como se desprende de la de…nición de la función logaritmo natural y del TFC parte 2, f (x) = ln x es diferenciable en (0; 1) y

d ln x dx =

1 x

Combinando este resultado con la regla de la cadena se tiene que d ln [u (x)]

dx =

1 u (x) u

0_(x)

Uno uno tener cuidado con los valores de la función u ya que el logaritmo natural solo está de…nido para cantidades positivas. En todo caso uno tiene la siguiente proposición.

Proposición 5.17. Para cualquier función positiva y diferenciable u (x), la composición ln [u (x)] es diferenciable y

d ln [u (x)]

dx =

u0_(x)

u (x) (5.1.8)

Antes de ver algunas consecuencias de esta fórmula veamos algunos ejem-plos

Ejemplo 5.5. Para calcular la derivada de ln (sec x)

Notemos primero que sec x es positiva y diferenciable para x en ₂;₂ , por lo tanto, en ese intervalo podemos aplicar la fórmula (5.1.8) para con-cluir que d ln (sec x) dx = d sec x dx sec x = sec x tan x sec x = tan x

Ejemplo 5.6. Con frecuencia resulta conveniente usar las propiedades algebraicas del logaritmo antes de proceder a calcular la derivada. Tal es el caso de funciones como

f (x) = ln 3 p x4_{+ x}2_{+ 1} 7 p x2_{+ 1} !

En este caso sabemos que

y por lo tanto d dx " ln 3 p x4_{+ x}2_{+ 1} 7 p x2_{+ 1} !# = d dx 1 3ln x 4_{+ x}2_{+ 1} 1 7ln x 2_{+ 1} = 1 3 d ln x4_{+ x}2_{+ 1} dx 1 7 d ln x2_{+ 1} dx Ahora podemos usar la fórmula (5.1.8) y concluir que

d dx " ln 3 p x4_{+ x}2_{+ 1} 7 p x2_{+ 1} !# = 1 3 d ln x4+ x2+ 1 dx 1 7 d ln x2+ 1 dx = 1 3 4x3+ 2x x4_{+ x}2_{+ 1} 1 7 2x x2_{+ 1}

Una hipótesis fundamental para poder hablar del logaritmo de una fun-ción es que sea positiva, por lo que si en un intervalo la funfun-ción oscila entre valores positivos y negativos su logaritmo no está de…nido. Sin embargo, mientras la función no se anule siempre es posible hablar del logaritmo natural de su valor absoluto. Para este caso uno tiene el siguiente resultado Proposición 5.18. Si u es una función diferenciable, entonces, la com-posición ln [ju (x)j] es diferenciable en todos los puntos x donde u (x) 6= 0. Además

d ln [ju (x)j]

dx =

u0_(x)

u (x)

Demostración. Si en un punto x se tiene que u (x) < 0, por el teorema del valor intermedio, u (x) es negativa en un intervalo de la forma (x ; x + ) con _{> 0. En consecuencia ju (x)j = u (x) y}

ln ju (x)j = ln [ u (x)] en ese intervalo.

Ahora podemos usar la regla de la cadena para concluir que d ln [ u (x)] dx = u0_(x) u (x) = u0_(x) u (x)

Si en el punto x la función es positiva un argumento similar nos lleva a la fórmula deseada

primitiva de 1_{x es ln x, y como estamos en (0; 1), se tiene que ln x = ln jxj.} Si el intervalo cerrado [a; b] está contenido en ( 1; 0), la proposición an-terior con u (x) = x nos dice que

d ln [jxj]

dx =

1 x

para todo x en [a; b]. Por lo tanto, F (x) = ln jxj es una primitiva de 1 x en

el intervalo cerrado [a; b].

La fórmula para calcular la derivada del logaritmo natural de una función d ln [u (x)]

dx =

u0_(x)

u (x)

tiene sus consecuencias. Una de ellas es que da una manera alternativa de calcular la derivada de una función. En efecto, un simple despeje muestra que

u0(x) = u (x)d ln [u (x)]

dx (5.1.9)

Así, una alternativa para calcular la derivada de una función es calcular la derivada de su logaritmo y multiplicarla por la función. Esto, en principio, parece más complicado que usar las reglas usuales para calcular la derivada. Sin embargo, hay casos en que esta fórmula resulta más sencilla.

Problema 5.13. Use las reglas básicas de derivación para calcular la derivada de la función u (x) = p3xp74+x2+1

x2₊₁ . (Sugerencia: Primero debe

us-ar la regla del cociente, luego debe recordus-ar como se deriva las funciones

3

p

v (x) yp7 _{w (x) y después hacer las simpli…caciones correspondientes para}

obtener que u0_{(x) =} p3x4_+x2₊₁ 7 p x2₊₁ 1 3 4x3+2x x4_+x2₊₁ 1_7x2x2₊₁ )

Ejemplo 5.7. De acuerdo con la fórmula (5.1.9) la derivada de u (x) =

3 p

x4_+x2₊₁ 7 p

x2₊₁ está dada por

u0(x) = 3 p x4_{+ x}2_{+ 1} 7 p x2_{+ 1} ! d dx " ln 3 p x4_{+ x}2_{+ 1} 7 p x2_{+ 1} !#

Problema 5.14. Use las propiedades del logaritmo para calcular la deriva-da de las siguientes funciones

a) 5 r (x2₊₁₎34 (x4_+x2₊₁₎ b) 4 q p3 tan2_x+2 5 p sec2_x+6x (Respuestas: a) 5 r (x2₊₁₎34 (x4_+x2_{+1) 20}3 _x22x₊₁ 1₅ 4x 3_+2x x4_+x2₊₁ , b) 4 qp3 tan2_x+2 5 p sec2_x+6x 1 12 2 tan x sec2_x tan2_{x+2 20}1 sec 2_{x tan x+6} sec2_x+6x .)

Es claro en este ejemplo que el cálculo de las derivadas es mucho más simple usando (5.1.9) que usando directamente las reglas de derivación. Por supuesto, en muchos casos la situación es lo contrario y las reglas de derivación usuales serán el camino más directo. Así, el lector debe desar-rollar la habilidad de discernir cuando es conveniente usar esta alternativa y cuando no.

El método que se obtiene usando la fórmula (5.1.9) tiene nombre. De…nición 5.2. Al cálculo de la derivada de una función usando la fórmula

u0(x) = u (x)d ln [u (x)] dx

se le llama el método de la derivada logarítmica.

5.1.4.

La integral y el logaritmo natural

Regresando a la proposición 5.18, uno debe observar que siempre que se tenga el cociente de la forma u_u(x)0(x), este debe ser la derivada del logaritmo de la función o de su valor absoluto. En términos del TFC parte 1 esto nos dice que una primitiva para un cociente de la forma f (x) =u_u(x)0(x) es la función F (x) = ln [ju (x)j]. En efecto, por la proposición antes mencionada

F0(x) = d ln [ju (x)j]

dx =

u0_(x)

u (x) = f (x)

Esto, junto con la primera parte del TFC, demuestran el siguiente resultado. Teorema 5.20. _{Si una función u tiene derivada continua en [a; b] y u (x) 6=} 0 en ese intervalo, entonces,

Z b a u0_(x) u (x)dx = (ln ju (x)jj b a= ln ju (b)j ln ju (a)j

y la correspondiente integral inde…nida en ese intervalo es Z

u0_(x)

u (x)dx = ln [ju (x)j] + c

Ejemplo 5.8. Para calcular la integral Z 2

1

2x x2_{+ 1}dx

Observemos primero que 2x es la derivada de x2_{+1 por lo que el integrando}

es de la forma u_u(x)0(x) y, además, la función u (x) = x2+ 1 no se anula en el intervalo [ 1; 2]. Así que podemos aplicar el teorema para concluir que

Z 2 1 2x x2_{+ 1}dx = ln x 2_{+ 1} 2 1 = ln 22+ 1 ln h ( 1)2+ 1 i = ln 5 ln 2 = ln5 2

Al integrar este tipo de cocientes, uno debe tener cuidado de que en el intervalo en consideración la función u (x) no se anule. En un capítulo pos-terior veremos como se pueden trabajar aquellas integrales que contienen puntos donde el denominador se anula.

Problema 5.15. Calcule la integral Z ₃

6

tan xdx

(Sugerencia: Recuerde que tan x = sen x_{cos x} y que (cos x)0 = sen x. Debe llegar a que Z ₃ 6 tan xdx = (ln jcos xjj3 6 = 1 2ln 3.)

5.1.5.

La grá…ca del logaritmo natural

El siguiente punto a discutir es la forma de la grá…ca de la función ln x. En primer lugar, puesto que el dominio es el intervalo (0; 1), la grá…ca debe estar en el lado derecho del plano coordenado, además, debe pasar por el punto con coordenadas (1; 0) ya que ln 1 = 0.

Como

d ln x dx =

1 x

para x en (0; 1) y la función x1 es estrictamente positiva en ese intervalo,

es negativa para todo x > 0, la grá…ca debe ser cóncava hacia abajo. Si a esto agregamos el que

l m

x!0+ln x = 1 y l m_x!1ln x = 1

podemos concluir que la grá…ca de la función logaritmo natural debe ser de la forma

x

y

_y

_=ln

_x

1

Como ln x es estrictamente creciente, debe ser una función inyectiva. Más aún, la función logaritmo debe ser sobreyectiva. En efecto, como l mx!0+ln x = 1 y l m_x!1ln x = 1, para cada número real y deben

existir números positivos m y M tales que ln m y ln M

y como el logaritmo es continua, el teorema del valor intermedio garantiza que existe un punto x en el intervalo [m; M ] tal que

ln x = y En conclusión

Teorema 5.21. _{La función ln x con dominio (0; 1) y contradominio R es} biyectiva.

5.2.

La función exponencial

Si recordamos que la principal relación entre una función f (x) y su inver-sa g (x) es que, en los dominios correspondientes, se cumplen las igualdades

f (g (x)) = x y g (f (x)) = x podemos concluir lo siguiente

Teorema 5.22. La función ln x tiene una única inversa de…nida en todo R y con valores en (0; 1).

De…nición 5.3. La función inversa del logaritmo natural es llamada la función exponencialy la denotaremos por exp (x).

Puesto que exp (x) es la inversa de ln x, tenemos que

Proposición 5.23. La función exponencial cumple las siguientes propiedades exp (ln x) = x para todo x en (0; 1) (5.2.1) y

ln [exp (x)] = x para todo x en R (5.2.2)

Más adelante encontraremos una manera mucho más conveniente de es-cribir la función exponencial, por el momento trataremos de estudiar sus propiedades usando lo que sabemos de ln x y las relaciones (5.2.1) y (5.2.2). La primera propiedad de la función exponencial se desprende del teorema de la función inversa para funciones continuamente diferenciables.

Proposición 5.24. La función exponencial es diferenciable en todo punto x en R y

d exp (x)

dx = exp (x)

Problema 5.16. Partiendo de que exp (x) es diferenciable, muestre que

d exp(x)

dx = exp (x). (Sugerencia: Derive la igualdad (5.2.2) y use (5.1.8) para

reescribir la derivada del lado izquierdo de la igualdad.)

Demostración. Puesto que d ln x_dx = _x1 y _x1 es continua y diferente de 0 en (0; 1), podemos aplicar el teorema de la función inversa para concluir que exp (x) es diferenciable. Usando esto y diferenciando la identidad (5.2.2) se tiene que

d ln [exp (x)]

dx =

dx dx = 1 Por otra parte, sabemos que

d ln [exp (x)]

dx =

d exp(x) dx

De estas dos igualdades obtenemos que

d exp(x) dx

exp (x) = 1 y multiplicando por exp (x) llegamos a la fórmula

d exp (x)

dx = exp (x)

5.2.1.

El Álgebra y la exponencial

Para ver como las propiedades algebraicas del logaritmo natural se re-‡ejan en la función exponencial, es importante tener claro que al ser la exponencial la inversa del logaritmo las igualdades

ln = y = exp ( )

son equivalentes para > 0. Esto es, si se cumple que ln = , entonces, también se cumple la igualdad = exp . Y, recíprocamente, si se tiene que

= exp , entonces, la igualdad ln = se cumple.

Proposición 5.25. Si es un número positivo, entonces, ln = si y sólo si = exp ( ).

Problema 5.17. Demuestre la proposición 5.25. (Sugerencia: Partiendo de que ln = aplique la exponencial y use (5.2.1) par obtener que = exp ( ). Partiendo de la igualdad = exp ( ), aplique logaritmo y use (5.2.2) para llegar a que ln = .)

Demostración. Si se tiene que ln = , entonces, también se cumple que exp (ln ) = exp ( )

y usando la identidad (5.2.1) del lado izquierdo de la igualdad obtenemos que = exp ( ). Recíprocamente, si se cumple la igualdad = exp ( ), sus logaritmos también son iguales, esto es, ln = ln [exp ( )] y si ahora usamos (5.2.2) del lado derecho de la igualdad se concluye que ln =

Una primera consecuencia de la proposición anterior es que exp (0) = 1. En efecto, como sabemos ln 1 = 0 y, como acabamos de ver, esto implica que también se cumple la igualdad 1 = exp (0).

Proposición 5.26. exp (0) = 1.

Como se vio anteriormente una de las propiedades algebraicas funda-mentales del logaritmo natural es que

Para entender lo que signi…ca esta igualdad en términos de la exponencial, recordemos que el logaritmo es una función sobreyectiva y, por ende, para cualesquiera dos números reales x y y, existen números positivos a y b tales que

ln a = x y ln b = y

De acuerdo con esto, la suma x + y se puede escribir en la forma x + y = ln a + ln b = ln ab

Si ahora aplicamos la función exponencial se tiene que exp (x + y) = exp (ln ab)

y usando (5.2.1) del lado derecho de la igualdad, llegamos a la relación exp (x + y) = ab

donde ln a = x y ln b = y.

Pero la proposición 5.25 nos dice que las igualdades ln a = x y ln b = y implican que a = exp (x) y b = exp (y), por lo tanto

exp (x + y) = exp (x) exp (y)

Así la identidad ln ab = ln a + ln b, se re‡eja en la siguiente propiedad para la exponencial

Teorema 5.27. Para cualesquiera números reales x y y se cumple la iden-tidad

exp (x + y) = exp (x) exp (y) Como consecuencias inmediatas tenemos las siguientes

Proposición 5.28. a) Para cualesquiera números reales x y y se cumple la identidad exp (x y) = exp (x) exp (y) b) Para todo x en R exp ( x) = 1 exp (x)

Demostración. a) Puesto que x = y + (x y), se sigue que exp (x) = exp (y + (x y)) y por el teorema 5.27 se tiene que

exp (y + (x y)) = exp (x) exp (x y) por lo tanto

exp (x) = exp (y) exp (x y) y despejando exp (x y) se obtiene la identidad

exp (x y) = exp (x) exp (y) b) Como x = 0 x,

exp ( x) = exp (0 x) y por el inciso a)

exp ( x) = exp (0 x) = exp (0) exp (x) =

1 exp (x)

5.2.2.

Las funciones de la forma a

Cuando a es un número positivo y q es un número racional, la expresión aq _{tiene una de…nición precisa. Sin embargo, hasta el momento no es claro}

el signi…cado de expresiones como a o ap2_.

Una alternativa para de…nir el valor de ax

cuando a es positivo y x es cualquier número real es vía el teorema 5.12 el cuál nos dice que cuando x es un racional

ln ax= x ln a

Combinando este resultado con el hecho de que exp (ln ax_{) = a}x_{, se tiene}

que

ax= exp (x ln a)

Ahora bien, la expresión del lado derecho de esta igualdad está de…nida para todo número x ya sea racional o irracional, en tanto a sea positivo. Esto permite dar un signi…cado preciso a la expresión ax_{para todo número}

real.

De…nición 5.4. _{Dado un número positivo a, para cada x en R de…nimos} la función ax_como

ax= exp (x ln a)

Partiendo de esta de…nición veamos que, en efecto, se cumplen las reglas de los exponentes.

Proposición 5.29. Para cada número positivo a, la función ax _{tiene las}

siguientes propiedades: a) ax+y_{= a}x_ay_.

b) a x₌ 1 ax.

c) (ax₎y_{= a}xy_.

Problema 5.19. Use la de…nición de ax_{para veri…car la proposición 5.29.}

(Sugerencia: a) ax+y = exp [(x + y) ln a] = exp [x ln a + y ln a] y aplique el teorema 5.27. Para b) use el inciso b) de la proposición 5.28. Para c) uno tiene de la de…nición que (ax)y = exp [y ln ax] y por las propiedades del logaritmo exp [y ln ax_{] = exp [y (x ln a)] = exp [(xy) ln a] = a}xy_.)

Demostración. a) Por de…nición

ax+y= ax+y= exp [(x + y) ln a] y por ende

ax+y= exp [x ln a + y ln a] y por el teorema 5.27

ax+y= exp [x ln a + y ln a] = exp (x ln a) exp (y ln a) pero por de…nición exp (x ln a) = ax _{y exp (y ln a) = a}y_{, por lo tanto}

ax+y = exp (x ln a) exp (y ln a) = axay b) Por de…nición

a x= exp (( x) ln a) = exp ( (x ln a)) pero de la proposición 5.28-b) sabemos que

exp ( (x ln a)) = 1 exp (x ln a) y regresando a la de…nición concluimos que

a x= 1

exp (x ln a) = 1 ax

c) Puesto que la exponencial es positiva ax_{es positiva, así que ln a}x_está

de…nido y

(ax)y= exp [y ln ax] pero ln ax= x ln a por lo tanto

(ax)y= exp [y (x ln a)] = exp [(xy) ln a]

y como exp [(xy) ln a] es justo la de…nición de axy _{concluimos que}

Problema 5.20. Partiendo de la de…nición de ax_{, ¿qué función se obtiene}

cuando a = 1? (Respuesta: Por de…nición 1x_{= exp [x ln 1] y como ln 1 = 0,}

1x_{= exp [x 0] = exp (0) = 1 para todo número x. Esto es, 1}x_{es la función}

constante 1.)

5.2.3.

La igualdad e

= exp (x)

Hemos visto que la función ax se puede de…nir como ax= exp (x ln a)

Por otra parte sabemos que el logaritmo natural, de…nida en (0; 1), es una función sobreyectiva por lo que debe existir un número positivo cuyo logaritmo sea justamente 1. Este número tiene un papel distinguido en matemáticas.

De…nición 5.5. El número cuyo logaritmo natural es exactamente 1 es llamado el número e y se denota justamente con la letra e. En otras palabras, el número e es el número con la propiedad de que

ln e = 1

Una de las razone que hacen relevante a este número es la siguiente Teorema 5.30. Para todo número real x se cumple que

ex= exp (x)

Demostración. En efecto, por de…nición para todo x en R, ex= exp (x ln e)

y como ln e = 1, se tiene que

ex= exp (x ln e) = exp (x 1) = exp x

Así, la función inversa del logaritmo natural, exp (x), se puede escribir en la forma ex. De hecho es más común usar ex que la expresión exp (x).

Puesto que en adelante usaremos el símbolo ex_{para denotar a la función}

exponencial, es conveniente reescribir las propiedades que hemos discutido en esta notación

Propiedades deex_:

1.

ex= exp (x) 2. ex es la inversa del logaritmo natural y

3. dex dx = e x 4. ln = si y sólo si = e 5. a) ex+y= exey, b) ex y= e x ey, c) e x₌ 1 ex 6. ax= ex ln a

Un detalle curioso sobre el lenguaje que se usa es que a las funciones de la forma ax_{se les llama también funciones exponenciales, pero se reconoce que}

ex_{es la función exponencial. Tal vez lo correcto sea llamar a las funciones}

ax_{, funciones del tipo exponencial y dejar el término función exponencial}

exclusivamente para la función ex_{. Haremos esta distinción a lo largo de}

estas notas.

5.2.4.

El cálculo de límites y la función e

Uno de los primeros resultados que vimos sobre la exponencial es que es una función diferenciable y que

dex

dx = e

x

y como la exponencial es una función positiva, también lo es su derivada por lo tanto ex_{es una función creciente. Más aún, la diferenciabilidad garantiza}

la continuidad lo que implica el siguiente resultado Proposición 5.31. Para cualquier punto a en R

l m

x!ae x_{= e}a

En cuanto a los límites al in…nito uno tiene el siguiente resultado. Teorema 5.32. Para la función exponencial se tiene que

l m x!1e x = 1 y l m x! 1e x_{= 0}

La demostración de este resultado es algo técnica y puede ser omitida en una primera lectura.

Demostración. Para ver que l m

x!1e x

hay que mostrar que para cada R > 0 se puede elegir M 0 tal que si x > M , entonces, ex_{> R. En este caso la elección es M = ln R. En efecto,}

si x > M , entones, x > ln R. y como la función exponencial es creciente se sigue que

ex> eln R= R como se quería ver.

En cuanto al límite en menos in…nito, hay que ver que para cada " > 0 se puede elegir una M 0 tal que para todo x < M , se cumple que

jex 0j < "

Para cualquier número " > 0 que se de, elegimos M = max ln 1_" ; 0 . Entonces, si x < M , también se tiene que

x < ln 1

" = ln "

y usando el que la exponencial es creciente concluimos que ex< eln "= "

y como ex _{es positiva, podemos a…rmar que si x < M , entonces,}

jex 0j = ex< " lo que muestra que

l m

x! 1e x_{= 0}

Uno puede usar este resultado junto con las propiedades de límites para calcular otros límites relacionado con la función exponencial.

Particularmente útil es la regla para el límite de una composición. Recordemos que en este caso uno tiene que si la composición f g, está de…nida y l mx!ag (x) = 1 o l mx!ag (x) = 1, entonces, en el primer caso

l mx!af (g (x)) = l mx!1f (x) y l mx!af (g (x)) = l mx! 1f (x) en

el segundo.

Ejemplo 5.9. Una primera consecuencia es que l m

x!1e x_{= 0}

En efecto, si vemos la función e x_{como la composición de la función f (x) =}

ex_{con la función g (x) = x. Entonces, como l m}

x!1 x = 1, se sigue

de la regla de la composición que l m

x!1e

x_{= l m} x! 1e

x

y por el teorema 5.32 podemos concluir que l m

x!1e

x_{= l m} x! 1e

Ejemplo 5.10. En el mismo orden de ideas uno tiene que si es una constante, entonces, l m x!1e x_{= 0 si < 0} y l m x!1e x = 1 si > 0

Para ver esto usamos la regla de la composición con f (x) = ex_{y g (x) =}

x. Puesto que si < 0, l mx!1 x = 1, se tiene que

l m

x!1e

x_{= l m} x! 1e

x_{= 0}

Mientras que si > 0, l mx!1 x = 1 y, por lo tanto

l m x!1e x_{= l m} x!1e x = 1. Problema 5.21. Muestre que

l m x! 1e x = 1 si < 0 y l m x! 1e x_{= 0 si > 0} (Sugerencia: Si < 0, l mx! 1 x = 1 y si > 0, l mx! 1 x = 1.)

Ejemplo 5.11. Sabiendo como calcular los límites de funciones de la forma e x podemos calcular los límites de las funciones de tipo exponencial. En particular, para a > 1, se tiene que

l m x!1a x = 1 y l m x! 1a x_{= 0}

Para ver esto, recordemos que por de…nición ax_{= e}x ln a _{= e}(ln a)x_{, por lo}

tanto ax_{es una función de la forma e} x_{donde = ln a. Y, puesto que para}

a > 1, a = ln a > 0, podemos concluir que l m x!1a x_{= l m} x!1e (ln a)x = 1 (a > 1) y l m x! 1a x_{= l m} x! 1e (ln a)x_{= 0}

Problema 5.22. Muestre que si 0 < a < 1, entonces, l m x!1a x_{= 0 y l m} x! 1a x = 1

(Sugerencia: Recuerde que si a está entre 0 y 1, ln a < 0 y que ax_{= e}(ln a)x₎

Ejemplo 5.12. Para ver que l m x!1xe x_{= 0} notemos que xe x= x ex

y podemos aplicar la regla de L´Hôpital a este cociente para concluir que l m x!1xe x_{= l m} x!1 x ex = l m_x!1 1 ex = l m_x!1e x_{= 0}

Ejemplo 5.13. Uno puede usar la idea empleada en el ejemplo anterior para concluir que para cualquier entero positivo n

l m

x!1x

n_e x_{= 0}

En el caso del límite l mx!1x2e x, escribimos x2e x como el cociente

x2 ex

luego aplicamos L´Hôpital para obtener que l m x!1x 2_e x_{= l m} x!1 x2 ex = l m_x!1 2x ex = 2 l m_x!1 x ex = 2 l m_x!1xe x

y como ya vimos l mx!1xe x= 0, por lo tanto

l m

x!1x

2_e x_{= 2 l m} x!1xe

x_{= 2 0 = 0}

Para l mx!1x3e x se tiene que

x3e x= x 3 ex y por L´Hôpital l m x!1x 3_e x_{= l m} x!1 x3 ex = l m_x!1 3x2 ex = 3 l m_x!1 x2 ex = 3 l m_x!1x 2_e x

pero acabamos de ver que l mx!1x2e x= 0, en consecuencia

l m

x!1x

3_e x_{= 3 l m} x!1x

2_e x_{= 3 0 = 0}

De modo similar se puede ver que l m

x!1x

4_e x_{= 4 l m} x!1x

3_e x_{= 4 0 = 0}

Siguiendo este proceso inductivamente, podemos concluir que l m

x!1x

5.2.5.

La derivada y la función e

Como vimos, una primera consecuencia de la de…nición de la exponen-cial como inversa del logaritmo natural, es que es diferenciable y que su derivada, en términos de la notación que ahora usamos, es

dex

dx = e

x

Es importante observar que la derivada de la exponencial es ella misma, en otras palabras, la función y (x) = ex_{cumple la igualdad}

y0_{(x) = y (x) para todo x en R.}

Otro aspecto importante es que, vía la regla de la cadena, podemos calcu-lar la derivada de cualquier función de la forma eu(x) _{cuando u (x) es}

difer-enciable. En efecto, si F (x) = ex, entonces, (F u) (x) = F (u (x)) = eu(x) y por lo tanto, la función eu(x) es la composición de F (x) = ex con la función u. Así, la regla de la cadena nos da la igualdad

deu(x)

dx =

dF (u (x))

dx = F

0_{(u (x)) u}0_{(x) = e}u(x)_u0_(x)

Proposición 5.33. Si u es una función diferenciable, entonces, deu(x)

dx = e

u(x)_u0_(x)

Notemos que está igualdad nos dice que para funciones de la forma y (x) = eu(x) la derivada es la derivada del exponente por la la función, esto es, las funciones del tipo y (x) = eu(x) cumplen la siguiente igualdad

y0(x) = u0(x) y (x) para todo x donde la unción u sea diferenciable.

Ejemplo 5.14. Un primer ejemplo de funciones de la forma eu(x)es y (x) = e x donde es una constante. En este caso el exponente es, simplemente, la función u (x) = x, cuya derivada es la constante . Así

de x dx = e

x

En este ejemplo volvemos a observar que la función y (x) = e x _cumple

una igualdad de la forma

y0(x) = y (x) Ejemplo 5.15. Puesto que la función e x2

es de la forma eu(x)_{con u (x) =}

x2_{y u}0_{(x) = 2x, se tiene que}

de x2

dx = 2xe

Ejemplo 5.16. Para calcular la derivada de esen x_{, observemos que esta}

función es de la forma eu(x) _{done u (x) = sen x. Como u}0_{(x) = cos x, se}

tiene que

desen x

dx = cos xe

sen x

La derivada de las funciones de la forma ax (a > 0) también se pueden calcular usando la proposición 5.33. Por de…nición,

ax= ex ln a

y como la derivada de u (x) = x ln a es u0_{(x) = ln a, se sigue que}

dax

dx = (ln a) e

x ln a_{= (ln a) a}x

Proposición 5.34. Para cada número positivo a, se tiene que dax

dx = (ln a) a

x

Ejemplo 5.17. La derivada de la función y (x) = 2x_es

d2x

dx = (ln 2) 2

x

Problema 5.23. a) Muestre que

1 + x2 ex2 _{para todo x en R} (Sugerencia: Considere la función f (x) = ex2

1 x2 _{y use a derivada}

para ver que f es monótona creciente en [0; 1). Esto implica que f (0) f (x) para todo x en el intervalo [0; 1). Como f (0) = 0 se obtiene que 0 ex2 _{1 x}2 _{y de aquí se sigue la desigualdad en [0; 1). En el caso}

del intervalo ( 1; 0], veri…que que f (x) es decreciente en ( 1; 0] por lo que f (x) f (0) para todo x en ese intervalo. Esto también nos lleva a la desigualdad deseada.)

b) Muestre que

e x2 1

1 + x2 para todo x en R

5.2.6.

La integral y la función e

Como vimos la función ex _{tiene la particularidad de que su derivada es}

ella misma, por lo tanto también es una primitiva de si misma. De cuerdo con el TFC parte 1, esto implica lo siguiente

Proposición 5.35. En cualquier intervalo [a; b], se tiene que Z b

a

exdx = (ex_jb_a= eb ea

Además _Z

exdx = ex+ c

También vimos que

de x

dx = e

x

y multiplicando la igualdad por 1 obtenemos la igualdad

e x=d

1_e x

dx

lo que muestra que para _{6= 0,} 1e x _{es una primitiva de e} x_.

Proposición 5.36. Para _{6= 0, una primitiva de e} x _es 1_e x _y

Z b a e xdx = 1e x b a = 1e b 1e a Además _Z e xdx = 1e x+ c

Siguiendo el mismo orden de ideas podemos encontrar una primitiva para las funciones del tipo ax_{. En este caso sabemos que}

dax dx = (ln a) a x y por tanto ax= d 1 ln aax dx

Proposición 5.37. _{Para a 6= 1, una primitiva de a}x _{es la función} 1 ln aa x y Z d c axdx = 1 ln aa x d c = 1 ln aa d 1 ln aa c Además _Z axdx = 1 ln aa x_{+ c}

Note que hemos cambiado la notación para los límites de integración. Esto se hace para evitar confusiones entre el valor del límite inferior de la integral y la base de la función de tipo exponencial.

Ejemplo 5.18. Considere la integral Z 1

0

2xdx

En este caso el resultado anterior nos dice que una primitiva de 2x _{es la}

función F (x) = 1 ln 22 x por lo tanto Z 1 0 2xdx = 1 ln 22 x 1 0 = 1 ln 22 1 1 ln 22 0₌ 2 1 ln 2 = 1 ln 2:

Como consecuencia de la proposición 5.33 uno tiene que si una función es de la forma

f (x) = u0(x) eu(x) entonces la función

F (x) = eu(x) es una primitiva.

Ejemplo 5.19. Para calcular la integral Z

2xex2dx

notemos que 2x es la derivada de la función x2 _{por lo que la integral es de}

la formaRu0_{(x) e}u(x)_{dx con u (x) = x}2_{. Así que}

Z

2xex2dx = ex2+ c

Problema 5.24. Calcule la derivada de las siguientes funciones a) 23x _b) 4x1

x c) x sen x_.

(Respuestas: Use derivada logarítmuca para obtener

a) 3 (ln 2) 23x, b) 4 1 x x (ln 4) 1 x2 1 x , c) x

sen x _{cos x ln x +}sen x

x .) Problema 5.25. Calcule las siguientes integrales

a)R 4x3_ex4 dx b)R cos xesen x_{dx c)}R _ln 4 3 4 3 x dx d)R 2 (ln 2) x2x2 dx. (Respuestas: a)R4x3_ex4_{dx = e}x4_{+ c, b)}R_{cos xe}sen x_{dx = e}sen x_{+ c}

c) Z ln 4 3 4 3 x = Z ln 4 3 e( ln(4 3))xdx = e(ln( 4 3))x+c = 4 3 x +c d) Z 2 (ln 2) x2x2dx = Z 2 (ln 2) xe(ln 2)x2dx = e(ln 2)x2+ c = 2x2+ c.)

5.2.7.

La grá…ca de las funciones del tipo exponencial

Empezaremos estudiando el comportamiento cualitativo de las funciones de la forma ax_{cuando a > 1.}

Lo que sabemos en este caso es lo siguiente l m x!1a x = 1, l m x! 1a x_{= 0 y que} dax dx = (ln a) a x

Puesto que la función exponencial es estrictamente positiva, ax _{= e}x ln a

también es positiva. Más aún, puesto que a > 1, ln a > 0 y por lo tanto dax

dx = (ln a) a

x_{es estrictamente positiva}

Por lo que podemos a…rmar que axes estrictamente creciente. Además la segunda derivada

d2_ax

dx2 = (ln a) 2

también es positiva, por lo que la grá…ca debe ser una curva cóncava hacia arriba.

El hecho de que l mx! 1ax= 0 nos dice que la grá…ca debe pegarse al

eje X conforme x se aleja hacia la izquierda. Mientras que cuando x se hace cada vez más grande, el límite l mx!1ax= 1, nos dice que la grá…ca se

va separando más y más del eje X. Si a esto agregamos que

a0= 1 y a1= a

podemos concluir que la grá…ca de ax _{cuando a > 1 es una curva de la}

forma

x

y

1

1

a

0

a>1

y=a

Caso

En este caso ln a < 0, por lo tanto dax

dx = (ln a) a

x _{es estrictamente negativa}

lo que implica que es una función decreciente. Como

d2_ax

dx2 = (ln a) 2

axes positiva la grá…ca debe ser una curva cóncava hacia arriba.

Puesto que para 0 < a < 1 l m x! 1a x = 1 y l m x!1a x_{= 0}

la grá…ca debe ir hacia arriba conforme nos movemos hacia la izquierda y debe pegarse al eje X conforme nos movemos a la derecha.

También tenemos que

a0= 1 y a1= a

x

y

1

1

a

0

a<1

y=a

Caso

Un análisis similar se puede hacer para las funciones del tipo e x_.

Problema 5.26. Trace la grá…ca de e x _{en el caso > 0. (Respuesta: La}

grá…ca es de la forma

x

y

1

1

e

0

α>0

y=e

Caso

pero en este caso se tiene que la función evaluada en 1 es e > 1.)

Problema 5.27. Trace la grá…ca de e x _{en el caso > 0. (Respuesta: La}

x

y

1

1

e

0

α<0

y=e

Caso

pero ahora la función evaluada en 1 es e < 1.)

5.2.8.

Las funciones log

x

Históricamente la primera función de tipo logarítmico que se estudió fue el llamado logaritmo base 10. En el siglo XVI el matemático John Napi-er (1550-1616) de…nió el logaritmo de un numNapi-ero x como el exponente al que hay que elevar 10 para obtener justamente el valor x. Así, por ejem-plo, el logaritmo del número 100 es 2 ya que 102 _{= 100, el logaritmo de}

1000 es 3 pues 103 _{= 1000, etc. Partiendo de esto y usando una serie de}

ideas ingeniosas para calcular las diferentes potencias de 10, construye sus famosas tablas de logaritmos (Miri…ci Logarithmotum Canonis Descrip-to...de (1614)).

Re‡exionando con cuidado sobre la de…nición del logaritmo dada por Napier, nos daremos cuenta que su de…nición es lo que ahora llamamos la función inversa de 10x.

Tal vez la razón por la que eligió el número 10 como base para sus tablas, sea que, como nosotros, él usaba el sistema decimal, para escribir a los números.

Para extender la idea de Napier notemos que las funciones de tipo ex-ponencial ax _{para a 6= 1 y positivo son estrictamente monótonas y por lo}

tanto inyectivas. Más aún, el teorema del valor intermedio garantiza que estas funciones toman todos los valores en el intervalo (0; 1). En otras palabras, ax_{de…nida en R y con valores en (0; 1) es una función biyectiva}

y por ende tiene una única inversa.

De…nición 5.6. _{Para cada número a 6= 1 y positivo de…nimos el} logarit-mo basea como la función inversa de ax y la denotaremos por logax.

De acuerdo con esta de…nición, las tablas que Napier construyó son jus-tamente las de el logaritmo base 10, log₁₀x.

Puesto que el logaritmo base a es la inversa de ax _{una propiedad}

Proposición 5.39. _{Para a 6= 1 y positivo, la función logaritmo base a} cumple las siguientes propiedades

alogax_{= x para todo x en (0; 1) (5.2.3)}

y

log_a[ax_{] = x para todo x en R} (5.2.4) Como consecuencia de este resultado también se tiene lo siguiente Proposición 5.40. Si es un número positivo, entonces, log_a = si y solo si = a .

Problema 5.28.Muestre la proposición 5.40. (Sugerencia: Siga las mismas ideas que en el apartado 5.2.1, pero ahora use (5.2.3) y (5.2.4).)

En cuanto a la derivada ya sabemos que la derivada de ax_{es continua y}

diferente de 0 (cuando a 6= 1) por lo que el teorema de la función inversa garantiza que su inversa, log_ax también es diferenciable.

Para calcular su derivada podemos diferenciar la fórmula (5.2.3) para obtener que

dalogax

dx =

dx dx

y usando la regla de la cadena se llega a la igualdad (ln a) alogaxd logax

dx = 1 pero alogax= x por lo tanto

(ln a) xd logax dx = 1 despejando de aquí d logax

dx concluimos que

d log_ax

dx =

1 (ln a) x lo que muestra el siguiente resultado.

Proposición 5.41. _{Para a 6= 1 y positivo, la función logaritmo base a es} diferenciable y

d log_ax

dx =

1 (ln a) x

Teorema 5.42. _{Dado un número a 6= 1 y positivo la función loga}x tiene las siguientes propiedades:

a) log_a1 = 0 y log_aa = 1. b) Si u; v > 0

log_a[uv] = log_au + log_av: c) Si u; v > 0

log_ah u v i

= log_au log_av: d) Si u > 0 y r es cualquier número real

log_a[ur] = r log_a[u]

Problema 5.29. Demuestre las propiedades enunciadas en el teorema 5.42. (Sugerencia: Siga las mismas ideas que en el apartado 5.2.1, pero ahora use (5.2.3) y (5.2.4).)

5.2.9.

La ecuación y

_{(x) = y (x)}

Hemos visto que la función exponencial tiene la propiedad de ser igual a su derivada y, más generalmente, las funciones de la forma y (x) = e x

tienen como derivada a la propia función multiplicada por el coe…ciente . En otros términos, toda ellas satisfacen una igualdad de la forma

y0(x) = y (x) (5.2.5)

y uno podría preguntarse ¿como son todas las funciones que cumplen una igualdad de este tipo?

Con las ideas desarrolladas en este capítulo podemos dar una respuesta a esta interrogante. La idea es observar que si una función satisface una ecuación de la forma (5.2.5) y no se anula, entonces para todo x, el cociente y0_{(x) =y (x) es la función constante}

y0_(x)

y (x) =

Ahora bien, como vimos (teorema 5.20) una primitiva del cociente y0_{(x) =y (x)}

es la función ln [jy (x)j]. Por otra parte como el cociente es la función con-tante , también la función x debe ser una primitiva. Pero en el capítulo 4 (teorema ??) se mostró que cualesquiera dos primitivas di…eren por una constante. Por lo tanto si y (x) es una función estrictamente positiva y cumple la ecuación (5.2.5), entonces, también debe cumplir la igualdad

ln [y (x)] = x + c para todo x en R

Usando el que la exponencial es la inversa del logaritmo natural podemos despejar y (x) de esta ecuación para obtener que

La expresión e x+c _{se puede reescribir en la forma e} x_ec_{, más aún, como}

ec _{es también una constante, podemos concluir que la función y (x) debe}

ser de la forma Ce x_.

En resumen

Si y (x) es una función diferenciable, positiva y cumple la ecuación y0(x) = y (x)

Entonces, la función y (x) debe ser de la forma y (x) = Ce x donde C es una constante positiva.

Problema 5.30. Muestre que si y (x) es diferenciable, negativa y cumple la ecuación

y0(x) = y (x) entonces, y (x) debe ser de la forma

y (x) = Ce x

donde C es una constante negativa. (Sugerencia: Siguiendo el mismo ar-gumento que llevó a la igualdad y (x) = Ce x cuando y es una función positiva, uno concluye que ln jy (x)j y x son primitivas del cociente y0=y y por tanto ln jy (x)j = x + c. Puesto que y es negativa jy (x)j = y (x), Usando esto y la exponencial se obtiene que y (x) = ece x. Así para C = ec_{, la función cumple la igualdad y (x) = Ce} x_.)

Con base en esta discusión una respuesta a la pregunta planteada es la siguiente

Proposición 5.43. Si y (x) es una función diferenciable, diferente de cero y satisface la ecuación

y0(x) = y (x) Entonces, y (x) debe ser una función de la forma

y (x) = Ce x donde C es una constante.

Uno puede determinar el valor de la constante C si, además de saber que la función satisface la ecuación y0_{(x) = y (x), también se conoce el}

entonces, como por otra parte y (x) debe ser de la forma y (x) = Ce x_{, se}

tiene que y (x0) = Ce x0 y, por lo tanto

Ce x0 _{= y} 0

Podemos despejar C de esta igualdad para obtener que C = y0e x0

Sustituyendo este valor de C en la expresión de y (x) nos queda que y (x) = y0e x0e x= y0e x0+ x= y0e (x x0)

Proposición 5.44. Si y (x) es una función diferenciable y diferente de cero que cumple la ecuación

y0(x) = y (x) y además se sabe que

y (x0) = y0

Entonces, y (x) debe ser la función

y (x) = y0e (x x0)

Ejemplo 5.20. Encuentre la forma de las funciones diferenciables y difer-entes de 0 que cumplen la ecuación

y0(x) = 4y (x)

Como esta ecuación es de la forma y0_{(x) = y (x) con = 4, se sigue de}

la proposición 5.43 que la forma de las soluciones es y (x) = Ce4x

Ejemplo 5.21. Encuentre una función que satisfaga la ecuación y0(x) = 2y (x)

y que, además, se cumpla la condición y (1) = 5

Nuevamente la ecuación es de la forma y0_{(x) = y (x) con = 2 y como}

la condición y (1) = 5 es de la forma y (x0) = y0 con x0 = 1 y y0 = 5, se

sigue de la proposición 5.44 que una función con estas propiedades es la función

Ejemplo 5.22. Encuentre una función diferenciable y diferente de cero que satisface una ecuación de la forma

y0(x) = y (x) y que, cumple las condiciones

y (0) = 3 y y (2) = 12 Además determine el valor de .

De acuerdo con la proposición 5.44 si se cumple la condición y (0) = 3, la función debe ser

y (x) = 3e (x 0)= 3e x

En este caso se tendría que y (2) = 3e 2_{= 3e}2 _{. Como además se requiere}

que la función también cumpla la condición, y (2) = 12, nuestra función deberá satisfacer la igualdad

y (2) = 3e2 = 12 lo que implica que

e2 = 4

Aplicando el logaritmo natural par despejar llegamos a 2 = ln e2 = ln 4 y por ende = 1 2ln 4 = ln h 412 i = lnp4 = ln 2.

Problema 5.31. Se sabe que si una epidemia no es controlada, la rapidez con la que crece el número de infectados en cada instante de tiempo es proporcional al número de infectados en ese momento. En otros término, si denotamos por N (t) es el número de infectados al tiempo t, entonces, el crecimiento de la población infectada satisface la ecuación

dN (t)

dt = N (t)

Si el número de infectados inicialmente es 120 y después de 2 días hay 10 infectados ¿Cuentos infectados habrá a los 30 días? (Sugerencia: Esta ecuación es del tipo y0_{(x) = y (x) con N (t) en lugar de y (x). Así que la}

función N (t) debe ser de la forma

N (t) = Ce t

hay 160 infectados, tenemos que N (2) = 160. Pero N (0) = Ce 0 _{= C y}

N (2) = Ce 2 _{por lo tanto}

120 = C y 160 = Ce 2

De esto se obtiene que C = 120 y = ln4₃ por lo que N (t) = 120e(ln43)t_y

el número de infectados a los 30 días es