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RELACIONES ENTRE LOS EVENTOS
Definición 6. Unión de dos eventos.
La unión de los eventos 𝐴 y 𝐵, denotada por 𝐴 ∪ 𝐵, es el evento en que ocurren 𝐴 o 𝐵 o ambos.
Fig. 26Diagrama de Venn de la unión de dos eventos que no son mutumente excluyentes.
La probabilidad de la unión de dos eventos que no son mutuamente excluyentes se calcula como:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Fig. 27 Interpretación de la fórmula con diagramas de Venn, observa que la resta es porque esa área se estaría contando dos veces.
Fig. 28Diagrama de Venn de la unión de dos eventos que son mutuamente excluyentes.
La probabilidad de la unión de dos eventos que son mutuamente excluyentes se calcula como:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Como no hay intersección de los conjuntos, no es necesaria la resta.
79 Definición 7. Intersección de eventos.
La intersección de eventos 𝐴 y 𝐵, denotada por 𝐴 ∩ 𝐵, es el evento en que ocurren 𝐴 y 𝐵.
Fig. 29 Diagrama de Venn de la intersección de dos conjuntos que no son mutuamente excluyentes.
Nótese que de ser eventos mutuamente excluyentes, la intersección no es posible.
La intersección de eventos solamente es posible si los eventos no son mutuamente excluyentes. Sin embargo, los eventos pueden ser dependientes o independientes.
Definición 8. Eventos independientes.
Se dice que dos eventos, 𝐴 y 𝐵, son independientes si y sólo si la probabilidad del evento 𝐵 no está influenciada o cambiada por el suceso del evento 𝐴, o viceversa.
Para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos dependientes utilizamos:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) O bien
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)
Donde
𝑃(𝐵|𝐴) es la probabilidad de que ocurra B, dado que en una etapa anterior del experimento, ya ocurrió A.
𝑃(𝐴|𝐵) es la probabilidad de que ocurra A, dado que en una etapa anterior del experimento, ya ocurrió B.
Si los eventos son independientes, entonces la probabilidad de los eventos se calcula como:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
80 Definición 9. Complemento de un evento
El complemento de un evento 𝐴, denotado por 𝐴D, es el evento en que 𝐴 no ocurre.
Fig. 30 Diagrama de Venn del complemento de un evento A.
Para calcular el complemento de la probabilidad de un evento utilizamos la expresión:
𝑃(𝐴D) = 1 − 𝑃(𝐴)
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad de un evento 𝐴, dado que el evento 𝐵 ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de 𝐴, dado que 𝐵 ha ocurrido, denotada por 𝑃(𝐴|𝐵). La barra vertical se lee “dada” y los eventos que aparecen a la derecha de la barra son aquellos que se sabe han ocurrido.
La probabilidad condicional del evento A, dado que el evento B ha ocurrido, es:
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Si 𝑃(𝐵) ≠ 0
La probabilidad condicional del evento B, dado que el evento A ha ocurrido, es:
𝑃(𝐵|𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) Si 𝑃(𝐵) ≠ 0
81 Ejemplo 29. Daltonismo.
#1. Suponga que en la población general, hay 51% de hombres y 49% de mujeres, y que las proporciones de hombres y mujeres daltónicos se muestran en la siguiente tabla de probabilidad:
a) Si una persona se escoge al azar de entre esta población y se encuentra que es hombre (evento B), ¿cuál es la probabilidad de que el hombre sea daltónico (evento A)?
Solución
1) Identificamos los eventos.
El problema busca la probabilidad de que una persona sea daltónica A dado que ya se sabe que esa persona es hombre B. En notación matemática, esto es: 𝑃(𝐴|𝐵).
2) Obtenemos los datos de la fórmula.
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Para este ejemplo, los datos se obtienen de la tabla de probabilidades:
3) Calculamos la probabilidad condicional.
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) =0.04
0.51= 0.078
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b) ¿Cuál es la probabilidad de ser daltónico, dado que la persona es mujer?
1) Identificamos los eventos.
El problema busca la probabilidad de que una persona sea daltónica 𝐴 dado que ya se sabe que esa persona es mujer 𝐵D. En notación matemática, esto es: 𝑃(𝐴|𝐵D).
2) Obtenemos los datos de la fórmula.
𝑃(𝐴|𝐵D) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵D) 𝑃(𝐵D)
Para este ejemplo, los datos se obtienen de la tabla de probabilidades:
3) Calculamos la probabilidad condicional.
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵D)
𝑃(𝐵D) =0.002
0.49 = 0.004
83 Ejemplo 30. Compra de una cámara digital.
Supóngase que de todos los individuos que compran cierta cámara digital, 60% incluye una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40% incluyen una batería extra y 30% incluyen tanto una tarjeta como una batería. ¿Cuál es la probabilidad de que un comprador adquiera una tarjeta de memoria opcional dado que obtuvo una batería extra?
Solución
1) Identificamos los eventos.
Nombramos los eventos:
𝐴: Se incluye una tarjeta de memoria adicional.
𝐵: Se incluye una batería extra.
El problema busca la probabilidad de que un comprador adquiera una tarjeta de memoria opcional 𝐴 dado que ya se sabe que obtuvo una batería extra 𝐵. En notación matemática, esto es: 𝑃(𝐴|𝐵).
2) Obtenemos los datos de la fórmula.
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)
Para este ejemplo, los datos se obtienen de los porcentajes:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.3 𝑃(𝐵) = 0.4 3) Calculamos la probabilidad condicional.
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) =0.3
0.4= 0.75
Interpretando el resultado, esto quiere decir que de todos los que adquieren una batería extra, 75% adquirieron una tarjeta de memoria opcional.
84 Actividad 26. Probabilidad condicional.
#1. Un evento puede resultar en uno o ambos de los eventos A y B. Observa la tabla de probabilidades y responde lo que se pide.
a) 𝑃(𝐴) = b) 𝑃(𝐵) = c) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = d) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = e) 𝑃(𝐴|𝐵) = f) 𝑃(𝐵|𝐴) =
#2. Un estudio de la conducta de un gran número de delincuentes drogadictos, después de un tratamiento por abuso en el consumo de drogas, sugiere que la probabilidad de ser condenados en un periodo no mayor a dos años después del tratamiento, puede depender de su educación. Las proporciones del número total de casos que caen en cuatro categorías de educación/condena se muestran en la tabla siguiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el delincuente tiene 10 años o más de educación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el delincuente haya sido condenado no más de dos años después del tratamiento?
c) Si se selecciona al azar uno de los delincuentes condenados, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 10 años o más de educación?
d) Si se selecciona al azar un delincuente con 9 años o menos de educación, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido condenado?
