Problema de la superposición minima

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(3) EL PROBLEMA DE LA SUPERPOSICIÓN MÍNIMA. JULIÁN LÓPEZ LLORENTE. UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS SANTIAGO DE CALI MARZO DE 2011.

(4) EL PROBLEMA DE LA SUPERPOSICIÓN MÍNIMA. JULIÁN LÓPEZ LLORENTE. Trabajo de Investigación presentado como requisito parcial para optar al tı́tulo de Magı́ster en Ciencias Matemáticas. CARLOS ALBERTO TRUJILLO SOLARTE, Ph. D. Director. UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS SANTIAGO DE CALI MARZO DE 2011.

(5) UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS POSGRADO EN CIENCIAS MATEMÁTICAS. JULIÁN LÓPEZ LLORENTE. EL PROBLEMA DE LA SUPERPOSICIÓN MÍNIMA.

(6) Nota de aceptación El presente Trabajo de Investigación cumple con todos los requisitos exigidos por el Posgrado en Ciencias Matemáticas para optar al tı́tulo de Magı́ster en Ciencias Matemáticas.. Director: CARLOS A. TRUJILLO SOLARTE, Ph. D. Evaluador: EVALUADOR 1, Ph. D. Evaluador: EVALUADOR 2, Ph. D.. Santiago de Cali, Marzo de 2011.

(7) No temas, cree solamente. Mr 5:36.

(8) Agradecimientos Agradezco a Dios, por acompañarme en cada momento de mi vida, rodeándome de valiosas personas como mi familia, amigos, profesores y compañeros, quienes me brindaron su ayuda y confianza en tantos momentos y sin las cuales hubiese sido mucho más difı́cil alcanzar este logro. A la universidad del Valle por su apoyo y formación. Al profesor Carlos Trujillo, por su tiempo y colaboración.. Julián López LLorente. 6.

(9) Resumen Sea n ∈ N y {A, B} una partición de {1, 2, . . . , 2n} en dos conjuntos disjuntos de n elementos cada uno. Denotamos por ΓA (k) el número de soluciones de la ecuación b − a = k, con b ∈ B y a ∈ A. El problema de la superposición mı́nima o “minimum overlap problem” consiste en estimar M (n) := mı́n máx ΓA (k). A. k. En este trabajo se introduce una nueva notación que permite simplificar la escritura y compresión de algunas pruebas, también se muestra de forma detallada algunos trabajos relacionados con las cotas inferiores, cotas superiores y generalizaciones del problema. Finalmente se muestra el esfuerzo realizado por caracterizar los conjuntos que realizan la función M (n), para esto se presentan algunos programas computacionales creados en el sistema de cómputo MuPAD, acompañados de una descripción de su importancia al momento de observar las propiedades que hemos logrado probar y que nos han ido encaminando a lo que conocemos actualmente del problema. Se presentan los resultados y pruebas de forma sencilla para que pueda ser leı́da incluso por estudiantes que inicien su pregrado en matemáticas.. i.

(10) Índice general Resumen. I. Introducción. III. 1. Cotas inferiores 1.1. Cota inferior 1.2. Cota inferior 1.3. Cota inferior 1.4. Cota inferior. . . . .. 5 5 7 9 17. 2. Cotas superiores 2.1. Cotas superiores de Motzkin, Ralston y Selfridge . . . . . . . . . . 2.2. Cota superior de Haugland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20 20 21. 3. Algunas generalizaciones 3.1. Cota inferior de Swierczkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Un problema de J. Czipszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31 33 34 37. 4. Algunos programas y observaciones 4.1. Programas construidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Observaciones y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 39 48. Conclusiones. 54. Bibliografı́a. 54. de de de de. Erdös . . . . Scherk . . . . Swierczkowski Moser . . . .. . . . .. ii. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(11) Introducción Un problema clásico de teorı́a de números es estimar el número de representaciones de un entero como suma o diferencia de los elementos de un conjunto dado, el interés general, es encontrar conjuntos o propiedades que caractericen los conjuntos para los cuales la suma o la diferencia entre dos de sus elementos no se repita, o que tenga un número pequeño de repeticiones. Esta idea a dado origen a un gran número de interrogantes y discusiones que han venido a ser el principal objeto de estudio de la teorı́a de números aditiva en estos momentos. Entre los ejemplos clásicos de este tipo de problemas se destacan los planteados por el matemático Húngaro Paul Erdös, quien dedicó gran parte de su trabajo a este tema, llegando a ser uno de los matemáticos más prolı́feros del siglo XX, y enunciando un gran número de conjeturas, de las cuales muchas hasta el momento no han sido resueltas. Entre las famosas conjeturas planteadas por Erdös se encuentra “El problema de la superposición mı́nima”, más conocido como “The minimum overlap problem.” Formulado por primera vez en [3] en 1955 y que se ha convertido en uno de los problemas clásicos propuestos por R. Guy en su libro Unsolved problems in number theory [4], (problema C[17]). La formulación dada por Erdös fue la siguiente: “Sean los 4n enteros de [1, 4n] divididos en dos clases disjuntas a1 , a2 , . . . , a2n y b1 , b2 , . . . , b2n . ¿existe un entero t tal que el número de soluciones de la ecuación ai + t = bj sea al menos n?”. Posteriormente el problema fue reformulado como sigue. Consideremos una partición {A, B} de {1, 2, . . . , 2n} en dos conjuntos disjuntos A = {ai } y B = {bj } de n elementos cada uno (Notemos que A determina la partición). Denotamos por ΓA (k) el número de representaciones de k como diferencia de un elemento de B con uno de A, es decir, el número de soluciones de la ecuación bj − ai = k, y por Γ(A) := máx ΓA (k). k. El problema ahora consiste en estimar M (n) := mı́nA Γ(A).. iii.

(12) iv Una versión equivalente es la siguiente, dado un conjunto A ⊂ {1, . . . , 2n} con n elementos, se define el conjunto trasladado Ak = {a + k : a ∈ A} y ΓA (k) = |Ak ∩ Ac | . El objetivo es estimar M (n) = mı́n máxΓA (k). A. k. Una forma muy sencilla de interpretar el problema es la siguiente: El organizador de un concurso forma una fila con 2n sillas, luego reemplaza n (cualesquiera) de ellas por los n integrantes de un equipo. Ahora, el equipo dispone de cierto tiempo para decidir el número k de posiciones que se desplazará cada uno de sus integrantes ya sea a la derecha o a la izquierda. Aquellas personas que no encuentren una silla en su nueva posición son eliminadas, por lo que el equipo debe escoger k apropiado para mantener el máximo número de integrantes posible. Sin embargo, el organizador planeó la ubicación inicial con una buena estrategia de tal forma que el número de personas no eliminadas sea mı́nimo. El problema de la superposición mı́nima consiste en estimar el número de participantes no eliminados como una función de n con la condición de juego óptimo para ambas partes. (Es decir, suponiendo que tanto el equipo como el organizador usaron la mejor estrategia). Para comprender aún mejor, supongamos que las sillas están enumeradas en la forma E = {1, 2, . . . , 2n}, la ubicación inicial de las personas determina una partición {A, B} de E, formados por las n posiciones a1 , a2 , . . . , an y b1 , b2 , . . . , bn que quedan ocupadas por las personas y por las sillas respectivamente. Si el equipo se traslada k posiciones, la nueva ubicación del equipo estará dada por Ak = {a1 + k, a2 + k, . . . , an + k}. Que la persona en la posición ai encuentre una silla en su nueva posición significa que existe bj ∈ B tal que bj = ai + k, ası́, al equipo le conviene trasladarse k posiciones de tal manera que el número ΓA (k) de soluciones de la ecuación b − a = k con a ∈ A y b ∈ B sea lo mayor posible. Por otro lado, el trabajo del organizador es dar un conjunto inicial A de tal forma que independientemente de la elección de k, se tenga un bajo valor de ΓA (k), es decir, que máxΓA (k) sea lo menor posible. k. El problema busca determinar el número M (n) de personas que no fueron eliminadas, suponiendo que el organizador y el equipo hicieron la mejor elección posible. Los valores conocidos de M (n) son los siguientes: n 1 2 M (n) 1 1. 3 4 5 6 7 8 9 2 2 3 3 3 4 4. 10 11 12 13 14 15 5 5 5 6 6 6.

(13) v más adelante, con la ayuda de algunos programas se mostrarán, para cada uno de estos valores de n, un conjunto A con el cual se obtienen estos valores de M (n). Hasta el momento el problema no ha sido resuelto, pero usando variados métodos y técnicas como el combinatorio, analı́tico, probabilı́stico entre otros, se han podido encontrar diferentes cotas tanto superiores como inferiores. Entre las cotas inferiores tenemos M (n) ≥ n/4, probada en 1958 por Erdös en [3], más adelante Scherk, en un comunicado informa que probó que √ M (n) > (1 − 1/ 2)n > 0, 2929n. Swierczkowski prueba en [10] que M (n) > (4 −. √. 6)n/5.. Moser en [6] usa argumentos combinatorios para probar que √ M (n) > 2(n − 1)/4 > 0, 3535(n − 1), y luego, dice en un comunicado que combinando su método con el de Scherk se puede probar que q √ M (n) > 4 − 15(n − 1) > 0, 3563(n − 1). Por otro lado, entre las cotas superiores, se han tenido los siguientes resultados lı́m sup M (n)/n < 1/2, probado por Erdös en [3], luego usando ejemplos especı́ficos, Motzkin, Ralston, y Selfridge probaron en [8] que lı́m M (n)/n < 2/5, pero más tarde mejoraron este resultado probando que lı́m M (n)/n < 5/12, finalmente, Jan Haugland en 1995, con la ayuda de un teorema de Swinnerton-Dier prueba en [5] que lı́m M (n)/n existe, y usando algunos programas computacionales muestra que lı́m M (n)/n < 0,3820, pero luego en 2009 mejora este resultado, probando la mejor cota superior conocida hasta el momento, esta es lı́m M (n)/n < 0, 3810. Por lo tanto, hasta el momento se sabe que lı́m M (n)/n existe y 0, 3563 < lı́m M (n)/n < 0, 3810..

(14) 1 Para simplificar la escritura, y facilitar ası́ la comprensión del problema, introducimos la siguiente notación. Definición 0.1 dados dos enteros m < n, denotamos por [m, n] el intervalo entero [m, n] := {k ∈ Z : m ≤ k ≤ n} . Definición 0.2 Para un conjunto A, denotamos por Ak el conjunto trasladado Ak = {a + k : a ∈ A} . Definición 0.3 Decimos que {A, B} es una partición de un conjunto W si A y B son disjuntos y A ∪ B = W. En este caso B = W \ A, el complemento de A respecto a W. Definición 0.4 Dados conjuntos A, B ⊂ Z y un entero k, escribimos B − A para denotar el conjunto de diferencias con posibles repeticiones B − A = {b − a : b ∈ B, a ∈ A}, y DB−A (k) para el conjunto {(a, b) ∈ A × B : b − a = k} con cardinal ΓB−A (k), es decir, ΓB−A (k) es el número de representaciones del entero k como diferencia de un elemento de B con uno de A, o simplemente el número de soluciones de la ecuación b − a = k con b ∈ B y a ∈ A. Además, denotamos Γ(B − A) := máx ΓB−A (k), k. el máximo número de representaciones de un entero como diferencia de elementos del conjunto B con el conjunto A. Observación 0.1 Si {A, B} es una partición de un conjunto W , entonces B queda completamente determinado por A, por lo que escribimos DA (k), ΓA (k) y Γ(A) en lugar de DB−A (k), ΓB−A (k) y Γ(B − A) respectivamente. Definición 0.5 Dado n ∈ N, decimos que A ∈ Pn si A es un subconjunto de [1, 2n] con n elementos. Con esta nueva notación, el problema consiste en estimar M (n) = mı́n Γ(A). A∈Pn.

(15) 2 Ejemplo 0.1 Sea A = {1, 4, 6} ∈ P3 , entonces B = {2, 3, 5} , para realizar los cálculos con mayor facilidad hacemos la matriz de diferencias   − 2 3 5 → B  1 1  2 4    4 −2 −1 1  6 −4 −3 −1 ↓ A y tenemos que B − A = {−4, −3, −2, −1, −1, 1, 1, 2, 4}, más aún, se puede ver que DA (−4) = {(6, 2)} , DA (−3) = {(6, 3)} , DA (2) = {(1, 3)} , DA (4) = {(1, 5)} , mientras que DA (−1) = {(6, 5), (4, 3)} , y DA (1) = {(1, 2), (4, 5)} . por lo tanto ΓA (−4) = ΓA (−3) = ΓA (−2) = ΓA (2) = ΓA (4) = 1 y ΓA (−1) = ΓA (1) = 2 Ası́ Γ(A) = máx Γ(k) = 2 k. De donde se tiene que M (n) ≤ Γ(A) = 2. A continuación veremos un lema muy importante que ha sido probado por Swierczkowski en un sentido y por Haugland en el otro, pero que se ha incluido en estos momentos para simplificar muchas ideas y pruebas durante gran parte del trabajo. Lema 0.1 Si {A, B} es una partición del intervalo [1, m], y q ∈ N, entonces existe una partición {A(q), B(q)} = {Ā, B̄} de [1, qm] tal que Ā = q |A| y Γ(B̄ − Ā) ≤ qΓ(B − A). Prueba. Los conjuntos Ā, B̄ ⊆ [1, qm] dados por Ā = {qa − i : a ∈ A, i ∈ [0, q − 1]}, B̄ = {qb − i : b ∈ B, i ∈ [0, q − 1]}.

(16) 3 tienen q |A| y q |B| elementos respectivamente. Si k̄ ∈ B̄ − Ā, entonces por la construcción de Ā existen i1 , i2 ∈ [0, q − 1] tales que k̄ = (qa − i1 ) − (qb − i2 ) = qk + i, con k ∈ B − A e i ∈ [1 − q, q − 1], además, en B̄ − Ā, k̄ sólo tiene representaciones de las formas k̄ = qk + i ó k̄ = q(k + 1) − (q − i), pero las ecuaciones i1 − i2 = i e i1 − i2 = q − i con i1 , i2 ∈ [0, q − 1] tienen q − i e i soluciones respectivamente, ası́ que k̄ tiene q − i representaciones en la forma qk + i e i representaciones en la forma q(k + 1) − (q − i), de aquı́ que ΓB̄−Ā (k̄) = ΓB̄−Ā (qk+i)+ΓB̄−Ā (q(k+1)+(i−q)) = (q −i)ΓB−A (k)+iΓB−A (k+1), tomando el máximo se tiene que Γ(B̄ − Ā) ≤ (q − i)Γ(B − A) + iΓ(B − A) = qΓ(B − A). como se querı́a probar.. . Como un caso particular de este resultado tenemos el siguiente corolario Corolario 0.1 Si A ∈ Pn y q ∈ N, entonces existe Ā = A(q) ∈ Pqn tal que Γ(Ā) ≤ qΓ(A). En particular M (qn) ≤ qM (n) ∀q, n ∈ N.. (1). Ejemplo 0.2 Consideremos el conjunto A = {1, 4, 6} ∈ P3 del ejemplo anterior y q = 4, se puede ver que A(4) := Ā = {1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24} ∈ P12 , en este caso la  − 5  1 4   2 3   3 2   4 1   13 −8   14 −9   15 −10   16 −11   21 −16   22 −17   23 −18 24 −19. matriz de diferencias es 6 5 4 3 2 −7 −8 −9 −10 −15 −16 −17 −18. 7 6 5 4 3 −6 −7 −8 −9 −14 −15 −16 −17. 8 7 6 5 4 −5 −6 −7 −8 −13 −14 −15 −16. 9 8 7 6 5 −4 −5 −6 −7 −12 −13 −14 −15. 10 9 8 7 6 −3 −4 −5 −6 −11 −12 −13 −14. 11 12 17 18 10 11 16 17 9 10 15 16 8 9 14 15 7 8 13 14 −2 −1 4 5 −3 −2 3 4 −4 −3 2 3 −5 −4 1 2 −10 −9 −4 −3 −11 −10 −5 −4 −12 −11 −6 −5 −13 −12 −7 −6. 19 18 17 16 15 6 5 4 3 −2 −3 −4 −5. 20 19 18 17 16 7 6 5 4 −1 −2 −3 −4.                      .

(17) 4. De donde podemos ver que Γ(Ā) = 8 = 4Γ(A), y ası́ M (12) = mı́n Γ(A) ≤ Γ(Ā) = 8. A∈P12.

(18) Capı́tulo 1 Cotas inferiores El objetivo de este capı́tulo es presentar en forma detallada los artı́culos en los cuales se usan los métodos que a nuestro parecer, por las ideas que exponen son los más destacados entre los trabajos que se han realizado para obtener las cotas inferiores que conocemos hasta el momento.. 1.1.. Cota inferior de Erdös. Esta cota fue presentada en 1958 en el artı́culo “Problems and results in additive number theory”, ver [2], y fue el primer resultado conocido. Erdös usó un argumento combinatorio para probar que M (n) > n/4, Aquı́ se presenta una prueba sencilla de este hecho. Teorema 1.1 (Cota inferior de Erdös) Para cada n ∈ N, M (n) > n/4. Prueba. Sea n ∈ N y A ∈ Pn , notemos que el conjunto B − A tiene n2 elementos, ninguno se repite más de Γ(A) veces y B − A ⊆ [−2n + 1, 2n − 1]; de aquı́ se tiene que X X n2 = ΓA (k) ≤ Γ(A) = (4n − 2) Γ(A), k. |k|≤2n−1. ası́ Γ(A) ≥ n2 /(4n − 2) > n/4.. 5.

(19) 1.1. Cota inferior de Erdös. 6. y por lo tanto M (n) = mı́n Γ(A) > n/4. A∈Pn. Al pensar un poco en la prueba anterior, y particularmente en el número de representaciones de cada entero en el intervalo [−2n + 1, 2n − 1] se puede observar con facilidad que los números “cercanos a los extremos” (es decir, de la forma −2n + q y 2n − q para valores enteros positivos de q cercanos a 0) tienen pocas representaciones, ilustramos esto con el siguiente ejemplo: Ejemplo 1.1 Consideremos el conjunto Ā = {1, 2, 3, 4, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 24} ∈ P12 del ejemplo (0.2), en la matriz de diferencias se puede ver que el número de representaciones de los enteros cercanos a los extremos del intervalo [−23, 23] es pequeña en relación con Γ(Ā) = 8 en particular, ΓĀ (k) = 0 si |k| > 19 y ΓĀ (k) ≤ 4 para |k| ∈ {8, . . . , 19} . Nos preguntamos si este hecho puede ser usado para mejorar la cota presentada anteriormente, ya que en la prueba se supone que todos los términos se repiten el máximo número de veces posible. La respuesta es si, como lo veremos a continuación..

(20) 1.2. Cota inferior de Scherk. 1.2.. 7. Cota inferior de Scherk. Scherk probó (en un comunicado) que M (n) > 0, 2929n no encontramos la bibliografı́a relacionada con la prueba, sin embargo usando la observación expuesta anteriormente ha sido posible dar una prueba sencilla de este hecho, comenzamos probando el siguiente lema. Lema 1.1 Si A ∈ Pn y q ∈ [1, n], entonces máx {ΓA (−2n + q), ΓA (2n − q)} ≤ q. Prueba. Notemos que DA (2n − q) ⊆ {(2n − i, q − i) : 0 ≤ i < q}, como este último conjunto tiene q elementos, entonces ΓA (2n − q) ≤ q. De igual forma se muestra que ΓA (−2n + q) ≤ q, de donde se tiene el resultado.. . Corolario 1.1 Si A ∈ Pn y q ∈ [1, n], entonces ΓA (−2n + q) + ΓA (2n − q) ≤ q. Prueba. Es fácil ver que (a, b) ∈ DA (2n − q) si, y sólo si (b, a) ∈ DA (q − 2n), como los conjuntos A y B son disjuntos, entonces por el lema anterior se tiene que ΓA (−2n + q) + ΓA (2n − q) ≤ q. Podemos usar ahora el lema anterior para probar el siguiente teorema Teorema 1.2 (Cota inferior de Scherk) √ M (n) > 1 − 1/ 2 n..

(21) 1.2. Cota inferior de Scherk. 8. Prueba. Notemos que para cada t < n fijo se tiene que P P P n2 = ΓA (k) = ΓA (k) + ΓA (k) |k|≤2n−t. k. |k|>2n−t. ≤ 2(2n − t)Γ(A) +. t−1 P. [ΓA (2n − q) + ΓA (−2n + q)]. q=1. ≤ 2(2n − t)Γ(A) +. t−1 P. q. q=1. < 2(2n − t)Γ(A) + t(t − 1)/2 Si para α ∈ (0, 2) tomamos t = [|αn|] se puede mostrar que 2n < 4(2 − α)Γ(A) + α2 n y ası́ Γ(A) >. (2 − α2 ) n, 4(2 − α). √ (2 − α2 ) alcanza un máximo en α = 2− 2, y en particular 4(2 − α) √ √ Γ(A) > f 2 − 2 n = 1 − 1/ 2 n.. pero la función f (α) = tenemos que. .

(22) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 1.3.. 9. Cota inferior de Swierczkowski. Swierczkowski prueba que √ M (n) > n 4 − 6 /5, este resultado fue presentado en 1958 en el artı́culo “On the intersection of a linear set with the translation of its complement”, ver [10]. Teorema 1.3 Si N ∈ N y {A, B} es una partición de [1, N ], entonces p Γ(A) ≥ (N/5) 2 − 4 − 10 |A| |B| /N 2 . S. P DA (k) tiene |A| |B| elementos, ası́ |A| |B| = ΓA (k), si para |k|<N |k|<N P P 0 < m < N escribimos Rm = ΓA (k), entonces |A| |B| = ΓA (k) + Rm , de Prueba.. |k|≥m. |k|<m. donde se tiene que |A| |B| ≤ 2(m − 1)Γ(A) + Rm .. (1.1). Supongamos que (1.1) implica que existe una función ϕ tal que lı́m ϕ(x) = 0, y x−→0. Γ(A) > (δ + ϕ(1/N )) N , p donde δ = (1/5) 2 − 4 − 10 |A| |B| /N 2 .. (1.2). . Aplicando (1.2) al conjunto Ā definido en el lema (0.1) tenemos que qΓ(A) = Γ(Ā) > δ̄ + ϕ(1/qN ) qN , pero δ̄ = δ, lo que implica que Γ(A) > (δ + ϕ(1/qN )) N y como q es arbitrario Γ(A) ≥ δN , lo que prueba el teorema. Al aplicar este teorema al conjunto W = [1, 2n] y considerar particiones {A, B} de W con A ∈ Pn se tiene el resultado principal. Teorema 1.4 ∀n ∈ N, M (n) > n(4 −. √. 6)/5.. Ahora se debe probar que (1.1) implica (1.2), pero antes probaremos algunos lemas que serán de mucha utilidad. Para W = [0, n], definimos los conjuntos ∆ := {(x, y) ∈ W 2 : x + y ∈ W } y |E, F | := |(E × F ) ∩ ∆|. En adelante denotamos a M (n) por d. Sean s, s∗ ∈ [0, n + 1], decimos que (S, S ∗ ) ∈ P (s, s∗ ) si {S, T } y {S ∗ , T ∗ } son particiones de W = [0, n] tales que |S| = s y |S ∗ | = s∗ ó |T | = s y |T ∗ | = s∗ .. (1.3).

(23) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 10. Definición 1.1 Para f (S, S ∗ ) := |S, S ∗ | + |T, T ∗ |, denotamos µ(s, s∗ ) := máx{f (S, S ∗ ) : (S, S ∗ ) ∈ P (s, s∗ )}, y por K := {S, T, S ∗ , T ∗ } la clase de todas las particiones {S, T } , {S ∗ , T ∗ } de W con (S, S ∗ ) ∈ P (s, s∗ ) tales que f (S, S ∗ ) = µ(s, s∗ ).. (1.4). A partir de ahora, durante la prueba de esta cota, consideramos sólo particiones {S, T } , {S ∗ , T ∗ } de W tales que {S, T, S ∗ , T ∗ } ∈ K, representaremos por E, D, E ∗ , D∗ un reordenamiento de S, T, S ∗ , T ∗ con {E, D} y {E ∗ , D∗ } particiones de W. Definición 1.2 Dado x ∈ W , denotamos p(x) = n−x, y para Q ⊆ W escribimos p(Q) = {p(x) : x ∈ Q}. Lema 1.2 Si x ∈ E y x + 1 ∈ D, entonces p(x) ∈ E ∗ . Prueba. Supongamos que existe x ∈ E tal que x + 1 ∈ D y p(x) ∈ D∗ , definamos los conjuntos Ē, D̄ por Ē = (E − {x}) ∪ {x + 1} y D̄ = W − Ē, Como x ∈ E, x + 1 ∈ Ē, y p(x) = n − x ∈ / E ∗ , entonces |{x}, E ∗ | = |{y ∈ E ∗ : x + y ≤ n}| = |{y ∈ E ∗ : x + y < n}| = |{y ∈ E ∗ : (x + 1) + y ≤ n}| = |{x + 1}, E ∗ | de donde Ē, E ∗ − |E, E ∗ | = |{x + 1}, E ∗ | − |{x}, E ∗ | = 0 de igual forma, como x ∈ D̄, x + 1 ∈ D y p(x) ∈ D∗ , entonces D̄, D∗ − |D, D∗ | = |{x}, D∗ | − |{x + 1}, D∗ | = 1, Sumando las ecuaciones anteriores tenemos f (Ē, E ∗ ) − f (E, E ∗ ) = 1, lo cual es imposible, pues f (E, E ∗ ) = µ(s, s∗ ).. . Definición 1.3 Decimos que un intervalo L es maximal en E ⊂ W si L ⊂ E pero L1 , L−1 * E. El intervalo L es libre si L1 , L−1 ⊂ W..

(24) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 11. Definición 1.4 Si L es maximal en E, Q maximal en E ∗ y L∩p(Q) 6= φ, decimos que Q corresponde a L, o que Q y L se corresponden. Definición 1.5 Dados intervalos L = [a, b] y Q = [c, d], escribimos L < Q si a ≤ c y b ≤ d o si uno de ellos es vacı́o. Lema 1.3 Si L y Q se corresponden, entonces L < p(Q). Prueba. Sean L = [a, b] ⊂ E y Q = [g, h] ⊂ E ∗ , probaremos que a ≤ p(h) y b ≤ p(g). Supongamos que p(h) < a, como L∩p(Q) 6= φ, entonces p(h) < a ≤ p(g), esto implica que p(h) ≤ a − 1, ası́ p(a − 1) ∈ Q ⊂ E ∗ , lo que contradice el lema (1.2). De forma similar se muestra que g ≤ p(b), de donde b ≤ p(g). 0. 0. Corolario 1.2 Si Q y Q corresponden con L, entonces Q ∩ Q 6= φ. Lema 1.4 Si L = [a, b] es maximal en E y b + 1 ∈ W , entonces E ∗ ∩ p(L) 6= φ. Prueba. Como L es maximal en E, entonces b + 1 ∈ D, luego, el lema (1.2) garantiza que p(b) ∈ E ∗ y ası́ E ∗ ∩ p(L) 6= φ. Lema 1.5 Existe a lo más un intervalo Q que corresponde a L. Aún más, existe Q que corresponde a L ⊆ E si, y sólo si E ∗ ∩ p(L) 6= φ, y por lo tanto p(E ∗ ) ∩ L ⊂ p(Q). Prueba. Si Q corresponde a L, entonces φ 6= Q ∩ p(L) ⊂ E ∗ ∩ p(L). Recı́procamente, si E ∗ ∩ p(L) 6= φ, entonces podemos tomar Q maximal en E ∗ tal que L ∩ p(Q) 6= φ, y ası́ Q corresponde a L. Finalmente, dos intervalos que corresponden a L se intersecan y si son maximales coinciden, de aquı́ se sigue que sólo un intervalo Q corresponde a L, y por lo tanto E ∗ ∩ p(L) ⊂ Q. Combinando los dos resultados anteriores tenemos Corolario 1.3 Si L es maximal en E, y L1 ⊂ W , entonces existe algún intervalo Q que corresponde a L. Corolario 1.4 Si L es maximal en E, y Q corresponde a L, entonces p(E ∗ ) ∩ L = p(Q) ∩ L. Lema 1.6 Si L es maximal en E, entonces existe una I−partición L(1) , L(2) de L tal que L(1) < L(2) , L(1) ⊂ P (D∗ ), L(2) ⊂ p(E ∗ ), y si Q corresponde a L, entonces L(2) = L ∩ p(Q)..

(25) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 12. Prueba. Sean L(2) = L ∩ p(E ∗ ) y L(1) = L − L(2) . Si L(2) = φ, el resultado es inmediato. Si L(2) 6= φ entonces por lema (1.5) existe un intervalo Q que corresponde a L y L(2) ⊆ L ∩ p(Q), ası́ L(2) = L ∩ p(Q) pues Q ⊆ E ∗ . Finalmente, como L < p(Q) y p(E ∗ ) ∩ L ⊆ p(Q), entonces L(1) es intervalo y L(1) < L(2) . Corolario 1.5 Si L es maximal y L1 ⊂ W , entonces L(2) 6= φ. Lema 1.7 Si L = [a, b] es maximal en E, L1 ⊂ W y b + 1 ∈ R, con R maximal en D, entonces L∗ definido por P (L∗ ) = L(2) ∪ R(1) corresponde a L. Prueba. Como L1 ⊂ W existe Q que corresponde a L, luego p(L∗ ) ∩ L = L(2) = p(Q) ∩ L 6= φ, por lo tanto, es suficiente probar que L∗ es maximal en E ∗ ; para lo cual probaremos que p(L∗ ) es maximal en p(E ∗ ). Si R(2) = φ, entonces (p(L))−1 * p(E), de no ser ası́ φ 6= p(E ∗ ) ∩ R(2) ⊆ p(E ∗ ) ∩ p(D∗ ), lo cual es imposible. Si R(2) 6= φ la conclusión es inmediata. Por otro lado, si p−1 (L∗ ) ⊆ p(E ∗ ), entonces cL−1 ⊆ p(E ∗ ). Esto es imposible, pues tendrı́amos que L(2) ⊆ p(Q) y L(2) < p(Q). Lema 1.8 Si L y Q se corresponden, no pueden ser ambos libres. Prueba. Como las condiciones (1.3) y (1.4) son invariantes bajo transposiciones simultáneas de S con T y S ∗ con T ∗ , podemos suponer que n ∈ S. Sea {S, T, S ∗ , T ∗ } ∈ K tal que P x x∈S. es máxima en K. Supongamos que L = [a, b] ⊂ S y Q = [g, h] ⊂ S ∗ son libres. Como L y Q se corresponden, entonces L < p(Q) luego L(1) = L − p(Q) = [a, p(h) − 1] ⊂ p(T ∗ ) y Q(1) = Q − p(L) = [g, p(b) − 1] ⊂ p(T ) de aquı́ se sigue que [h + 1, p(a)] ⊂ T ∗ y [b + 1, p(g)] ⊂ T.. (1.5). Definamos S̄ = (S − L) ∪ L1 , T̄ = W − S̄, S̄ ∗ = (S ∗ − Q) ∪ Q−1 y T̄ ∗ = W − S̄ ∗ ,. (1.6).

(26) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 13. entonces para ε=.   1, si p(g − 1) ∈ S . 0, si p(g − 1) ∈ /S. se tiene que S̄, S̄ ∗ − |S, S ∗ | = |L1 , Q−1 | − |L, Q| + ε = ε. Por otro lado, como b < p(g) T̄ , T ∗ − |T, T ∗ | = |{a}, T ∗ | − |{b + 1}, T ∗ | = p(a) − h Similarmente, de (1.5) y del hecho de que h ≤ p(a) T̄ , T̄ ∗ − T̄ , T ∗ = T̄ , {h} − T̄ , {g − 1} = b − p(g) + ε sumando estos resultados se tiene que T̄ , T̄ ∗ − |T, T ∗ | = |L| − |Q| + ε. De todo lo anterior, obtenemos que existe ε ≥ 0, tal que S̄, S̄ ∗ + T̄ , T̄ ∗ − µ(s, s∗ ) = |L| − |Q| + 2ε. Similarmente se prueba que si S̄ = (S − L) ∪ L−1 , T̄ = W − S̄, S̄ ∗ = (S ∗ − Q) ∪ Q1 y T̄ ∗ = W − S̄ ∗ ,. (1.7). entonces existe η ≥ 0 tal que S̄, S̄ ∗ + T̄ , T̄ ∗ − µ(s, s∗ ) = |Q| − |L| + 2η. Por definición de µ(s, s∗ ) se tiene que |L| − |Q| + 2ε ≤ 0 y |Q| − |L| + 2η ≤ 0, como estas desigualdades no se cumplen, entonces S̄, S̄ ∗ +PT̄ , T̄ ∗ = µ(s, s∗ ) es válido para (1.6) y (1.7), lo que contradice el hecho de que x∈S x obtiene su máximo en los conjuntos S, S ∗ , T, T ∗ . Lema 1.9 Si W = [0, N −(m+1)], entonces existen particiones {U, V } y {U ∗ , V ∗ } de W tales que ||U | + |U ∗ | − |W || ≤ d y Rm = f (U, U ∗ ). ∗ Prueba. Definamos Ū =Am ∩ Wm+1 ∗, V̄ ∗= Bm ∩ Wm+1 , Ū = B ∩ Wm+1 y ∗ V̄ = A ∩ Wm+1 , entonces Ū , V̄ y Ū , V̄ son particiones de Wm+1 tales que ∗ ∗ ∗ c V̄ ∩ V̄ = |Bm ∩ A| ≤ d, y como Ū ∪ Ū = V̄ ∩ V̄ ≥ |W | − d, entonces. Ū + Ū ∗ ≥ |W | − d. Similarmente V̄ + V̄ ∗ ≥ |W | − d, pero V̄ = |W | − Ū y V̄ ∗ = |W | − Ū ∗ , de donde tenemos que |W | − Ū − Ū ∗ ≥ −d. Concluimos que Ū + Ū ∗ − |W | ≤ d. (1.8).

(27) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 14. ¯ = (x, y) ∈ W 2 : x ≤ y , entonces Ahora, sea ∆ m+1 ¯ = (x, y) ∈ Ū × Ū ∗ : x ≤ y, Ū × Ū ∗ ∩ ∆ =. . 2 (x, y) ∈ Wm+1 : x − m ∈ A, y ∈ B con x ≤ y. = {(x0 , y) ∈ A × B : x0 + m ≤ y} =. S. {(x0 , y) ∈ A × B : y − x0 = k} =. k≥m. ası́. S. D(k).. k≥m. ¯ = P Γ(k), de igual forma Ū × Ū ∗ ∩ ∆. ¯ = P Γ(k), esto V̄ × V̄ ∗ ∩ ∆ k≤−m. k≥m. implica que ¯ + Ū × Ū ∗ ∩ ∆. X ¯ = V̄ × V̄ ∗ ∩ ∆ Γ(k) = Rm .. (1.9). |k|≥m. Finalmente, definamos U = Ū−(m+1) , V = V̄−(m+1) , U ∗ = N − y : y ∈ Ū ∗ , V ∗ = N − y : y ∈ V̄ ∗ y la traslación h(x, y) := (x − (m + 1), N − y), entonces h(Ū × ¯ = ∆. De aquı́ vemos que de (1.8) y Ū ∗ ) = U × U ∗ , h(V̄ × V̄ ∗ ) = V × V ∗ y h(∆) (1.9) se sigue el resultado. Lema 1.10 Existen I−particiones1 {F, G, H} , {F ∗ , G∗ , H ∗ , K ∗ } de W para las cuales |K ∗ | ≤ |H| ≤ |K ∗ | + |H ∗ | ≤ |K| + |H| ≤ |K ∗ | + |H ∗ | + |G∗ | ≤ |W |, F ∗ < G∗ < H ∗ < K ∗ , H < G < F , S = F ∪ H, S ∗ = F ∗ ∪ H ∗. (1.10). y si H 6= φ, entonces F ∗ = φ. Prueba. Sea F un intervalo maximal en S tal que n ∈ S, podemos escoger intervalos G, H que satisfagan H < G < F , G sea vacı́o o maximal en T , H sea vacı́o o maximal en S, y si Γ = W − (F ∪ G ∪ H) 6= φ, entonces 0 ∈ Γ. Definamos los intervalos F ∗ , G∗ , H ∗ , K ∗ por p(F ∗ ) = F (2) , p(G∗ ) = G(2) ∪ F (1) , p(H ∗ ) = H (2) ∪ G(1) , p(K ∗ ) = H (1) . Entonces por el lema (1.6) se tiene que F (2) , G(1) , H (2) ⊂ p(S ∗ ) y F (1) , G(2) , H (1) ⊂ p(T ∗ ). Probemos primero que Γ = φ. Si Γ 6= φ, entonces F, G, H 6= φ. Como H es libre, el lema (1.7) garantiza que H ∗ corresponde a H, como G también es libre, del lema (1.6) corolario se sigue que G 6= φ, ası́ H ∗ es libre, lo que contradice el lema (1.8). 1. Diremos que {I1 , . . . , In } es una I−partición de W si además de ser una partición de W , I1 , . . . , In son intervalos..

(28) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 15. Lema 1.11 Si 0 ≤ s, s∗ ≤ n + 1, entonces existen I−particiones {Φ, Ψ, Ω} y {Φ∗ , Ψ∗ , Ω∗ } de W para las cuales |Ω∗ | ≤ |Φ| ≤ |Ω∗ | + |Φ| ≤ |Φ| + |Ψ| ≤ |W | y Φ < Ψ < Ω, Ψ∗ < Φ∗ < Ω∗ , además, si definimos S, S ∗ mediante   S = Φ ∪ Ω , S ∗ = Φ∗ ; si Ω 6= Φ (1.11)  ∗ ∗ ∗ S = Ψ , S = Ψ ∪ Ω ; si Ω = Φ y T, T ∗ como W − S y W − S ∗ respectivamente, entonces {S, T, S ∗ , T ∗ } ∈ K. Prueba. Si F ∗ = φ, entonces en el lema anterior, sustituimos H,H ∗ ,G,G∗ ,F y K ∗ por Φ, Φ∗ , Ψ, Ψ∗ , Ω y Ω∗ respectivamente, entonces (1.10) implica (1.11) y las otras partes del lema son inmediatas. Para H = φ (y por tanto K ∗ = φ) sustituimos G,G∗ ,F, F ∗ H ∗ por Φ, Φ∗ , Ψ, Ψ∗ y Ω∗ , si definimos Ω = φ se tienen las propiedades requeridas para Φ, Φ∗ , Ψ y Ψ∗ . Como consecuencia inmediata del lema tenemos Corolario 1.6 µ(s, s∗ ) = |X| |X ∗ | + |Y | |Y ∗ | − (1/2)[(|X| − |Z ∗ |)(|X| − |Z ∗ | − 1) +(|X| + |Y | − |X ∗ | − |Z ∗ |)(|X| + |Y | − |X ∗ | − |Z ∗ | − 1)] Ahora probemos que (1.1) implica (1.2); Consideremos la función P (u, u∗ , v, v ∗ , ξ) definida como u(x−u∗ −v ∗ )+vv ∗ −(1/2)[(v −u∗ )(v −u∗ −ξ)+(u+v −u∗ −v ∗ )(u+v −u∗ −v ∗ −ξ)]. Lema 1.12 Existen u, u∗ , v, v ∗ ≥ 0 tales que para x = 1 − k/N, γ = d/N y ξ = 1/N se tiene u∗ ≤ v ≤ u∗ + v ∗ ≤ x, |u − v ∗ | ≤ γ y Rm ≤ P (u, u∗ , v, v ∗ , ξ)N . Prueba. Sean W = [0, N − (m + 1)] y M el máximo de f sobre las particiones {U, V } , {U ∗ , V ∗ } de W que satisfacen (1.8), entonces por el lema 1.9 se tiene que Rm = f (U, U ∗ ) ≤ M . Si {S, T } , {S ∗ , T ∗ } particiones de W tales que f (S, S ∗ ) = M ; s = |S| , s∗ = S̄ ∗ , entonces M = µ(s, s∗ ), luego, por lema 1.11 |Φ| + |Ω| = s, |Φ∗ | = s∗ ó |Ψ| = s |Ψ∗ | + |Ω∗ | = s∗ y |Φ| + |Ψ| + |Ω| = |Φ∗ | + |Ψ∗ | + |Ω∗ | = |W | . Definamos u, u∗ , v, v ∗ por |Ψ| = N u, |Φ| = N v, |Ω∗ | = N u∗ |Φ∗ | = N v ∗ ..

(29) 1.3. Cota inferior de Swierczkowski. 16. entonces la primera condición del lema se sigue del (lema 1.11). De (1.8), se tiene que |s + s∗ − N + k| < d, luego, las dos ecuaciones anteriores implican que |u − v ∗ | ≤ Nd = γ y por último, el corolario anterior garantiza que Rm ≤ P (u, u∗ , v, v ∗ , ξ)N 2 = M = µ(s, s∗ ). Sea h(x, γ, ξ) el máximo de P (u, u∗ , v, v ∗ , ξ), bajo las condiciones del lema anterior, entonces la función ψ(ξ) = h(α, γ, ξ) − h(x, γ, 0) satisface lı́m ψ(ξ) = 0 y ψ(ξ) ≥ 0. Se puede mostrar que ξ−→0. h(x, γ, 0) =.  1 2 1 2  3x + 2γ . 1 2 x 2. + 41 (x + γ)2. si. 0 ≤ γ ≤ 13 x. si. 1 x 3. ≤ γ ≤ x.. Si d ≥ N/3 entonces d > δN , pues δ < 1/3, y (1.2) es inmediata. Si d < N/3 entonces definimos k = N − 3d. Ası́ x = 3γ y h(x, γ, 0) = 3, 5γ 2 . como Rm ≤ P (u, u∗ , v, v ∗ , ξ)N , entonces Rk ≤ (3, 5γ 2 + ψ(ξ))N 2 , sustituyendo esto en (1.1), obtenemos que 5γ 2 − 4γ + 2 |A| |B| /N 2 − 2ψ(ξ) < 0, p luego γ > 51 2 − 4 − 10 (|A| |B| /N 2 − ψ(ξ)) , pero 5 |A| |B| < 2N 2 y ψ(ξ) ≥ 0, esto prueba la ecuación (1.2), lo que completa la demostración. .

(30) 1.4. Cota inferior de Moser. 1.4.. 17. Cota inferior de Moser. Moser presenta el método con el cual se obtiene la mejor cota inferior conocida hasta el momento, esto lo hace en el artı́culo llamado “On the minimal overlap problem of Erdös” ver [6], publicado en el año 1959, donde usa argumentos combinatorios relativamente sencillos para mostrar el siguiente resultado: Teorema 1.5 Para cada n ∈ N √ M (n) > 2(n − 1)/4 > 0,3525(n − 1). Prueba. Sea A ∈ Pn , con A = {a1 , . . . , an } y B = {b1 , . . . , bn }. La idea de Moser se basa en estimar P R = (k − µ)2 Γ(k), k. donde µ lo toma como un parámetro que permita minimizar la suma2 . n n P P Sean α = ai , β = bi y δ = n(β − α) notemos que i=1. i=1. P. kΓ(k) =. P. P P (bi − aj ) = n( bi − aj ) = δ,. i,j. k. i. j. mientras que P. k 2 Γ(k). =. P. (bi − aj )2. i,j. k. =. P. (b2i − 2bi aj + a2j ). i,j. P P P = n( b2i + a2j ) − 2 bi aj i. =n. 2n P. j. i,j. t2 − 2βα.. t=1. 1 8 = n2 + 2n3 + n4 − 2βα 3 3 2. Recuerde que la varianza de un conjunto de datos con media x̄ es n. S2 =. 1X 2 (xi − x̄) . n i=1.

(31) 1.4. Cota inferior de Moser De donde tenemos que P R = (k − µ)2 Γ(k). 18. =. k. P. (k 2 − 2µk + µ2 )Γ(k). k. =. P. k 2 Γ(k) − 2µ. k. P. kΓ(k) +. k. P. µ2. i,j. 1 8 = n2 + 2n3 + n4 − 2αβ − 2µδ + n2 µ2 , 3 3 pero 2βα = 1/2 (α + β)2 − (β − α)2 , por lo que R. 8 1 = n2 + 2n3 + n4 − 1/2 [(α + β)2 − (β − α)2 ] − 2µδ + n2 µ2 3 3 " 2 2 # 2n P 1 2 8 δ = n + 2n3 + n4 − 1/2 t − − 2µδ + n2 µ2 3 3 n t=1 2 1 δ2 = n4 − n2 + 2 − 2µδ + n2 µ2 . 3 6 2n. En particular, la función 1 δ2 f (µ) = − n2 + 2 − 2µδ + n2 µ2 6 2n 1 δ2 alcanza su valor mı́nimo de − n2 − 2 en el punto µ = δ/n, luego, tomando 6 2n µ = δ/n tenemos que R=. P 2 1 δ2 2 (k − δ/n)2 Γ(k) ≥ n4 − n2 − 2 > n4 . 3 6 2n 3 k. (1.12). Por otro lado, en la suma R, incluyendo repeticiones hay |B − A| = n2 términos, estos difieren por enteros, ninguno se repite más de m veces y los mı́nimos valores que pueden tomar estos sumandos son 2m veces 02 , 12 , . . . , r2 , para algún entero r tal que 2mr ≤ n2 < 2m(r + 1), o equivalentemente r + 1 > n2 /2m > r, de aquı́ se sigue que R > 2m. r P. s2 = mr(r + 1)(2r + 1)/3. s=0. > m(n2 /2m − 1)(n2 /2m)(n2 /m − 1)/3..

(32) 1.4. Cota inferior de Moser. 19. Luego, por (1.12) m(n2 /2m − 1)(n2 /2m)(n2 /m − 1)/3 < R < 2n4 /3, ası́ (n2 /2m − 1)(n2 /m − 1) < 2n2 , de donde (n − 1)2 < (n − 2m/n)(n − m/n) < 8m2 , y por lo tanto. √ M (n) > (n − 1)/2 2.. (1.13) . Para mejorar esta cota, con una idea similar a la que usamos en la prueba de la cota de Scherk, notemos que Moser acota inferiormente a R por la suma 2m. r X. s2 ,. s=0. sinembargo, sabemos que los términos bn − a1 , bn − a2 , . . . , bn − ak , al igual que b1 − an , b1 − an−1 , . . . , b1 − an−k tienen a lo más 1, 2, . . . , k representaciones respectivamente, por lo que tenemos que para cada t (al menos hasta t = m − 1) R ≥ 2m. r P i=0. i2 + 2. t P. (t − i) (r + i)2 .. i=1. Pero esta es una de las ideas en las que trabajamos en estos momentos..

(33) Capı́tulo 2 Cotas superiores Aquı́, de forma similar al capı́tulo anterior se hará una exposición de los principales métodos usados para calcular algunas de las cotas superiores que se han encontrado hasta el momento.. 2.1.. Cotas superiores de Motzkin, Ralston y Selfridge. Motzkin, Ralston y Selfridge, usaron programas computacionales para probar que lı́m sup M (n)/n < 2/5, esto lo hicieron combinando un ejemplo y una propiedad importante de la función M (n), el resultado fue publicado en el artı́culo llamado “Superposición mı́nima bajo traslación”, publicado en 1958, ver [8], y aunque el argumento es sencillo, este resultado fue la mejor cota superior conocida hasta el año 1996. Para mostrar de forma sencilla la idea planteada por los autores, consideremos el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 17, 19, 24, 25, 27, 28, 29, 30} ∈ P15 se puede mostrar fácilmente que Γ(A) = 6 y por lo tanto M (15) ≤ 6. Sea q ∈ N, por el lema (0.1) se tiene que M (15q) ≤ Γ(Ā) ≤ 6q y por lo tanto M (15q)/15q ≤ 2/5 ∀q ∈ N, lo que implica el resultado.. . 20.

(34) 2.2. Cota superior de Haugland. 2.2.. 21. Cota superior de Haugland. Aquı́ se probará primero que M (n) < 0, 38200299n, esta cota fue dada por Jan Kristian Haugland en el artı́culo “Advances in the minimum overlap problem” ver [5] publicado en 1996, y fue la mejor cota superior conocida hasta el 2009, cuando el mismo Haugland la mejoró, mostrando que M (n) < 0,381097n. Lema 2.1 Si M (n) ≤ tn, para algún n ∈ N y t ∈ R, entonces lı́m sup M (n)/n ≤ t. Prueba. Si A ∈ Pn realiza1 a M (n), entonces por el corolario (1) se tiene que M (nq) ≤ Γ(Ā) ≤ qΓ(A) = qM (n) ≤ t(qn) ∀q ∈ N. Por otro lado, M (n + 1) ≤ Γ(A ∪ {2n + 1}) ≤ M (n) + 1, inductivamente se puede mostrar que si r ∈ {0, 1, . . . , q − 1}, entonces M (nq + r) ≤ M (nq) + r ≤ qM (n) + r ≤ (q + 1)M (n), esto significa que la función M (n) no crece mucho en los intervalos intermedios [qn + 1, q(n + 1) − 1], lo que completa la prueba. Como consecuencia tenemos los siguientes resultados. Corolario 2.1 lı́m M (n)/n existe. Corolario 2.2 El −1 en la cota inferior (1.13) dada por Moser puede ser omitido. Prueba. Notemos que M (n) > α(n − 1); ∀n ∈ N ⇐⇒ lı́m. M (n) ≥α n−1. ⇐⇒ lı́m. M (n) ≥α n. n→∞. n→∞. ⇐⇒ M (n) ≥ αn; ∀n ∈ N. Consideremos una función f : [0, 2] −→ {0, 1} tal que Z 2 f (x)dx = 1, 0 1. Es decir, satisface la condición óptima Γ (A) = M (n) ..

(35) 2.2. Cota superior de Haugland. 22. definimos A := {x ∈ [0, 2] : f (x) = 0} y B := {x ∈ [0, 2] : f (x) = 1}, entonces para cada x ∈ [0, 2] tenemos que f (x) = 1B (x) y 1 − f (x) = 1A (x) (las funciones caracterı́sticas de A y B respectivamente). Es fácil ver que Z Z m(A) := 1A (x)dx = (1 − f (x)) dx = 1 [0,2]. [0,2]. y Z. Z m(B ∩ Ak ) :=. f (x) (1 − f (x + k)) dx,. 1B∩Ak (x)dx = [0,2]. x,x+k∈[0,2]. ası́ f determina una partición {A, B} = {A(f ), B(f )} de [0, 2] tal que m(A) = m(B) = 1, y las expresiones equivalentes a ΓA (k), Γ(A) y lı́m M (n)/n son Z In (f, k) := f (x)(1 − f (x + k))dx x,x+k∈[0,2]. In (f ) := máxIn (f, k) e I(n) := ı́nf I(f ) k. f. respectivamente. El teorema principal de este artı́culo está basado en el siguiente resultado. Lema 2.2 Sea n ∈ N, si f : [0, 2] −→ [0, 1] es una función escalonada, con valor constante αr en cada A−intervalo Ar = (2(r − 1)/n, 2r/n), r ∈ {1, . . . , n} y m(A (f )) = 1, entonces existe una función escalonada g(x) : [0, 2] −→ {0, 1}, tal que m(A (g)) = 1 y ∀k ∈ (−2, 2), I(g, k) < I(f, k) + ε, ∀ > 0. Prueba. Dividimos el intervalo (0, 2) en los A−intervalos Ar donde f es constante y tomamos enteros suficientemente grandes R1 , R2 , R3 , M1 (luego veremos las condiciones sobre ellos). Cada A−intervalo se divide en R1 B−intervalos Bs de igual longitud, el primer B−intervalo B1 es cubierto por C−intervalos Cm con puntos extremos racionales, m ≥ M1 y 1/m log m < |Cm | < 2/m log m. Sea N1 el menor entero tal que los C−intervalos Cm con M1 ≤ m < N1 sean suficientes2 para cubrir a B1 , como log log(2nR2 − 1) − log log(n − 1) tiende a cero cuando n crece, podemos escoger M2 ≥ N1 tal que 2 log log(2R2 M2 − 1) − 2 log log(M2 − 1) < 1/(R2 R3 N1 log N1 ). 2. Es suficiente un número finito de C−intervalos, pues. X. 1/m log m diverge..

(36) 2.2. Cota superior de Haugland. 23. Cubrimos el intervalo B2 con C−intervalos Cm , con M2 ≤ m < N2 donde N2 se determina de forma similar a la anterior. Repitiendo el proceso con cada B−intervalo, obtenemos conjuntos {M1 , . . . , MnR1 } y {N1 , . . . , NnR1 } tales que para j ∈ {2, . . . , nR1 } , 2 log log(2R2 Mj − 1) − 2 log log(Mj − 1) < 1/(R2 R3 Nj−1 log Nj−1 ). Ahora, descomponemos cada C−intervalo en R2 D−intervalos de igual longitud y cada D−intervalo en Ar se divide en dos subintervalos E0 y E1 , con |E1 | = αr |D| y |E0 | = (1 − αr ) |D|. Definimos 1; si x ∈ E1 g(x) = 0; si x ∈ E0 . Entonces g(x) : [0, 2] −→ {0, 1} es una función tal que Z g(x)dx = αr |D| , D. de aquı́ que. R Ar. g(x)dx = αr |Ar | =. R Ar. f (x)dx, y por lo tanto. m(A (g)) = m(A (f )) = 1. Ahora, sean k, ε dados, mostremos que I(g, k) < I(f, k) + ε. Supongamos primero que k es positivo. Sea s0 el mayor3 valor de s tal que R3 k < 1/R2 Ns log Ns definimos J1 =. s0 [. Bi , J2 = Bs0 +1 y J3 =. i=1. nR [1. Bi ,. i=s0 +2. de aquı́ tenemos las siguientes condiciones: i) |J2 | = |Bs0 +1 | = 2/nR1 . ii) Cualquier D−intervalo en J1 tiene una longitud de al menos R3 k, puesto que si Cm ⊆ D ⊆ J1 , entonces m ≤ Ns0 , de donde se sigue que |D| = |Cm | /R2 ≥ 1/R2 m log m ≥ 1/R2 Ns0 log Ns0 ≥ R3 k. iii) Si x ∈ J3 y x + k ≤ 2 entonces el D−intervalo que contiene a x tiene mayor longitud que el C−intervalo que contiene a x + k. Para probar esto, observemos que log log m − log log(m − 1). =. Rm m−1. R m+1 dx 1 dx > > m x log x m log m x log x. = log log(m + 1) − log log m 3. Si no sucede para ningún valor de s, hacemos el mismo análisis con J1 = φ, J2 = B2 ..

(37) 2.2. Cota superior de Haugland. 24. luego, siguiendo un proceso inductivo se tiene que si N > M , entonces log log M − log log(M − 1) > log log(N + 1) − log log N, ası́ log log N − log log(M − 1) > log log(N + 1) − log log M. Por otro lado, sean m0 , m1 ∈ N tales que x ∈ D ⊆ Cm0 y x + k ∈ Cm1 . Queremos probar que |Cm1 | ≤ |D|. Notemos que si m1 ≥ 2R2 m0 , entonces 2/m1 ≤ 1/R2 m0 , esto implica que |Cm1 | < 2/m1 log m1 ≤ 1/R2 m0 log m0 < |Cm0 | /R2 = |D| , por lo tanto, es suficiente mostrar que m1 ≥ 2R2 m0 . En efecto, como x ∈ Cm0 y x + k ∈ Cm1 , entonces m1 X. k≤. |Cm | ≤. m=m0. m1 X. 2/m log m,. m=m0. S. esta suma decrece cuando m0 crece y como x ∈ Cm0 ⊆ J3 =. Bi , entonces. i≥s0+2. m0 ≥ Ms0 +2 , luego, si m1 ≤ 2R2 m0 − 1 entonces k. <. 2R2P m0 −1. 2/m log m. m=m0 2R2 Ms0+2 −1. P. ≤. 2/m log m. m=Ms0+2 2R2 Ms0+2 −1. ≤2. P. (log log m − log log (m − 1)). m=Ms0+2. ≤ 2 log log(2R2 Ms0+2 − 1) − 2 log log(Ms0+2 − 1) y por la condición requerida para la construcción del conjunto {M1 , . . . , MnR1 } tendrı́amos que k < 1/R2 R3 Ns0+1 log Ns0+1 , de donde R3 k < 1/R2 Ns0+1 log Ns0+1 , esto contradice la elección de s0 , lo que prueba.(iii). Finalmente tenemos: El integrando en I(g, k) es menor o igual que 1, y por (i) la contribución de J2 es a lo más 2/nR1 , si tomamos R1 > 8/nε, este aporte será a lo más ε/4. Si x está en algún D−intervalo dado de J1 , entonces por la construcción se tiene que g(x) = g(x + k) en un par de subintervalos de longitud k cada uno, y como.

(38) 2.2. Cota superior de Haugland. 25. g sólo toma valores en el conjunto {0, 1}, el integrando g(x)(1 − g(x + k)) en I(g, k) se anula; de aquı́ que la contribución de un D−intervalo de J1 a I(g, k) es a lo sumo 2k, pero por (ii), en J1 hay a lo más 2/R3 k D−intervalos, entonces la contribución total de J1 a I(g, k) es a lo más 4/R3 , y si tomamos R3 > 16/ε, esta será máximo /4. Existen máximo n B−intervalos Bs tales que x ∈ Bs no determina el valor de r para el cual x + k ∈ Ar , y su contribución a I(g, k) es a lo más la suma de sus longitudes, es decir, 2/R1 , y si tomamos R1 > 8/ε; será máximo de ε/4. Por (iii), podemos escoger un D−intervalo D0 en J3 tal que x ∈ D0 determine el valor de r para el cual x + k ∈ Ar , entonces, la contribución de D0 a I(f, k) es D0 f (D0 )(1 − αr ). Sean E0 , E1 los subintervalos de D0 donde g toma los valores 0 y 1 respectivamente, como x recorre todo E0 (o todo E1 ), x + k recorre completamente un D−intervalo D, por (iii) |D| ≤ |D0 | /R2 y como el valor promedio de g sobre un D−intervalo completo dentro de Ar es αr , la contribución de E1 a I(g, k) difiere de |E1 | (1 − αr ) = D0 f (D0 )(1 − αr ) a lo más por 2 |D0 | /R2 . Ası́, la contribución de todos estos D00 s a I(g, k) − I(f, k) está absolutamente acotada por X 2 D0 /R2 ≤ 4/R2 ; y si tomamos R2 > 8/ε esta contribución será a lo más ε/4. De todo lo anterior, se tiene que I(g, k) − I(f, k) < ε, como se querı́a de mostrar Para k negativo se considera I(g, − |k|) = I((1 − g), |k|) < I((1 − f ), |k|) + ε = I(f, − |k|) + ε. Como consecuencia inmediata tenemos el siguiente resultado Teorema 2.1 El valor In (f ) no cambia si se reemplaza la condición de que f sólo tome valores en {0, 1} por la condición de que tome valores en [0, 1]. Para obtener un bajo valor α(f ) de In (f ) tenemos en cuenta que si f es un función escalonada, definida en n tramos, cada uno de longitud 2/n, la gráfica de I(f, k) como una función de k, es un conjunto de lı́neas rectas con extremos en los puntos donde k es múltiplo de 2/n. Luego, el valor de In (f ) es el máximo valor de I(f, k) tomado sobre un número finito de valores de k..

(39) 2.2. Cota superior de Haugland. 26. Usando programas computacionales, se hallaron las siguientes funciones para los valores de n dados. n = 1 tenemos la función 1 1 ≤ x ≤ 2, f (x) = 2 y α(f ) = 0,5. Para n = 2 se tiene 1/3, 0 ≤ x < 1 f (x) = 2/3, 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) = 4/9 < 0,45. Para n = 3 se tiene  0 ≤ x < 2/3  19/40, 11/20, 1/2 ≤ x < 1 f (x) =  f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) = 2/5 = 0,4. Para n = 4 se tiene  0 ≤ x < 1/2  9/20, 11/20, 1/2 ≤ x < 1 f (x) =  f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) = 2/5 = 0,4. Para n = 5 se tiene  27/112 0 ≤ x < 2/5    47/84, 2/5 ≤ x < 4/5 f (x) = 23/28 4/5 ≤ x < 1    f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) < 0,3918. Para n = 6 se tiene  5/12, 0 ≤ x < 1/3    1/2 1/3 ≤ x < 2/3 f (x) = 7/12 2/3 ≤ x < 1    f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) = 7/18 < 0,3888. Para n = 7 se tiene  0,10507 0 ≤ x < 2/7     0,50351 2/7 ≤ x < 4/7  0,66819 4/7 ≤ x < 6/7 f (x) =   0,94642 6/7 ≤ x < 1    f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2.

(40) 2.2. Cota superior de Haugland. 27. con α(f ) < 0,3861. Para n = 8 se tiene  0,08964 0 ≤ x < 1/4     0,46363 1/4 ≤ x < 2/4  0,60861 2/4 ≤ x < 3/4 f (x) =   0,83810 3/4 ≤ x < 1    f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) < 0,38507. Para n = 9 se tiene  0,004837 0 ≤ x < 2/9     0,459493 2/9 ≤ x < 4/9    0,579753 4/9 ≤ x < 6/9 f (x) = 0,723007 6/9 ≤ x < 8/9     0,965816 8/9 < x < 1    f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) < 0,382892. Para n = 10 se tiene  0 0 ≤ x < 1/5     0,42784 1/5 ≤ x < 2/5    0,53782 2/5 ≤ x < 3/5 f (x) = 0,66335 3/5 ≤ x < 4/5     0,87096 4/5 ≤ x < 1    f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2 con α(f ) < 0,382427. Para n = 11 se tiene  0     0,409271      0,489497 0,591950 f (x) =   0,766138     0,986285    f (2 − x),. 0 ≤ x < 2/11 2/11 ≤ x < 4/11 4/11 ≤ x < 6/11 6/11 ≤ x < 8/11 8/11 ≤ x < 10/11 10/11 ≤ x < 1 1≤x≤2.

(41) 2.2. Cota superior de Haugland con α(f ) < 0,38209. Para n = 15 se tiene. f (x) =.                           . 0 0 ≤ x < 2/15 0,09938 2/15 ≤ x < 4/15 0,64299 4/15 ≤ x < 6/15 0,36104 6/11 ≤ x < 8/15 0,69536 8/11 ≤ x < 10/15 0,59241 10/15 ≤ x < 12/15 0,89573 12/15 ≤ x < 14/15 0,92611 14/15 ≤ x < 1 f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2. con α(f ) < 0,38153155. Para n = 17 se tiene. f (x) =.                               . 0 0 ≤ x < 2/17 0,028007 2/17 ≤ x < 4/17 0,631255 4/17 ≤ x < 6/17 0,332085 6/17 ≤ x < 8/17 0,646927 8/17 ≤ x < 10/17 0,539624 10/17 ≤ x < 12/17 0,771627 12/17 ≤ x < 14/17 0,827417 14/17 ≤ x < 16/17 0,946108 16/17 ≤ x < 1 f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2. con α(f ) < 0,38143098.. Para n = 19 se tiene. f (x) =.                               . 0 0 ≤ x < 4/19 0,348795 4/19 ≤ x < 6/19 0,742684 6/19 ≤ x < 6/19 0,207655 8/19 ≤ x < 10/19 0,780222 10/19 ≤ x < 12/19 0,568104 12/19x < 14/19 0,689049 14/19 ≤ x < 16/19 0,967251 16/19 ≤ x < 18/19 0,892476 18/19 ≤ x < 1 f (2 − x), 1 ≤ x ≤ 2. 28.

(42) 2.2. Cota superior de Haugland con α(f ) < 0,38111226. En mayo de 2010. Para n = 21 se tiene la función  0, 0 < x < 4/21     0,431276 . . . , 4/21 < x < 6/21     0,428443 . . . , 6/21 < x < 8/21     0,472576 . . . , 8/21 < x < 10/21      0,548516 . . . , 10/21 < x < 12/21 0,540487 . . . , 12/21 < x < 14/21 f (x) =   0,706641 . . . , 14/21 < x < 16/21     0,685793 . . . , 16/21 < x < 18/21     0,958512 . . . , 18/21 < x < 20/21     0,955503 . . . , 20/21 < x < 22/21    f (2 − x) 22/21 < x < 2 con α(f ) < 0,3820029881 . . . Esta es la función que Haugland presenta en su artı́culo. Para n = 34 se tiene  0, 0 ≤ x < 3/17     0,093054 3/17 ≤ x < 4/17     0,543464 4/17 ≤ x < 5/17     0,872175 5/17 ≤ x < 6/17     0,034731 6/17 ≤ x < 7/17     0,512336 7/17 ≤ x < 8/17     0,559978, 8/17 ≤ x < 8/17    0,660534 9/17 ≤ x < 10/17 f (x) = 0,512239 10/17 ≤ x < 11/17     0,501380 11/17 ≤ x < 12/17     0,822731 12/17 ≤ x < 13/17     0,711785 13/17 ≤ x < 14/17     0,819836 14/17 ≤ x < 15/17     0,877670 15/17 ≤ x < 16/17     0,978079 16/17 ≤ x < 1    f (2 − x) 22/21 < x < 2. 29.

(43) 2.2. Cota superior de Haugland con α(f ) < 0,3811062. Para n = 52 se tiene                                           f (x) =                                         . 0, 0,0939055409 0,4183670276 0,8737828276 0,5932588813 0,4392084241 0,3778824753 0,5182593767 0,5854237837 0,6500154024 0,4950194563 0,7545166468 0,4411172791 0,3722882891 0,9297779185 0,6595448650 0,7603074629 0,7801019058 0,8041927591 0,8966122096 0,9040623054 0,9924495207 f (x) = f (2 − x). 30. 0 ≤ x < 5/26 5/26 ≤ x < 6/26 6/26 ≤ x < 7/26 7/26 ≤ x < 8/26 8/26 ≤ x < 9/26 9/26 ≤ x < 10/26 10/26 ≤ x < 11/26 11/26 ≤ x < 12/26 12/26 ≤ x < 13/26 13/26 ≤ x < 14/26 14/26 ≤ x < 15/26 15/26 ≤ x < 16/26 16/26 ≤ x < 17/26 17/26 ≤ x < 18/26 18/26 ≤ x < 19/26 19/26 ≤ x < 20/26 20/26 ≤ x < 21/26 21/26 ≤ x < 22/26 22/26 ≤ x < 23/26 23/26 ≤ x < 24/26 24/26 ≤ x < 25/26 25/26 ≤ x < 1 1 ≤ x ≤ 2.. α(f ) < 0,3810964913311364, en agosto de 2009 De esta última función tenemos que Teorema 2.2 lı́m M (n)/n < 0,3810964913311364.

(44) Capı́tulo 3 Algunas generalizaciones Después de los trabajos realizados por Erdos, Scherk, Swierczkowski, Moser, entre otros se conoce que q √ M (n) µl := lı́mı́nf ≥ 4 − 15 > 0,35639. n Por otro lado, con ejemplos especı́ficos T. Motzkin, K. Ralston y L. Selgidfre mostraron que M (n) 2 µR := lı́m sup ≤ = 0,4. n 5 Luego, con el reciente trabajo de Haugland se conoce que µ = lı́m M (n)/n existe, n→∞ por lo tanto µl = µR = µ, donde 0,35639 < µ < 0,3810965. Por otro lado, Mycielski y Swierczkowki estudiaron un problema de tipo continuo análogo al planteado por Erdös, ellos consideran conjuntos disjuntos complementarios y lebesgue medibles X, Y ⊂ [a, b] con igual medida m(X) = m(Y ), y muestran que si Xt = {x + t : x ∈ X}, entonces µ ı́nf sup |Xt ∩ Y | = , X,Y 2 t Moser y Murdeshwar estudiaron la siguiente generalización del problema. Sean f, g : [0, 1] → [0, 1] funciones lebesgue integrables en R tales que Z 1 Z 1 1 f (x)dx = g(x)dx = . 2 0 0 (con esta notación, el caso anterior se reduce a tomar f, g como las funciones caracterı́sticas de X, Y respectivamente). Si definimos Z 1 λ = ı́nf sup f (x + t)g(x)dx, f,g. t. 0. 31.

(45) ALGUNAS OBSERVACIONES. 32. se puede mostrar que 0,136 ≤ λ ≤ 0,166. Czipszer considera el siguiente problema. Sean ã1 < ã2 < · · · < ãn enteros arbitrarios, para cada entero k, se denota Ãk = {ãj + k : 1 ≤ j ≤ n} y ΓÃ (k) = Ãk − A0 . Luego define M̃ (n) = mı́n máx ΓÃ (k). −n≤k≤n. Ã. y µ̃l , µ̃R de manera similar a la anterior. Se mostró que 1/2 ≤ M̃ (n)/n ≤ 2/3, luego que 3/5 ≤ M̃ (n)/n para n ≥ 26, y conjeturó que µ̃l = µ̃R = 2/3. Finch considera la correspondiente versión funcional del problema de Czipszer. Sea f˜ : R → [0, 1] una función Lebesgue integrable en R tal que Z ∞ f˜(x)dx = 1, −∞. definimos. Z λ̃ = ı́nf 1 − ı́nf f˜. −1≤t≤1. ∞. ˜ ˜ f (x + t)f (x)dx ,. −∞. Se sabe que 0,5892 ≤ λ̃ ≤ 2/3, y como un corolario se tiene que si X̃ es un subconjunto lebesgue medible de R con m(X) = 1, entonces 0, 5892 ≤ ı́nf sup m(X̃t − X̃) ≤ 2/3. X −1≤t≤1. En este capı́tulo hacemos una revisión rápida de algunos de estos problemas, como los planteadas en [9],[10] y [7]..

(46) 3.1. Cota inferior de Swierczkowski. 3.1.. 33. Cota inferior de Swierczkowski. Swierczkowski hace una generalización del problema al caso continuo, considera conjuntos lebesgue medibles complementarios X, Y ⊂ I = [a, b] de igual medida m(X) = m(Y ), y prueba que p (3.1) m (Xt ∩ Y ) ≥ 1 − 1 − m(X)m(Y ), para algún t ∈ R. Este resultado fue presentado en 1958 en el artı́culo “On the intersection of a linear set with the translation of its complement”, ya estudiamos una parte en la sección (1.3). Aquı́ presentamos la prueba de (3.1). Teorema 3.1 Existe un real t tal que p m (Xt ∩ Y ) ≥ (mI/5) 2 − 4 − 10m(X)m(Y )/[m(I)]2 .. (3.2). Prueba. Como (3.2) es invariante bajo transformaciones afines, el resultado se probará para I = (0, 1). Sea ε > 0, tomamos N ∈ N tal que X sea cubierto por la unión X ∗ de intervalos Qk = ((k − 1)/N, k/N ) tales que m(X∆X ∗ )1 < ε, entonces para Y ∗ = I − X ∗ se tiene que m(Y ∆Y ∗ ) = m(X∆X ∗ ) < ε. Como para cada t m(Xt ∆Xt∗ ) < ε y (Xt ∩ Y )∆(Xt∗ ∩ Y ∗ ) ⊂ (Xt ∆Xt∗ ) ∪ (Y ∆Y ∗ ), entonces |m(Xt ∩ Y ) − m(Xt∗ ∩ Y ∗ )| ≤ m(Xt ∆Xt∗ ) + m(Y ∆Y ∗ ) < 2ε. (3.3). Sean A = {k : Qk ⊂ X ∗ } y B = {k : Qk ⊂ Y ∗ }, entonces |A| = m(X ∗ )N , pues   |A| |A| [ X ∗ k m(X ) = m  Q  = m(Qk ) = |A| /N. k=1. k=1. ∗ De forma similar se prueba que |B| = m(Y ∗ )N y |An ∩ B| = m(Xn/N ∩ Y ∗ )N . Luego, por hipótesis p m (Xt∗ ∩ Y ∗ ) ≥ (1/5) 2 − 4 − 10m(X ∗ )m(Y ∗ ) ; t = n/N. (3.4) p De (3.3) y (3.4) tenemos que supm(Xt ∩ Y ) ≥ (1/5) 2 − 4 − 10m(X)m(Y ) , t. de donde se sigue el resultado. Como consecuencia inmediata tenemos el siguiente resultado Corolario 3.1 Si X, Y son conjuntos complementarios, entonces existe t p m (Xt ∩ Y ) ≥ 1 − 1 − m(X)m(Y ). 1. Recuerde que A4B denota la diferencia simética de los conjuntos A y B.. .

(47) 3.2. Un problema de J. Czipszer. 3.2.. 34. Un problema de J. Czipszer. Sea A0 = {a1 , a2 , . . . , an } ⊂ Z, con a1 < a2 < · · · < an dado un entero k 6= 0, denotamos por Γ(k) el número de elementos en Ac0 ∩Ak , donde Ac0 es el complemento de A0 en Z, el problema en esta sección es estimar M := mı́n máx Γ(k). A0 0<|k|≤n. M. Czipszer probó que n/2 ≤ M ≤ 2n/3, y conjeturó que M = 2n/3. En el artı́culo “A problem of J. Czipszer’s”, publicado en 1970, por M. Katz y F. Schnitzer ver [9], el autor presenta dos métodos, el primero está basado en la interpretación probabilı́stica del problema, mientras que el segundo es sólo un proceso de conteo, en este trabajo estudiaremos el primer método, pues consideramos que presenta una técnica muy interesante para abordarlo. Sean k ∈ [−n, n] y fk (x) =. 1 si x ∈ Ak 0 si x ∈ / Ak ,. la función caracterı́stica de Ak , entonces el número de elementos en A0 ∩ Ak es X X X d= f0 (j)fk (j) = f0 (j)f0 (j − k) = f0 (j + k)f0 (j), j. j. j. de aquı́ se sigue que el cardinal de Ac0 ∩ Ak es Γ(k) = |A0 | − d, es decir, X Γ(k) = n − f0 (j + k)f0 (j) j. luego, para que Γ(k) sea máximo, debemos minimizar. P. f0 (j + k)fk (j), ası́, el. j. problema consiste en estimar M := máx mı́n. A0 0<|k|≤n. X. f0 (j + k)f0 (j).. j. La idea planteada por los autores fue la siguiente. Consideremos dos variables aleatorias independientes X, Y tomando valores en A0 con igual probabilidad P (X = j) = P (Y = j) =. f0 (j) . n.

(48) 3.2. Un problema de J. Czipszer. 35. Sea Z = X − Y, entonces P (Z = k) =. 1 X 1 X f (j)f (j) = f0 (j + k)f0 (j), k 0 n2 j n2 j. Por lo tanto, debemos obtener una cota superior para m := mı́n P (Z = k). 0<|k|≤n. Supongamos que Z es una variable aleatoria simétrica con rango D∗ = {aj − ai , i, j ∈ {1, . . . , n}}, entonces P (Z = 0) = P (X = Y ) = 1/n y P (Z = ±k) =. Γ(k)/n2 si k ∈ D∗ 0 si k ∈ / D∗ .. Por la simetrı́a de Z y el hecho de que Γ(0) no es mı́nima, basta considerar sólo el conjunto con posibles repeticiones D = {kij = aj − ai , j > i} ⊂ D∗ , el problema ahora se reduce a encontrar k ≤ n en D con la menor probabilidad m. P (0 < Z ≤ n) m≤ ;. n Una generalización del teorema de MarKov garantiza que si g es una función no negativa, par y no decreciente en [0, ∞), entonces para a ≥ 0 y cualquier variable aleatoria Z tenemos que E{g(Z)} E{g(Z)} − g(a) ≤ P (|Z| ≥ a) ≤ , sup g(Z) g(a). (3.5). donde E{W } es el valor esperado o esperanza de la variable aleatoria W. Tomando g(z) = |z| y a = n + 1 tenemos que E{|Z|} − (n + 1) E{|Z|} ≤ P (|Z| ≥ n + 1) ≤ , máx |Z| n+1 pero por la simetrı́a de Z P (|Z| ≥ n + 1) = 1 − P (|Z| ≤ n) = 1 − P (Z = 0) − 2P (0 < Z ≤ n) como P (Z = 0) = 1/n, entonces reemplazando en [3.6] obtenemos E{|Z|} − (n + 1) n−1 E{|Z|} ≤ − 2P (0 < Z ≤ n) ≤ , máx |Z| n n+1. (3.6).

(49) 3.2. Un problema de J. Czipszer ası́. 36. n−1 E{|Z|} n − 1 E{|Z|} − (n + 1) − ≤ P (0 < Z ≤ n) ≤ − , 2n 2(n + 1) 2n 2(an − a1 ). Como A0 es cualquier subconjunto de Z con cardinalidad n, el resultado es invariante bajo traslaciones, por lo que se puede suponer que a1 = 0, de aquı́ que m≤. P (0 < Z ≤ n) n−1 1 ≤ (E{|Z|} − (n + 1)), − n 2n2 2nan. (3.7). pero la variable aleatoria Z toma cada uno de los valores ±1, ±2, . . . , ±n a lo más m veces, ası́ que |Z| toma los valores 1, 2, . . . , n a lo más 2m veces y el número total de elementos en D, incluyendo repeticiones es n2 , luego, cada uno de los restantes n2 − n − 2mn valores de |Z| se repite a lo más 1 vez, de aquı́ se sigue que P E{|Z|} = jP (Z = j) j " # n P 1 j ≥ 2 (n2 − n − 2mn) + 2m n j=1 y ası́ 1 (n − 1) (m + 1). n De las ecuaciones [3.7] y [3.8] tenemos que 1 n−1 1 − (n − 1) (m + 1) − (n + 1) m ≤ 2n2 2nan n E{|Z|} ≥. (3.8). n−1 1 1 ≤ − (n − 1) − (n + 1) 2n2 2nan n n−1 1 1 = + +n 2n2 2nan n =. n−1 1 1 + + , 2n2 2n2 an 2an. luego m ≤ ı́nf an. n−1 1 1 + + 2 2 2n 2an 2n an. =. n−1 , 2n2. y esto prueba que M≥. n+1 . 2 .

(50) 3.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar. 3.3.. 37. L. Moser y M.G. Murdeshwar. En la sección anterior se estudió un problema planteado por M. Czipszer. En esta sección consideramos una generalización de este problema a funciones de valores reales presentada en el artı́culo “On the overlap of a function with its translates” publicado en 1965 por L. Moser y M. Murdeshwar, ver [7] el planteamiento es el siguiente. Sea Φ la clase de todas las funciones ϕ de valores reales tales que Z. ∞. ϕ ∈ L(−∞, ∞), 0 ≤ ϕ ≤ 1 y. ϕ(x)dx = 1. −∞. Definimos. M(t) = M(ϕ; t) =. R∞ −∞. ϕ(x)ϕ(x + t)dx. m = m(ϕ) = ı́nf |t|≤1 M(t), µ = ı́nf Φ {1 − m}. El problema ahora es estimar µ. En este artı́culo se prueba que µ ≥ 0, 5892. Presentamos la prueba sin modificaciones importantes a la forma como se presentan las ideas en el artı́culo. Teorema 3.2 M(t) es una función continua, por lo tanto integrable, además Z ∞ M(t)dt = 1. (3.9) −∞. R∞ Prueba. |M(t + h) − M(t)| ≤ −∞ |ϕ(x + t + h) − ϕ(x + t)| dx, y como esta integral tiende a cero cuando h → 0, entonces la función M es continua. Para probar la otra condición, notemos que 0 ≤ M(t) ≤ 1, luego, por (3.9) se tiene que Z 1. M(t)dt ≤ 1,. −1. ası́ m ≤ 1/2, es decir, µ ≥ 1/2. Teorema 3.3 0, 5892 ≤ µ ≤ 2/3.. .

(51) 3.3. L. Moser y M.G. Murdeshwar. 38. Prueba. Esta prueba es una adaptación del método usado por A. Rényi en un problema de diferencia de conjuntos, ver [11]. Usando la identidad Z ∞ 2 Z ∞ 2 Z ∞ M(t) cos θtdt = ϕ(x) cos θxdx + ϕ(x)senθxdx −∞. −∞. se tiene que para todo θ Z. −∞. ∞. M(t) cos θtdt ≥ 0.. (3.10). −∞. Definimos δ(t) =.   M(t) − m; t ∈ [−1, 1]. . M(t);. entonces δ(t) ≥ 0 para todo t y Z ∞ Z M(t) cos tdt = m −∞. t∈ / [−1, 1].. 1. Z. ∞. cos θtdt +. −1. δ(t) cos θtdt.. (3.11). −∞. Sustituyendo θ = 0 tenemos que Z ∞ δ(t)dt = 1 − 2m −∞. luego, por (3.10) y (3.11) se tiene que 1 − 2m + 2msenθ/θ ≥ 0, ası́ m ≤ 1/2 (1 − senθ/θ) , en particular, si tomamos θ = π + 1,352 (donde senθ/θ es mı́nima) se tiene que m ≤ 0,4108 y por lo tanto µ ≥ 0,5892. Para probar la cota superior para µ, consideremos la función   1 x ∈ [0, 2/3] ∪ [1, 4/3] , ψ(x) =  0 En otro punto, entonces µ ≤ 1 − m(ψ) = 2/3.. . El problema puede ser generalizado incluso a funciones de varias variables reemplazando x, t en el argumento por vectores k-dimensionales x̄, t̄ respectivamente..

(52) Capı́tulo 4 Algunos programas y observaciones En este capı́tulo se mostrarán algunos programas que se han realizado para comprender mejor el problema, se muestra también la forma como han sido utilizados, las ideas que han permitido desarrollar y los pasos que hemos seguido para construir algunos resultados que pueden ser importantes en nuestro estudio.. 4.1.. Programas construidos. Al comenzar a estudiar un problema, es conveniente hacer algunos ejemplos que permitan conocerlo mejor, por lo general en los problemas de teorı́a de números nos encontramos con la dificultad adicional que la cantidad de cálculos que se deben realizar para hacer un ejemplo es muy alta, sin embargo este tipo de inconvenientes en muchas ocasiones lleva a utilizar herramientas adicionales como la programación, la cual puede ser una ayuda muy importante en estos casos. La idea original fue crear programas en el sistema de cómputo MuPAD para observar ejemplos de conjuntos A ∈ Pn tales que Γ(A) = M (n), pero luego notamos que estos conjuntos al parecer poseen algunas caracterı́sticas que se pueden explorar más a fondo, por esta razón se elaboran programás que permitan en cierto modo descartar o confirmar estas caracterı́sticas, luego se intentan probar y utilizar para evitar cálculos imnecesarios en otros programas. Entre los programas que se crearon tenemos los siguientes: Algoritmo 1. Un programa para el cual, dado un conjunto A ∈ Pn , encuentre el conjunto diferencia B − A y lo muestre en una lista ordenada. dif:=proc(A). 39.

(53) 4.1. Programas construidos. 40. begin n:=nops(A); D:=[]; for i from 1 to n do for j from 1 to n do D:=[op(D),B[i]-A[j]]; end for; end for; sort(D); end proc; Ejemplo: dif({1, 2, 5, 6}); {−3, −2, −2, −1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 7} Obviamente este programa es de gran ayuda, pues nos permite ahorrar tiempo en cálculos que pueden ser muy largos. Algoritmo 2. Luego de tener el programa que mostrara el conjunto de diferencias B − A, se querı́a otro que lo organizara mejor, por lo que se creó un programa que muestra la matriz de diferencias B − A. matriz := proc(A) begin n := nops(A); B := {$1.,2 ∗ n} minus A; M := matrix(n + 1, n + 1); for i from 2 to n + 1 do; M[i, 1] := A[i − 1]; M[1, i] := B[i − 1]; for j from 2 to n + 1 do; M[i, j] := B[j − 1] − A[i − 1]; end for; end for; M; end proc; Ejemplo: Matriz({1, 2, 3, 6, 12, 13, 14});            . − 4 1 3 2 2 3 1 6 −2 12 −8 13 −9 14 −10. 5 7 8 9 4 6 7 8 3 5 6 7 2 4 5 6 −1 1 2 3 −7 −5 −4 −3 −8 −6 −5 −4 −9 −7 −6 −5. 10 9 8 7 4 −2 −3 −4. 11 10 9 8 5 −1 −2 −3.            . Este programa fue importante porque nos permitió analizar más rápidamente el conjunto de diferencias B −A, ya que teniendo este conjunto de forma organizada, logramos ver las primeras posibles propiedades de los conjuntos que satisfacen la condición óptima. Por ejemplo, que por lo general el número de representaciones.