4. Algunos programas y observaciones
4.2. Observaciones y resultados
4.2.
Observaciones y resultados
En esta secci´on se mostrar´an algunas caracter´ısticas especiales de los conjuntos A∈Pn que realizan aM(n), es decir,
Γ(A) =M(n).
Estas propiedades provienen de la observaci´on y an´alisis de los resultados arroja- dos por los algoritmos de la secci´on anterior.
En adelante, sin p´erdida de generalidad, tomamos A∈Pn tal que 1∈A. Definici´on 4.1 Sea A∈Pn, denotamos
A∗ ={(2n+ 1)−a:a∈A}
y decimos que A∗ ∈Pn es la reflexi´on de A.
Teorema 4.1 Si A∈Pn, entonces ΓA(k) = ΓA∗(−k) para cada k, en particular
Γ(A) = Γ(A∗) (4.1)
Prueba. Notemos que B∗ ={(2n+ 1)−b:b∈B}, de donde tenemos que existe (ai, bj)∈DA(k) si, y s´olo si existe
(a∗i, b∗j) = ((2n+ 1)−ai,(2n+ 1)−bj)∈DA∗(−k)
pues b∗j −a∗i = [(2n+ 1)−bj]−[(2n+ 1)−ai] =−(bj−ai) = −k. Ejemplo 4.1 Consideremos el conjunto A = {1,2,5} ∈ P3, de puede ver que
B ={3,4,6} y la matriz asociada al conjunto de diferencias B−A es
− 3 4 6 1 2 3 5 2 1 2 4 5 −2 −1 1 la reflexi´on deA es A∗ ={7−a:a∈A}={2,5,6},entonces B∗ ={1,3,4} y la matriz asociada al conjunto de diferencias B∗−A∗ es
− 1 3 4 2 −1 1 2 5 −4 −2 −1 6 −5 −3 −2
donde se observa que
4.2. Observaciones y resultados 49 al igual que
ΓA∗(−4) = ΓA∗(−3) = ΓA∗(−5) = ΓA∗(2) = ΓA∗(1) = 1
mientras que
ΓA(1) = ΓA(2) = ΓA∗(−1) = ΓA∗(−2) = 2
as´ı para cada k se tiene que ΓA(k) = ΓA∗(−k).
Definici´on 4.2 Dado A∈Pn, denotamos Γ+(A) := m´ax
k>0ΓA(k),
similarmente,
Γ−(A) := m´ax k<0ΓA(k).
Ejemplo 4.2 En el ejemplo anterior podemos ver que Γ+(A) = m´ax
k>0 ΓA(k) = ΓA(1) = ΓA(2) = 2.
Teorema 4.2 Γ+( ˆA) =M(n) para alg´un Aˆ∈P
n.
Prueba. Sea A ∈ Pn tal que Γ(A) = M(n), si Γ(A) = Γ+(A), no hay nada que probar, pues basta tomar ˆA = A. Si Γ(A) = Γ−(A), entonces por el teorema anterior tenemos que Γ+(A∗) = Γ−(A) = Γ(A) =M(n), por lo que es suficiente tomar ˆA=A∗. En cualquier caso, existe ˆA∈Pn tal que Γ+( ˆA) = M(n). Teorema 4.3 Para cada n∈N
M(n) = m´ın A∈Pn
Γ+(A) = m´ın A∈Pn
Γ−(A).
Prueba. Es consecuencia inmediata del teorema anterior. Con la ayuda de los programas de la secci´on anterior tambi´en logramos ver las siguientes propiedades, que se probaron en la secci´on (1.2) y fueron de gran utili- dad para probar la cota inferior dada por Scherk.
Lema 4.1 Si A∈Pn y q∈[1, n], entonces
m´ax{ΓA(−2n+q),ΓA(2n−q)} ≤q. Corolario 4.1 Si A∈Pn y q ∈[1, n], entonces
4.2. Observaciones y resultados 50 la siguiente observaci´on aunque es simple, nos ayuda a ver el problema desde un punto de vista diferente, esto nos permite comprender un poco m´as la forma como debemos escoger una partici´on ´optima, adem´as nos brinda un punto de partida para probar ciertas caracter´ısticas que se hab´ıan mencionado anteriormente. Observaci´on 4.1 Todo conjunto C ∈ Pn se puede descomponer como la uni´on de intervalos disjuntos Ci ⊂C de la forma
C = t
[
i=1
Ci
para alg´un t, con t
P
i=1
|Ci|=n.
Notemos adem´as que si tomamos A tal que 1∈A, y A= s [ i=1 Ai y B = t [ i=1 Bi, (4.2) entonces t =s ´o t=s−1.
De lo anterior tenemos que si para k ∈[−2n+ 1,2n−1] denotamos Dij(k) ={(a, b)∈Ai×Bj :b−a =k},
y su cardinal por Γij(k), entonces para k >0, DA(k) = [ i≤j Dij(k) por lo que ΓA(k) = t X i=1 Γij(k), i≤j ∈ {1, . . . , t} mientras que si k < 0, entonces
DA(k) = [ i>j Dij(k) y as´ı ΓA(k) = t X i=1 Γij(k), i > j∈ {1, . . . , t};
Ejemplo 4.3 El conjunto A = {1,2,3,7,8,9,10,16,18,19} ∈ P10 se puede ex-
presar como la uni´on de 4 subintervalos
A={1,2,3} ∪ {7,8,9,10} ∪ {16} ∪ {18,19}, obviamente 4 P i=1 |Ai|=|A|= 10.
4.2. Observaciones y resultados 51 Observaci´on 4.2 En adelante consideraremos A, B ∈Pn de la forma
A= s [ i=1 Ai y B = t [ i=1 Bi (4.3) descrita en (4.2) Lema 4.2 Si A∈Pn, entonces ΓA(1) =t.
Prueba. Para cada i ∈ {1, . . . , t} denotamos bi1 y por aik el primer elemento en Bi y ´ultimo elemento de Ai respectivamente, entonces
bi1−aik = 1 ∀i∈ {1, . . . , t},
de donde se tiene que DA(1) =
t
[
i=1
Dii(1) ={(aik, bi1) :i∈ {1, . . . , t}},
y como este ´ultimo conjunto tiene t elementos, entonces ΓA(1) =|DA(1)|=t
como se quer´ıa probar.
Como consecuencia inmediata tenemos los siguientes resultados. Corolario 4.2 Si A∈Pn, entonces Γ(A)≥t.
Prueba. Por el lema anterior, basta notar que Γ(A)≥ΓA(1) =t
como consecuencia tenemos el siguiente resultado, donde se presenta una cota superior para el n´umero de subintervalos que pueden tener los conjuntos de inter´es. Corolario 4.3 Si A∈Pn realiza a M(n), entonces t ≤M(n).
Este resultado es muy importante, pues reduce enormemente la cantidad de con- juntosA∈Pnque debemos analizar al tratar de caracterizar los conjuntosA∈Pn que realizan a M(n).
4.2. Observaciones y resultados 52 Teorema 4.4 Si A∈Pn realiza la funci´on M(n), y p2 es el cardinal del conjunto
P ={i: m´ın{|Ai|,|Bi|} ≥2}, entoncesp2 ≤M(n).
Prueba. Supongamos que m´ın{|Ai|,|Bi|} ≥2, sean bi1, bi2 el primero y segundo
elemento en Bi yaik−1, aik el pen´ultimo y ´ultimo elemento enAi respectivamente,
entonces
bi1 −aik−1 =bi2−aik = 2,
de aqu´ı se puede ver que Dii(2) ={(aik−1, bi1),(aik, bi2)}, luego Γii(2) = 2 as´ı,
M(n)≥ΓA(2) = k
X
i=1
Γii(2)≥2p2,
De donde se obtiene el resultado.
Corolario 4.4 Si A∈Pn, entonces
ΓA(2) = 2p2+u,
donde u representan el cardinal del conjunto U = {i : m´ın{|Ai|,|Bi|} = 1 y
|Ai|+|Bi| ≥3}.
Prueba. Notemos que si i /∈P ∪U, entonces Γij(2) = 0 para todo i, j.
Por otro lado, en la prueba anterior se mostr´o que si i∈ P, entonces Γii(2) = 2, de igual forma se puede ver que si i∈ U, entonces Γii(2) = 1, de donde tenemos que ΓA(2) = X i∈U Γii(2) + X i∈P Γii(2) = 2p2+u.
Ejemplo 4.4 Para n = 15 (el m´aximo valor de n para el cual se conoce M(n)) se tiene que p2 ≤ 6/2 = 3, es decir, cualquier conjunto A que realiza a M(15),
tiene a lo m´as 3 parejas de conjuntos (Ai, Bi) tales que |Ai|,|Bi| ≥2.
Teorema 4.5 SiArealiza aM(n)y tiene un subintervaloAital que|Ai|> M(n), entonces |Bj| ≤M(n) para cada subintervalo Bj de B.
Prueba. Por la propiedad (4.1) basta probar el resultado para j ≥i. Sea Br un subintervalo deBtal que|Br|> M(n), y seak =br1−ai1(la diferencia del primer
elemento de Br con el primer elemento de Ai), entonces ΓA(k) > M(n) = Γ(A),
lo cual es imposible.
Quedan a´un muchas preguntas por responder y propiedades por demostrar, entre las que consideramos de especial importancia las siguiente
4.2. Observaciones y resultados 53 Si A∈Pn y 2n /∈A, entonces existe A˜∈Pn tal que 2n∈A˜ y
Γ( ˜A)≤Γ(A). Si A∈Pn, entonces P a∈A a≈ P b∈B b ≈ 1 2n(n+ 1).
Conclusiones
Aunque se ha trabajado mucho en el problema, no se ha dedicado el tiempo suficiente al estudio de la estructura y caracter´ısticas principales de los conjuntos que determinan una partici´on ´optima paraM(n), considero que caracterizar dichas particiones ser´ıa un importante avance para el estudio, conocimiento y posible soluci´on del problema.
En este trabajo, con la ayuda de los programas que se crearon, se hace un esfuerzo por caracterizar las particiones que realizan la funci´on M(n), encontrando los resultados que se presentan en el cuarto cap´ıtulo, los cuales pueden ser una buena base para estudios posteriores.
Se presentan tambi´en una prueba sencilla de la cota inferior dada por Erdos, y la cota inferior dada por Schrek (de la cual no encontramos bibliograf´ıa).
En el trabajo quedan muchas preguntas por responder, pero se presentan algunas propiedades que se seguir´an estudiando y que seguramente producir´an muy buenos resultados.
Bibliograf´ıa
[1] Erd¨os P, Tur´an.On a problem of Sidon in aditive number theory, and on some related problems, J. London Math. Soc., 16(1941) 202-215; MR 3, 270. Addendum, 19 (1994) 208; MR 7, 242.
[2] Erd¨os P. Problems and results in additive number theory, Coloque sur la Th´eorie des Nombers, proc. 1955 Bruxelles conf., Li´ege, G. Thone, 1956, pp. 127-137; MR0079027 (18,18a).
[3] Erd¨os P. Some remark on number theory, Riveon Lematematica 9(1955), 45-48.
[4] Guy R. K. Unsolved problems in number theory, 3a
¯ed., Springer-Verlag,
2004, sect. C17; MR 96e:11002.
[5] Haugland J. K. Advances in the minimum overlap problem, J. Number Theory 58(1996) 71-78; MR1387725(97c:11031).
[6] Moser L. On the minimal overlap problem of Erd¨os, Acta Arit. 5(1959), 185-197.
[7] Moser L. and Mundershwar M. On the overlap of a funtion with its traslates, comunicado junio 8 de 1965
[8] Motzkin T. S, Ralston K. E., and Selfridge J. L. Minimun overlap of traslation
[9] Katz M. and Schnitzer F. On a problem of J. Czipszer, Enero 30 de 1970.
[10] Swierczkowski A.On the intersecti´on of a linear set with the traslation of its complement, Coloquium Mathematicum 5(1958), p.185-197.
[11] R´enyi A.On the measure of equidistribution of point set, Acta Scientiarum Mathematicarum 13 (1949-50) pp 72-79.