La obtención de la norma en espacios de funciones analíticas p. 1/?

La obtención de la norma en espacios de funciones analíticas

Julio C. Ramos Fern´andez

([email protected])

UNIVERSIDAD DEORIENTE

DEPARTAMENTO DEMATEMATICA´

- VENEZUELA-

Resumen

Consideraremos espacios de Banach de funciones analíticas

definidas sobre el disco unitario D del plano complejo C, tales como los espacios de Bergman, los espacios de Besov y el espacio de Bloch;

cuya norma está dada por una expresión que involucra una integral o el supremo, sobre todo el disco D, de ciertas cantidades que contiene el módulo de la función o la de sus derivadas.

Dado uno de tales espacios, se analiza las propiedades que debe poseer un subconjunto G del disco D, para que al restringir la integral (o el supremo, según sea el caso) involucrado en la definición de la norma se obtenga una cantidad comparable a la norma para toda

´Indice General

1.- Preliminares

2.- Conjuntos dominantes en Bergman 3.- Distribuci ´on de masa en Besov

4.- Obtenci´on de la norma en Bloch

´Indice General

1.- Preliminares

2.- Conjuntos dominantes en Bergman 3.- Distribuci ´on de masa en Besov

4.- Obtenci´on de la norma en Bloch

´Indice General

1.- Preliminares

2.- Conjuntos dominantes en Bergman 3.- Distribuci ´on de masa en Besov

4.- Obtenci´on de la norma en Bloch

´Indice General

1.- Preliminares

2.- Conjuntos dominantes en Bergman 3.- Distribuci ´on de masa en Besov

4.- Obtenci´on de la norma en Bloch

1.1 A

.

Denotemos por D = {z ∈ C : |z| < 1} el disco unitario del plano complejo C.

Para a ∈ D, el automorfismo del disco ϕ_a : D → D, está definido como

ϕ_a(z) = a − z

1 − az, z ∈ D.

ϕ_a es su propia inversa e intercambia a con el origen.

El determinante jacobiano de ϕ_a en w es 

ϕ⁰_a(w) 

2 = 1 − |a|²
2

|1 − aw|⁴ . 1 − |ϕ_a(z)|² = 1 − |z|²

1 − |a|²

|1 − az|² = 1 − |z|²


ϕ⁰_a(z) .

1.1 A

.

Denotemos por D = {z ∈ C : |z| < 1} el disco unitario del plano complejo C.

Para a ∈ D, el automorfismo del disco ϕ_a : D → D, está definido como

ϕ_a(z) = a − z

1 − az, z ∈ D.

ϕ_a es su propia inversa e intercambia a con el origen.

El determinante jacobiano de ϕ_a en w es 

ϕ⁰_a(w) 

2 = 1 − |a|²
2

|1 − aw|⁴ . 1 − |ϕ_a(z)|² = 1 − |z|²

1 − |a|²

|1 − az|² = 1 − |z|²


ϕ⁰_a(z) .

1.1 A

.

Denotemos por D = {z ∈ C : |z| < 1} el disco unitario del plano complejo C.

Para a ∈ D, el automorfismo del disco ϕ_a : D → D, está definido como

ϕ_a(z) = a − z

1 − az, z ∈ D.

ϕ_a es su propia inversa e intercambia a con el origen.

El determinante jacobiano de ϕ_a en w es 

ϕ⁰_a(w) 

2 = 1 − |a|²
2

|1 − aw|⁴ . 1 − |ϕ_a(z)|² = 1 − |z|²

1 − |a|²

|1 − az|² = 1 − |z|²


ϕ⁰_a(z) .

1.1 A

.

Denotemos por D = {z ∈ C : |z| < 1} el disco unitario del plano complejo C.

Para a ∈ D, el automorfismo del disco ϕ_a : D → D, está definido como

ϕ_a(z) = a − z

1 − az, z ∈ D.

ϕ_a es su propia inversa e intercambia a con el origen.

El determinante jacobiano de ϕ_a en w es 

ϕ⁰_a(w) 

2 = 1 − |a|²
2

|1 − aw|⁴ . 1 − |ϕ_a(z)|² = 1 − |z|²

1 − |a|²

|1 − az|² = 1 − |z|²


ϕ⁰_a(z) .

1.1 A

.

Denotemos por D = {z ∈ C : |z| < 1} el disco unitario del plano complejo C.

Para a ∈ D, el automorfismo del disco ϕ_a : D → D, está definido como

ϕ_a(z) = a − z

1 − az, z ∈ D.

ϕ_a es su propia inversa e intercambia a con el origen.

El determinante jacobiano de ϕ_a en w es 

ϕ⁰_a(w) 

2 = 1 − |a|²
2

|1 − aw|⁴ . 1 − |ϕ_a(z)|² = 1 − |z|²

1 − |a|²

|1 − az|² = 1 − |z|²


ϕ⁰_a(z) .

1.2 L

´

´

Para z, w ∈ D, se define la métrica pseudohiperbólica por

%(z, w) := |ϕ_z(w)| =    

z − w 1 − zw

. Para todo z, w ∈ D se tiene 0 ≤ %(z, w) < 1.

Para todo a ∈ D, z, w ∈ D % (ϕ_a(z), ϕ_a(w)) = %(z, w).

Para a ∈ D y r ∈ (0, 1), el conjunto

∆(a, r) = {z ∈ D : %(a, z) < r}

es el disco pseudohiperbólico con centro a y radio r.

1.2 L

´

´

Para z, w ∈ D, se define la métrica pseudohiperbólica por

%(z, w) := |ϕ_z(w)| =    

z − w 1 − zw

.

Para todo z, w ∈ D se tiene 0 ≤ %(z, w) < 1.

Para todo a ∈ D, z, w ∈ D % (ϕ_a(z), ϕ_a(w)) = %(z, w).

Para a ∈ D y r ∈ (0, 1), el conjunto

∆(a, r) = {z ∈ D : %(a, z) < r}

es el disco pseudohiperbólico con centro a y radio r.

1.2 L

´

´

Para z, w ∈ D, se define la métrica pseudohiperbólica por

%(z, w) := |ϕ_z(w)| =    

z − w 1 − zw

.

Para todo z, w ∈ D se tiene 0 ≤ %(z, w) < 1.

Para todo a ∈ D, z, w ∈ D % (ϕ_a(z), ϕ_a(w)) = %(z, w).

Para a ∈ D y r ∈ (0, 1), el conjunto

∆(a, r) = {z ∈ D : %(a, z) < r}

es el disco pseudohiperbólico con centro a y radio r.

1.2 L

´

´

Para z, w ∈ D, se define la métrica pseudohiperbólica por

%(z, w) := |ϕ_z(w)| =    

z − w 1 − zw

.

Para todo z, w ∈ D se tiene 0 ≤ %(z, w) < 1.

Para todo a ∈ D, z, w ∈ D % (ϕ_a(z), ϕ_a(w)) = %(z, w).

Para a ∈ D y r ∈ (0, 1), el conjunto

∆(a, r) = {z ∈ D : %(a, z) < r}

es el disco pseudohiperbólico con centro a y radio r.

1.2 L

´

´

S

η-

Para cada η ∈ (0, 1) podemos encontrar un entero positivo N y una sucesión Γ = {a_n} en D tales que:

Γ es η-red, es decir, D = [

n

∆ (a_n, η).

Cada punto en D pertenece a lo más a N conjuntos en {∆ (a_n, (1 + η)/2)}.

Γ es separada, es decir,

n6=minf ρ (a_n, a_m) ≥ η 2.

1.2 L

´

´

S

η-

Para cada η ∈ (0, 1) podemos encontrar un entero positivo N y una sucesión Γ = {a_n} en D tales que:

Γ es η-red, es decir, D = [

n

∆ (a_n, η).

Cada punto en D pertenece a lo más a N conjuntos en {∆ (a_n, (1 + η)/2)}.

Γ es separada, es decir,

n6=minf ρ (a_n, a_m) ≥ η 2.

1.2 L

´

´

S

η-

Para cada η ∈ (0, 1) podemos encontrar un entero positivo N y una sucesión Γ = {a_n} en D tales que:

Γ es η-red, es decir, D = [

n

∆ (a_n, η).

Cada punto en D pertenece a lo más a N conjuntos en {∆ (a_n, (1 + η)/2)}.

Γ es separada, es decir,

n6=minf ρ (a_n, a_m) ≥ η 2.

1.2 L

´

´

S

η-

Para cada η ∈ (0, 1) podemos encontrar un entero positivo N y una sucesión Γ = {a_n} en D tales que:

Γ es η-red, es decir, D = [

n

∆ (a_n, η).

Cada punto en D pertenece a lo más a N conjuntos en {∆ (a_n, (1 + η)/2)}.

Γ es separada, es decir,

n6=minf ρ (a_n, a_m) ≥ η 2.

1.3 L

´ B

Para s, w ∈ D, la métrica hiperbólica o de Bergman está definida por

β(s, w) := inf

γ

Z

γ

2 |dz|

1 − |z|²

 , donde γ es una curva en D que conectan a s con w.

Si ϕ es un automorfismo del disco, entonces

β (ϕ (z₁) , ϕ (z₂)) = β (z₁, z₂) , z₁, z₂ ∈ D.

Para todo z₁ y z₂ en ∈ D se tiene que

β (z₁, z₂) = log  1 + % (z₁, z₂) 1 − % (z₁, z₂)

 .

Si Ω ⊂ C es un dominio simplemente conexo y ϕ : D → Ω es conforme, entonces para w₁w₂ ∈ Ω, la distancia hiperbólica es

β_Ω (w₁, w₂) := β ϕ⁻¹(w₁), ϕ⁻¹(w₂)
,

1.3 L

´ B

Para s, w ∈ D, la métrica hiperbólica o de Bergman está definida por

β(s, w) := inf

γ

Z

γ

2 |dz|

1 − |z|²

 ,

donde γ es una curva en D que conectan a s con w.

Si ϕ es un automorfismo del disco, entonces

β (ϕ (z₁) , ϕ (z₂)) = β (z₁, z₂) , z₁, z₂ ∈ D.

Para todo z₁ y z₂ en ∈ D se tiene que

β (z₁, z₂) = log  1 + % (z₁, z₂) 1 − % (z₁, z₂)

 .

Si Ω ⊂ C es un dominio simplemente conexo y ϕ : D → Ω es conforme, entonces para w₁w₂ ∈ Ω, la distancia hiperbólica es

β_Ω (w₁, w₂) := β ϕ⁻¹(w₁), ϕ⁻¹(w₂)
,

1.3 L

´ B

Para s, w ∈ D, la métrica hiperbólica o de Bergman está definida por

β(s, w) := inf

γ

Z

γ

2 |dz|

1 − |z|²

 ,

donde γ es una curva en D que conectan a s con w.

Si ϕ es un automorfismo del disco, entonces

β (ϕ (z₁) , ϕ (z₂)) = β (z₁, z₂) , z₁, z₂ ∈ D.

Para todo z₁ y z₂ en ∈ D se tiene que

β (z₁, z₂) = log  1 + % (z₁, z₂) 1 − % (z₁, z₂)

 . Si Ω ⊂ C es un dominio simplemente conexo y ϕ : D → Ω es

conforme, entonces para w₁w₂ ∈ Ω, la distancia hiperbólica es β_Ω (w₁, w₂) := β ϕ⁻¹(w₁), ϕ⁻¹(w₂)
,

1.3 L

´ B

Para s, w ∈ D, la métrica hiperbólica o de Bergman está definida por

β(s, w) := inf

γ

Z

γ

2 |dz|

1 − |z|²

 ,

donde γ es una curva en D que conectan a s con w.

Si ϕ es un automorfismo del disco, entonces

β (ϕ (z₁) , ϕ (z₂)) = β (z₁, z₂) , z₁, z₂ ∈ D.

Para todo z₁ y z₂ en ∈ D se tiene que

β (z₁, z₂) = log  1 + % (z₁, z₂) 1 − % (z₁, z₂)

 .

Si Ω ⊂ C es un dominio simplemente conexo y ϕ : D → Ω es conforme, entonces para w₁w₂ ∈ Ω, la distancia hiperbólica es

β_Ω (w₁, w₂) := β ϕ⁻¹(w₁), ϕ⁻¹(w₂)
,

2. Espacios de Bergman con pesos

Para α > −1 y p > 0, el espacio de Bergman con peso, A^p_α = A^p_α(D), es la clase de las funciones f ∈ H(D) tales que

kf k_α,p :=

Z

D

|f (z)|^pdA_α(z)

¹_p

< ∞, donde

dA_α(z) = (α + 1) 1 − |z|²
α

dA(z) y dA(z) = _π¹dxdy = _π¹rdrdθ, con z = x + iy = re^iθ.

2. Espacios de Bergman con pesos

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS DE B^ERGMAN

P

2.1

Sean 0 < p < ∞, α > −1 y K un subconjunto compacto de D.

Entonces existe una constante C = C (n, K, p, α) tal que supn

 f

(n)(z) 

 : z ∈ K

o ≤ C kf k_α,p para toda f ∈ A^p_α y para todo n = 0, 1, 2, · · · .

P

2.2

Para 0 < p < ∞, A^p_α es un subespacio cerrado de L^p (D, dA_α).

2. Espacios de Bergman con pesos

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS DE B^ERGMAN

P

2.1

Sean 0 < p < ∞, α > −1 y K un subconjunto compacto de D.

Entonces existe una constante C = C (n, K, p, α) tal que supn

 f

(n)(z) 

 : z ∈ K

o ≤ C kf k_α,p para toda f ∈ A^p_α y para todo n = 0, 1, 2, · · · .

P

2.2

Para 0 < p < ∞, A^p_α es un subespacio cerrado de L^p (D, dA_α).

2. Espacios de Bergman con pesos

P

2.3

p + 1

q = 1, entonces (A^p_α)^∗ = A^q_α, en el sentido de que cada función g ∈ A^q_α induce el operador lineal y acotado

T_g(f ) = Z

D

f (z)g(z)dA_α(z) = hf, gi_α para cada f ∈ A^p_α.

2.1 Anillos dominantes

C

D

Se dice que un subconjunto medible G del disco unidad D es un conjunto dominante para el espacio A^p_α(D), si existe una constante C > 0, que depende de G, α y p, tal que

kf k^p_α,p < C Z

G

|f (z)|^pdA_α(z) para toda f ∈ A^p_α(D).

P

2.4

Sea A_r = {z ∈ D : |z| > r}, r ∈ (0, 1). Existe una constante K(r, α) > 0 tal que

Z

D

|f (z)|^pdA_α(z) < K(r, α) Z

Ar

|f (z)|^pdA_α(z), para toda f ∈ A^p_α.

2.1 Anillos dominantes

C

D

Se dice que un subconjunto medible G del disco unidad D es un conjunto dominante para el espacio A^p_α(D), si existe una constante C > 0, que depende de G, α y p, tal que

kf k^p_α,p < C Z

G

|f (z)|^pdA_α(z) para toda f ∈ A^p_α(D).

P

2.4

Sea A_r = {z ∈ D : |z| > r}, r ∈ (0, 1). Existe una constante K(r, α) > 0 tal que

Z

D

|f (z)|^pdA_α(z) < K(r, α) Z

Ar

|f (z)|^pdA_α(z), para toda f ∈ A^p_α.

2.2 Distribución de la masa en discos

T

2.5

Sea G ⊂ D medible de área positiva. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

Existe una constante δ > 0 tal que

|G ∩ D| > δ |D ∩ D| , para todo disco D cuyo centro esté sobre ∂D.

Existen constantes δ₀ > 0 y η ∈ (0, 1) tales que

|G ∩ D_η(a)| > δ₀ |D_η(a)| ,

para todo a ∈ D, donde D_η(a) = {z ∈ D : |z − a| < η (1 − |a|)}.

Existen constantes δ > 0 y η ∈ (0, 1) tales que

2.2 Distribución de la masa en discos

C

C

I

Un subconjunto medible G del disco se dice que verifica la condición de Carleson inversa si satisface alguna (y por tanto todas) de las condiciones equivalentes del teorema anterior.

2.3 Caracterización de los conjuntos domi- nantes en A

T

2.6

Supongamos que G es un subconjunto medible del disco D, sean p ≥ 1 y α > −1. Entonces G es un conjunto dominante para el espacio de Bergman A^p_α si y s´olo si G satisface la condici´on de Carleson inversa.

El caso α = 0 fue demostrado por D. Luecking (1981).

2.3 Caracterización de los conjuntos domi- nantes en A

T

2.6

Supongamos que G es un subconjunto medible del disco D, sean p ≥ 1 y α > −1. Entonces G es un conjunto dominante para el espacio de Bergman A^p_α si y s´olo si G satisface la condici´on de Carleson inversa.

El caso α = 0 fue demostrado por D. Luecking (1981).

2.4 Distribuci´on angular de masas para funciones de A

Para ε > 0, consideremos el sector Σ_ε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.

D. Marshall y W. Smith, Rev. Mat. Iberoamericana, 15 (1999):

T

2.7

Dado ε > 0, existe una constante δ > 0, que depende s ´olo de ε, tal que Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)| dA (z) > δ kf k₁ ,

para toda funci´on f ∈ A¹, univalente y con f (0) = 0.

Es falso si p > 1, cambiando k · k₁ por k · k_p y |f | por |f |^p. Es un problema abierto probar el resultado sin que f sea univalente.

2.4 Distribuci´on angular de masas para funciones de A

Para ε > 0, consideremos el sector Σ_ε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.

D. Marshall y W. Smith, Rev. Mat. Iberoamericana, 15 (1999):

T

2.7

Dado ε > 0, existe una constante δ > 0, que depende s ´olo de ε, tal que Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)| dA (z) > δ kf k₁ ,

para toda funci´on f ∈ A¹, univalente y con f (0) = 0.

Es falso si p > 1, cambiando k · k₁ por k · k_p y |f | por |f |^p. Es un problema abierto probar el resultado sin que f sea

univalente.

2.4 Distribuci´on angular de masas para funciones de A

Para ε > 0, consideremos el sector Σ_ε = {w ∈ C : |arg(w)| < ε}.

D. Marshall y W. Smith, Rev. Mat. Iberoamericana, 15 (1999):

T

2.7

Dado ε > 0, existe una constante δ > 0, que depende s ´olo de ε, tal que Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)| dA (z) > δ kf k₁ ,

para toda funci´on f ∈ A¹, univalente y con f (0) = 0.

Es falso si p > 1, cambiando k · k₁ por k · k_p y |f | por |f |^p. Es un problema abierto probar el resultado sin que f sea

2.5 Generalizaci ´on del Teorema de Marshall- Smith

T

2.8

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)| dA_α (z) > δ kf k_α,1 , para toda funci´on f ∈ A¹_α, univalente y con f (0) = 0.

T

2.9

Z

f⁻¹ Σ^π

2 −η

 |f (z)|dA_α(z) > C Z

D

|f (z)|dA_α(z), para toda funci´on f ∈ A¹_α con f (0) = 0.

2.5 Generalizaci ´on del Teorema de Marshall- Smith

T

2.8

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)| dA_α (z) > δ kf k_α,1 , para toda funci´on f ∈ A¹_α, univalente y con f (0) = 0.

El resultado anterior no se cumple, para todo ε > 0, si α < 0.

T

2.9

Dado α > −1, existen constantes positivas C y η, que dependen s ´olo de α, tales que

Z

f⁻¹ Σ^π

2 −η

 |f (z)|dA_α(z) > C Z

D

|f (z)|dA_α(z), para toda funci´on f ∈ A¹_α con f (0) = 0.

2.5 Generalizaci ´on del Teorema de Marshall- Smith

T

2.8

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)| dA_α (z) > δ kf k_α,1 , para toda funci´on f ∈ A¹_α, univalente y con f (0) = 0.

T

2.9

Z

f⁻¹ Σ^π

2 −η

 |f (z)|dA_α(z) > C Z

D

|f (z)|dA_α(z), para toda funci´on f ∈ A¹_α con f (0) = 0.

2.6 Distribución angular de masas en A

T

2.10

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)|^p dA_α(z) > δ Z

D

|f (z)|^p dA_α(z) para toda funci´on univalente f ∈ A^p_α que fije al origen.

El resultado anterior no es valido, para todo ε > 0, si α < 2p − 2.

Para p > 1, ¿qué pasa en el intervalo [2p − 2, 2p − 1]?

Dado α > −1 y p > 1, ¿existe un ángulo ε₀ ∈ (0, π) tal que el resultado anterior vale para toda f ∈ A^p_α con f (0) = 0?

2.6 Distribución angular de masas en A

T

2.10

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)|^p dA_α(z) > δ Z

D

|f (z)|^p dA_α(z) para toda funci´on univalente f ∈ A^p_α que fije al origen.

El resultado anterior no es valido, para todo ε > 0, si α < 2p − 2.

Para p > 1, ¿qué pasa en el intervalo [2p − 2, 2p − 1]?

Dado α > −1 y p > 1, ¿existe un ángulo ε₀ ∈ (0, π) tal que el resultado anterior vale para toda f ∈ A^p_α con f (0) = 0?

2.6 Distribución angular de masas en A

T

2.10

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)|^p dA_α(z) > δ Z

D

|f (z)|^p dA_α(z) para toda funci´on univalente f ∈ A^p_α que fije al origen.

El resultado anterior no es valido, para todo ε > 0, si α < 2p − 2.

Para p > 1, ¿qué pasa en el intervalo [2p − 2, 2p − 1]?

Dado α > −1 y p > 1, ¿existe un ángulo ε₀ ∈ (0, π) tal que el resultado anterior vale para toda f ∈ A^p_α con f (0) = 0?

2.6 Distribución angular de masas en A

T

2.10

Z

f⁻¹(Σε)

|f (z)|^p dA_α(z) > δ Z

D

|f (z)|^p dA_α(z) para toda funci´on univalente f ∈ A^p_α que fije al origen.

El resultado anterior no es valido, para todo ε > 0, si α < 2p − 2.

Para p > 1, ¿qué pasa en el intervalo [2p − 2, 2p − 1]?

Dado α > −1 y p > 1, ¿existe un ángulo ε₀ ∈ (0, π) tal que el

p

3 Distribuci´on de masas en los espacios de Besov

CONJUNTOS DOMINANTES PARA LOS ESPACIOS DE B^ESOV Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Besov B_p, p > 1, si

kf k_Bp :=

Z

D

f⁰ (z) 

p dA_p−2 (z)

¹

p

< +∞.

k·k_Bp define una seminorma para B_p verificándose que si f ∈ B_p y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_Bp = kf k_B

p.

T

3.1

Sea G un subconjunto medible del disco unidad D, y p > 1. Entonces, existe una constante C > 1 tal que

kf k^p_B

p < C Z

G

1 − |z|²
p−2 

f⁰(z) 

p dA(z),

para toda f ∈ B_p, si y s´olo si, G satisface la condici ´on de Carleson inversa.

3 Distribuci´on de masas en los espacios de Besov

CONJUNTOS DOMINANTES PARA LOS ESPACIOS DE B^ESOV Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Besov B_p, p > 1, si

kf k_Bp :=

Z

D

f⁰ (z) 

p dA_p−2 (z)

¹

p

< +∞.

k·k_Bp define una seminorma para B_p verificándose que si f ∈ B_p y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_Bp = kf k_B

p.

T

3.1

Sea G un subconjunto medible del disco unidad D, y p > 1. Entonces, existe una constante C > 1 tal que

kf k^p_B

p < C Z

G

1 − |z|²
p−2 

f⁰(z) 

p dA(z),

para toda f ∈ B_p, si y s´olo si, G satisface la condici ´on de Carleson inversa.

3 Distribución de masas en los espacios de Besov

Si ε > 0 y f_a = f ◦ ϕ_a − f (a), entonces Z

fa⁻¹(Σε)

f_a⁰(z) 

p dA_p−2(z) = Z

f⁻¹(Σε+f (a))

f⁰(z) 

p dA_p−2(z).

Si el Teorema de Marshall y Smith fuese cierto para los espacios de Besov, se debería verificar que

δ kf k_B

p = δ kf_ak_Bp <

Z

f⁻¹(Σε+f (a))

f⁰(z) 

p dA_p−2(z),

para todo a ∈ D y toda función f ∈ B_p.

C

3.3

Sea ε > 0, p > 1 y k > 0. Existe una constante δ > 0, que depende s´olo de p y k, tal que

Z

f⁻¹(Σε)

f⁰(z) 

p dA_p−2(z) ≥ δ(p, k)ε kf k^p_B

p ,

para toda funci´on f ∈ B_p tal que f (0) = 0 y |f⁰(0)| ≥ kkf k_Bp.

3 Distribución de masas en los espacios de Besov

Si ε > 0 y f_a = f ◦ ϕ_a − f (a), entonces Z

fa⁻¹(Σε)

f_a⁰(z) 

p dA_p−2(z) = Z

f⁻¹(Σε+f (a))

f⁰(z) 

p dA_p−2(z).

Si el Teorema de Marshall y Smith fuese cierto para los espacios de Besov, se debería verificar que

δ kf k_B

p = δ kf_ak_Bp <

Z

f⁻¹(Σε+f (a))

f⁰(z) 

p dA_p−2(z),

para todo a ∈ D y toda función f ∈ B_p.

T

3.2

Sea p > 1 y ε > 0. Existe una constante K(p) > 0, dependiendo s ´olo de p, tal que

Z

f⁻¹(Σε)

f⁰(z) 

p dA_p−2(z) ≥ K(p)ε|f⁰(0)|^p+4 kf k⁴_Bp , para cualquier funci´on no constante f ∈ B_p con f (0) = 0.

C

3.3

Sea ε > 0, p > 1 y k > 0. Existe una constante δ > 0, que depende s´olo de p y k, tal que

Z

f⁻¹(Σε)

f⁰(z) 

p dA_p−2(z) ≥ δ(p, k)ε kf k^p_Bp ,

para toda funci´on f ∈ B_p tal que f (0) = 0 y |f⁰(0)| ≥ kkf k_Bp.

3 Distribución de masas en los espacios de Besov

Si ε > 0 y f_a = f ◦ ϕ_a − f (a), entonces Z

fa⁻¹(Σε)

f_a⁰(z) 

p dA_p−2(z) = Z

f⁻¹(Σε+f (a))

f⁰(z) 

p dA_p−2(z).

Si el Teorema de Marshall y Smith fuese cierto para los espacios de Besov, se debería verificar que

δ kf k_B

p = δ kf_ak_Bp <

Z

f⁻¹(Σε+f (a))

f⁰(z) 

p dA_p−2(z),

para todo a ∈ D y toda función f ∈ B_p.

C

3.3

Sea ε > 0, p > 1 y k > 0. Existe una constante δ > 0, que depende s´olo de p y k, tal que

Z

 _{0 p p}

3 Distribuci´on de masas en los espacios de Besov

ESPACIOS TIPO B^ESOV Para p > 1, q > −1, f ∈ B_q^p, si y sólo si

kf k_p,q :=

Z

D

f⁰ (z) 

p dA_q (z)

¹_p

< +∞.

T

3.4

Z

f⁻¹(Σε)

|f⁰(z)|^pdA_q(z) > K(p, q)εkf k^p_p,q, f ∈ B_q^p conforme tal que f (0) = 0.

El Teorema 3.4 no vale para todo ε > 0, si q < 2p − 2.

Problema: ¿Es válido el Teorema 3.4 para q ∈ [2p − 2, 3p − 1]?

3 Distribuci´on de masas en los espacios de Besov

ESPACIOS TIPO B^ESOV Para p > 1, q > −1, f ∈ B_q^p, si y sólo si

kf k_p,q :=

Z

D

f⁰ (z) 

p dA_q (z)

¹_p

< +∞.

T

3.4

Z

f⁻¹(Σε)

|f⁰(z)|^pdA_q(z) > K(p, q)εkf k^p_p,q, f ∈ B_q^p conforme tal que f (0) = 0.

El Teorema 3.4 no vale para todo ε > 0, si q < 2p − 2.

Problema: ¿Es válido el Teorema 3.4 para q ∈ [2p − 2, 3p − 1]?

3 Distribuci´on de masas en los espacios de Besov

ESPACIOS TIPO B^ESOV Para p > 1, q > −1, f ∈ B_q^p, si y sólo si

kf k_p,q :=

Z

D

f⁰ (z) 

p dA_q (z)

¹_p

< +∞.

T

3.4

Z

f⁻¹(Σε)

|f⁰(z)|^pdA_q(z) > K(p, q)εkf k^p_p,q, f ∈ B_q^p conforme tal que f (0) = 0.

El Teorema 3.4 no vale para todo ε > 0, si q < 2p − 2.

Problema: ¿Es válido el Teorema 3.4 para q ∈ [2p − 2, 3p − 1]?

3 Distribuci´on de masas en los espacios de Besov

ESPACIOS TIPO B^ESOV Para p > 1, q > −1, f ∈ B_q^p, si y sólo si

kf k_p,q :=

Z

D

f⁰ (z) 

p dA_q (z)

¹_p

< +∞.

T

3.4

Z

f⁻¹(Σε)

|f⁰(z)|^pdA_q(z) > K(p, q)εkf k^p_p,q, f ∈ B_q^p conforme tal que f (0) = 0.

El Teorema 3.4 no vale para todo ε > 0, si q < 2p − 2.

Problema: ¿Es válido el Teorema 3.4 para q ∈ [2p − 2, 3p − 1]?

4. El espacio de Bloch

Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Bloch B, si kf k_B := sup

z∈D

1 − |z|² 

f⁰ (z)

 < +∞.

k·k_B define una seminorma para B verificándose que si f ∈ B y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_B = kf k_B.

f ∈ B si y sólo si existe una función univalente g ∈ H(D) tal que f = log g⁰.

El dual del espacio de Bergman A¹ puede ser identificado con el espacio de Bloch.

f ∈ B si y sólo si existe L ≥ 0 tal que

|f (z) − f (w)| ≤ Lβ (z, w).

4. El espacio de Bloch

Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Bloch B, si kf k_B := sup

z∈D

1 − |z|² 

f⁰ (z)

 < +∞.

k·k_B define una seminorma para B verificándose que si f ∈ B y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_B = kf k_B.

f ∈ B si y sólo si existe una función univalente g ∈ H(D) tal que f = log g⁰.

El dual del espacio de Bergman A¹ puede ser identificado con el espacio de Bloch.

f ∈ B si y sólo si existe L ≥ 0 tal que

|f (z) − f (w)| ≤ Lβ (z, w).

4. El espacio de Bloch

Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Bloch B, si kf k_B := sup

z∈D

1 − |z|² 

f⁰ (z)

 < +∞.

k·k_B define una seminorma para B verificándose que si f ∈ B y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_B = kf k_B.

El espacio de Bloch es de Banach con la norma kf k := |f (0)| + kf k_B.

f ∈ B si y sólo si existe una función univalente g ∈ H(D) tal que f = log g⁰.

El dual del espacio de Bergman A¹ puede ser identificado con el espacio de Bloch.

f ∈ B si y sólo si existe L ≥ 0 tal que

|f (z) − f (w)| ≤ Lβ (z, w).

4. El espacio de Bloch

Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Bloch B, si kf k_B := sup

z∈D

1 − |z|² 

f⁰ (z)

 < +∞.

k·k_B define una seminorma para B verificándose que si f ∈ B y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_B = kf k_B.

f ∈ B si y sólo si existe una función univalente g ∈ H(D) tal que f = log g⁰.

El dual del espacio de Bergman A¹ puede ser identificado con el espacio de Bloch.

f ∈ B si y sólo si existe L ≥ 0 tal que

|f (z) − f (w)| ≤ Lβ (z, w).

4. El espacio de Bloch

Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Bloch B, si kf k_B := sup

z∈D

1 − |z|² 

f⁰ (z)

 < +∞.

k·k_B define una seminorma para B verificándose que si f ∈ B y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_B = kf k_B.

f ∈ B si y sólo si existe una función univalente g ∈ H(D) tal que f = log g⁰.

El dual del espacio de Bergman A¹ puede ser identificado con el espacio de Bloch.

f ∈ B si y sólo si existe L ≥ 0 tal que

|f (z) − f (w)| ≤ Lβ (z, w).

4. El espacio de Bloch

Una función f ∈ H(D) está en el espacio de Bloch B, si kf k_B := sup

z∈D

1 − |z|² 

f⁰ (z)

 < +∞.

k·k_B define una seminorma para B verificándose que si f ∈ B y a ∈ D entonces kf ◦ ϕ_ak_B = kf k_B.

f ∈ B si y sólo si existe una función univalente g ∈ H(D) tal que f = log g⁰.

El dual del espacio de Bergman A¹ puede ser identificado con el espacio de Bloch.

f ∈ B si y sólo si existe L ≥ 0 tal que

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

CONTRAEJEMPLO

Si ε > 0 y f_a = f ◦ ϕ_a − f (a), entonces sup

z∈f_a⁻¹(Σε)

1 − |z|²


f_a⁰(z)

 = sup

f⁻¹(Σε+f (a))

1 − |w|²


f⁰(w)  . Si el Teorema de Marshall y Smith fuese cierto para los espacios de Bloch, se debería verificar que

δ kf k_B = δ kf_ak_B < sup

f⁻¹(Σε+f (a))

1 − |z|²


f⁰(z)  , para todo a ∈ D y toda función f ∈ B.

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

E^SPACIOS α-B^LOCH f ∈ B^α, α > 0, si f ∈ H(D) y

kf k_B^α = sup

z∈D

1 − |z|²
α

|f⁰(z)| < ∞.

T

4.1

Sea α > 0. Existe K(α) > 0 tal que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ K(α)ε|f⁰(0)|⁴ kf k³_α , para toda f ∈ B^α no constante con f (0) = 0.

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

E^SPACIOS α-B^LOCH f ∈ B^α, α > 0, si f ∈ H(D) y

kf k_B^α = sup

z∈D

1 − |z|²
α

|f⁰(z)| < ∞.

T

4.1

Sea α > 0. Existe K(α) > 0 tal que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ K(α)ε|f⁰(0)|⁴ kf k³_α , para toda f ∈ B^α no constante con f (0) = 0.

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

T

4.2

Si α ≥ 3, entonces, para cada ε > 0 existe δ = δ(α, ε) > 0 tal que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ δ kf k_α , para f ∈ B^α univalente con f (0) = 0.

D^EMOSTRACION´ . Por tanto, para z ∈ D y α ≥ 3 encontramos que 

f⁰(0)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
3 

f⁰(z)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
α 

f⁰(z)  .

Así |f⁰(0)| ≥ ₁₆¹ kf k_α. Por el Teorema anterior se obtiene que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ K(α)

(16)⁴ ε kf k_α .

Esto completa la prueba. 

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

T

4.2

Si α ≥ 3, entonces, para cada ε > 0 existe δ = δ(α, ε) > 0 tal que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ δ kf k_α , para f ∈ B^α univalente con f (0) = 0.

D^EMOSTRACION´ . Como f es univalente con f (0) = 0. Por el Teorema de Distorsión se tiene que

f⁰(z)

 ≤ 1 + |z|

(1 − |z|)³ 

f⁰(0)

 , z ∈ D.

D^EMOSTRACION´ . Por tanto, para z ∈ D y α ≥ 3 encontramos que 

f⁰(0)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
3 

f⁰(z)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
α 

f⁰(z)  .

Así |f⁰(0)| ≥ ₁₆¹ kf k_α. Por el Teorema anterior se obtiene que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ K(α)

(16)⁴ ε kf k_α .

Esto completa la prueba. 

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

T

4.2

Si α ≥ 3, entonces, para cada ε > 0 existe δ = δ(α, ε) > 0 tal que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ δ kf k_α , para f ∈ B^α univalente con f (0) = 0.

D^EMOSTRACION´ . Por tanto, para z ∈ D y α ≥ 3 encontramos que 

f⁰(0)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
3 

f⁰(z)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
α 

f⁰(z)  . Así |f⁰(0)| ≥ ₁₆¹ kf k_α.

Por el Teorema anterior se obtiene que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ K(α)

(16)⁴ ε kf k_α .

Esto completa la prueba. 

Im´agenes inversas de sectores por funciones en B

T

4.2

Si α ≥ 3, entonces, para cada ε > 0 existe δ = δ(α, ε) > 0 tal que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ δ kf k_α , para f ∈ B^α univalente con f (0) = 0.

D^EMOSTRACION´ . Por tanto, para z ∈ D y α ≥ 3 encontramos que 

f⁰(0)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
3 

f⁰(z)

 ≥ 1

16 1 − |z|²
α 

f⁰(z)  .

Así |f⁰(0)| ≥ ₁₆¹ kf k_α. Por el Teorema anterior se obtiene que sup

z∈f⁻¹(Σε)

1 − |z|²
α 

f⁰(z)

 ≥ K(α)

(16)⁴ ε kf k_α .

Objetivo-2

C

Caracterizar aquellos subconjuntos G del disco D tales que sup

z∈G

1 − |z|²


f⁰(z)

 ' kf k_B , para toda funci´on f ∈ B.

Conjuntos de muestreo para el espacio de Bloch

Un subconjunto G de D es dominante en el sentido de Seip para el espacio de Bloch si existe una constante k > 0 tal que

sup

z∈G

(1 − |z|²)|f⁰(z)| ≥ kkf k_B, para toda función f ∈ B.

Una sucesión Γ = {z_j} ⊂ D es un conjunto de muestreo para el espacio de Bloch (Böe y Nicolau, J. Anal. Math. (2004)) si existe una constante C > 0 tal que

sup

n6=m

|f (z_n) − f (z_m)|

β(z_n, z_m) ≥ Ckf k_B para toda función f ∈ B.

Existen sucesiones que son de muestreo para el espacio de Bloch;

pero que no son dominantes en el sentido Seip.

Conjuntos de muestreo para el espacio de Bloch

Un subconjunto G de D es dominante en el sentido de Seip para el espacio de Bloch si existe una constante k > 0 tal que

sup

z∈G

(1 − |z|²)|f⁰(z)| ≥ kkf k_B, para toda función f ∈ B.

P

4.3

Sea 0 < r < 1. Entonces kf k_B = sup

z,w∈D,z6=w

|f (z) − f (w)|

β(z, w) ' sup

a∈D

Z

∆(a,r)

|f⁰(z)|² dA(z)

!1/2

. Una sucesión Γ = {z_j} ⊂ D es un conjunto de muestreo para el

espacio de Bloch (Böe y Nicolau, J. Anal. Math. (2004)) si existe una constante C > 0 tal que

sup

n6=m

|f (z_n) − f (z_m)|

β(z_n, z_m) ≥ Ckf k_B para toda función f ∈ B.

Existen sucesiones que son de muestreo para el espacio de Bloch;

pero que no son dominantes en el sentido Seip.

Conjuntos de muestreo para el espacio de Bloch

Un subconjunto G de D es dominante en el sentido de Seip para el espacio de Bloch si existe una constante k > 0 tal que

sup

z∈G

(1 − |z|²)|f⁰(z)| ≥ kkf k_B, para toda función f ∈ B.

Una sucesión Γ = {z_j} ⊂ D es un conjunto de muestreo para el espacio de Bloch (Böe y Nicolau, J. Anal. Math. (2004)) si existe una constante C > 0 tal que

sup

n6=m

|f (z_n) − f (z_m)|

β(z_n, z_m) ≥ Ckf k_B para toda función f ∈ B.

Existen sucesiones que son de muestreo para el espacio de Bloch;

pero que no son dominantes en el sentido Seip.