Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas.
Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la
integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en
ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Índice [ocultar]
• 1 Intuición geométrica
• 2 Primer teorema fundamental del cálculo
o 2.1 Demostración
2.1.1 Lema
2.1.2 Demostración del lema
2.1.3 Demostración
o 2.2 Ejemplos
• 3 Segundo teorema fundamental del cálculo
o 3.1 Enunciado
o 3.2 Demostración
o 3.3 Ejemplos
• 4 Véase también
• 5 Referencias
• 6 Enlaces externos
Intuición geométrica [editar]
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la funciónA(X), como A(x+h)
− A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores pequeños de h.
Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.
Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras,
ƒ(x)·h ≈A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.
Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.
Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.
Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema
fundamental del cálculo integral.
Primer teorema fundamental del cálculo [editar]
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre
por . Si f escontinua en , entonces F es derivable en
y F'(c) = f(c).
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
Demostración[editar]
Lema
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Sea integrable sobre y
Entonces
Demostración del lema
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Está claro que para
toda partición . Puesto que , la
desigualdad se sigue inmediatamente.
Demostración
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Por definición se tiene que .
Sea h>0. Entonces .
Se define y como:
,
Aplicando el 'lema' se observa que
. Por lo tanto,
Sea . Sean
, .
Aplicando el 'lema' se observa que
. Como
, entonces,
.
Puesto que , se tiene que
.
Y como es continua en c se tiene que
, y esto lleva a que
.
Ejemplos[editar]
Segundo teorema fundamental del cálculo [editar]
El segundo teorema fundamental del cálculo
integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isa ac Barrow, profesor deIsaac Newton) es una propiedad de
las funciones
continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.
Enunciado[editar]
Dada una función f(x) continua en el interva es decir F '(x) = f(x). Entonces
Demostración[edita r]
Considere la siguiente primitiva de definida en el intervalo .:
.
esto debido al primer teorema
fundamental del cálculo el cual establece que:
.
Como y s on primitivas de , entonces .
Observe que
y de eso se sigue que
; por lo tanto, .
Y en part icul ar si :
E
j
e
m
p
l
o
s
[
e
d
i
t
a
r ]
Como se puede integrar inmediat amente.
Integral definida
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Función integral
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:
que depende del límite superior de integración.
Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t,
pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].
Integrales definidas
Integral definida
Sea f una función que esta definida en el intervalo cerrado €€€[a,b]. Si se dice que f es
integrable en €€€[a,b]. Además, denominado integral definida de f desde a hasta b.
