Asesor´ıa de ´ Algebra Matem´ atica

Edumate

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Ecuaciones de Segundo Grado

Problemas para la clase

Nivel I

1. Si la ecuaci´ on en x:

(x − 3) ⁿ⁻⁴ = n + 10

es de segundo grado. Hallar su menor ra´ız.

a) 6 b) -6 c) -1

d) 1 e) 7

2. UNFV - 2000

Si a y b son las ra´ıces de la ecuaci´ on:

x ² − 6x + c = 0; entonces el valor de a ² + b ² + 2c

9 es igual a:

a) 3 b) 6 c) -6

d) 4 e) -3

3. De la siguiente ecuaci´ on en x:

cx ² = ax + b

indique verdadero (V) o falso (F) seg´ un corre- sponda.

I. Si a = 0, la ecuaci´ on tiene ra´ıces sim´etricas.

II. Si −b = c, la ecuaci´on tiene rec´ıprocas.

III. Su discriminante es igual a a ² − 4cb.

a) VVF b) FFF c) FVV

d) FFV e) FVF

4. Si la ecuaci´ on

x ² − 3x + a = 0

tiene ra´ıces imaginarias y conjugadas, halle el menor valor entero que asume a.

a) 3 b) 2 c) 1

d) 4 e) 5

5. UNALM - 2007 II Dado x ₁ y x ₂ ra´ıces de:

x ² + M x + 4 = 0 Hallar M si x ³ ₁ + x ³ ₂ = 16.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 8 e) 10

Nivel II

6. UNAC - 2009 I

La suma de las ra´ıces de la ecuaci´ on:

x ² − 6x + 9 − 4 p

x ² − 6x + 6 = 0

a) 13 b) 14 c) 12

d) 16 e) 18

7. Calcular n − m si las ecuaciones (2m + 1) x ² − (3m − 1) x + 2 = 0 (n + 2) x ² − (2n + 1) x − 1 = 0 son equivalentes.

a) 12 b) 12,5 c) 14

d) 14,5 e) 15,5

8. Indicar la menor soluci´on de la siguiente ecuaci´ on:

r x − 2

x − 3 + r x − 3 x − 2 = 5

2 a) 7

3 b) 10

3 c) 5

3 d) 4

3 e) 2

3

9. Hallar el valor de a si las ecuaciones:

4x ² = (a − 2) (1 − 2x) 4x ² = 2x − a

admiten una ra´ız en com´ un.

a) 1 b) -2 c) 3

d) -1 e) 4

10. UNAC - 2008 I

El conjunto soluci´on de la ecuaci´ on (x − 4) ² − 2 |x − 4| − 15 = 0

a) {0, 8} b) {1, 9} c) {9, −1}

d) {2, 1} e) {1, 7}

11. Resolver:

√

2x + 1 + √

2x − 1
2

− 2 √

4x ² − 1

√ 8x + 4 − √

8x − 4 = 1

a) 3/4 b) 5/4 c) 3/4

d) 2 e) 4

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Problemas propuestos

12. Si x ₁ , x ₂ son las ra´ıces de la ecuaci´ on:

2x ² − 2x + 1 = 0 Calcular

 x ₁ x ₂



x1

−  x ₂ x ₁



x2

a) 1 b) 0 c) 2

d) -1 e) 4

13. Si a es una cero del polinomio:

P _(x) = x ² − 12x + 35

donde a, 2a + 2 y 3a + 2 son las medidas de los lados un tri´ angulo rect´angulo. Halle el valor que asume a

a) 7 b) 3 c) 5

d) -7 e) -5

14. Si en la ecuaci´ on:

x (x − 1) − (m − 1) (x − 1) (m − 1) = x

m las ra´ıces son iguales. Halle el valor de m.

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4

d) 1/3 e) 1/2

15. Hallar la menor ra´ız de la ecuaci´ on en x:

(a − 2) x ² − (2a − 1) x = 1 − a sabiendo que su discriminante es 25.

a) 3/4 b) 1/2 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/6

16. Dado la ecuaci´ on x ² − 2(cosα)x + 1 = 0, admiti- mos que r es una de sus ra´ıces, donde

r ⁶ + 1 r ⁶ = 2

En estas condiciones, cu´ al de los valores abajo mencionados puede ser asumido por α.

a) 5π

3 b) π

6 c) 5π

6 d) π

12 e) 7π

12

17. El valor absoluto de la suma de las menores ra´ıces de la ecuaci´ on

x ² + 1

x ² + x + 1 x = 4 es:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 4 − √ 3

2 e) 6

18. Determine todos los valores de m de manera que las ra´ıces de la ecuaci´ on:

x ² − 2mx + m ² − 1 = 0

tenga una ra´ız menor que 2 y otra mayor que 2.

a) < −1; 2 > b) < 0; 3 > c) < 1; 3 >

d) [3; ∞ e) < 3; 10 >

19. Determine el valor de k

(2k + 2) x ² + (4 − 4k) x + k − 2 = 0 sabiendo que las ra´ıces de la ecuaci´ on son rec´ıpro- cas.

a) 5 b) 82/9 c) 10

d) 13 e) 15

20. Se˜ nale el n´ umero de enunciados incorrectos en:

I. x ² − √

2x + π = 0 presenta ra´ıces imaginarias y conjugadas.

II. 3x ² − √

2x − π = 0 presenta ra´ıces reales y diferentes.

III. x ² − 2x + 2 √

2 = 0 presenta ra´ıces reales e iguales.

IV. x(x+1)−x−3 = 0 presenta ra´ıces sim´etricas.

a) 3 b) 0 c) 1

d) 2 e) 4

He llegado aqu´ı porque he subido a hombros de gigantes.

Isaac Newton (1564 - 1642) F´ısico, matem´ atico, astr´ onomo, fil´ osofo y te´ ologo ingl´es.

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