2018
Algebra Superior Gu´ıa N
o1
Sucesiones y Sumatorias
Profesor
Alberto Alvaradejo Ojeda
1. Concepto de sucesi´on y sucesiones recurrentes
1) Escribe los seis primeros t´erminos de la sucesi´on cuyo t´ermino general es:
i. an= 4 + n n
ii. an=
1 + 1 n
n
iii. an= (−1)n(n2+ 1)
iv. an=
1 si n es par 2
n + 2 si n es impar
v. an= 3n2− 1
vi. an= 2 · 3n+1
vii. an= (−1)n˙2n
ix. an= n + 1 n
x. an= n2− 1 n + 1
2) Halla una expresi´on o f´ormula para el termino en´esimo de la sucesi´on.
i. an= 4, 8, 12, 16, ...
ii. an= 1, 4, 7, 10, ...
iii. an= 1 2, −1
3,1 4, −1
5, ...
iv. an= 1 3, −1
2,3 5, ...
v. an= 1 2,3
4,5 6,7
8, ...
vi. an= 1, −1 2,1
3, −1 4, ...
vii. an= −3, 9, −27, 81, −243, ...
viii. an= 0, −3, 8, −15, 24, ...
ix. an= 1 2,1
2,3 8,1
4, 5 32, ...
3) Escribe los cinco primeros t´erminos de las sucesiones recurrentes dadas:
i. a1 = 16 y an+1 = an 2
ii. a1 = 1 y an+1 = (an)2+ 3
iii. a1 = 1 ; a2 = 2 y an= an−2− an−1 ; n ≥ 3
iv. a1 = 3 y an = (an−1)2
v. a1 = 2 y an+1 = (an−1)2 (an−1)(an+1)
2. Operaciones con sucesiones
1) Sean dos sucesiones an = 2n + 3 y bn = 3n − 1. Encuentra la sucesi´on (an+ bn) y calcula sus cinco primeros t´erminos.
2) Sean dos sucesiones an= 4n − 5 y bn = 2(n − 1). Encuentra la sucesi´on (an− bn) y calcula sus seis primeros t´erminos.
3) Dadas las sucesiones an= 3n y bn= 1
2n, encuentra:
i. Los cinco primeros t´erminos de an, bn, y (an+ bn)
ii. El t´ermino general de an+ bn y (an− bn)
4) Dadas las sucesiones an = n − 1
n + 3 y bn = n2+ 3n
n + 1 , encuentra el t´ermino general de (an· bn), y los cinco primeros t´erminos de esta nueva sucesi´on.
5) Dados an = (−1)2n· (n2− 1) y bn = (−1)n+1· (n2 + 2n + 1), encuentra el t´ermino general de an
bn, y sus seis primeros t´erminos.
6) Dadas las sucesiones an= 2n + 1
n y bn= n − 1
n + 1 encuentra los cinco primeros t´erminos de:
i. an
ii. bn
iii. an+ bn
iv. an· bn
7) Dados an y bn del ejercicio anterior, encuentra el t´ermino general de:
i. an+ bn
ii. an− bn
8) Dadas las sucesiones an= n2− 1
n y bn = n
n + 1, encuentra el t´ermino general de:
i. an· bn
ii. an bn
3. Concepto de sumatoria y propiedades
1) Calcula las siguientes sumatorias:
i)
7
X
k=1
k(k + 1) 2
ii)
8
X
k=1
(3k − 2)
iii)
6
X
k=1
k (k + 1)2
iv)
10
X
k=1
(k − 1) k + 1
v)
4
X
k=1
(−1)k 2k+ 1
vi)
8
X
k=1
(−1)k(k2+ 1) 4k
vii)
6
X
k=1
(−1)k2k
viii)
8
X
k=1
(2k − 1)(2k)
ix)
11
X
k=1
k + 1 6
x)
10
X
k=1
(−1)k+1(k + 1)
2) Expresa como una sumatoria cada una de las adiciones siguientes:
i) 12+ 23+ 34+ ... + 551
ii) 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 + ... + 10 · 19
iii) 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 44
iv) 1 + 4 + 7 + ... + 43
v) 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 20
vi) 1 + 4 + 27 + 256 + ... + 823.543
vii) 1 3 +2
4 +3 5 +4
6 + ... +19 21
viii) 3 · 3 + 6 · 5 + 9 · 7 + ... + 30 · 21
ix) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
3) Aplica las propiedades de las sumatorias y calcula:
i.
25
X
k=4
4 22
ii.
10
X
k=1
7(k3+ 1) 5
iii.
20
X
k=11
(k2+ 2)(k − 2)
iv.
13
X
k=1
(7 + k)3
4. Sumatorias de sucesiones, aplicaci´on de f´ormulas
1) Usa la f´ormula correspondiente y calcula cada una de las siguientes sumatorias:
i.
40
X
k=1
k
ii.
30
X
k=1
(2k − 1)
iii.
63
X
k=1
k2
iv.
80
X
k=1
(2k)2
v.
70
X
k=1
(k2+ k)
vi.
15
X
k=1
(5 − 2k)2
15
X 2
viii.
40
X
k=1
(2k − 1)
ix.
17
X
k=6
(k2+ k + 3)
x.
10
X
k=3
(k + 2)3
2) Usa las f´ormulas conocidas y encuentra a su vez otra f´ormula para cada una de las siguientes sumatorias:
i.
n
X
k=1
2k
ii.
n
X
k=1
(3k − 2)
iii.
n
X
k=1
(2k + 4)
iv.
n
X
k=1
(k2− 1)
v.
n
X
k=1
(6k2+ 4k)
vi.
n
X
k=1
(k + 1)2
vii.
n
X
k=1
(2k − 1)2
viii.
n
X
k=1
5
3k2−4 9