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2018 Algebra Superior Gu´ıa N

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Academic year: 2021

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(1)

2018

Algebra Superior Gu´ıa N

o

1

Sucesiones y Sumatorias

Profesor

Alberto Alvaradejo Ojeda

(2)

1. Concepto de sucesi´on y sucesiones recurrentes

1) Escribe los seis primeros t´erminos de la sucesi´on cuyo t´ermino general es:

i. an= 4 + n n

ii. an=



1 + 1 n

n

iii. an= (−1)n(n2+ 1)

iv. an=

1 si n es par 2

n + 2 si n es impar

v. an= 3n2− 1

vi. an= 2 · 3n+1

vii. an= (−1)n˙2n

(3)

ix. an= n + 1 n

x. an= n2− 1 n + 1

2) Halla una expresi´on o f´ormula para el termino en´esimo de la sucesi´on.

i. an= 4, 8, 12, 16, ...

ii. an= 1, 4, 7, 10, ...

iii. an= 1 2, −1

3,1 4, −1

5, ...

iv. an= 1 3, −1

2,3 5, ...

v. an= 1 2,3

4,5 6,7

8, ...

vi. an= 1, −1 2,1

3, −1 4, ...

(4)

vii. an= −3, 9, −27, 81, −243, ...

viii. an= 0, −3, 8, −15, 24, ...

ix. an= 1 2,1

2,3 8,1

4, 5 32, ...

3) Escribe los cinco primeros t´erminos de las sucesiones recurrentes dadas:

i. a1 = 16 y an+1 = an 2

ii. a1 = 1 y an+1 = (an)2+ 3

iii. a1 = 1 ; a2 = 2 y an= an−2− an−1 ; n ≥ 3

iv. a1 = 3 y an = (an−1)2

v. a1 = 2 y an+1 = (an−1)2 (an−1)(an+1)

(5)

2. Operaciones con sucesiones

1) Sean dos sucesiones an = 2n + 3 y bn = 3n − 1. Encuentra la sucesi´on (an+ bn) y calcula sus cinco primeros t´erminos.

2) Sean dos sucesiones an= 4n − 5 y bn = 2(n − 1). Encuentra la sucesi´on (an− bn) y calcula sus seis primeros t´erminos.

3) Dadas las sucesiones an= 3n y bn= 1

2n, encuentra:

i. Los cinco primeros t´erminos de an, bn, y (an+ bn)

ii. El t´ermino general de an+ bn y (an− bn)

4) Dadas las sucesiones an = n − 1

n + 3 y bn = n2+ 3n

n + 1 , encuentra el t´ermino general de (an· bn), y los cinco primeros t´erminos de esta nueva sucesi´on.

5) Dados an = (−1)2n· (n2− 1) y bn = (−1)n+1· (n2 + 2n + 1), encuentra el t´ermino general de an

bn, y sus seis primeros t´erminos.

6) Dadas las sucesiones an= 2n + 1

n y bn= n − 1

n + 1 encuentra los cinco primeros t´erminos de:

(6)

i. an

ii. bn

iii. an+ bn

iv. an· bn

7) Dados an y bn del ejercicio anterior, encuentra el t´ermino general de:

i. an+ bn

ii. an− bn

8) Dadas las sucesiones an= n2− 1

n y bn = n

n + 1, encuentra el t´ermino general de:

i. an· bn

ii. an bn

(7)

3. Concepto de sumatoria y propiedades

1) Calcula las siguientes sumatorias:

i)

7

X

k=1

k(k + 1) 2

ii)

8

X

k=1

(3k − 2)

iii)

6

X

k=1

k (k + 1)2

iv)

10

X

k=1

(k − 1) k + 1

v)

4

X

k=1

(−1)k 2k+ 1

vi)

8

X

k=1

(−1)k(k2+ 1) 4k

vii)

6

X

k=1

(−1)k2k

(8)

viii)

8

X

k=1

(2k − 1)(2k)

ix)

11

X

k=1

k + 1 6

x)

10

X

k=1

(−1)k+1(k + 1)

2) Expresa como una sumatoria cada una de las adiciones siguientes:

i) 12+ 23+ 34+ ... + 551

ii) 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 + ... + 10 · 19

iii) 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 44

iv) 1 + 4 + 7 + ... + 43

v) 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 20

(9)

vi) 1 + 4 + 27 + 256 + ... + 823.543

vii) 1 3 +2

4 +3 5 +4

6 + ... +19 21

viii) 3 · 3 + 6 · 5 + 9 · 7 + ... + 30 · 21

ix) 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4

3) Aplica las propiedades de las sumatorias y calcula:

i.

25

X

k=4

4 22

ii.

10

X

k=1

7(k3+ 1) 5

iii.

20

X

k=11

(k2+ 2)(k − 2)

iv.

13

X

k=1

(7 + k)3

(10)

4. Sumatorias de sucesiones, aplicaci´on de f´ormulas

1) Usa la f´ormula correspondiente y calcula cada una de las siguientes sumatorias:

i.

40

X

k=1

k

ii.

30

X

k=1

(2k − 1)

iii.

63

X

k=1

k2

iv.

80

X

k=1

(2k)2

v.

70

X

k=1

(k2+ k)

vi.

15

X

k=1

(5 − 2k)2

15

X 2

(11)

viii.

40

X

k=1

(2k − 1)

ix.

17

X

k=6

(k2+ k + 3)

x.

10

X

k=3

(k + 2)3

2) Usa las f´ormulas conocidas y encuentra a su vez otra f´ormula para cada una de las siguientes sumatorias:

i.

n

X

k=1

2k

ii.

n

X

k=1

(3k − 2)

iii.

n

X

k=1

(2k + 4)

iv.

n

X

k=1

(k2− 1)

(12)

v.

n

X

k=1

(6k2+ 4k)

vi.

n

X

k=1

(k + 1)2

vii.

n

X

k=1

(2k − 1)2

viii.

n

X

k=1

5

3k24 9



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