Eje Tem´ atico: ´ Algebra y Funciones
Gu´ıa MM08: Productos Notables y Factorizaci´ on
1. Introducci´ on
Se les llama productos notables a ciertos productos de uso com´un y que cumplen una serie de reglas. Conocer y memorizar estos productos nos permitir´a resolver ejercicios de manera mucho m´as r´apida, adem´as de posibilitar la factorizaci´on de expresiones algebraicas complejas, lo cual corresponde a escribir una expresi´on algebraica como producto de otras expresiones, de menor grado.
2. Multiplicaci´ on y Divisi´ on de Expresiones Algebraicas
Para mostrar como realizar estas operaciones, se ir´an mostrando desde los casos m´as b´asicos o los m´as complejos.
2.1. Multiplicaci´ on de Monomios
Para multiplicar monomios, el procedimiento consiste en agrupar de acuerdo a las bases de las potencias, aplicando las propiedades que correspondan. En caso de tener valores num´eri- cos, estos se multiplican de la manera habitual.
Ejemplo:
(2x2y3) · (3xy−1z) = 2 · 3 · x2· x · y3 · y−1· z
= 6 · x2+1· y3−1· z
= 6x3y2z
Ejercicio:
1. Si b 6= 0, entonces a2b3c · 1
2· 4c3d · b−2 = A) a2b3c4d
B) a2bc4d C) a2b3c4d
2 D) 2a2bc4d E) a2b3c4d
4
2.2. Multiplicaci´ on de Monomios por Polinomios
Para multiplicar monomios por polinomios, el procedimiento consiste en multiplicar orde- nadamente t´ermino por t´ermino, aplicando las propiedades de las potencias seg´un corres- ponda. En este caso, el monomio debe multiplicar a cada t´ermino del polinomio, manteniendo la separaci´on por el signo de suma o resta. En caso de tener valores num´ericos que acompa˜nen a los valores literales, estos simplemente se multiplican de la manera habitual.
Ejemplo:
2x2· (3xy + z2) = 2x2· 3xy + 2x2· z2
= 2 · 3 · x2· x · y + 2 · x2· z2
= 6 · x2+1· y + 2 · x2· z2
= 6x3y + 2x2z2
Ejercicio:
1. 3mn · (2n − 3m) = A) 6(mn2− m2n) B) 6(m2n2− mn) C) 6mn2− 9m2n D) 6mn − 9m2n2 E) −4m
2.3. Multiplicaci´ on de Polinomios por Polinomios
Al igual que en el caso anterior, hay que multiplicar t´ermino por t´ermino aplicando las propiedades de las potencias seg´un corresponda. En este caso, se debe tomar cada monomio presente en el polinomio y multiplicarlo por cada monomio del otro polinomio, multiplicando los coeficientes num´ericos si as´ı lo amerita.
Ejemplo:
(2x2+ 3y) · (3xy − p + z2) = 2x2· 3xy − 2x2· p + 2x2 · z2 + 3y · 3xy − 3y · p + 3y · z2
= 6x3y − 2x2p + 2x2z2+ 9xy2− 3yp + 3yz2
Ejercicio:
1. (q + p) · 2(m − n) =
A) 2mq − nq + 2mp − np B) mq − nq + mp − np C) 2m − 2n + 2q + 2p D) 2mq − 2nq + 2mp − 2np E) −2mq − nq + mp − np
2.4. Divisi´ on de Monomios
Para dividir monomios, el procedimiento consiste en dividir agrupando de acuerdo a los factores literales, y aplicando las propiedades de las potencias seg´un corresponda. En caso de tener factores num´ericos que acompa˜nen a los factores literales, estos se dividen de la manera habitual.
Ejemplo: Para x, y, z 6= 0, se tiene que:
2x2y3 4xy−1z = 2
4 · x2 x · y3
y−1 · 1 z
= 1
2 · x2−1· y3−−1 ·1 z
= xy4 2z
Ejercicio:
1. Si a, b 6= 0, entonces a6b−15 a−2b−5 = A) −9
7 B) a8b−10 C) a4b−20 D) a−3b3 E) −9
2.5. Divisi´ on de Polinomios por Monomios
En este caso, el polinomio se debe separar por t´erminos para efectuar varias operaciones de divisi´on de monomios, aplicando las propiedades de las potencias seg´un corresponda.
Ejemplo:
3x2+ 6y3
3xy = 3x2
3xy + 6y3 3xy
= x y +2y2
x
Ejercicio:
1. Sea m 6= 0. Al simplificar la expresi´on m − mr
2m resulta:
A) 0 B) −r
2 C) 1
2− r 2 D) m
2 − r 2 E) 1
2− mr 2
3. Productos Notables
Existen algunas expresiones algebraicas que cumplen reglas fijas, cuyo desarrollo y posterior factorizaci´on son caracter´ısticos. A continuaci´on se muestran los m´as usados.
3.1. Cuadrado de Binomio
Podemos calcular el cuadrado del binomio a + b, con a, b ∈ R, de la siguiente manera:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a2+ ab + ba + b2
= a2+ 2ab + b2
En caso de que el binomio sea una resta, la demostraci´on es an´aloga a la anterior. Por lo tanto, la f´ormula general para el cuadrado de binomio es:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
Ejemplo:
(2xy − 3pq)2 = (2xy)2− 2 · 2xy · 3pq + (3pq)2
= 4x2y2− 12xypq + 9p2q2
Ejercicio:
1. Si n = (a + 2)2 y p = (a − 2)2, entonces n + p = A) 2a2+ 8
B) 8a C) a2+ 4 D) 4a E) 2a
3.2. Suma por Diferencia
Podemos calcular el producto entre la suma y la diferencia de dos monomios a, b ∈ R, de la siguiente manera:
(a + b)(a − b) = a2− ab + ab − b2
= a2− b2
Ejemplo:
(7x + 4y)(7x − 4y) = (7x)2− (4y)2
= 49x2− 16y2
Ejercicio:
1. La expresi´on (a + 1)(a − 1) − (a − 3)2 es equivalente a:
A) (a − 1)2
B) (a + 1)2(a − 3)3 C) a2− 9
D) 6a − 10 E) −6a + 10
3.3. Multiplicaci´ on de Binomios con T´ ermino Com´ un
A continuaci´on calcularemos el producto entre dos binomios distintos que poseen un t´ermino en com´un x.
(x + a)(x + b) = x2+ xb + xa + ab
= x2+ (a + b)x + ab
Ejemplo:
(3x + 2)(3x − 7) = (3x)2+ (2 − 7)3x + 2 · −7
= 9x2− 5 · 3x − 14
= 9x2− 15x − 14
Ejercicio:
1. ¿Cu´al de las siguientes expresiones hay que multiplicar por k + 3 para que el resultado sea k2+ k − 6?
A) k + 1 B) k + 2 C) k − 6 D) k − 3 E) k − 2
3.4. Cubo de Binomio
Calculemos el cubo del binomio a + b, con a, b ∈ R. Para facilitar su c´alculo, notemos que podemos utilizar la f´ormula del cuadrado de binomio en el desarrollo.
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
= (a + b)(a2+ 2ab + b2)
= a3 + 2a2b + ab2+ ba2 + 2ab2+ b3
= a3 + 3a2b + 3ab2+ b3
Generalizando para el caso en que el binomio es una resta, se obtiene:
(a ± b)3 = a3± 3a2b + 3ab2± b3
Ejemplo:
(2x − 5p)3 = (2x)3− 3 · (2x)2· 5p + 3 · 2x · (5p)2− (5p)3
= 8x3− 3 · 4x2· 5p + 3 · 2x · 25p2− 125p3
= 8x3− 60x2p + 150xp2− 125p3
Ejercicio:
1. Se sabe que el volumen total de agua que puede albergar una piscina es el cubo de la altura de la piscina. Entonces si la altura de dicha piscina es q + 1, la cantidad agua que puede albergar es:
A) (1 + q)2 B) 1 + q3 C) 1 + 3q + q3 D) q3 + 3q2+ 3q + 1 E) q3 − 3q2+ 3q − 1
3.5. Cuadrado de Trinomio
Este producto notable es muy similar al cuadrado de binomio.
(a + b + c)2 = a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc
Ejemplo:
(2a − b + 3c)2 = (2a)2+ (−b)2+ (3c)2+ 2 · 2a · −b + 2 · 2a · 3c + 2 · −b · 3c
= 4a2+ b2+ 9c2− 4ab + 12ac − 6bc
Ejercicio:
1. x2+ 2xy + y2+ 6x + 6y + 9 es el resultado al desarrollar:
A) (x + y + 9)2 B) (x + y + 3)2 C) (x + y − 9)2 D) (x + y − 3)2 E) (x − y + 3)2
4. Factorizaci´ on
La factorizaci´on, es una t´ecnica matem´atica que consiste en encontrar t´erminos comunes entre polinomios con el fin de reducir expresiones y/o agrupar t´erminos eficientemente para encontrar soluciones a problemas.
4.1. Extracci´ on de Factor Com´ un
La extracci´on de factores comunes, consiste en encontrar el menor valor de potencia entre dos expresiones que contienen un t´ermino y un divisor com´un entre t´erminos num´ericos que acompa˜nen estas expresiones.
Ejemplos:
1. Encontremos un factor com´un del polinomio 3xy2+ 6y3p − 81xy5r. Como podemos ver, el trinomio posee algunos factores que son comunes a los tres t´erminos.
Los factores num´ericos 3, 6 y 81 son divisibles por 3. Por lo tanto, 3 es un factor com´un de esta expresi´on.
El factor literal y est´a presente en los tres t´erminos de la expresi´on. Nos interesa encontrar el menor valor de sus potencias, que en este caso es y2. Por lo tanto, este es otro factor com´un de la expresi´on.
Los factores literales x, p y r solo est´an presentes en uno o dos de los t´erminos, por lo tanto no constituyen factores comunes de esta expresi´on.
Podemos descomponer la expresi´on usando el factor com´un encontrado 3y2: 3xy2+ 6y3p − 81xy5r = (3y2) · x + (3y2) · 2yp − (3y2) · 27xy3r
= (3y2)(x + 2yp + 27xy3r)
2. De manera an´aloga al ejemplo anterior intentaremos reducir la expresi´on 12x2y2− 6xy 15x3y2 − 3xyp. 12x2y2− 6xy
15x3y2− 3xyp = 3xy · 4xy − 3xy · 2 3xy · 5x2y − 3xy · p
= 3xy · (4xy − 2) 3xy · (5x2y − p)
= 4xy − 2 5x2y − p
4.2. Factorizaci´ on con Productos Notables
Podemos emplear los valores conocidos de los productos notables para ejecutar factoriza- ciones que nos pueden permitir desarrollar expresiones algebraicas de manera m´as sencilla.
Ejemplos:
1. Podemos simplificar la expresi´on x2+ 5x + 6
x2− 4x − 21, usando la multiplicaci´on de binomios con t´ermino com´un, y luego simplificando el binomio (x + 3).
x2+ 5x + 6
x2− 4x − 21 = (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x − 7)
= x + 2 x − 7
2. Simplifiquemos la expresi´on4x2− 9y2
2x + 3y , aplicando la factorizaci´on de suma por diferencia, y luego simplificando el binomio 2x + 3y.
4x2− 9y2
2x + 3y = (2x)2− (3y)2 2x + 3y
= (2x + 3y)(2x − 3y) 2x + 3y
= 2x − 3y Ejercicio:
1. Si x 6= −2, 2, 3, entonces al reducir la expresi´on x2− 5x + 6
x2− 4 : x2− 6x + 9 x2− x − 6 = A) 0
B) 1
(x + 2)2 C) x + 2
x − 2
D) 1
x − 2 E) 1
4.3. Suma y Diferencia de Cubos
La suma de dos cubos puede expresarse de la siguiente manera:
a3+ b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
Ejemplo:
8x3+ 27y6 = (2x)3+ (3y2)3
= (2x + 3y2)((2x)2− 2x · 3y2+ (3y2)2)
= (2x + 3y2)(4x2− 6xy2+ 9y4)
Por otra parte, la diferencia de dos cubos, puede expresarse como:
a3− b3 = (a − b)(a2+ ab + b2)
Ejemplo:
p3− 64q9 = p3 − (4q3)3
= (p − 4q3)(p2+ p · 4q3+ (4q3)2)
= (p − 4q3)(p2+ 4pq3+ 16q6) Ejercicio:
1. Si x2+ ax + a2 = 5 y x − a = 2, entonces el valor de x3− a3 es:
A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 10
4.4. Factorizaci´ on de un Trinomio Ordenado
Existe un caso especial. El llamado “trinomio ordenado”, que se compone de trinomios de la forma ax2± bx ± x, donde a no constituye un cuadrado perfecto, por ende no es fac- torizable como un trinomio con t´ermino com´un. Para resolver este tipo de trinomio, debemos amplificar la expresi´on multiplic´andola por el t´ermino a, para formar un cuadrado perfecto, y al mismo tiempo dividirla por a para no alterar el valor total de la expresi´on. En el fondo estamos multiplicando por un 1 pero de una manera un poco m´as compleja.
Ejemplo:
Intentemos factorizar 3x2+ 7x − 6. Claramente 3, el factor num´erico que acompa˜na a x2, no es un cuadrado perfecto, por ende no podemos factorizar esta expresi´on simplemente como un trinomio con t´ermino com´un. Vamos a multiplicar cada t´ermino de la expresi´on por 3, y tambi´en dividiremos la expresi´on por 3:
3x2+ 7x − 6 = 1
3· (3 · 3x + 3 · 7x − 3 · 6)
= 1
3(9x2+ 7 · 3x − 18)
Notemos que el t´ermino central lo dejamos expresado sin resolver, para que el t´ermino com´un 3x fuera m´as evidente. Ahora, la expresi´on dentro del par´entesis si puede factorizarse como un trinomio con t´ermino com´un.
1
3(9x2+ 7 · 3x − 18) = 1
3(3x + 9)(3x − 2)
= 3x 3 + 9
3
(3x − 2)
= (x + 3)(3x − 2)
Con lo que llegamos al resultado final. Se puede comprobar que al resolver la multiplicaci´on de estos binomios se recupera la expresi´on original que quer´ıamos factorizar.
4.5. Ejercicios:
1. Si x 6= 4, entonces 4x2− 16x x2− 8x + 16 = A) 4x
B) x − 4 C) 1
x − 4 D) 4x
x − 4 E) 1
2. Al simplificar la expresi´on x3− 1
x2− 6x − 7 · x2− 14x + 49
2x2+ 2x + 2 : x2− 8x + 7
2x2− 2 resulta:
A) 2x − 2 B) 2x + 2 C) x − 1 D) x + 1 E) 1
x − 1
3. Si uno de los factores de 2x2+ 2x − 24 es x − 3, el otro factor es:
A) x + 8 B) 2x + 16 C) 2x − 8 D) 2x − 6 E) 2x + 8
5. Problemas Propuestos
1. 7x + 7y + 7z = A) 7(x + y + z) B) 7(x + y) + z C) 7(x + z) + y D) 7(y + z) + x E) x + y + z
2. Para x 6= 2, se tiene que x2+ x − 6 x − 2 = A) x − 3
B) x − 2 C) x + 3 D) x + 2 E) x
3. (x + 2)2 − (x + 1)(x − 1) = A) 4x − 5
B) 4x C) 4x + 5 D) 4x + 6 E) 8x 4. Al multiplicar
−1
4y + 4x 1
2y + 4x
el coeficiente num´erico que acompa˜na al t´ermino xy es =
A) −1 8 B) 1 C) −1 D) 1
2 E) −1
2
5. Si j = − 1 2b + 2
2
y k =
−1 2b + 2
2
entonces k + j =
A) −1 2 B) −4b C) −2b D) 8 E) 0
6. n − [(2n)−1+ (3n)−1+ (5n)−1] = A) 10n
B) n2− 10 n C) 10n2− 1
10n D) 30n − 31
30 E) 30n2− 31
30n
7. ¿Cu´al(es) de las siguientes expresiones simplificadas son iguales a 2?
I) 2x − 3 6 + 4x
II) 2(a − b)(a + b) (a + b)2− 2b(b + a)
III)
(b − a)2 2 a2− 2ab + b2
4 A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) Solo I y II E) I, II y III
8. Si (x + y + a)2 = x2+ y2+ 4 + 2xy + 4x + 4y, entonces a = A) 10
B) 3 C) 2 D) 0 E) 1
9. Si x 6= 3, la expresi´on x3− 27
x3− 9x2+ 27x − 27 es equivalente a:
A) 1
B) x2+ 3x + 9 C) x2+ 3x + 9
x − 3 D) x2+ 3x + 9
(x − 3)2
E) Ninguna de los anteriores 10. Si n 6= 2, entonces 3n2− 6n
n2− 4n + 4 = A) 3n
n + 2 B) 3n
n − 2 C) −3n
n + 2 D) −3 E) 0
11. Al simplificar la expresi´on p5+n− p3+n
p2+ p se obtiene:
A) p−2+n(p2− 1) B) p2+n(p2− 1) C) pn(p2− 1)
2 D) pn(p2+ 1) E) p2+n(p − 1)
12. Si uno de los factores de 9x2− 24xy + 16y2 es 3x − 4y, entonces el otro factor es:
A) 9x + 6y B) 3x − 4y C) 3x + 4y D) 9x + 4y E) 8x − 3y
13. Si n veces x es igual a a2+ b2, entonces x2 = A) a2+ b2
n B) a + b
n
2
C) a4+ b4 n2 D) a2+ b2
n
2
E) a4− b4 n2 14. Si x + 1
y = 9 y x2y2− 1
y2 = 36 entonces x − 1 y = A) 1
B) 3 C) 4 D) 6 E) −9
15. ¿Cu´ales de las siguientes expresiones son divisores de la expresi´on algebraica 3x2− 12x + 12?
I) 3 II) (x − 2) III) (x + 2) A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III 16. Si n2
4 = x 2 · x · 1
2, entonces n = A) x
4 B) x 2
√2 C) x D) x 2 E) x2
4
17. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La factorizaci´on de x3− 8 es (x − 2)3
II) El trinomio x2+ 18x − 81 corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio III) x2− 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
18. 5m + 4
3m − 6 − 2m − 6 2m − 4 = A) 2m + 13
3(m − 2) B) 2m − 5
3(m − 2) C) 2m + 5
3(m − 2) D) 2m − 3
3(m − 2) E) 3m − 2
m − 10
19. Se puede determinar el valor de a + b si se sabe que:
(1) a3+ b3 = 20 (2) a2+ ab + b2 = 4
A) (1) Por s´ı sola B) (2) Por s´ı sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por s´ı sola (1) o (2) E) Se requiere informaci´on adicional
20. Se puede determinar el valor num´erico de la expresi´on (a2− b2)x2
ax − bx , con a 6= b si se sabe que:
(1) (a + b) = 3 (2) x = 1
A) (1) Por s´ı sola B) (2) Por s´ı sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por s´ı sola (1) o (2) E) Se requiere informaci´on adicional
6. Claves
Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave Pregunta Clave
1 A 6 E 11 E 16 C
2 A 7 C 12 B 17 B
3 C 8 C 13 D 18 A
4 B 9 D 14 C 19 E
5 B 10 B 15 C 20 C
