Números, álgebra y funciones.

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PROGRAMA M2

COMPETENCIA MATEMÁTICA

Números, álgebra y funciones.

Mis datos

Nombre:

M211CUA001M2-A22V1

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Presentación

Estimad@ estudiante:

Te presentamos el cuaderno de Competencia Matemática M2 que te guiará en el proceso de preparación hacia la Educación Superior. Esperamos que esta herramienta contribuya a organizar el aprendizaje que desarrollarás durante tu paso por Cpech, aportando a tu formación en todos los planos que sean necesarios, propiciando la formación de ciudadanos íntegros, que puedan ser parte de la sociedad desde un lugar crítico, reflexivo y propositivo.

Podrás ejercitar y poner en práctica tus conocimientos, aplicando estrategias de resolución en cada uno de los desafíos y actividades de aprendizaje que hemos preparado para ti. El objetivo es que comprendas las matemáticas como un fenómeno cotidiano que va más allá de lo educativo, observándolas en todas las actividades que realizas diariamente. De esta manera, podrás complementar y aplicar las habilidades propuestas por el DEMRE en una prueba específica, mediante el desarrollo de ejercicios contextualizados.

Te invitamos a que uses, apliques y lleves contigo a donde sea este material.

Además de ser un apoyo fundamental para todos los objetivos que te propusiste, te permitirá tener un acercamiento distinto a las matemáticas, entendiéndolas en todo el esplendor de lo que te rodea día a día.

¡Recuerda que la ejercitación y el repaso son fundamentales para mejorar tus resultados!

Equipo Desarrolladores de Recursos Didácticos Cpech

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Índice

Números ... 3

Potencia y raíces ... 3

Logaritmos ... 9

Orden y problemas en los números reales ... 14

Álgebra y funciones ... 19

Sistemas de ecuaciones ... 19

Ecuación de segundo grado ... 24

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Potencia y raíces

Objetivos

 Comprender la relación entre las potencias y raíces.

Resumen de contenidos

 Potencias y sus propiedades.

 Raíces y sus propiedades.

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Ejercicios

1. Si a = 2√8 y b = 4 ∙ 5³ ¿Cuál es el valor de la expresión √ab?

A) 4√2 ∙ 5³ B) 4√2⁴ ∙ 5³ C) 4√2 ∙ 5³² D) 4√2⁴ ∙ 5

3 2

2. Un grupo de estudiantes observa en un laboratorio el movimiento de un péndulo, y encuentra que su período de oscilación está dado por la relación 𝐓 =^𝟐𝛑

√𝐠√𝐋, donde 𝐓 es el período y 𝐋 es el largo del péndulo. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) correcta(s) a partir de la relación original?

I) L =^gT²

4π²

II) g = 4π^{2 L}

T

III) 2π = √ ^L

gT²

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) I, II y III

3. Sea a = √q⁶ , b = √q³ y c = q⁵². ¿Cuál es el resultado de la expresión ab + √c³ ²?

A) q⁵³ B) 2q⁵³ C) q¹⁰³ D) q⁵³+ q¹⁷³

A continuación, te presentamos los siguientes ejercicios de selección única.

Posterior a su realización, te invitamos a revisar las claves en el solucionario.

Tiempo estimado 20 minutos

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4. Si n es un número entero y p y q números reales, ¿cuáles de las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que la expresión ⁴√p²+ √q³+ (pq)ⁿ¹ sea un número entero?

I) p debe ser un cuadrado perfecto.

II) q debe ser un cuadrado perfecto III) n debe ser un número par.

A) Solo I y II B) Solo II y III C) I, II y III

D) Falta información.

5. Se está estudiando el crecimiento de la población de cierto organismo que tiene una población inicial p, la cual se duplica tras 16 meses. Luego, se observa que vuelve a duplicarse varias veces, pero cada vez lo hace en la mitad del tiempo anterior. ¿Cuál es la población total cuando han pasado 31 meses?

A) 2⁵p B) 2⁶p C) 2p⁵ D) 5 ∙ 2p

6. ¿Cuál es el valor de la expresión ²

9∙ 3³+ 6 ∙ 3⁻²+ 64¹³? A) 19

3 B) 26

3 C) 32

3 D) 64

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta acerca de la expresión √2q³? A) Si q es un múltiplo positivo de 8, la expresión da como resultado un entero.

B) Si q es un número par, la expresión da como resultado un racional no entero.

C) Si q es un número impar, la expresión da como resultado un irracional.

D) Si q es un número irracional, la expresión da como resultado un irracional.

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8. Sea x un número real entre 0 y 1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

I) x ≤ x² II) x ≤ √x III) x²≤ √x A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III

9. Durante una clase, un grupo de estudiantes discute acerca de las siguientes expresiones, donde a y b son números reales:

X = √(a − b)³ Y = (a − b)²

Juan dice: “Ambas expresiones siempre dan como resultado un número real positivo”.

Javiera dice “La expresión Y siempre da un número real positivo”.

Fernanda dice: “La expresión X nunca da como resultado un número real positivo”.

David dice: “Ambas expresiones dan un número real positivo sólo sí a > b”.

¿Cuál de los estudiantes está en lo correcto?

A) Juan B) Javiera C) Fernanda D) David

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10. Un estudiante busca racionalizar la fracción ^𝟐

√𝟒−√𝟑. Para ello, realiza el siguiente desarrollo:

Paso 1: 2

√4 − √3∙ 1 (√4 + √3)

Paso 2: 2

(√4 − √3) ∙ (√4 + √3)

Paso 3: 2

√4 ∙ √4 + √4 ∙ √3 − √4 ∙ √3 − √3 ∙ √3 Paso 4: 2

4 − 3 Paso 5: 2

1

¿En cuál de los pasos realizados se cometió un error?

A) Paso 1 B) Paso 2 C) Paso 3 D) Paso 4

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Tabla de corrección

Ítem Alternativa Habilidad 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

A continuación, te presentamos una tabla donde podrás anotar las claves de los ejercicios que desarrollaste. Complétala con tus respuestas y asocia a cada ítem la habilidad que corresponda. Luego, corrobora estos datos con el solucionario respectivo.

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Logaritmos

Objetivos

 Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren logaritmos.

 Definición de logaritmo.

 Propiedades de logaritmos.

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Ejercicios

1. Francisca y Josefa discuten acerca de las propiedades que deben poseer la base y el argumento de un logaritmo. A continuación, cada una de ellas realiza una afirmación:

Francisca: “La base debe ser un número positivo y distinto de uno, mientras que el argumento debe ser un número positivo”.

Josefa: “Tanto la base como el argumento deben ser números positivos distintos entre sí”.

¿Quién(es) de ellas realiza(n) una afirmación correcta?

A) Solo Francisca B) Solo Josefa C) Ambas

D) Ninguna de ellas

2. Si la igualdad log_ba = c es verdadera, con a, b y c números enteros mayores o iguales a 2,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) b^c= a II) a^c= b III) √a^c = b A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III

3. El valor numérico de la expresión (log3(9 ∙ 81) log₃81 ) es A) 2

B) 3 C) 4 D) 6

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4. El pH de una solución se calcula como pH = − log(k), donde k es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. Si la suma de los pH de dos soluciones es 5, ¿cuál es el valor de la multiplicación entre sus concentraciones de iones de hidrógeno?

A) 10^-7 B) 10^-5 C) 10^-3 D) 10^-1

5. Sean p = log (¹

3), q = log(20) y r = log(4). A partir de esta información, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) (p · q) tiene signo negativo.

II) (q + r) tiene signo positivo.

III) (p – r) tiene signo negativo.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III

6. La siguiente tabla muestra algunos valores de x y log₃(x).

x log₃(x)

a 2

1

3 b

A partir de esta información, ¿cuál es el valor de (a + b)?

A) 9 B) 8 C) 3 D) – 1

7. ¿A cuál de los siguientes logaritmos es equivalente el valor de la potencia 16³⁴? A) 2log (100)

B) 3log (10) C) 4log (100) D) 5log (10)

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8. En el sistema de ecuaciones adjunto, a y b son números enteros positivos.

3 log(a) + log(b) = 7 2 log(a) − 2 log(b) = 2

A partir de lo anterior, ¿cuál es el valor de ^a⁵

b? A) 10¹²

B) 10⁹ C) 10^-9 D) 10^-12

9. Una magnitud física M se mide como el logaritmo de base 10 de una cantidad Q, es decir, se tiene que M = log(Q), donde Q es un número positivo. Si M pasa de 2 a 5, ¿cuántas veces creció Q?

A) 10 veces.

B) 100 veces.

C) 1.000 veces.

D) 100.000 veces.

10. Se puede determinar el valor numérico de (log₂ x − log₂ y), si:

(1) x = 4y

(2) x es positivo.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

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Orden y problemas en los números reales

Objetivos

 Resolver problemas que involucren números reales.

 Conjuntos numéricos.

 Operatoria con números reales.

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Ejercicios

1. Javiera quiere saber por cuál número debe multiplicar √2 para que el resultado sea un número entero. Es por esto que su amiga Camila le da las siguientes afirmaciones:

I) “Si lo multiplicas por √3, el resultado será un número entero”.

II) “Si lo multiplicas por 2√2, el resultado será un número entero”.

III) “Si lo multiplicas por 3√4, el resultado será un número entero”.

¿En cuál(es) de estas afirmaciones Camila está en lo correcto?

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III

2. Una caja de tomates tiene una capacidad para 16 kg. Si en una cosecha se consiguen 104 kg de tomates y luego se venden 3,5 cajas, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de cajas de tomate que quedan?

A) 104 16 - 3,5 B) 104 - 3,5 ∙ 16 C) 104

16 - 3,5 ∙ 16 D) 104 - 3,5

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3. Pablo sale a comprar chocolates con $a y compra x chocolates a un precio $b por unidad. Si Pablo regresa a casa con un vuelto de $c, ¿cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) a = xb B) a = x + b + c C) a = x + b – c D) a = xb + c

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4. Un paquete de baldosas contiene 10 unidades, las que alcanzan para cubrir un área de 2 m². Si el paquete tiene un precio de $18.000, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el costo para cubrir 5 m²?

A) 10

2 ∙ 5 ∙ 18.000 B) 5

2 ∙ 18.000 C) 5

2 ∙ 10 ∙ 18.000 D) 10

5 ∙ 18.000

5. Un artesano fabrica guitarras y bajos, por lo que, en el mes de marzo, compra 24x cuerdas para guitarra y 28y cuerdas para bajo. Si en cada guitarra utiliza 6 cuerdas y en cada bajo utiliza 4 cuerdas, y en el mes de marzo utiliza todas las cuerdas, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de guitarras y bajos, respectivamente, que fabrica en marzo?

A) 4x guitarras y 7y bajos.

B) 6x guitarras y 8y bajos.

C) 14x guitarras y 18y bajos.

D) 18x guitarras y 20y bajos.

6. Una receta de repostería requiere 4 tazas de harina y 3 huevos para hacer un bizcocho para 8 personas. Si se desea adaptar la receta para hacer un bizcocho para 14 personas, ¿cuál sería la cantidad recomendada de cada ingrediente para mantener la proporción de forma aproximada?

A) 6 tazas de harina y 5 huevos.

B) 6 tazas de harina y 6 huevos.

C) 7 tazas de harina y 5 huevos.

D) 7 tazas de harina y 6 huevos.

7. Un científico descubre un nuevo tipo de partícula en el universo y calcula que se mueve a una velocidad de log(c) metros por segundo, donde c es la velocidad de la luz, que tiene un valor de 3·108 metros por segundo. A partir de esta situación, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la velocidad, en metros por segundo, de esta nueva partícula?

A) log (8) + 3 B) log (3) + 8 C) log (8) + 8 D) log (3) + 3

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8. Como medida para obtener fondos, una entidad de ahorros permite a sus afiliados retirar 5 veces sus fondos y en cada ocasión es posible retirar hasta un máximo del 10% de la cantidad que se encuentra en la cuenta al momento del retiro. Si suponemos que el monto en la cuenta no sufre variaciones, a excepción de que se realice un retiro, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta respecto a esta medida?

A) Si una persona decide realizar los cinco retiros por el máximo monto, se quedará con la mitad de sus fondos iniciales en la cuenta de ahorro.

B) Si la entidad decidiera permitir más retiros, sólo sería posible realizar hasta 10 por el máximo monto antes de quedar sin fondos.

C) Una persona que haya realizado dos retiros por el máximo monto quedará con un 81% de sus ahorros en la cuenta.

D) Si una persona decide retirar un 9% de sus ahorros la primera vez y un 10% la segunda vez, su primer retiro es un monto mayor que el primero.

9. Un control de tráfico cuenta que en una esquina pasan 1.800 vehículos por hora. Si las condiciones del tráfico no cambian, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el número de vehículos que pasa por esa esquina en cinco días?

A) 1.800 · 3.600 · 5 B) 1.800 · 60 · 5 C) 1.800 · 24 · 5 D) 1.800 · 12 · 5

10. Un objeto tiene un valor de $ P a precio normal, y durante una oferta se le realiza un 25% de descuento. El envío del objeto tiene un valor de $ ^P

20. Una persona compra el objeto y paga el envío, y desea venderlo para obtener una ganancia del 40%. ¿Cuál debe ser el precio de venta del objeto para obtener esa ganancia si lo compró en oferta?

A) 0,80P B) 1,12P C) 1,20P D) 1,40P

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Sistemas de ecuaciones

Objetivos

 Resolver problemas que involucren sistemas de ecuaciones de 2x2, poniendo énfasis en el análisis de las soluciones.

 Sistemas de ecuaciones de 2x2.

 Tipos de soluciones de los sistemas de ecuaciones.

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Ejercicios

1. La suma de la edad de Fernanda y la edad de Juan es de 30 años. Si la mitad de la edad de Fernanda es igual al doble de la edad de Juan, ¿cuál es la edad de Fernanda?

A) 6 B) 12 C) 15 D) 24

2. La edad de Isabel es el doble de la edad de Roberto más 5 años. Además, se sabe que el doble de la edad de Isabel es igual a cuatro veces la edad de Roberto más x años. ¿Cuál de los siguientes valores de x asegura que el sistema de ecuaciones que se forma con las ecuaciones anteriores tenga infinitas soluciones?

A) x = 9 B) x = 10 C) x = 20 D) x = 25

3. Sea el sistema

a ∙ x + y = 1 x + a ∙ y =– 1

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si a = – 1, el sistema no tiene solución para x e y.

II) Si a = 0, el sistema tiene una única solución para x e y.

III) Si a = 1, el sistema tiene infinitas soluciones para x e y.

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III

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4. Si a – b = x² y 2a + 2b = x⁴, ¿cuál es el valor de a² – b²? A) 2x³

B) x⁵ C) 0,5x⁶ D) 4x⁸

5. Dos tiendas ofrecen el mismo par de productos A y B. Se sabe que en la primera tienda hay 16 unidades del producto A y 20 unidades del producto B, y que todos los productos A y B disponibles, en conjunto, tienen un precio total de $20.000; mientras que en la segunda tienda quedan 12 unidades del artículo A y 15 unidades del artículo B, y que el precio total del conjunto de productos es de $15.000. ¿Qué conclusión es correcta sobre ambas tiendas?

A) El precio máximo del producto B es de $1000.

B) La primera tienda tiene los artículos más caros.

C) El costo de los artículos en ambas tiendas es el mismo.

D) La información dada no permite conocer los precios de A y B.

6. ¿Cuáles podrían ser los valores de a y b en el sistema de ecuaciones adjunto para que este posea solución única?

ax + 10y = 540

−3x + by = 250 I) a = 1, b = - 30

II) a = - 6, b = - 5 III) a = -3, b =10 A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III

D) Ninguna de las anteriores

7. Se puede determinar el valor numérico de (2x + y), con x e y números reales, si:

(1) x + 2y = 8 (2) 4x + 2y = 4 A) (1) por sí sola.

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8. En un juego, dos personas necesitan reunir entre ellos 150 puntos en fichas. La persona A es capaz de obtener fichas que valen 3 puntos, mientras que la persona B puede obtener fichas que valen 5 puntos. Si entre ambas pueden reunir hasta 50 fichas, ¿cuál conjunto de ecuaciones permite encontrar de cuántas formas pueden obtener el puntaje total deseado?

A) A + B = 50 3A + 5B = 150 B) A + B ≤ 150 3A + 5B = 150 C) A + B = 150 3A + 5B = 50 D) A + B = 150

3A + 5B ≤ 50

9. El profesor de Camilo y Luis escribe el siguiente enunciado en la pizarra: “La suma de dos números es 20 y la diferencia entre el triple de uno de ellos y el otro es p”. Con respecto al enunciado, cada uno de ellos entrega la siguiente afirmación al profesor:

Camilo: “El sistema que se forma tiene solución única para cualquier valor de p”.

Luis: “El sistema que se forma tiene infinitas soluciones si el valor de p es distinto de cero”.

¿Quién(es) de ellos está(n) en lo correcto?

A) Solo Camilo B) Solo Luis C) Ambos

D) Ninguno de ellos

10. Para que el sistema de ecuaciones x – 3y – 4 = 0 mx – 6y + n = 0,

en x e y, tenga infinitas soluciones, los valores de m y n deben ser:

A) m = 2 y n = – 8 B) m = 2 y n = – 4 C) m = 2 y n = 8 D) m = – 1 y n = 4

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Ecuación de segundo grado

Objetivos

 Resolver problemas que involucre la ecuación cuadrática, con sus métodos de resolución especialmente en el análisis de sus soluciones.

 Elementos de la ecuación cuadrática.

 Soluciones de la ecuación cuadrática.

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Ejercicios

1. Si la suma de las soluciones de la ecuación cuadrática ax² + bx + c, con a distinto de cero, es igual a 6, ¿cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) 6a – b = 0 B) 6a + b = 0 C) a – 6b = 0 D) a + 6b = 0

2. ¿Qué número natural cumple con que la suma entre el número y su cuadrado es igual a 90?

A) -10 B) 9 C) 10 D) 30

3. Dada la ecuación de segundo grado x² – kx + 2 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si k = 2, la ecuación NO tiene soluciones reales.

II) Si k = – 2, las soluciones de la ecuación son reales e iguales.

III) Si k = 3, las soluciones de la ecuación son reales y distintas.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III

4. Si a y b son las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática 2x² – 6x + 8, ¿cuál es el valor de la expresión (ab)^{a +b}?

A) 4 B) 16 C) 28 D) 64

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5. Se puede determinar que la ecuación x² + (k + 1)x + k + 1 = 0 tiene soluciones reales y distintas para x, si:

(1) k + 1 > 0 (2) k – 3 > 0 A) (1) por sí sola.

6. Si el producto de las soluciones para x en la ecuación kx² + (2k + 1)x – k + 3 = 0 es igual a 4, entonces el valor de k debe ser

A) -1 B) -1 6 C) 1

2 D) 3 5

7. Con respecto al discriminante de la ecuación cuadrática ax² + bx, con a distinto de cero, Ignacio y Gabriel dan las siguientes afirmaciones:

Ignacio: “Si b es un número positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas”.

Gabriel: “Si b es un número negativo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas”.

¿Quién(es) de ellos está(n) en lo correcto?

A) Solo Ignacio.

B) Solo Gabriel.

C) Ambos.

D) Ninguno de ellos.

8. Si la ecuación cuadrática 6x² – x + p, con p un número real, no posee soluciones en el conjunto de los números reales, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) 1 < 24p B) 1 > 24p C) 24p = 1 D) –1 < 24p

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9. Estudiando el movimiento de un proyectil, un grupo de estudiantes plantea la ecuación h(t) = 15t − 5t², donde 𝐭 es el tiempo y 𝐡(𝐭) representa la altura en el tiempo 𝐭, y discuten acerca

de la información que pueden extraer de la ecuación.

Diego dice: “Las dos soluciones de la ecuación representan el tiempo que demora en caer el proyectil”.

Javier dice: “La ecuación tiene una sola solución, que es t = 3, y representa el tiempo de vuelo del proyectil”.

Juan dice: “Las soluciones de la ecuación son t = 0 y t = 3, y corresponden al momento del lanzamiento y al momento de llegada al suelo”.

Andrés dice: “La solución t = 0 representa el momento de altura mínima y t = 3 representa el momento de altura máxima”.

¿Cuál de los estudiantes tiene razón?

A) Diego.

B) Javier.

C) Juan.

D) Andrés.

10. Sean p y q números reales, tales que p < 0 < q. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene siempre dos soluciones de distinto signo para x?

A) x² + pq = 0 B) x² + p² = – q² C) (x + p)² = – q D) qx² – p = 0

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Mis apuntes

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DIRECCIÓN ACADÉMICA

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