Estructura de sigma-´ algebras finitas o numerables (tarea adicional)

Estructura de sigma-´ algebras finitas o numerables (tarea adicional)

Objetivos. Demostrar que los elementos de σ-´algebras finitas o numerables siempre son uniones de “´atomos”. Deducir de aqu´ı que el n´umero de elementos en una σ-´algebra finita siempre es una potencia de dos, y que no existen σ-´algebras numerables (infinitas).

Usamos la notaci´on ⊂ en el mismo sentido que ⊆. Escribimos A ( B, cuando A es subconjunto de B y A 6= B. Un conjunto llamamos numerable si es equipotente a N.

Seg´un este definici´on, los conjuntos numerables son infinitos (algunos autores usan otra terminolog´ıa).

Sea Ω un conjunto y sea S ⊂ 2^Ω una σ-´algebra de subconjuntos de Ω.

1. Definici´on (´atomo de una σ-´algebra). Un elemento A ∈ S \ {∅} se llama ´atomo de S si no existe ning´un B ∈ S tal que B ( A y B 6= ∅. Al conjunto de todos los ´atomos de S lo denotamos por AS. En otras palabras,

AS := {A ∈ S \ {∅} : ∀B ∈ S \ {∅} B ⊆ A ⇒ B = A}.

2. Ejemplo. Sea Ω = {1, 2, 3, 4} y sea S = 

∅, {1}, {2}, {1, 2}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {3, 4}, Ω . Encuentre todos los ´atomos de S.

3. Ejemplo. Sea Ω = Z y sea S = 2^Ω. Describa todos los ´atomos de S.

4. Ejemplo (σ-´algebra de subconjuntos de n´umeros reales invariantes bajo desplazamientos enteros). Sea Ω = R y sea

S = {C ⊂ R : C + Z ⊂ C} = {C ⊂ R : ∀x ∈ C ∀y ∈ Z x + y ∈ C}.

Describa todos los ´atomos de S.

5. Cada punto del espacio pertenece a un ´unico ´atomo. Supongamos que S es finita o numerable. Sea x ∈ Ω. Definamos A_x mediante la siguiente f´ormula:

A_x :=\

{B ∈ S : x ∈ B}.

Demuestre que Ax es un ´atomo y que Ax es el ´unico ´atomo que contiene x.

6. Cada elemento del ´algebra es la uni´on de los ´atomos que ´el contiene. Supon- gamos que S es finita o numerable. Sea C ∈ S. Demuestre que

C = [

{A ∈AS: A ⊂ C}.

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7. Biyecci´on entre S y 2^AS. Supongamos que S es finita o numerable. Construya una biyecci´on Φ : S 7→ 2^AS. Como un corolario se obtiene que |S| = 2^|AS|.

8. El n´umero de elementos de una σ-´algebra finita. Supongamos que S es finita.

Entonces AS tambi´en es finita y

|S| = 2^|AS|.

9. Corolario. No existe ninguna σ-´algebra con un n´umero finito impar de elementos.

10. Sobre σ-´algebras numerables. Muestre que no existe ninguna σ-´algebra numera- ble.

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