MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 24

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Dr. Pedro V·squez

UPRM

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Valores m·ximos y mÌnimos

Las aplicaciones m·s importantes del c·lculo diferencial se dan en los problemas de optimizaciÛn, en los cuales se desea obtener lo Ûptimo (lo mejor) de algo. Por ejemplo, podemos mencionar:

1 Minimizar los costos de una compaÒÌa que produce un cierto producto.

2 Maximizar las ganancias de una empresa.

3 Determinar la m·xima aceleraciÛn de una nave espacial.

Los problemas anteriores se reducen a determinar los valores m·ximos y mÌnimos de una funciÛn.

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Observe la siguiente gr·Öca:

El punto m·s alto de la gr·Öca es (3,5), es decir el valor m·s grande

de f es f (3) =

El punto m·s bajo de la gr·Öca es (6,2), es decir el valor m·s pequeÒo

de f es f (6) =

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DeÖniciÛn: Sea c un n˙mero en el dominio D de una funciÛn f . Entonces f (c) es el:

valor m·ximo absoluto de f en D si f (c)!^f (x)para todo x en D.

valor mÌnimo absoluto de f en D si f (c)"^f (x)para todo x en D.

f (a) es el valor mÌnimo absoluto f (d) es el valor m·ximo absoluto

Nota: Los m·ximos o mÌnimos absolutos tambiÈn se les llama

m·ximos o mÌnimos globales

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En general, si se consideran intervalos que contienen a ciertos n˙meros del dominio se puede determinar m·ximos o mÌnimos en dichos intervalos.

Por ejemplo, en la gr·Öca anterior, si se construye un intervalo alrededor de b se puede concluir que f (b)es el mayor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice que existe un m·ximo local.

Similarmente, si se construye un intervalo alrerdedor de a se puede concluir que f (a)es el menor valor en dicho intervalo, es ese caso se dice que existe un mÌnimo local.

Lo anterior nos lleva a la siguiente deÖniciÛn:

DeÖniciÛn: El n˙mero f (c) es un:

valor m·ximo local de f si f (c)!^f (x)cuando x est· cerca de c.

valor mÌnimo local de f si f (c)"^f (x) cuando x est· cerca de c.

De la gr·Öca anterior, podemos decir que f posee mÌnimos locales en c y e, y m·ximos locales en b y d .

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Ejemplos

1. En la siguiente gr·Öca, para cada n˙mero a, b, c, d , r y s, determine si la gr·Öca posee un mÌnimo o m·ximo local y absoluto o ninguno de ellos.

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2. En la siguiente gr·Öca, determine los valores m·ximos o mÌnimos absolutos de la funciÛn g(x).

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3. Trace la gr·Öca de una funciÛn f continua en [1, 5] y que satisface:

tiene un m·ximo absoluto en x =1, un mÌnimo absoluto en x =2, m·ximo local en x =3 y mÌnimos locales en 2 y 4.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

x y

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4. Trace la gr·Öca de la funciÛn f (x) =sin x, 0"^x <2p e identiÖque los valores m·ximos y mÌnimos absolutos y locales de f

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

−3

−2

−1 1 2 3 4 5 6

x y

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5. Trace la gr·Öca de la funciÛn f (x) =

! 4#^x² ^si #²"^x<0 2x+1 si 0"^x "² ^e identiÖque los valores m·ximos y mÌnimos absolutos y locales de f

−3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

x y

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Se han discutido ejemplos de funciones donde algunas tienen valores extremos y otras no. El siguiente teorema da algunas condiciones para que una funciÛn posea valores extremos:

Theorem

(Teorema del valor extremo) Si f es una funciÛn continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor m·ximo absoluto f (c) y un valor mÌnimo absoluto f (d) en algunos n˙meros c y d en[a, b].

Los diferentes casos del teorema del valor extremo se ilustran en la siguiente gr·Öca:

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El teorema del valor intermedio indica que una funciÛn continua en un intervalo cerrado tiene un m·ximo y un mÌnimo absoluto, sin embargo no nos indica como hallarlos. Por ejemplo observe la siguiente gr·Öca:

La funciÛn f tiene un mÌnimo local en d y un m·ximo local en c.

Observe que en los puntos de m·ximos o mÌnimos las rectas tangentes parecen tener

pendiente 0, es decir:

f⁰(c) =0, f⁰(d) =0

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El siguiente teorema, conÖrma las observaciones anteriores:

Theorem

(Fermat) Si f tiene un m·ximo o mÌnimo local en c, y f⁰(c)existe, entonces f⁰(c) =0.

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DeÖniciÛn: Un n˙mero crÌtico de una funciÛn f es un n˙mero c en el dominio de f tal que f⁰(c) =0 Û f⁰(c) no existe.

6. Halle los n˙mero crÌticos de:

a. f (x) =x³+6x²#^15x

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b. f (p) = ^p#² p²+9

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c. f (x) =x^#²ln x

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Nota: Si f tiene un m·ximo o mÌnimo local en c, entonces c es un n˙mero crÌtico de f .

Para hallar los m·ximos y mÌnimos absolutos de una funciÛn continua en un intervalo cerrado, se observÛ en los ejemplos, que es un extremo local (en este caso ocurre en un n˙mero crÌtico) u ocurre en un extremo del intervalo. Se sugiere considerar los siguientes pasos para hallar los m·ximos y mÌnimos absolutos de una funciÛn continua en un intervalo cerrado [a, b]:

1 Halle los valores de f en los n˙meros crÌticos de f en (a, b).

2 Halle los valores de f en los extremos del intervalo.

3 El mayor de los valores en los pasos 1 y 2 es el valor m·ximo absoluto y el menor de los valores es el valor mÌnimo absoluto.

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7. Halle los valores m·ximos y mÌnimos absolutos de f en el intervalo dado:

a. f (x) =5+54x#^2x³^, [0, 4]

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b. f (x) =x+ ¹

x, [0.2, 4]

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c. f (t) =t+cos(t/2), [p/4, 7p/4]

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d. f (x) =x#^{ln x}³^, ^"¹2, 2#

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8. Un objeto con peso W es arrastrado sobre un plano horizontal por una fuerza que act˙a sobre una soga atada al objeto. Si la soga hace un

·ngulo q con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es:

F = ^µW

µ sin q+cosq

donde µ es una constante positiva llamada el coeÖciente de fricciÛn y donde 0 "^q" p/2. Demuestre que F alcanza su mÌnimo cuando tanq=µ.

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