Sean A, B y C los v´ertices del tri´angulo, con |AB
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(2) 3. Tenemos que los ´angulos 6 AEF y 6 ABF son iguales por abarcar el mismo arco en el c´ırculo D. Por otro lado, 6 ABC = 6 ACD tambi´en por abarcar el mismo arco en C. Combinando tenemos que 6 DCE = 6 CEF , de donde EF y CD son paralelas. .. ... ... C ...... .................................... .............................. .................. D. ..... ........................................................... ......... ............................ ....... ....................................... ........ ........................... ........ ....... ... ... ....... ............................................. ........ ...... ....... . ... ... ................. ....................................... ........ ...... ..... . .. . .......... ............................ ........ . . . . . ........ ..... ... ... .. ....... ............................ ... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. .................. ... .. ...... .... . . . . . . . . . . . . ..... ... ... ................. ..... .... ... ... ... .... .. ... ........ ... ... ... .... .... ..... .............. ... ... .... ... ... ... ........ .. .... ... ... ... ... ........ .. ... ... ... ... ... . . .. . . . . . . ........ ... ... ... ... ... ... ........ ... ... ... ... ... ... ... .. ........ ... ... ... ... ... ... ....... ... ... ... ... ........ ... ...... .... ... ... ... ... ....... . ..... .. . . . . .... . ........ ... .. ... ..... .. .. ........ .. .. ................ ... ... ....... .. .... ........................................... .... .... .. ........ .. ............................. ........ .. ...... ........ ... .. ............................ .. .. .... .. .... .. . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . .... .... ......... . ............................................................. .. .... .. . .............................. .. .... ..... .......... .... ..... ... .. ...... .. .. ... ... ... ...... .. ........ .. ...... ... ... ... ... ............ .. . ....... ... . . ... . ... . . . .. ... ........... .. ..... . . ... . . ... . . ... . . . . . ... . . .............. ... ... ... .. ................................................................ ... ... ... .. .. ... ... . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .... .. ... ... ... .. ... ..... ...... .. . ... . . . ... .................. ... ... ... ................. ... ... .. ... ................ ..... ... .... .... ......... .. ... .... .... ....... ... . . .... . . . . . . ............ .... ......... ...... .... . .. ...... ..... ...... ..... ............. ..... ....... ..... ......... ...... ......... ............. . ...... . . . . . . . . ...... . . . . . . . . ................................ ... ....... ....... ........ ........ .......... .......... ................ .......................................... A. G. F. E. C. D. B. Ahora, la recta que pasa por D y el centro del c´ırculo D es perpendicular a CD, por lo tanto tambi´en a EF , y as´ı esta recta es mediatriz de EF y entonces pasa por el centro del circunc´ırculo de CEF y, como CG es cuerda de ese c´ırculo, la corta en el punto medio, es decir, D es punto medio. 4. (a) Tomemos un jugador a que haya ganado el mayor n´ umero de juegos k. Como a no gan´o todos los juegos, tomemos c alg´ un jugador que le haya ganado a a; observemos que c no pudo haberle ganado a todos a los que a gan´o pues, como le gan´o a a, tendr´ıa m´as de k juegos ganados, as´ı que hay alg´ un b que le gan´o a c y al cual a le gan´o, como quer´ıamos. (b) Sea n ≥ 3 arbitrario y llamemos x1 , x2, . . . , xn a los jugadores. Para i, j ∈ {2, . . . , n} digamos que xi le gan´o a xj si y s´olo si i > j. Por otro lado, digamos que x1 le gan´ oa todos salvo a xn−1 . Entonces el u ´nico “tri´angulo” es el formado por xn , xn−1, x1 . Ilustramos abajo esta situaci´on para n = 4. x4 ................ • .......... ..... x1 •. .. .... ....... ...... ........ ... ........ .... ........ . . . . . . . . . . . ........ .... ....... .... ........ ... ........ .... ....... . . . . . . . . . . . .. ...... ........ .... ........ ........... ........ ....... .............................................................. 3 ... ...... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... ... ...... .. ...... ...... ....... ...... ........... ......... ... ........... • x. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ......... ...... .. • x2.
(3) 5. Sea a el residuo (de la divisi´on entre n) del n´ umero del hex´agono central, y sean b y c los residuos de los n´ umeros en dos hex´agonos adyacentes al central y tambi´en adyacentes entre s´ı. Entonces los residuos en los 6 hex´agonos adyacentes al central deben de ser b y c alternadamente, pues si a + b + d es m´ ultiplo de n, entonces tambi´en lo es c − d = (a + b + c) − (a + b + d), de donde d = c. De esta misma forma tambi´en el n´ umero en cualquier hex´agono adyacente a ambos b y c debe tener residuo a. As´ı, los residuos deben ser los indicados en la figura. ....................... ... ... ... ... ..................... ....................... . . ... . ... . .. ... . ... .. ... ... . . . . ....................... ..................... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .. ... . ... . ... . . ... ... . . .. ... . . . . . . . . ... ... ... ... ... ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . ... .. . .. . . ... ... ... . . .. . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... .. ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... . ... ... .. ..... ........................ ......................... . . ... . . ... . ... ... .. . ... . . ... . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . ................... ..................... ..................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. .. ... ... ..... ......................... ......................... ... ... . . . . .. ... ... . . . ... . . . . . ... ... . . ........................ . . . . .................... .................. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......................... ... ..................... ... . . ... . ... ... ........................ b a • • a c • • c • • c • b • • b • a • • a • • a • c • • c • b • • b • • b a • • a c. Observamos que hay 7 a′ s, 6 b′ s y 6 c′ s en la configurac´ı´on total. Si n = 2 como a + b + c debe ser par y no es posible que todos sean pares (pues son los n´ umeros del 1 al 19), dos de ellos son impares y el otro es par, pero esto es imposible pues del 1 al 19 hay 10 pares. Para n = 3 s´ı es posible tomando a = 1, b = 0 y c = 2 y acomodando los 7 n´ umeros 1, 4, 7, 10, 13, 16 y 19 en cualesquiera de los lugares marcados con a, los 6 n´ umeros 3, 6, 9, 12, 15 y 18 en los lugares marcados con b, y los 6 n´ umeros 2, 5, 8, 11, 14 y 17 en los lugares marcados con c. Si n ≥ 4, como s´olo aparecer´ıan 3 residuos, faltar´ıan n´ umeros, as´ı que tampoco es posible que n sea 4. 6. Sea O el punto medio de AD. Llamemos a y b a las ´areas que se muestran en la figura, notando que hay coincidencias en algunas regiones por simetr´ıa y paralelismo, y tambi´en tomando en consideraci´on que en cualquier tri´angulo RST , si U y V son los puntos medios de los lados RS y RT , respectivamente, entonces el ´area de RU V es la cuarta parte del ´area de RST . Observamos tambi´en que las ´areas de ABM y de BN C son iguales pues son la cuarta parte del ´area del paralelogramo. Entonces 4a + b = 4b + a, de donde a = b, como quer´ıamos probar. A......................................................................................................................L B ............................................................................................................................... ................ ...... .... .. ................ ... ...... ...... ... ................ . . . . . . a . . . . . .... . . ................. .. ......................... .. ... ....... 3a ....... .. ..... ........................... ... ...... .. ................ ...... . . . . .. . . . . . . . . . . ................ ....... ................ ............ ... ... .................... ...... ... ................ b .... ....... .. .................. ...... .. ...... . ...... ...... ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . O.... ...................................................... M ...... ... ...... ................. .. ... .... ....... ................ .. ....... ....... ................. ... 3b .. ...... ....... . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................... ..... .. ... ..... .......................... ....... .. ....... ... .......... ....... a ..................................... ..... ... ........ ...... ...................................................................................................................................................................................................................................................... D N C.
(4) 7. Con 4 rectas se forman a lo m´as 6 ´angulos menores o iguales que 90o , as´ı que no es posible lograr los 9 ´angulos pedidos. Las siguientes figuras son esquemas (los ´angulos no est´an dibujados en su tama˜ no real por la conveniencia del dibujo) en los que se muestra que con 5 rectas s´ı es posible. En la figura de la derecha es f´acil verificar que en los tri´angulos formados la suma de los ´angulos es 180o , y que en los cuadril´ateros la suma es 360o . ... ... . . ..... ... ...... ..... ... ...... ... ..... ... ...... .. ..... ... .... .... ....... ................ . . . . . . ................ .... ..... ... ........... ... ... .... ..... ... ... ......... .... .. ... ..... ... ....... ... ... ... ..... ... ...... ... .... .... ..... ... ...... . . . . . . . ... . . ... ...... ..... .. . ... . . . . . . . . . . ... . . . ..... ... . ... . ... .... . . . . . . . . . . ... . . . .... ..... ... ... . .. . . .... .... . .... . . ... . . ... ... .. . . . ........................ . . . . . . . ... . . . ... ... .......... . .. .... ..... . . .... . . . ....... . . ... . . ... ... ... .. . ... ...... . . . . . . .... . ... . . . . . ...... ... . ... ... .. . .... . . . . ... . ..... . . . . . .... ... ... ... . . . .... ........ . . .. . .. . . . ... ... ................. ...... . .. . . ... . . . . . . . ... . . . . ... . ... .. ....... ... . . ... . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ............ ... ... . . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . .... ... ............. .. ... . . ....... . . . . . . .... . . . . .. . . . . . . .. .. .. ....... . ... .... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . ... ... .. . .. . ... ........ . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .............. .. . .. .. ... . . . . . . ... . . . . . . . . ... .. .. .. ........ .. . . .... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . .. ... ... . .. ... ........ ...................... . . . . . ... . . ... . . ........................ . . . . . . . . . ... .. . ............................................................................................................................................................................................................................................................ . . . . ... . ........................... . .. . . . . .. . ........................... . . . . . ... .... . . ............................ . ... ... . . .. . .... . ... .. ............................... . ... . ............................. . . . ... . . . ... . ........................... . .. .. . .. . .. . . . . ... . . .. . . . . . ... . . . . . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... . .. . . . . . . . . . . .. .... . . . ................ . . . .. . . ................ . . . .. . . ... . . ................ ... .. ... .. ... ................ ... .... .. .... ... ................ . . . . . . . ... .... . . . . ................ . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ... . . . ................ . .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . . . ................ ... .. . .. . . . . . . . . . . ..................... . . . . . ... . . ................ . ... . . . . . . . . . . . . ... .... . . . ................ .. . .. . . . . . . . . . . . . . ... . . ... . . ................ .. .. ... . . . . . . . . . . . . . . ... . . ... . . ... . .. .......................... . . . . . . . ... . . ... ................ . .... . . . . . . . . . . . . . ... . ... . . . ................ .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .................... ..... .. .. ...................... ................................. . . ... ... ... ... ... .... 70. 20 30. 40. 60. 50. 30. 20. 10. 10. 80. 90. 40 120 60 40 140 60 120 130 50 110 70. 90 90 80. 8. La cantidad de renglones distintos que se pueden formar usando dos de los n´ umeros, por ejemplo el 1 y el 2, es 25 − 2 = 30. An´alogamente se pueden formar 30 renglones distintos usando el 1 y el 3, y otros 30 usando el 2 y el 3. Es claro entonces que se pueden construir 90 renglones (todos distintos) en los que no aparezca el 4 y, por tanto, que no se forme el rect´angulo pedido. Tomemos ahora una cuadr´ıcula con 91 renglones y veamos que forzosamente hay un rect´angulo cuyas 4 esquinas tienen todos los n´ umeros del 1 al 4. Primera forma. Como hay 30 posibles renglones que usan dos de los n´ umeros y las posibilidades de parejas de dos n´ umeros son 6: (1, 2), (3, 4), (1, 3), (2, 4), (1, 4), (2, 3), entonces debe haber por lo menos dos renglones en los que los n´ umeros de las parejas son todos distintos. Sin p´erdida de generalidad, supongamos que hay un rengl´on que usa los n´ umeros 1 y 2 y otro rengl´on que usa los n´ umeros 3 y 4. Por el principio de las casillas, el que tiene 1 y 2, en al menos 3 posiciones tiene el mismo n´ umero, digamos que es el 1, as´ı que ese rengl´on podemos suponer, sin p´erdida de generalidad que es (1, 1, 1, 2, ); tambi´en el que tiene a 3 y 4 tiene tres veces al menos el mismo n´ umero, digamos que es el 3 y alg´ un 3 debe coincidir con alguna posici´on de 1; sin p´erdida de generalidad ese rengl´ on es un 2 tambi´en aparece 4 (por ejmeplo, en la cuarta (3, , , , ). Si en la posici´on de alg´ columna), entonces ya acabamos (el rect´angulo buscado se forma con la primera y la curta columnas); si no, entonces 4 debe aparecer en alguna posici´ on que coincide con la de alg´ un 1, o sea que el rengl´on con 3 y 4 es, sin p´erdida de generalidad, (3, 4, , 3, ), y con la.
(5) segunda y la cuarta columnas tenemos el rect´angulo buscado. Segunda forma. Para r = 2, 3, 4 sea ar el n´ umero de renglones que usan los n´ umeros 1 y r y sea br el n´ umero de renglones que usan los n´ umeros distintos de 1 y r (por ejemplo, a3 es el n´ umero de renglones que usan los n´ umeros 1 y 3, y b3 es el de los que usan 2 y 4). Como 91 = 3 · 30 + 1, por el Principio de las Casillas, alguna de las parejas ar + br ≥ 31, digamos a2 + b2 ≥ 31. Tambi´en, por el Principio de las Casillas, alguna de a2 o b2 es mayor o igual que 16; digamos que a2 ≥ 16. Tenemos entonces que al menos hay 16 renglones que usan los n´ umeros 1 y 2; por otro lado, como a2 + b2 ≥ 31 pero a2 ≤ 30 entonces b2 ≥ 1, es decir, por lo menos hay un rengl´on que usa los n´ umeros 3 y 4; sin p´erdida de generalidad digamos que es (3, 4, , , ). Queremos ver que alguno de los a2 renglones que usan 1 y 2 es de la forma (1, 2, , , ) o (2, 1, , , ). Los de la forma (1, 1, , , ) son a lo m´as 23 − 1 = 7 y an´alogamente son a lo m´as 7 los de la forma (2, 2, , , ); como 7 + 7 = 14 < 16, tenemos uno de la forma buscada. En conclusi´on, el m´ınimo valor para k es 91..
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