Comenzaremos este tema con un repaso de la Integraci´ on de funciones de una variable real, para introducir posteriormente las integrales dobles y triples.

Integrales Dobles e Integrales Triples

6.1 Introducci´ on

Comenzaremos este tema con un repaso de la Integraci´ on de funciones de una variable real, para introducir posteriormente las integrales dobles y triples.

6.2 Repaso de Integraci´ on en una variable

6.2.1 Integral Indefinida

Definici´ on. Se denomina primitiva de la funci´ on f (x) en un intervalo (a, b) a toda funci´ on F (x) diferenciable en (a, b) y tal que F ^′ (x) = f (x).

Dos propiedades importantes que verifican las primitivas de una funci´ on dada f (x) son las siguientes:

1) Si F (x) es una primitiva de f (x) en (a, b), entonces la funci´ on G(x) = F (x) + C, con C ∈ R constante, tambi´en lo es en (a, b). La demostraci´on es evidente: G ^′ (x) = F ^′ (x) + 0 = f (x), ∀x ∈ (a, b).

2) Si F (x) y G(x) son primitivas de f (x) en (a, b), entonces su diferencia es una constante:

F (x) − G(x) = C, ∀x ∈ (a, b).

Definici´ on. Llamaremos integral indefinida de una funci´ on f (x) en un intervalo (a, b) al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con la notaci´ on habitual ∫

f (x) dx. Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f (x) en (a, b), F (x), para conocer la totalidad de ellas, y as´ı tendremos, para cualquier constante real C:

∫

f (x) dx = F (x) + C

59

Propiedades.

•

∫

(f (x) + g(x)) dx =

∫

f (x)dx +

∫

g(x)dx

• ∀k ∈ R, se verifica:

∫

kf (x) dx = k

∫

f (x) dx

Integrales Inmediatas

Se suelen denominar integrales inmediatas a las que resultan evidentes por ser el inte- grando la derivada de una funci´ on conocida. Evidentemente la inmediatez no constituye una propiedad matem´ atica, o dicho con otras palabras, una integral es inmediata si uno se la sabe de memoria, y lo sigue siendo mientras no la olvidemos. En cualquier caso, es habitual asumir que son inmediatas las siguientes integrales indefinidas:

∫

x ^p dx = 1

p + 1 x ^p+1 + C, p ̸= 1,

∫ dx

x = ln |x| + C

∫

e ^x dx = e ^x + C ,

∫

a ^x dx = 1

ln a a ^x + C, a > 0, a ̸= 1

∫

sen x dx = − cos x + C ,

∫

cos x dx = sen x + C ,

∫ dx

cos ² x = tan x + C

∫ dx

sen ² x = − cotan x + C ,

∫ dx

x ² + 1 = arctan x + C ,

∫ dx

√ 1 − x ² = arcsen x + C

∫ √ −dx

1 − x ² = arccos x + C ,

∫

senh x dx = cosh x + C ,

∫

cosh x dx = senh x + C

∫ dx

√ x ² − 1 = arccosh x+C ,

∫ dx

√ x ² + 1 = arcsenh x+C ,

∫ dx

1 − x ² = arctanh x+C 6.2.2 Integral Definida

El concepto de integral definida se construye a partir de la idea de pasar al l´ımite una suma cuando el n´ umero de sumandos tiende a infinito y simult´ aneamente cada uno de los sumandos tiende a cero. Para determinar con precisi´ on esta idea introduciremos las siguientes definiciones:

Definici´ on. Dado un intervalo [a, b] llamaremos partici´ on de [a, b] a toda colecci´ on de n + 1 puntos P = {x 0 , x ₁ , · · · , x n } tales que a = x 0 < x ₁ < x ₂ < · · · < x n = b.

Toda partici´ on P del intervalo [a, b] lo divide en n subintervalos [x k −1 , x k ] de anchuras respectivas ∆x _k = x _k − x k −1 .

Definici´ on. Dada una funci´ on f (x) definida en el intervalo [a, b], una partici´ on P =

{x 0 , x ₁ , · · · , x n } de [a, b] y dados n puntos ξ = {ξ 1 , ξ ₂ , · · · , ξ n } tales que ξ k ∈ [x k −1 , x _k ],

se llama suma integral o suma de Riemann de la funci´ on f (x) en [a, b] correspondiente a la partici´ on P y a la elecci´ on de puntos ξ a la suma siguiente:

S(f, P, ξ) =

∑ n k=1

f (ξ _k )∆x _k = f (ξ 1 )∆x 1 + · · · + f(ξ n )∆x n

Si suponemos que la funci´ on es continua en [a, b] (aunque ser´ıa suficiente con que fuera continua en cada subintervalo de la partici´ on P ), entonces, por el teorema de Weierstrass, f (x) alcanza su valor m´ aximo M _k y su m´ınimo m _k en cada subintervalo [x _{k −1} , x _k ], podemos entonces construir las sumas de Riemann correspondientes a dichos valores, obteniendo la suma superior de Riemann U y al suma inferior de Riemann L, de f (x) en [a, b] con respecto a la partici´ on P :

U (f, P ) =

∑ n k=1

M k ∆x k , L(f, P ) =

∑ n k=1

m k ∆x k

Es evidente entonces que el conjunto de todas las sumas de Riemann de una funci´ on dada en un intervalo, con respecto a una partici´ on concreta P , est´ a acotado superiormente por U (f, P ) e inferiormente por L(f, P ).

Definici´ on. Se dice que una funci´ on f (x) definida en [a, b] es integrable (en el sentido de Riemann, o simplemente integrable) en [a, b] si el supremo de todas sus sumas inferiores de Riemann coincide con el ´ınfimo de todas sus sumas superiores. A dicho n´ umero se le denomina integral definida o integral de Riemann de f (x) en [a, b] y se denota como:

∫ _b

a

f (x) dx

De manera equivalente, puede definirse la integral definida o integral de Riemann como el l´ımite de las sumas de Riemann de la funci´ on en el intervalo cuando el n´ umero de puntos de las particiones consideradas tiende a infinito mientras que la anchura m´ axima de los subintervalos determinados por la partici´ on tiende a cero, siempre que dicho l´ımite exista y sea independiente de la elecci´ on de puntos arbitrarios realizada en cada subintervalo.

La definici´ on de integral definida se completa a˜ nadiendo los casos:

∫ _b

a

f (x)dx = −

∫ _a

b

f (x)dx ,

∫ _a

a

f (x)dx = 0

siendo a > b en la primera integral.

Propiedades b´ asicas

1. Si f (x) es integrable en [a, b] entonces est´ a acotada en [a, b].

2. Si f (x) es continua en [a, b] entonces es integrable en [a, b].

3. Si f (x) est´ a acotada en [a, b] y presenta en dicho intervalo un n´ umero finito de discontinuidades, entonces es integrable en [a, b].

4. La integral definida es lineal, es decir: Si f (x) y g(x) son dos funciones integrables en [a, b], entonces su suma tambien lo es y se verifica:

∫ _b

a

(f (x) + g(x))dx =

∫ _b

a

f (x)dx +

∫ _b

a

g(x)dx

mientras que si k es un n´ umero real cualquiera, entonces:

∫ _b

a

kf (x)dx = k

∫ _b

a

f (x)dx

5. Dados tres n´ umeros reales a, b y c, se verifica:

∫ _b

a

f (x)dx =

∫ _c

a

f (x)dx +

∫ _b

c

f (x)dx

siempre que las integrales anteriores existan.

6. Si f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] y ambas son integrables en [a, b], entonces se verifica:

∫ _b

a

f (x) dx ≤

∫ _b

a

g(x) dx

7. Si a < b y f (x) es integrable en [a, b], se verifica:

  ∫ _b

a

f (x)dx   ≤ ∫ _b

a

|f(x)| dx

Teorema Fundamental del C´ alculo. Sea f (x) una funci´ on continua en el intervalo [a, b], entonces la funci´ on F (x) definida de la forma:

F (x) =

∫ _x

a

f (t)dt

en el intervalo [a, b] es derivable en (a, b) y adem´ as F ^′ (x) = f (x).

Nota: Si f (x) es integrable pero no continua en [a, b] entonces s´ olo podemos asegurar que F (x) es continua en [a, b], pero la derivabilidad de F (x) s´ olo est´ a garantizada en los puntos de continuidad de f (x).

Regla de Barrow. Si f (x) es continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f (x) en [a, b], entonces se verifica:

∫ _b

a

f (x)dx = G(x)| ^b _a = G(b) − G(a)

6.3 Integral Doble en un rect´ angulo

Presentaremos a continuaci´ on el concepto de integral doble de una funci´ on f (x, y) sobre un rect´ angulo en R ² como una generalizaci´ on directa del concepto de integral definida de una funci´ on f (x) sobre un intervalo [a, b] de R.

Sea R un rect´ angulo en el plano R ² , R = [a, b] ×[c, d]. Una partici´on de R ser´a un conjunto de puntos P = {x j , y _k } de R, determinados por una partici´on P 1 = {x 0 , x ₁ , . . . , x _n } del intervalo [a, b] y otra del intervalo [c, d], P 2 = {y 0 , y 1 , . . . , y m }, con:

a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b , c = y 0 < y 1 < . . . < y m = d Denotaremos por ∆x j y ∆y _k a las anchuras respectivas:

∆x j = x j − x j −1 , ∆y _k = y _k − y k−1

de tal manera que ∆x j ∆y _k es el ´ area del rect´ angulo R _jk determinado por los subinter- valos [x _{j −1} , x _j ] e [y _{k −1} , y _k ], es decir: R _jk = [x _{j −1} , x _j ] × [y k −1 , y _k ].

Tomemos en cada uno de los rect´ angulos R jk , j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m, un punto arbitrario: ⃗ ξ _jk = (ξ ¹ _jk , ξ ² _jk ) , y denominemos ξ = {⃗ξ jk } a dicho conjunto de puntos.

Si f (x, y) es una funci´ on escalar f : R → R (que supondremos acotada en todo R), se define la suma de Riemann de f (x, y) en R, asociada a la partici´ on P , y a la elecci´ on arbitraria de puntos ξ, como la suma:

S(f, P, ξ) =

∑ n j=1

∑ m k=1

f (⃗ ξ _jk ) ∆x _j ∆y _k =

∑ n j=1

∑ m k=1

f (⃗ ξ _jk ) ∆A _jk

donde ∆A _jk es el ´ area del rect´ angulo R _jk .

Con todos estos ingredientes, se dice que f (x, y) es integrable en el rect´ angulo R si la sucesi´ on de sumas de Riemann {S(f, P, ξ)} tiene l´ımite (finito) cuando n y m tienden a infinito y la anchura m´ axima de las particiones tiende a cero, y adem´ as dicho l´ımite es independiente de la elecci´ on ξ tomada en cada suma. En tal situaci´ on el l´ımite recibe el nombre de integral doble de f (x, y) en R, y lo denotaremos por:

∫∫

R

f (x, y) dx dy

En algunos textos de Matem´ aticas, es habitual utilizar otras notaciones equivalentes

como: ∫

R

f ,

∫

R

f (x, y) dA,

∫

R

f (x, y) dx dy

Algunas propiedades o teoremas de la integral doble son los siguientes:

Teorema: Toda funci´ on continua en un rect´ angulo R es integrable en dicho rect´ angulo.

Teorema: Sea f : R → R una funci´on acotada, definida en un rect´angulo R de R ² , y supongamos que el conjunto de puntos en los que f es discontinua est´ a formado por la uni´ on finita de gr´ aficas de funciones continuas. Entonces f es integrable en R.

Propiedades: La integral doble, as´ı definida, verifica varias propiedades de manera trivial. Si f y g son dos funciones integrables en el rect´ angulo R, tendremos:

• 1. Linealidad:

∫∫

R

(f (x, y) + g(x, y)) dx dy =

∫∫

R

f (x, y) dx dy +

∫∫

R

g(x, y) dx dy

∫∫

R

λf (x, y) dx dy = λ

∫∫

R

f (x, y) dx dy

• Monoton´ıa: Si f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ R, entonces:

∫∫

R

f (x, y) dx dy ≥

∫∫

R

g(x, y) dx dy

• Aditividad: Si R i , con i = 1, . . . , p son p rect´ angulos disjuntos, tales que f est´ a acotada y es integrable en cada uno de ellos, y si Q = R 1 ∪ R 2 ∪ · · · ∪ R p es un rect´ angulo, entonces f es integrable en Q y se verifica:

∫∫

Q

f (x, y) dx dy =

∑ p i=1

∫∫

R

f (x, y) dx dy

Teorema de Fubini (Primera versi´ on). Sea f una funci´ on continua en el dominio rectangular R = [a, b] × [c, d]. Entonces:

∫∫

R

f (x, y) dx dy =

∫ _b

a

( ∫ _d

c

f (x, y) dy )

dx =

∫ _d

c

(∫ _b

a

f (x, y) dx )

dy

Las integrales que aparecen en la expresi´ on anterior se denominan integrales iteradas, de esta forma el Teorema establece que si f (x, y) es continua en R, entonces la integral doble de f (x, y) en R es igual a cualquiera de las integrales iteradas posibles.

Demostraci´ on: Empezaremos demostrando que:

∫∫

R

f (x, y) dx dy =

∫ b a

∫ d c

f (x, y) dy dx

Sea P 2 = {c = y 0 , y 1 , . . . , y m = d } una partici´on el intervalo [c, d] en m partes de anchura ∆y k . Tendremos entonces:

F (x) =

∫ d c

f (x, y) dy =

∑ m k=1

∫ y

y

f (x, y) dy

Usando ahora el teorema del valor medio del c´ alculo integral, para cada x y k fijas existe un valor Y _k (x) tal que: ∫ y

y

f (x, y)dy = f (x, Y k (x)) ∆y k

Tendremos as´ı:

F (x) =

∑ m k=1

f (x, Y k (x)) ∆y k

Integramos ahora la funci´ on F (x) usando la definici´ on de integral en una variable:

∫ b a

F (x) dx =

∫ b a

∫ d c

f (x, y) dy dx = lim

n →∞

∑ n j=1

F (p j )∆x j

donde P 1 = {a = x 0 , x 1 , . . . , x n = b } es una partici´on de [a, b], y p j es un punto cualquiera del intervalo j −´esimo de dicha partici´on. Si llamamos ⃗ξ jk = (p _j , Y _k (p _j )), tendremos que:

∫ b a

∫ d c

f (x, y) dy dx = lim

n →∞

∑ n j=1

∑ m k=1

f (⃗ ξ jk )∆y k ∆x j

que por definici´ on es: ∫∫

R

f (x, y) dx dy

Q.E.D.

La demostraci´ on de la otra identidad es absolutamente an´ aloga.

Teorema de Fubini. (Segunda versi´ on). Sea f (x, y) una funci´ on acotada en el rect´ angulo R = [a, b] × [c, d] y tal que el conjunto de discontinuidades de f(x, y) en R est´ e formado por la uni´ on finita de gr´ aficas de funciones continuas. Si existe la inte-

gral iterada: ∫ _b

a

(∫ _d

c

f (x, y) dy )

dx

entonces coincide con la integral doble

∫∫

R

f (x, y) dx dy

y an´ alogamente para la otra integral iterada.

6.4 Integral Doble sobre recintos m´ as generales

Sea f (x, y) una funci´ on continua definida sobre un recinto cerrado D de R ² tal que su borde ∂D es una curva cerrada continua en R ² . Podemos entonces definir la integral doble de la funci´ on f (x, y) sobre el recinto D de la siguiente manera:

Consideremos un rect´ angulo R = [a, b] × [c, d] en R ² tal que el recinto D est´ e com- pletamente contenido en R, y definamos en R una nueva funci´ on ¯ f (x, y) de la forma:

f (x, y) = ¯ {

f (x, y) ∀(x, y) ∈ D

0 ∀(x, y) ∈ R − D

Definiremos entonces la integral:

∫∫

D

f (x, y) dx dy =

∫∫

R

f (x, y) dx dy ¯

siendo casi evidente demostrar que dicha definici´ on no va a depender del rect´ angulo R concreto elegido. Es importante puntualizar que al ser f (x, y) continua en D, las posibles discontinuidades de ¯ f estar´ an ´ unicamente en la frontera ∂D, que hemos asumido como continua. De esta manera ¯ f estar´ a acotada en R y sus discontinuidades son una uni´ on finita de gr´ aficas de funciones continuas, por tanto est´ a garantizada su integrabilidad en R.

De cara a poder calcular de manera efectiva integrales dobles sobre recintos no rectan- gulares, de acuerdo con la definici´ on anterior, en conveniente presentar a continuaci´ on los casos m´ as frecuentes que suelen presentarse.

• Supongamos que el dominio D puede ser definido mediante la desigualdad: a ≤ x ≤ b en la coordenada x, y para cada valor concreto de x ∈ [a, b], que la variaci´on de la coordenada y pueda expresarse como: ψ 1 (x) ≤ y ≤ ψ 2 (x), ver figura.

Ψ

HxL Ψ

HxL

a b x

y

Figura 1: Recinto en el plano determinado por: a ≤ x ≤ b, ψ 1 (x) ≤ y ≤ ψ 2 (x).

Tendremos entonces:

∫∫

D

f (x, y) dx dy =

∫ _b

a

∫ _d

c

f (x, y)dy dx = ¯

=

∫ _b

a

∫ _ψ

_(x)

c

f (x, y)dydx + ¯

∫ _b

a

∫ _ψ

_(x)

ψ

(x)

f (x, y)dydx + ¯

∫ _b

a

∫ _d

ψ

(x)

f (x, y)dydx ¯ Pero teniendo en cuenta la definici´ on de ¯ f , dos de las integrales finales son nulas, y as´ı:

∫∫

D

f (x, y) dx dy =

∫ _b

a

(∫ ψ

(x) ψ

(x)

f (x, y)dy )

dx

• En el caso de recintos descritos de la forma: c ≤ y ≤ d, φ 1 (y) ≤ x ≤ φ 2 (y), un razonamiento completamente similar nos lleva al siguiente resultado:

∫∫

D

f (x, y) dx dy =

∫ _d

c

(∫ _φ

_(y)

φ

(y)

f (x, y)dx )

dy

6.5 Cambios de Variables en Integrales Dobles

Antes de plantear el Teorema de Cambio de Variables o de Coordenadas en las integrales dobles, repasaremos brevemente los resultados conocidos para integrales de una funci´ on real de variable real.

Sea f (x) es una funci´ on integrable en el intervalo [a, b], y sea x = φ(t) una funci´ on diferenciable al menos en un abierto que contenga al intervalo [t 1 , t 2 ], de tal manera que a = φ(t ₁ ) y b = φ(t ₂ ). Entonces es posible demostrar que se verifica:

∫ _b

a

f (x) dx =

∫ _t

t

f (φ(t)) φ ^′ (t) dt

Esta f´ ormula establece el comportamiento de las integrales bajo cambios de variable. La generalizaremos a continuaci´ on para el caso de integrales dobles.

Sea f (x, y) una funci´ on integrable en un recinto D del plano R ² . Consideremos una transformaci´ on de coordenadas en R ² , es decir una funci´ on:

T : ⃗ R ² → R ² , T (u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ⃗

tal que sea biyectiva, y denominemos D ^′ al recinto D descrito en las nuevas coordenadas (u, v), es decir: ⃗ T (D ^′ ) = D y ⃗ T ⁻¹ (D) = D ^′ . Supondremos tambi´ en que ⃗ T es de clase C ¹ en D ^′ . Se llama Jacobiano de ⃗ T al determinante de la matriz de derivadas parciales (o matriz jacobiana) de ⃗ T , J ( ⃗ T ), es decir:

J ( ⃗ T ) = ( ∂x

∂u

∂x

∂y ∂v

∂u

∂y

∂v

)

⇒ det(J(⃗T) = ∂(x, y)

∂(u, v) =   

∂x

∂u

∂x

∂y ∂v

∂u

∂y

∂v

   Entonces se verifica el siguiente resultado:

∫∫

D

f (x, y) dx dy =

∫∫

D

f (x(u, v), y(u, v))   ∂(x, y)

∂(u, v)

  dudv

siendo   ^∂(x,y) _∂(u,v)   el valor absoluto del Jacobiano de la transformaci´on de coordenadas.

6.6 Integrales Triples

Una vez explicadas las integrales dobles es bastante f´ acil generalizar los conceptos intro- ducidos al caso de las integrales triples.

Consideremos en primer lugar un palalelep´ıpedo P en R ³ . Vendr´ a descrito por el producto cartesiano de tres intervalos reales: P = [a ₁ , b ₁ ] × [a 2 , b ₂ ] × [a 3 , b ₃ ], o alterna- tivamente por el conjunto de desigualdades:

a ₁ ≤ x ≤ b 1 , a ₂ ≤ y ≤ b 2 , a ₃ ≤ z ≤ b 3

Una partici´ on Q del paralelep´ıpedo P estar´ a constituida por sendas particiones de los intervalos considerados, es decir:

Q 1 = {x 0 , x 1 , . . . , x n } , Q 2 = {y 0 , y 1 , . . . , y m } , Q 3 = {z 0 , z 1 , . . . , z p }

con: a 1 = x 0 < x 1 < . . . < x n = b 1 , a 2 = y 0 < y 1 < . . . < y m = b 2 y a 3 = z 0 < z 1 <

. . . < z _p = b ₃ . La partici´ on Q divide al paralelep´ıpedo P en nmp sub-paralelep´ıpedos que denotaremos V _ijk = [x _{i −1} , x _i ] × [y j −1 , y _j ] × [z k −1 , z _k ], cada uno de ellos con un volumen dado por:

∆V _ijk = (x _i − x i −1 ) (y _j − y j −1 ) (z _k − z k −1 )

En cada sub-paralelep´ıpedo V _ijk elegimos un punto arbitrario ⃗ ξ _ijk = (ξ ¹ _ijk , ξ _ijk ² , ξ _ijk ³ ), y denotamos simplemente por ξ al conjunto de puntos elegidos.

Con todos estos datos, se define la suma de Riemann de una funci´ on f (x, y, z) (a la que en principio consideramos continua en P ) correspondiente a la partici´ on Q y a la elecci´ on de puntos ξ de la forma:

S(f ; Q, ξ) =

∑ n i=1

∑ m j=1

∑ p k=1

f (⃗ ξ _ijk ) δV _ijk

Si existe (y es finito) el l´ımite de las sumas de Riemann de f (x, y, z) en P cuando n, m y p tienden a infinito (tendiendo el volumen m´ aximo posible de la partici´ on Q a cero) independientemente de la elecci´ on arbitrario ξ considerada, se dice que f (x, y, z) es integrable en el sentido de Riemann en el paralelep´ıpedo P , y dicho l´ımite recibe el nombre de Integral Triple de f (x, y, z) en P :

∫∫∫

P

f (x, y, z) dx dy dz

. . . .