TEMA 2 CONDUCTORES EN EQUILIBRIO Y DIELÉCTRICOS

T E M A 2

C O N D U C T O R E S E N E Q U I L I B R I O Y D I E L É C T R I C O S

1. Descripción microscópica de los conductores. Carga libre

El campo eléctrico en los medios ma- teriales se puede estudiar de manera simpli- ficada considerando dos tipos de sustancia: los conductores (típicamente metales) y los dieléc- tricos o aislantes. Si bien es cierto que hay una gran variedad de materiales con propiedades intermedias entre estos, como los semiconduc- tores. La conductividad de éstos últimos no es muy grande pero aumenta con la temperatura, a diferencia de la de los metales.

Un conductor es una sustancia capaz de transportar carga eléctrica. Esta propiedad se debe a que los electrones de la capa exter- na de cada átomo se encuentran débilmente ligados a los núcleos, ocupando bandas de energía con niveles libres muy próximos entre sí. Bajo el efecto de un pequeño campo eléc- trico pueden moverse fácilmente en la red de iones que forman los núcleos y electrones in- ternos en el sólido.

La existencia de esta carga libre tam- bién explica la capacidad de los metales para ganar o ceder electrones adquiriendo una carga neta. Un exceso de electrones en un conductor se traduce en una carga neta ne- gativa y un defecto de electrones hace que esté cargado positivamente. En condiciones normales será neutro.

E0

–

Ei

– –

– +

+ + +

Figura 1

2. Conductores en equilibrio

El campo y la carga en el interior y en la superficie de un conductor en equilibrio elec- trostático (es decir, cuando el movimiento neto de cargas en su interior ha cesado) se deduce de sus propiedades y de la ley de Gauss.

Cuando se aplica un campo eléctrico E0 los electrones de conducción tienden a des- plazarse en dirección contraria, por ser su car- ga negativa. Al hacerlo se produce una separa- ción de cargas que crea un campo Ei contrario al que se aplicó. En el momento en que los campos se contrarrestan los electrones dejan de desplazarse. Por tanto, en el equilibrio elec- trostático, el campo total en el interior del con- ductor será nulo y el potencial constante:

cte V E

E

Er₀+ r_i = r=0 ⇒ =

(1) Naturalmente, si no se aplica campo externo también es E = 0, por estar las cargas positivas y negativas distribuidas al azar.

Utilizando la ley de Gauss se demues- tra que una carga Q situada en un conductor se distribuye enteramente por su superficie.

+ + +

+ +

+ +

+ +

+

+

+ E = 0

dA

+ + +

+ +

+

Figura 2

En efecto, si trazamos una gaussiana justo por debajo de la cara exterior del cuerpo, sabemos que en todos sus puntos el campo será nulo por estar en el interior. Así pues:

0 0

0

= ε ⇒

=

=

∫∫

Es decir, la carga neta en el interior es nula. Resumiendo:

− El campo en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es nulo.

− La carga de un conductor aislado se distribuye por su superficie.

La forma en que se distribuye esta car- ga sobre la superficie depende de la geometría del conductor. Sabemos que una vez que se ha alcanzado el equilibrio, el campo en todo punto de la superficie debe ser normal a ésta; de lo contrario, la componente tangencial produciría un movimiento de los electrones.

Consideremos una gaussiana de forma cilíndrica y sección recta dA. Una de sus bases está en el interior del conductor y la arista es perpendicular a la superficie de éste (figura 3).

En estas condiciones E es paralelo a la super- ficie lateral de la gaussiana, por lo que el flujo del campo es cero a través de ella. Lo mismo ocurre con la base interior, en este caso por ser E = 0.

E

dA

dq

E = 0 dA

Figura 3

Aplicando la ley de Gauss y teniendo en cuenta que el cilindro encierra una carga dq

0 0

1 0

ε

= σ

=ε

=

→

ε →

=

⋅

=

⋅

= φ

dA E dq

E

dA dq E A d E d

n

r r

(3)

Este resultado se aplica a la región pró- xima al conductor, pues sólo entonces sabe- mos que E = En. En las regiones más alejadas el campo tiende a la forma de Coulomb para una carga puntual QT.

La carga superficial de densidad σ es libre y se desplazará en cuanto el conductor no esté en equilibrio electrostático. Por ejemplo, si se pone en contacto con otro conductor la carga (que convencionalmente se supone po- sitiva) se moverá hacia el que tenga menor potencial, produciéndose momentáneamente una corriente eléctrica, hasta que se igualan los potenciales.

Capacidad de un conductor

El potencial a que se encuentra un conductor aislado depende de la carga que contiene. La relación entre la carga depositada y el potencial es una constante que está re- lacionada con la geometría del conductor. Así, para una esfera de radio R con carga Q, el campo a una distancia r ≥ R es el mismo que produciría una carga puntual. Aplicando la ley de Gauss a una esfera concéntrica de radio r :

2 0 0

0

4 r

Q A

E Q

A Q E A d E

ε

= π

=ε

→

ε →

=

⋅

=

⋅

=

φ

∫∫

(4)

r R

Q E

dA

Figura 4

Igualmente, el potencial vale:

r V Q

4πε0

= (5)

En la superficie del conductor r = R ; por tanto la relación carga-potencial es:

cte V R

Q R

V Q → = πε =

ε

= π ₀

0

4 4 ⁽⁶⁾

La constante característica Q/V, que en este caso vale 4πε₀R, se denomina capacidad del conductor. Como Q = ε₀φ también se puede definir por:

V V

C=Q =ε₀ φ (7)

La unidad de capacidad es el faradio, o culombio/voltio. Pero al ser demasiado grande se utilizan más bien los submúltiplos, como el µF (10^-6F) y el nF (10^-9F).

3. Condensadores

Cuando existen varios conductores, la presencia de cada uno influye en la distribución de las cargas y en el potencial de los otros. Por ejemplo, supongamos un conductor como el de la figura 5 con carga Q y potencial Vi ; al intro- ducir un segundo conductor, aunque esté des- cargado, una parte de la carga Q se desplaza hacia él, polarizándolo. En consecuencia el potencial cambia a Vf (disminuye en este caso, pues el trabajo necesario para llevar la carga unidad desde V = 0 hasta el conductor es menor). La capacidad ha aumentado, porque:

i f i

f i

f C C

V Q V V Q

V < ⇒ > ⇒ >

+

Q1 + +

+ + + + +

+ + + + ––

– –– + +

Vf

V

V = 0

+

+ +

Figura 5

Si el segundo conductor se dispone de forma que todo el flujo procedente de la carga Q termina en él, se dice que ambos están en influencia total y forman un condensador. Esta condición se cumple prácticamente si las su- perficies conductoras están muy próximas. En- tonces se induce una carga opuesta -Q en el segundo conductor y se puede definir la capa- cidad del conjunto como el cociente entre la carga y la diferencia de potencial entre ellos:

V C Q

= ∆ (8) Un condensador es un dispositivo para almacenar carga eléctrica. La capacidad indica la cantidad de carga que puede almacenar por unidad de diferencia de potencial.

Ejemplo 1: Calcular la capacidad del con- densador formado por dos cortezas conduc- toras esféricas de radios Ra y Rb . La interior tiene una carga Q y la exterior otra -Q.

Para calcular la capacidad de este con- densador debe conocerse el campo en la zona intermedia y a partir de él deducir la diferencia de potencial V_a – V_b .

Ra

E dA r

Rb

+Q

–Q

Figura 6

Aplicando la ley de Gauss a una esfera de radio r concéntrica con los conductores, es fácil comprobar que en exterior (r > Rb) el campo es E = 0 pues la carga encerrada por la gaussiana es cero; el potencial será constante y podemos tomar ahí el origen, V = 0.

En el espacio entre las dos esferas (Rb > r > Ra), teniendo en cuenta la simetría radial del campo se cumple que E·dA = EdA y E = cte sobre la gaussiana; por tanto:

2 0

0 2

4 4

r E Q

r Q E dA E A d E

ε

= π

→

= ε π

⋅

=

=

⋅

∫∫

∫∫

La diferencia de potencial se obtiene integrando -E·dr = -Edr a lo largo de un radio:

b a

a b b

a

R

R R

R

R R

R Q R

R R Q

r dr Q

r V Q

a

b a

b

) (

4 1 1 4

4 4

0 0

2 0 0

)

( ⁻

ε

− π ε

= π

 =



 ε

= π ε

− π

=

∆

=

∫

Y la capacidad del condensador esfé- rico será:

) 4 ₀(

a b

b a

R R

R R V

C Q

ε − π

∆ =

= (9)

Es decir, depende sólo de ε0 y de la geometría de los conductores. Puede aumen- tarse la capacidad aumentando Ra y Rb o dis- minuyendo su distancia; pero esto último tiene un límite, pues el campo sería cada vez más intenso, llegando a hacer conductor el medio entre las esferas.

El condensador plano

El condensador práctico más sencillo está formado por dos placas planas y paralelas de superficie A, situadas a distancia d.

El campo eléctrico fuera de la región entre placas es despreciable y en el interior es uniforme. Esto sería estrictamente cierto si las láminas fuesen infinitas y es muy aproximado cuando d es pequeño comparado con las di- mensiones de las placas.

Para calcular la capacidad del conden- sador consideremos primero el campo creado por una lámina plana infinita con densidad de carga σ C/m². Teniendo en cuenta la simetría del problema, el campo debe ser perpendicular a la lámina y tener el mismo valor en los puntos equidistantes de ella.

E dA

E

dA dA

+ σ

+ + + + + + +

+ + + +

Figura 7

Por tanto, si tomamos una superficie gaussiana cilíndrica como la de la figura el flujo del campo la atraviesa solamente por las dos bases de superficie A y entonces:

0 0

0 2

2 ε

= σ ε →

= σ

=ε

=

∫∫

El condensador se forma con dos pla- cas de cargas opuestas separadas una distan- cia d (figura 8). Los campos se suman en la región intermedia pero se cancelan en la zona externa, donde son opuestos. La resultante en el interior del condensador será entonces:

cte E

E

E =

ε

= σ +

= _{+ −}

0

(11)

+ + + + + + + + + + + +

– – – – – – – – – – – –

E+

E–

E₊ + E_–= 0 E–

E+ E₊= σ/2ε0

E–= σ/2ε0

E= σ/ε0

d E+ + E–= 0

A

Figura 8

La diferencia de potencial entre las dos placas se obtiene integrando el campo desde la negativa hasta la positiva:

d r d r

d E V

0

0 ε

= σ ε

= σ

⋅

−

=

∆

∫ ∫

+

−

r r

(12)

Si los conductores tienen una superfi- cie A, su carga será Q = σA y finalmente la ca- pacidad del condensador es:

d A d

A V

C Q ₀

/ 0 =ε ε σ

= σ

= ∆ (13)

Ejemplo 2: Comprobar que la capacidad del condensador plano-paralelo se puede deducir considerándolo como el límite de uno esférico cuando R → ∞.

Según la ecuación 9, la capacidad de un condensador esférico de radios Ra y Rb es:

) 4 ₀ (

a b

b a

R R

R C R

ε − π

=

Teniendo en cuenta que su superficie externa vale 4πRb2 , la capacidad por unidad de superficie será:

b a b

a b

a b

b a

R R R

R R

R R

R R A

C

) 4 (

) (

4 ₀

2 0

−

= ε π

− ε

= π

Si hacemos tender Ra y Rb a infinito, Ra / Rb tiende a la unidad y la superficie esfé- rica se convierte en plana. Como Ra – Rb = d ,

d R

R R

R A

C

b a b

a 0

0

) (

→ ε

−

= ε

Es decir, se obtiene la misma expresión de la ecuación 13 para la capacidad de un condensador plano-paralelo.

Energía de un condensador

Sea un condensador de capacidad C, inicialmente descargado. Al suministrarle una carga q adquiere el potencial V, cumpliéndose que q = CV.

Si ahora queremos llevar al conden- sador una pequeña carga adicional dq habrá que realizar el trabajo:

Cdq dq q V W

d = = (14)

Integrando dW desde q = 0 hasta q = Q obtendremos el trabajo realizado en el proceso completo de carga. Este trabajo queda alma- cenado como energía potencial eléctrica:

QV C CV

Q

q dq C C q

W U

Q Q e

2 1 2

1 2

1

2 1 1

2 2 0

2

0

=

=

=

 =



= 

=

=

∫

(15)

4- Asociación de condensadores En muchas ocasiones se conectan dos o más condensadores para conseguir una ca- pacidad determinada. Consideremos en primer lugar varios condensadores de capacidades C1, C2, ... Cn asociados en paralelo.

C1 C2 Cn

+ + +

– – –

V

Figura 9

Las placas positivas están unidas entre sí y también las negativas, por lo que todos los condensadores estarán al mismo potencial V.

Por tanto:

V C Q V

C Q V C

Q₁= ₁ ; ₂= ₂ ; ... _n= _n ...(16) La carga total sobre las n placas posi- tivas es

∑

∑

=

= ⁿ

i i n

i

i V C

Q Q

1 1

(17)

y la capacidad equivalente:

∑ ∑

=

= =

=

= ⁿ

i i n

i i

V C C V V C Q

1

1 (18)

La capacidad equivalente de un con- junto de condensadores unidos en paralelo es la suma de las capacidades de los condensa- dores aislados.

C1 C2 Cn

+Q –Q +Q –Q +Q –Q

V

V1 V2 Vn

Figura 10

Los condensadores Ci conectados en serie a un potencial V adquieren la misma carga (figura 10). La carga +Q del primer con- densador induce una -Q en la otra placa, inicialmente descargada; esto sólo es posible si aparece otra carga +Q en el segundo conden- sador y así sucesivamente. Por tanto:

i i i

i C

V Q V

C = Q → = (19)

La diferencia de potencial total es la suma de las caídas de potencial Vi en los dis- tintos condensadores:

∑

∑

∑

=

=

= ⁿ

i i

n

i i

n

i i

Q C C V Q

V

1 1

1

1 (20)

y la capacidad equivalente:

∑

∑

=

=

= _n

i i

n

i Ci C

Q Q V

C Q

1 1

1 1 1

(21)

o, lo que es lo mismo:

n n

i Ci C C C

C

1 1

1 1 1

2 1 1

+ + +

=

=

∑

= L ⁽²²⁾

El inverso de la capacidad equivalente de un conjunto de condensadores asociados en paralelo es igual a la suma de los inversos de las capacidades de los condensadores ais- lados.

5. Dieléctricos. Momento dipolar En los materiales dieléctricos o aislan- tes no existen electrones libres que se puedan desplazar por ellos; todos se encuentran liga- dos a sus átomos. Por eso, cuando se aplica un campo externo a un dieléctrico su compor- tamiento es muy distinto al de los conductores.

Las moléculas de los dieléctricos pue- den ser de dos tipos: polares o no polares.

Dieléctricos polares

En estas moléculas las cargas positivas y negativas no tienen la misma distribución espacial y sus centros geométricos no coinci- den, incluso en ausencia de campo externo. Un ejemplo es la molécula de agua, en la que los dos átomos de hidrógeno se enlazan al oxíge- no formando un ángulo de 104,5º con la carga negativa desplazada hacia el oxígeno.

Las cargas + y – separadas forman lo que se denomina un dipolo eléctrico. Su pro- piedad más interesante consiste en la capaci- dad de orientarse en la dirección de un campo externo E0.

En efecto, el campo ejerce dos fuerzas opuestas sobre los centros de carga + y -, dando lugar a un momento τ que hace girar la molécula hasta orientarla en dirección al cam- po. El par de fuerzas es más intenso cuanto mayor es la carga y la distancia entre ellas:

E q d F

dr r r r r= × = ×

τ (23)

Se define el momento dipolar p de dos cargas opuestas +q y -q separadas una distan- cia d como el vector orientado de -q a +q cuyo módulo vale |q|d.

) ( ₊− ₋

=

= q d q r r

pr r r r (24) El par de fuerzas sobre el dipolo se puede expresar entonces en función del mo- mento dipolar:

E p E d q E q

dr r r r r r r= × = × = ×

τ (25)

En ausencia de campo los dipolos mo- leculares están orientados al azar e interaccio- nan continuamente unos con otros^. El momento dipolar resultante es cero. Al aplicar el campo externo los momentos τ tienden a orientarlos en la dirección del campo, aunque la agitación térmica no cesa y la orientación no es com- pleta, a menos que el campo sea muy intenso y la temperatura muy baja.

Dieléctricos no polares

En las moléculas no polares los centros geométricos de las cargas eléctricas positivas y negativas coinciden debido a su disposición simétrica. En ausencia de campo no existe separación de cargas y por tanto p = 0.

Un campo externo atrae a las cargas negativas y empuja a las positivas produciendo una deformación de la molécula, una pequeña separación de las cargas. Se crea un momento dipolar en la dirección del campo, que desa- parece cuando cesa éste.

Así pues, hay dos tipos de dieléctricos (polares y no polares) y dos mecanismos de polarización (orientación de dipolos permanen- tes y polarización de moléculas no polares).

Vector polarización y carga inducida

Sea una muestra homogénea de mate- rial dieléctrico con forma de prisma situada en el seno de un campo externo. Los dipolos mo- leculares del material (permanentes o induci- dos) tienden a orientarse en la dirección del campo (figura 11).

Como consecuencia, el interior del ma- terial sigue siendo eléctricamente neutro pero en las caras perpendiculares al campo, de su- perficie A, aparecen cargas de polarización con densidad superficial +σi y -σi .

E0 – + – + – + – + – +

– + – + – + – + – + – +

– + – + – + – +

– + – + – + – +

– + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – + – +

– + – + – + – +

–qi +qi

d

+σi

–σi A

Figura 11

El momento dipolar total de la muestra es la suma de los momentos dipolares. Si d es el espesor de la muestra y qi la carga inducida en las superficies, su valor debe ser:

d q p _i

j j

r = r

∑

i i j

d A

d q V

P= ∑p = =σ (27)

Si una de las caras no es perpendicular al campo la carga inducida qi se reparte por una superficie A/cosθ, donde θ es el ángulo que forma la normal a la superficie con el vector polarización. Por tanto la densidad su- perficial será:

n P A P

q A

q_{i i}

i = θ= θ= r ⋅r

= θ

σ cos cos

cos

/ ⁽²⁸⁾

++ ++

++ ++

-- -- -- --

n P

n

θ P

θ A

A/cosθ

Figura 12

En la otra cara, al formar los dos vec- tores un ángulo de 180º, el producto escalar P·n vale -P, que es lo opuesto de la ecuación (27). Es decir, la densidad superficial de carga inducida, con su signo, se obtiene de dicho

producto escalar. Así pues, en un elemento de superficie dA hay una carga inducida:

A d P dA n P q

d r r r r

⋅

=

⋅

′= (29) Y en toda la superficie del dieléctrico, la carga inducida será el flujo del vector P:

∫∫

′ = P dA q_S r r

(30) Si P es constante (polarización homo- génea), está claro que su flujo es nulo y por tanto q’S = 0 . Esto quiere decir que se inducen cargas opuestas qi y -qi . Cuando la polariza- ción no es homogénea existe una carga neta q’S en la superficie del dieléctrico y por tanto, tendrá que haber otra igual y opuesta distri- buida en el volumen:

∫∫

∫∫∫

′ ⇒

−

′ = q d P dA

q _{S i} r r

V V V ⁽³¹⁾

El efecto de las cargas inducidas sobre el campo en el interior del dieléctrico es dis- tinto que en los conductores, donde el despla- zamiento de las cargas libres produce, en el equilibrio, un campo neto nulo. En los dieléc- tricos las cargas inducidas no son libres sino ligadas y están limitadas por las propiedades de las moléculas. Producen un campo E’ que se opone al campo externo E0 , siendo el cam- po neto en el material:

E E

Er= r₀+ r′ (32)

– – –

+ + +

E₀

E’ –

– –

+ + + E

Figura 13

Evidentemente el campo total dismi- nuye por la presencia del dieléctrico; esta re- ducción es característica de cada material y se cuantifica por una constante dieléctrica.

La polarización P depende del campo neto aplicado. Cuanto más intenso sea, mayor será la separación de cargas y, por tanto, P. En la mayoría de los casos la relación es de pro- porcionalidad:

E Pr _e r

ε0

χ

= (33) La constante χe se denomina suscep- tibilidad eléctrica e indica la mayor o menor fa- cilidad de la sustancia para ser polarizada. La permitividad ε0 se introduce para que χe sea un número adimensional, ya que ε0E tiene dimen- siones de densidad superficial de carga (C/m²), igual que la polarización.

En los dieléctricos χe es positivo y en el vacío χe = 0, ya que no hay moléculas que puedan polarizarse.

6. Condensadores con dieléctrico En muchos casos nos interesa conocer el campo eléctrico en una región en la que existen cargas libres y ligadas, como ocurre en los condensadores cuando sus placas están separadas por un aislante.

Como la ley de Gauss se dedujo con carácter general puede aplicarse también en el dieléctrico siempre que se consideren todas las cargas en el interior de la superficie gaussiana:

0 0

0 ε

+ ′ ε =

=

∫∫

r (34)

Es decir, q debe incluir tanto las cargas libres q0 como las ligadas o de polarización q’

debidas a la presencia del dieléctrico y distri- buidas en su superficie o en el volumen. Pero q’ depende de E y esto dificulta la aplicación de la ley de Gauss, si bien existe una versión ge- neral que no deduciremos aquí.

El problema es más sencillo cuando la superficie del dieléctrico es una equipotencial por estar en contacto con un conductor (como es el caso del condensador) o por otras causas.

+ + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + –

– – – – – – – – –

– – – – – – – – – –

Q0 -Q0

σ0 -σ0

E0 = σ0 /ε0

σi -σi

E = E0 /K

+

+

+

– + – – –

Figura 14

Recordemos que el campo total es la suma del campo externo E0 debido a cargas libres y el campo E’ creado por las cargas inducidas. Si E0 es perpendicular a las caras del dieléctrico, entonces P también lo es y el campo E’ tiene la dirección de E0 y el sentido contrario.

E’ es el campo de las dos láminas de carga inducida, de densidad +σi y -σi , que apa- recen sobre las caras del dieléctrico en contac- to con las placas. Aplicando la ley de Gauss a éstas como hicimos con el condensador plano- paralelo (ecuaciones 10 y 11) resulta:

0

0 =−ε

ε

−σ

′= P

n

E ⁱ

r r

r (35)

Sustituyendo E’ en la ecuación 32 y poniendo P en función de la susceptibilidad eléctrica queda:

E E E

P E E

E r ^e r _e r

r = −χ

ε ε

−χ ε =

−

= ₀

0 0 0 0

0 (36)

y reordenando términos:

K E E E K E

E₀ (1 _e) ⁰

r r r r

r = +χ = → = (37)

Por tanto el efecto del dieléctrico es re- ducir el campo de las cargas libres en un factor K. Por otra parte, recordando que E0 = σ₀/ε₀ también tenemos:

ε

=σ ε

= σ

= ⁰

0 0 0

K K

E E (38)

Dicho de otro modo, la permitividad del medio es K veces la del vacío. Hemos introdu- cido dos constantes:

medio del ad permitivid

a dieléctric constante

: : 1

0K

K _e

ε

= ε

χ +

= (39)

La constante dieléctrica K = ε/ε0 es la permitividad relativa del medio respecto del va- cío. Dada la constante K de un material, queda caracterizado su comportamiento electrostáti- co. Valores típicos de K son 1,0006 para el aire (y del mismo orden en otros gases); entre 1 y 10 para líquidos no polares y de 20 a 80 en los líquidos polares. Estos últimos valores son tan grandes debido a que el campo externo sólo tiene que orientar los dipolos moleculares, no crearlos. Naturalmente K = 1 y χ_e = 0 en el vacío.

El resultado de la ecuación 37 no se puede generalizar a todas las situaciones. Por ejemplo, el campo en el interior de una esfera de dieléctrico se reduce en un factor (1 + χe/3) en vez de K. Pero hay otros casos en que tam- bién se cumple que E =E0/K.

Ejemplo 3: Calcular el campo E creado por una carga puntual q0 situada en un medio dieléctrico homogéneo de permitividad ε.

Aplicaremos la ley de Gauss a una es- fera con centro en q0 y radio r. Al ser homo- géneo el dieléctrico, E tiene simetría radial y su módulo será constante en los puntos de la esfera:

q q A d

E⋅ = + ′

ε⁰

∫∫

Como el dieléctrico debe ser neutro, esta carga q’ será igual y de signo contrario a la que aparecería en superficie si recortásemos el trozo de dieléctrico que limita la gaussiana. Es decir, según la ecuación 31:

∫∫

−

′= P dA

q r r

Sustituyendo esta q’ en la ecuación 40 y agrupando las integrales:

0

0 )

(ε E+P ⋅dA=q

∫∫

E E E

E

D=ε₀ +ε₀χ₀ =ε₀(1+χ₀) =ε (42) Finalmente, evaluando la integral (40) se obtiene:

K E r K

q R

E q

q r E A D

0 2 0 0 2

0

0 2

4 4

) 4 (

ε =

= π

= πε

→

= π ε

=

⋅

(43)

Es decir, la presencia del dieléctrico hace que la intensidad del campo de la carga q0 se reduzca en un factor K respecto a su valor en el vacío.

Potencial y capacidad con dieléctrico

El efecto del dieléctrico entre las placas de un condensador también se pone de manifiesto en su diferencia de potencial, que disminuye en la misma medida que el campo:

∫

∫

−

=

∆ K

r V K d r E

d E

V r⁰ r ⁰

r r

(44)

Por tanto, la capacidad del condensa- dor aumenta en el mismo factor K:

0 0

0 0

/ KC

K V

Q V

C Q =

= ∆

= ∆ (45)

C0 es la capacidad del condensador sin dieléctrico. Puede utilizarse este resultado para medir K a partir de la diferencia de potencial antes y después de introducir el dieléctrico, ya que:

V V V

Q V Q C K C

∆

= ∆

∆

= ∆

= ⁰

0 0

0

0 /

/ (46)

Energía almacenada en el campo eléctrico Como vimos anteriormente (ecuación 15), la energía potencial electrostática de un condensador es:

QV CV

U_e

2 1 2

1 2 =

=

Q es la carga libre en las placas. Como C se multiplica por K por efecto del dieléctrico, lo mismo ocurre con Ue a igual potencial.

La ecuación anterior sugiere que son las cargas las que “tienen” la energía, pero es más lógico suponer que está distribuida en todo el campo eléctrico. Así, en un condensa- dor plano con dieléctrico de permitividad ε. la energía potencial por unidad de volumen vale:

2 2 0

1

2 1 2

1

2 E E

Ad QEd d

A

u_e = QV = = σ = ε (47)

Se ha tenido en cuenta que, según la ecuación (38), σ₀ = εE. Puede demostrarse que esta relación es general y que la energía al- macenada en el campo eléctrico, haya o no dieléctrico, se puede calcular suponiendo que está distribuida en el espacio con densidad ue =

= ½εE². Por lo tanto: