4x + 12y 120 x 2y x 0 y 0

(1)

008

Pablo dispone de 120 € para gastar en libros y discos. A la tienda donde acude, el precio de los libros es de 4€ y el de los discos es de 12€. Suponiendo que desea comprar como mucho el doble número de libros que de discos, se pide:

a) ¿Cuántos libros y cuántos discos puede comprarse?. Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) Contestar razonadamente si puede comprar 12 libros y 6 discos. En caso afirmativo, indicar si gasta todo su presupuesto.

c) ¿Puede adquirir 15 libros y 5 discos?; ¿Cuánto dinero le sobra?. Razonar la respuesta. d) Si desea sacar la mayor cantidad de unidades posibles, ¿cuántos libros y discos adquirirá?

BH2

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)

D

DDEEETTTEEERRRMMMIIINNNAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEEIIINNNCCCÓÓÓGGGNNNIIITTTAAASSS

x ≡ "número de libros comprados". y ≡ "número de discos comprados".

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS 4x + 12y ≤ 120 x ≤ 2y x ≥ 0 y ≥ 0 → → → x + 3y ≤ 30 x ≤ 2y x ≥ 0 y ≥ 0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 3y = 30 x = 2y x y x y 0 10 0 0 30 0 20 10 C A B x + 3y ≤ 30 x ≤ 2y 5 3

El número de libros y el número de discos que puede comprar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número libros e "y" es el número de discos, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

Se pueden comprar 12 libros y 6 discos, ya que el punto (12, 6) pertenece a la región factible, es decir, verifica todas las restricciones.

F

FFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNNOOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

G(x, y): Gastos efectuados al comprar libros y discos. G(x, y) = 4x + 12y

G(x, y) = 4·12 + 12·6 = 48 + 72 = 120

Con dicha compra se gasta los 120 €, por lo que agota el presupuesto.

(2)

C A B x + 3y ≤ 30 x ≤ 2y 5 3 (15, 5)

No se pueden comprar 15 libros y 5 discos, ya que el punto (15, 5) no pertenece a la región factible, es decir, no verifica alguna de las restricciones; Así pues, le sobra todo ya que no pudo comprar dicha cantidad.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (d)

F

N(x, y): Número de unidades compradas N(x, y) = x + y

L

LLOOOCCCAAALLLIIIZZZAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEESSSOOOLLLUUUCCCIIIOOONNNEEESSS

Teorema: Como la región factible existe y está acotada, el valor óptimo de la función objetivo se alcanzará en uno de los vértices del polígono que limita la región, o a lo largo de uno de los lados.

Por lo tanto, lo primero que tendremos que hacer es averiguar los VÉRTICES del polígono que constituye la región factible:

C

CCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOODDDEEEVVVÉÉÉRRRTTTIIICCCEEESSS:::

Los vértices A y C se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 10) C(x, y) Resolvemos el sistema:    = = + y x y x 2 30 3 2y + 3y = 30 Æ 5y = 30 ¸ y = 6 Æ x = 12 C(12, 6) ANÁLISIS DE ÓPTIMOS

Aplicamos el TEOREMA mencionado:

Vértices N(x, y) = x + y Valor A (0, 0) 0 + 0 0

B (0, 10) 0 + 10 10 C (12, 6) 12 + 6 18 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Para obtener la mayor cantidad de unidades, comprará 12 libros y 6 discos.

009

Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1.5 millones de PTAS y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B.

Por otra parte, para cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 millones.

(a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender? Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones.

(b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe?.

BH2

(3)

D

x ≡ "Número de unidades del modelo A". y ≡ "Número de unidades del modelo B".

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS x ≤ 20 y ≤ 10 x ≥ y 1.5x + 2y ≥ 6 x ≥ 0 y ≥0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE y ≤ x y ≤ 10 1.5x + 2y ≥ 6 x y x y x y 0 0 0 10 0 3 10 10 10 10 4 0 20 20 D x = 20 C A B y ≤ 10 1.5x + 2y ≥ 6 8 2 E x ≥ y

El número de unidades de cada modelo que puede vender viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de unidades del modelo A e "y" es el número de unidades del modelo B, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales:

Ejemplo: (9, 6) ∈ Región factible ¸ 9 unidades del modelo A y 6 del B. Otros puntos: (10, 6), (12, 7), (15, 5), (16, 2), etc. Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

F

I(x, y): Ingresos expresados en millones de PTAS I(x, y) = 1.5x + 2y

L

C

Los vértices A, B, C y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (4, 0) B(20, 0) C (20, 10) D(10, 10)

E(x, y) Resolvemos el sistema:

   = = + y x y x 2 6 5 . 1 1.5x + 2x = 6 Æ 3.5x = 6 Æ x = 1.7143 ; y = 1.7143 E(1.7143, 1.7143) A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSDDDEEEÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

(4)

Vértices I(x, y) = 1.5·x + 2·y Valor A(4, 0) 1.5·4 + 2·0 6 B(20, 0) 1.5·20 + 2·0 30 C(20, 10) 1.5·20 + 2·10 50 D(10, 10) 1.5·10 + 2·10 35 E(1.714, 1.714) 1.5·1.7143 + 2·1.7143 5.9999975 A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para obtener el máximo volumen de ingresos deberá de vender 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, momento en el que los ingresos ascenderán a 50 millones de PTAS.

RESOLUCIÓN con la CALCULADORA GRÁFICA

Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos: 1.5x + 2y = 0

En forma explícita Æ y = – 0.75x

EN LA PRÁCTICA representamos esta recta y buscamos MENTALMENTE , de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = – 0.75), la que corresponde a los máximos ingresos, es decir, la que corta al eje OY por el punto más lejano al origen.

→ → → → A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Confirmamos que para obtener el máximo volumen de ingresos deberá de vender 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, momento

013

Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 € y el de uno pequeño, 60 €.

(a) ¿Cuántos autocares de cada tipo se pueden utilizar?. Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) Calcular cuántos autocares de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

BH2

D

x ≡ "número de autocares de 40 plazas". y ≡ "número de autocares de 50 plazas".

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS x ≤ 8 y ≤ 10 x + y ≤ 9 40x + 50y ≥ 400 x ≥ 0 y ≥ 0 → → → → → x ≤ 8 y ≤ 10 x + y ≤ 9 4x + 5y ≥ 40 x ≥ 0 y ≥ 0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + y = 9 4x + 5y = 40 x y x y 0 9 0 8

(5)

9 0 10 0 C A B 4x + 5y ≥ 40 y ≤ 10 3 3 x + y ≤ 9 x ≤ 8

El número de autocares de cada tipo que se pueden utilizar viene representado por los

puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de autocares de 40 plazas e "y" es el número de autocares de

50 plazas, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números naturales. Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

F

G(x, y): Gastos generados por el alquiler de autocares G(x, y) = 60x + 80y

L

C

Los vértices A y B se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 8) B(0, 9) C(x, y) Resolvemos el sistema:    = + = + 9 40 5 4 y x y x 4(9 – y) + 5y = 40 → 36 – 4y + 5y = 40 → y = 4 → x = 5 C(5, 4) A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSDDDEEEÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices G(x, y) = 60·x + 80·y Valor

A (0, 8) 60·0 + 80·8 640

B (0, 9) 60·0 + 80·9 720

C (5, 4) 60·5 + 80·4 620

A

AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para que los costes sean mínimos se deben de utilizar 5 autocares pequeños y 4 autocares grandes, momento en el que los gastos ascienden a 620 €.

NOTA: recuerda que las cantidades venían expresadas en miles.

016

Un agricultor dispone de 1200 € para invertir en un invernadero de 70 m2 , donde desea cultivar fresas de dos calidades, baja y alta. Cada m2 de cultivo de fresa de baja calidad le supone al agricultor un gasto de 30 € y 6 días de trabajo, mientras que por cada m2 del cultivo de fresa de alta calidad le supone 40 € y 3 días de trabajo.

Si el agricultor puede trabajar los cultivos durante 180 días como máximo al año, (a) ¿ Qué superficie puede dedicar a cada tipo de explotación?. Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) ¿Qué superficie debe dedicar a cada tipo de explotación para obtener un beneficio máximo, sabiendo que los beneficios que obtiene por cada m2 de fresa de baja calidad son de 300 € y 150 € por m2 si la fresa es de alta calidad?.

(6)

D

x ≡ "cantidad de m2_{de cultivo de fresa de baja calidad".} y ≡ "cantidad de m2_{de cultivo de fresa de alta calidad".}

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS 30x + 40y ≤ 1200 x + y ≤ 70 6x + 3y ≤ 180 x ≥ 0 y ≥ 0 → → → → 3x + 4y ≤ 120 x + y ≤ 70 2x + y ≤ 60 x ≥ 0 y ≥ 0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE 3x + 4y = 120 2x + y = 60 x + y = 70 x y x y x y 0 30 0 60 0 70 40 0 30 0 70 0 C A B 3x + 4y ≤ 120 10 10 2x + y ≤ 60 x + y ≤ 70 D

El número de m2_{que puede dedicar a cada tipo de cultivo viene representado por los puntos (x, y)} pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de m2_{de cultivo de fresa de baja calidad e "y"} es el número de m2_{de cultivo de fresa de alta calidad, con la condición de que tanto "x" como "y" sean} números racionales positivos.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

F

B(x, y): Beneficios expresados en € B(x, y) = 300·x + 150·y

L

C

Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 30) D(30, 0) C(x, y) Resolvemos el sistema:    = + = + 60 2 120 4 3 y x y x    − = − − = + 240 4 8 120 4 3 y x y x – 5x = – 120 ¸ x = 24 → y = 12 C(24, 12) A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSDDDEEEÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

(7)

Aplicamos el TEOREMA mencionado:

Vértices B(x, y) = 300·x + 150·y Valor

A (0, 0) 300·0 + 150·0 0 B (0, 30) 300·0 + 150·30 4500 C (24, 12) 300·24 + 150·12 9000 D (30, 0) 300·30 + 150·0 9000

6x + 3y = 180

D

C

B

24

30 A

A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Tiene solución múltiple. El máximo beneficio se obtendrá dedicando entre 24 y 30 metros cuadrados de cultivo de baja calidad y su correspondiente valor de cultivo de alta calidad que verifique la igualdad:

2x + y = 60

siendo "x" la cantidad de m2_{de cultivo de baja calidad e "y" la cantidad de m}2_{de cultivo de alta} calidad..

De tal forma que, algunas de las posibles soluciones podrían ser:

018

Una fábrica de coches y camiones dispone de tres talleres dedicados respectivamente a la fabricación de motores, a la fabricación de carrocerías y al montaje. En el taller de motores se tarda 1 hora en fabricar el motor de un coche y 2 horas en fabricar el de un camión. En el taller de carrocerías se tarda 6/5 de hora en fabricar una carrocería de coche y 8/5 de hora en fabricar una carrocería de camión. Finalmente, en el taller de montaje se invierte 5/4 de hora en montar un coche y 3/2 de hora en montar un camión. El beneficio obtenido es de 4000 € por cada coche y 6000 € por cada camión. Cada taller puede trabajar como máximo 200 horas al mes. Suponiendo que la fábrica puede vender toda la producción, ¿cuántos coches y camiones ha de producir por mes para obtener el máximo beneficio?.

BH2

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL

D

x ≡ "número de coches que se producen por mes. y ≡ "número de camiones que se producen por mes.

Cuadro resumen

Taller de motores T. carrocería T. montaje Coches 1h 6/5 h 5/4 h Camiones 2h 8/5 h 3/2 h

(8)

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS x + 2y ≤ 200 T. motores 5 6_{x +} 5 8_y_≤_{200 T. carrocería} 4 5_{x +} 2 3_y_≤_{200 T. montaje} x ≥ 0 y ≥ 0 → → → → x + 2y ≤ 200 6x + 8y ≤ 1000 5x + 6y ≤ 800 x ≥ 0 y ≥ 0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + 2y = 200 6x + 8y = 1000 5x + 6y = 800 x y x y x y 0 100 0 125 0 133.3 200 0 166.7 0 160 0 C A B 20 20 x + 2y ≤ 200 6x + 8y ≤ 1000 5x + 6y ≤ 800 D F FFUUUNNNCCCIIIÓÓÓNNNOOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOO

B(x, y): Beneficio expresado en € B(x, y) = 4000·x + 6000·y

L

C

Los vértices A, B y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 0) B(0, 100) D(160, 0) C(x, y) Resolvemos el sistema:    = + = + 1000 8 6 200 2 y x y x    = + − = − − 1000 8 6 1200 12 6 y x y x y = 50 ; x = 100 C(100, 50) A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSDDDEEEÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

Aplicamos el TEOREMA mencionado:

Vértices B(x, y) = 4000·x + 6000·y Valor A (0, 0) 4000·0 + 6000·0 0 B (0, 100) 4000·0 + 6000·100 600 000 C (100, 50) 4000·100 + 6000·50 700 000 D (160, 0) 4000·160 + 6000·0 640 000 A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para obtener el máximo beneficio se han de producir por mes 100 coches y 50 camiones, momento en el que el beneficio ascenderá a 700 000 €.

(9)

020

Un profesional tiene trabajo en dos ciudades A y B. Su domicilio dista de A 30 Km y 20 de B. se ha comprometido a trabajar al menos 5 días al mes en cada lugar. No quiere trabajar más de 22 días al mes y además en sus desplazamientos no desea hacer más de 1100 km al mes. En A cobra 120 € diarias y en B 100 €.

(a) Escribe las restricciones y dibuja la zona de posibles soluciones. (b) ¿Entra dentro de las condiciones trabajar 17 días en A y 5 en B?.

(c) ¿Cuántos días deberá trabajar en cada sitio para obtener mayores ingresos?.

BH2

Pruebas de Acceso a Ciclos Formativos de Grado Superior 2000 Asturias

A 30 Km 20 Km B

x y

D

x ≡ "número de días que trabaja en A". y ≡ "número de días que trabaja en B".

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS x ≥ 5 y ≥ 5 x + y ≤ 22 60x + 40y ≤ 1100 → → → → x ≥ 5 y ≥ 5 x + y ≤ 22 3x + 2y ≤ 55 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE x + y = 22 3x + 2y = 55 x y x y 0 3/4 0 27.5 1 0 18.33 0 A 2 2 x + y ≤ 22 3x + 2y ≤ 55 B C x ≥ 5 y ≥ 5 D

El número de días que puede trabajar en las ciudades A y B viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de días que trabaja en la ciudad A e "y" es el número de días que trabaja en la ciudad B, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números enteros.

Ejemplos: (6, 7) ∈ Región factible (6 días en la ciudad A y 7 días en la ciudad B.) Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

Responder a la siguiente pregunta equivale a comprobar si el punto (17, 5) pertenece o no a la región factible.

(10)

(17, 5) ∈ Región factible

Sí, se pueden trabajar 17 días en A y 5 en B es decir, verifican todas y cada una de las restricciones del enunciado.

Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)

F

I(x, y): Ingresos en euros por el trabajo realizado I(x, y) = 120x + 100y

L

C

El vértice A se observa a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (5, 5) B(5, y) Resolvemos el sistema:    = + = 22 5 y x x 5 + y = 22 ; y = 22 – 5 ; y = 17 B(5, 17) C(x, y) Resolvemos el sistema:    = + = + 55 2 3 22 y x y x    = + − = − − 55 2 3 44 2 2 y x y x x = 11 ; x + y = 22 Æ y = 22 - 11 Æ y = 11 C(11, 11) D(x, 5) Resolvemos el sistema:    = + = 55 2 3 5 y x y 3x + 2·5 = 55 ; 3x = 55 – 10 ; x = 15 D(15, 5) A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSDDDEEEÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices I(x, y) = 120x + 100y Valor

A (5, 5) 120·5 + 100·5 1100 B (5, 17) 120·5 + 100·17 2300 C (11, 11) 120·11 + 100·11 2420 D (15, 5) 120·15 + 100·5 2300 A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para obtener los máximos ingresos ha de trabajar 11 días en A y 11 días en B, momento en el que los ingresos ascienden a 2420 €.

RESOLUCIÓN con la CALCULADORA GRÁFICA

Veamos la recta que representa a la función objetivo cuyos ingresos son nulos: 120x + 100y = 0 → En forma explícita → y = – 1.2x

(11)

EN LA PRÁCTICA representamos esta recta y buscamos MENTALMENTE , de todas las infinitas rectas paralelas a ésta (m = – 1.2), la que corresponde a los máximos ingresos, es decir, la que corta al eje OY por el punto más lejano al origen.

Confirmamos los resultados obtenidos con lápiz y papel.

023

Un agricultor estima que el cuidado de cada m2_{plantado de lechugas requiere} semanalmente 45 minutos, mientras que el de repollo exige 50. Dispone de una tierra de 40 m2_{de extensión que puede dedicar total o parcialmente al cultivo de ambas verduras,} queriendo plantar al menos 3 m2_{más de repollo que de lechuga. El m}2_{de lechuga le reporta} un beneficio de 500 PTAS mientras que el de repollo 650, planificando obtener en conjunto al menos 10 000 PTAS de beneficio.

a) ¿Qué extensión de terreno puede plantar con cada verdura? Plantea el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) ¿Cuánto le interesa plantar de cada una si su objetivo es que el tiempo semanal dedicado a su cuidado sea mínimo?.

BH2 PAU OVIEDO

SEPT 1995

D

x ≡ "Número de m2_{de la plantación de lechugas".} y ≡ "Número de m2_{de la plantación de repollos".}

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS x + y ≤ 40 ¡OJO! y ≥ x + 3 500x + 650y ≥ 10 000 x ≥ 0 y ≥ 0 ¸ ¸ ¸ ¸ x + y ≤ 40 y ≥ x + 3 10x + 13y ≥ 200 x ≥ 0 y ≥0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE y ≤ 40 – x y ≥ x + 3 y ≥ 13 10 200− x x y x y x y 0 40 0 3 0 15.38 40 0 – 3 0 20 0 D y ≤ 40 – x C B 50x + 65y ≥ 1000 5 5 A y ≥ x + 3

El número de metros cuadrados de cada verdura que puede plantar viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de m2_{de la}

(12)

plantación de lechugas e "y" es el número de m2_{de la plantación de repollos, con la condición} de que tanto "x" como "y" sean números REALES positivos:

Ejemplo: (14.52, 21.93) ∈ Región factible ¸ 14.52 m2 de la plantación de lechugas y 21.93 m2 de la plantación de repollos.

Otros puntos: (8.3, 21.93), (11.19, 17.09), (14.04, 20.97), etc. Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

F

T(x, y): Tiempo semanal expresado en minutos T(x, y) = 45·x + 50·y

L

C

Los vértices A, y D se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (0, 15.38) D(0, 40) B(x, y) Resolvemos el sistema:    + = = + 3 1000 65 50 x y y x 50x + 65(x + 3) = 1000 50x + 65x + 195 = 1000 ¸ x = 7 ; y = 10 ¸ B(7, 10) C(x, y) Resolvemos el sistema:    + = = + 3 40 x y y x x + (x + 3) = 40 ¸ 2x = 37 ¸ x = 18.5; y = 21.5 C(18.5, 21.5) A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSDDDEEEÓÓÓPPPTTTIIIMMMOOOSSS

Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices T(x, y) = 45·x + 50·y Valor A(0, 15.38) 45·0 + 50·15.38 769 B(7, 10) 45·7 + 50·10 815 C(18.5, 21.5) 45·18.5 + 50·21.5 1907.5 D(0, 40) 45·0 + 50·40 2000 A AANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSSCCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOODDDEEELLLOOOSSSRRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Para que su cuidado reporte la mínima cantidad de tiempo se debería de plantar todo con repollos, concretamente 15.38 m2_{, superficie que le lleva un tiempo de 769 minutos.}

024

Cierta persona dispone de 10 millones de euros como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción tanta cantidad de dinero como a la B.

(a) ¿Qué cantidades puede invertir en cada una de las opciones? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

(b) Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9% en la opción A y del 12% en la B, ¿qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global?; ¿a cuánto ascenderá?.

BH2 PAU OVIEDO

(13)

D

x ≡ "Millones de € que debe de invertir en opción A". y ≡ "Millones de € que debe de invertir en opción B".

C CCOOONNNJJJUUUNNNTTTOOODDDEEERRREEESSSTTTRRRIIICCCCCCIIIOOONNNEEESSS x + y ≤ 10 x ≥ 2 x ≤ 7 x ≥ y y ≥ 0 L LLAAARRREEEGGGIIIÓÓÓNNNFFFAAACCCTTTIIIBBBLLLEEE y ≤ 10 – x x ≥ y x y x y 0 10 0 0 10 0 10 10

D

x

≤

7 C

B

x + y

≤

10

4 2

A

y

≥

x

≥

2 E

El número de millones a invertir en cada opción viene representado por los puntos (x, y) pertenecientes a la región factible, donde "x" es el número de millones de € que debe de invertir en la opción A e "y" es el número de millones que debe de invertir en la opción B, con la condición de que tanto "x" como "y" sean números REALES positivos:

Ejemplo: (5, 4.096774) ∈ Región factible ¸ 5 000 000 de € en la opción A y 4 096 774 € en la opción B.

Otros puntos: (5, 3.193548), (4, 2.516129), (3, 1.387097), etc. Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b)

F

R(x, y): Rendimiento de la inversión en millones de € R(x, y) = 100 9 _{x +} 100 12 _y L LLOOOCCCAAALLLIIIZZZAAACCCIIIÓÓÓNNNDDDEEESSSOOOLLLUUUCCCIIIOOONNNEEESSS

C

CCÁÁÁLLLCCCUUULLLOOODDDEEEVVVÉÉÉRRRTTTIIICCCEEESSS

Los vértices A, B y E se observan a simple vista y con la ayuda de la tabla de valores: A (2, 0) B(7, 0) E(2, 2) C(7, y) Resolvemos el sistema:    = = + 7 10 x y x 7 + y = 10 ¸ y = 3 C(7, 3) D(x, y) Resolvemos el sistema:    = = + y x y x 10 y + y = 10 ¸ 2y = 10 ¸ y = 5 D(5, 5)

(14)

ANÁLISIS DE ÓPTIMOS

Aplicamos el TEOREMA mencionado: Vértices R(x, y) = 0.09 · x + 0.12 ·y Valor

A(2, 0) 0.09 · 2 + 0.12 ·0 0.18 B(7, 0) 0.09 · 7 + 0.12 ·0 0.63 C(7, 3) 0.09 · 7 + 0.12 ·3 0.99 D(5, 5) 0.09 · 5 + 0.12 ·5 1.05 E(2, 2) 0.09 · 2 + 0.12 ·2 0.42 ANÁLISIS CRÍTICO DE LOS RESULTADOS

Para optimizar el rendimiento global ha de invertir 5 millones de € en la opción A y 5 millones de € en la opción B, momento en el que dicho rendimiento ascenderá a 1 050 000 €.

NOTA: La restricción x ≥ y presentaba cierta ambigüedad en el enunciado, por lo que, durante la celebración de las pruebas, encontrándome como vocal de centro en uno de los Tribunales, se consultó a los responsables de la Universidad, confirmándose que el enunciado debería de decir "Además, quiere destinar a esa opción al menos tanta cantidad de dinero como a la B", aunque también se tomaría como válida si el alumnado considera x = y, aún cuando se alejase un poco del espíritu de los objetivos iniciales perseguidos.