1. [ANDA] [JUN-A] Sabiendo que las rectas r x = y = z y s x = 1 + y = 3 + z = -
se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s
respectivamente, que están a mínima distancia.
2. [ANDA] [JUN-B] Determina el punto P de la recta r x-1 2 = y+1
1 = z
3 que equidista de los planos: 1 x+y+z+3 = 0 y
2 x = -3 + y = - + z = -6 - .
3. [ANDA] [SEP-A] Se sabe que los puntos A(1,0,-1), B(3,2,1) y C(-7,1,5) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.
(a) Calcula las coordenadas del punto D.
(b) Halla el área del paralelogramo.
4. [ANDA] [SEP-B] Los puntos A(1,1,0) y B(2,2,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que losvértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.
5. [ARAG] [JUN-A] Sean los puntos A(3,2) y B(5,3). Calcular:
a) Ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto B y tiene su centro en A.
b) Ecuación de la tangente a esta circunferencia en B.
c) Área del triángulo formado por la tangente anterior y los ejes coordenados.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea el plano : x-2y+4z = 12 y el punto P(2,-1,1).
a) Hallar la distancia entre el plano y el punto P.
b) Hallar la ecuación de un plano paralelo a y distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia .
c) Calcular el volumen de la figura limitada por el plano y los tres planos coordenados.
7. [ARAG] [SEP-A] Sea C una circunferencia cuyo centro es el punto (1,1) y que es tangente a los dos ejes coordenados.
a) Escribir su ecuación general.
b) Determinar los puntos de C donde la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
8. [ARAG] [SEP-B] Sea el triángulo de vértices A(4,2), B(13,5) y C(6,6).
a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C.
b) Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB.
9. [ASTU] [JUN] Sean los planos 1: 2x+3y+z = 2 y 2: x+y-z = 1.
a) Determinar la posición relativa de los mismos.
b) Calcular una recta que esté contenida en el plano 2: x+y-z = 1, sea paralela a la intersección de esos dos planos y que pase por el punto (5,-3,1).
10. [ASTU] [JUN] Sea la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en la bisectriz del 4º cuadrante y su radio mide 2 unidades.
a) Obtener sus elementos característicos.
b) Determinar su ecuación.
11. [C-LE] [JUN-A] a) Hallar el valor del parámetro a para que los planos de ecuaciones 2x-y+z = 3 x-y+z = 2 3x-y+az = 4
se corten en una recta r.
b) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,3,1) y contiene a la recta r del apartado anterior.
12. [C-LE] [JUN-A] Hallar la distancia del punto P(2,1,1) a la recta r x = 1
3 y = 2
3 + z =
13. [C-LE] [JUN-B] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,2,-1), es paralela al plano 2x+y-z-3 = 0 y perpendicular a la recta r x = y-1
-1 = z-4 3 .
14. [C-LE] [JUN-B] ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro (3,2) que es tangente al eje OX?
15. [C-LE] [SEP-B] Dadas las rectas r y s: r x-2z = 0
y-z = 2 , s x+y = 5 x+2z = a a) hallar el valor de a para que ambas rectas estén en el mismo plano.
b) Hallar la ecuación de dicho plano.
16. [C-LE] [SEP-B] ¿Cuál es el ángulo que forma la recta x = y = z con el eje OX?
17. [C-LE] [SEP-B] Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3,5) y es tangente a la recta 4x+3y-2 = 0.
18. [C-MA] [JUN] Las rectas de ecuaciones r x+y-z = 4
x+2y = 7 y s x = 2
y = -5 se cruzan en el espacio.
a) Escribe las ecuaciones paramétricas de ambas rectas.
b) Halla un punto de r y otro de s tales que el vector con origen en uno y extremo en el otro sea perpendicular a ambas rectas.
19. [C-MA] [JUN] Considera la recta dada por r x-4y+9 = 0 3y-z-9 = 0 a) Determina el plano que pasa por el punto P(1,4,0) y contiene a r.
b) ¿Para cualquier valor de , el plano x-4y+9+(3y-z-9) = 0 contiene a r?
c) Determina los valores de para que el plano diste 3 unidades del origen de coordenadas.
20. [C-MA] [SEP] Sea el plano de ecuación 3x-2y-6z = 1 y r la recta dada por (x,y,z) = (1,0,1)+(2,-1,1).
a) Define la relación de paralelismo entre una recta y un plano.
b) Averigua si la recta r y el plano son paralelos.
c) Define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano.
d) Averigua si la recta r y el plano son perpendiculares.
21. [C-MA] [SEP] Dados los planos x+y+z = 1 y ' x-y = 0:
a) Calcula el ángulo que forman y '.
b) Determina las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1,2,3) y es perpendicular al plano .
22. [CANA] [JUN-A] Se sospecha que el plano definido por el punto (1,0,5) y los vectores u = (3,1,1) y v = (-1,3,2) se corta en un punto con la recta cuyas ecuaciones en forma continua son x-2
3 = y-7 10 = z-2
-5. Decidir razonadamente la cuestión.
23. [CANA] [JUN-B] Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto (3,0,3) y contiene a la recta cuyas ecuaciones son: x
-2 = y+1 = z-3 3 .
24. [CANA] [SEP-A] Dada la recta r: x+y+z-1 = 0
-x-2y+z = 0 y el plano : 2x+y+mz-3 = 0, estudiar la posición relativa de la recta r y el plano según los valores del parámetro m. Hallar también el punto de intersección de la recta r y el plano en el caso de m = 1.
25. [CANA] [SEP-B] Obtener la ecuación del plano paralelo a las dos rectas siguientes: r1: x-2 -1 = y
1 = z+1 2 , r2: 2x-y+z = -2
-x+y+3z = 1 y que pasa por el punto (1,1,2).
26. [CATA] [JUN] De un triángulo sabemos que la suma de las longitudes de dos lados a y b es de 11 m, que el ángulo C opuesto al tercer lado vale 30º y que el área es de 7 m2. Calcule:
a) La longitud de cada uno de los lados del triángulo.
b) Los ángulos del triángulo.
27. [CATA] [JUN] Considere el punto P = (5,-2,9) y la recta r: x-1 -2 = y+1
-3 = z 6.
a) Calcule la ecuación de la recta s que corta perpendicularmente a r y pasa por P.
b) Calcule el punto de corte T entre las rectas r y s.
28. [CATA] [SEP] Un segmento de extremos A = (5,3,1) y B = (4,2,-1) se divide en tres partes iguales mediante dos planos perpendiculares a este segmento. Calcule las ecuaciones de los dos planos y la distancia entre ellos
29. [CATA] [SEP] Calcule el área del triángulo ABC representado en el siguiente esquema:
30. [CATA] [SEP] Considere los puntos del espacio A = (0,-2a-1,4a-2), B = (1,-3,4), C = (3,-5,3).
a) Compruebe que el triángulo de vértices A, B y C es rectángulo en B para cualquier valor de a.
b) Calcule los valores de a que hacen que este triángulo sea isóceles.
31. [EXTR] [JUN-A] Determinar una constante a para que el plano de ecuación ax+y+z = 2 forme un ángulo de
3 radianes con el plano z = 0.
32. [EXTR] [SEP-B] Determinar un plano que, pasando por el origen de coordenadas, sea paralelo a la recta de ecuaciones x+y = 1, y+z = 2, y también sea paralelo a la recta que pasa por los puntos de coordenadas 1,1,0 y 0,1,1 .
33. [MADR] [JUN-A] Dadas las recta en el espacio r x-2 3 = y-1
-2 = z
1 , s x+1 2 = y+2
-1 = z-1 2 a) Hallar la distancia entre las dos rectas.
b) Determianr las ecuaciones de la perpendicular común a r y s.
34. [MADR] [JUN-B] Dados el plano x+3y-z = 1 y la recta r x+2 6 = y-1
2 = z
1, se pide:
a) Hallar la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a .
b) Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos y '.
35. [MADR] [SEP-A] Dados los puntos A(1,0,1), B(0,2,0) y el plano x-2y-z-7 = 0, determinar el plano que es perpendicular al plano
y pasa por los puntos A y B.
36. [MADR] [SEP-A] Dadas las rectas r x-1 -1 = y+1
1 = z-k
1 y s x-y+z = 3 3x+z = 1
a) Hallar el valor de k para que las dos rectas estén contenidas en el mismo plano.
b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, determinar la ecuación general del plano que las contiene.
37. [MADR] [SEP-B] Dado el plano x+y+z = 0 y la recta r x-1 1 = y
2 = z+1
2 , se pide:
a) Calcular el punto Q en el que se cortan el plano y la recta r.
b) Encontrar un plano ', paralelo a , tal que el punto Q' en el que se cortan el plano ' y la recta r esté a distancia 2 del punto Q hallado en el apartado anterior.
38. [MURC] [JUN] a) Estudie si las rectas L1 = x = 1 - t y = 1 - t z = 2
y L2 = x = t y = 1 + t z = 2 - t
se cruzan en el espacio.
b) Encuentre la distancia entre dichas rectas.
39. [MURC] [SEP] Encuentre la distancia del punto P(1,0,1) a la recta determinada por los planos 1, que pasa por los puntos A(1,1,1), B(0,1,1) y C(-1,0,0), y 2, de ecuación x+y = 2.
40. [MURC] [SEP] Encuentre la distancia del punto P(0,6,1) al plano determinado por el punto A(0,1,3) y la recta L que pasa por los puntos B(1,0,1) y C(0,0,2).
41. [RIOJ] [JUN] Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x-2y = 1
x+y = 1 y al punto (2,-1,2).
42. [RIOJ] [JUN] Calcula el valor de a para que se corten en un punto las rectas r y s de ecuaciones:
r 4x-y+z = -2
3x-y+az = -2 , s 2x+4y+2z = -1 2x-ay+z = -1 Halla el valor de a obtenido en el punto en el que se cortan.
43. [RIOJ] [SEP] Determina m, si es posible, para que el plano de ecuación 2mx+6(m-1)y+(m+3)z+2m+4 = 0 sea ortogonal a la recta que pasa por los puntos A = (2,0,-3) y B = (3,2,-2).
44. [RIOJ] [SEP] Discute, según los valores de a, la posición relativa de los siguientes planos, indicando las figuras que determinan (no es necesario resolverlo)
1 (a+1)x +y +z = 3
2 x +2y +az = 4
3 x +ay +2z = 2a
45. [RIOJ] [SEP] Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1,1,2) y es paralelo a las rectas:
r x = 2-t y = t z = -1+2t
y s 2x-y+z = -2 -x+y+3z = 1
46. [VALE] [JUN-A] Sean r y r' las rectas del espacio 3, determinadas del modo siguiente: r pasa por los puntos A=(3,6,7) y B=(7,8,3) y r' es la recta intersección de los planos de ecuaciones: x-4y-z = 10 y 3x-4y+z = -2. Se pide:
a) Calcular de cada una de las rectas r y r' una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas.
b) Calcular la distancia entre las rectas r y r'.
c) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, siendo C un punto cualquiera de la recta r'.
47. [VALE] [JUN-B] Sea r la recta y el plano de 3, determinados del siguiente modo: r pasa por los puntos (2,2,4) y (-1,2,1) y pasa por los puntos (1,0,1), (1,-1,0) y (3,0,0). Se pide:
a) Probar que la recta r no es paralela a .
b) Calcular el punto P intersección de r y y el ángulo que forman la recta r y el plano .
c) Determinar los puntos S y T de la recta r que cumplan que su distancia a sea 4.
48. [VALE] [SEP-A] En el espacio 3 se consideran el punto P=(3,2,3) y la recta r intersección de los planos de ecuaciones:
x+3y-4z = 0 y x+2y-2z = 1. Se pide determinar:
a) La distancia d del punto P a la recta r.
b) Los puntos M y N de la recta r que cumplan que su distancia al punto P es 5d.
c) El área del triángulo de vértices P, M y N.
49. [VALE] [SEP-B] Sean y ' los planos del espacio 3, determinados del siguiente modo: El plano pasa por los punto (0,2,1), (3,-1,1) y (1,-1,5) y el plano ' pasa por los puntos (3,0,2), (2,1,1) y (5,4,-2). Se pide calcular:
a) Una ecuación paramétrica de la recta r intersección de los planos y '.
b) El ángulo que forman los planos y '.
c) La ecuación del plano que contiene a la recta r y forma un ángulo de 90º con el plano .
Soluciones
1. A(1,1,1), B(0,2,1) 2. P(-1,-2,-3) 3. (a) D(-9,-1,3) (b) 1208 4. C 5 3 , 5
3 , 5 3 y D 2
3 , 2 3 , 2
3 5. a) x2+y2-6x-4y+8 = 0 b) y = -2x+13 c) 169
4 6. a) 4 21 21 b) x-2y+4z-4 = 0 c) 36 7. a) (x-1)2+(y-1)2 = 1 b) 2+ 2
2 ,2- 2 2 , 2- 2
2 ,2+ 2
2 8. a) 3x+y-24 = 0 b) 10, 2 10 9. a) se cortan en una recta b) x = 5-4
y = -3+3
z = 1-
10.
centro: 2,- 2 ; ecuación: x2+y2-2 2x+2 2y = 0 11. a) 1 b) 3x-y+z-4 = 0 12. 3 13. x = 1+2
y = 2-7
z = -1-3
14. (x-3)2+(y-2)2 = 4 15. a) 4 b) x+4y-6z-8 = 0 16.
54º44'8'' 17. (x-3)2+(y-5)2 = 25 18. a) r x = 7-2
y = z = 3-
s x = 2 y = -5 z =
b) (7,0,3), (2,-5,3) 19. a) x+2y-2z-9 = 0 b) si c) 2, 4 20. b) no d) no 21. a) 90º b) x = 1+
y = 2+
z = 3+
22. cierto 23. 3x-9y+5z-24 = 0 24. m = 4: paralelos; m 4: se cortan; m = 1: (2,-1,0). 25. 15x-7y+11z-30 = 0 26. a) a = 7; b = 4; c = 4,06 b) A= 120º29'16'' B=
29º30'44'' 27. a) x = 5+6
y = -2+2
z = 9+3
b) (-1,-4,6) 28. 3x+3y+6z-20 = 0; 3x+3y+6z-18 = 0; 6
9 29. 106,86 cm2 30. b) 1, 8
5 31. 2 32. x+2y+z = 0 33. a) 11 26 13 b) x-3y-9z+1 = 0
7x-8y-11z+2 = 0 34. a) 5x-7y-16z+17 = 0 b) x = -2+5
y = 1 - z = 2
35. 4x+2y-3 = 0 36. a) 4 b) x+2y-z+5 = 0 37. a) (1,0,-1) b) 3x+3y+3z-8 = 0 ó 3x+3y+3z+8 = 0 38. a) si b) 2
2 39. 6
3 40. 7 3
3 41. x+y-1 = 0 42. a = -1; -3 5, -1
10, 3
10 43. 3 44. a = 2: dos planos coincidentes, cortados por otro ; a {-3,0} se corta dos a dos ; a {-3,0,2}: se cortan en un punto. 45. 15x-7y+11z-30 = 0 46. a) r: x = 3+2k
y = 6+k z = 7-2k
s: x = 2+2t y = t z = -8-2t
b) 1853
3 47. b) P(1,2,3); 45º c) (5,2,7); (-3,2,-1) 48. a) 3 b) (5,-3,-1), (-3,5,3) c) 18 49. a)
x = 3 2 -k y = 2k z = 2-2k
b) 45º c) 2x-y-2z+1 = 0
