Permutación: que es, fórmulas y ejemplos
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La permutación es una técnica de conteo que se usa para determinar cuántas formas hay de ordenar los elementos de un conjunto finito. Hacer un intercambio es hacer un intercambio y, en el caso de problemas combinatorios, significa intercambiar los elementos de lugar, considerando su ordenamiento.
Estas técnicas forman parte de un campo de las Matemáticas denominado Análisis Combinatorio, que tiene como objetivo comprender y contar las diferentes formas de organizar conjuntos y sus elementos. La permutación simple y repetida se ocupa de esta categoría de problemas.
Permutación simple
Una permutación simple es el orden de los elementos de un conjunto finito, cuando su los elementos no se repiten, son distintos. Se utiliza para determinar la cantidad de estos tipos.
La cantidad de permutaciones de un conjunto de n elementos es igual an! (lee n factorial).
La fórmula para determinar el número de permutaciones simples es
Considere un conjunto con n elementos. Para organizarlos en cola, debemos elegir el primero y, para eso, tenemos n posibilidades. Para elegir la segunda, tenemos (n-1) posibilidades, una menos, porque ya usamos una opción al elegir la primera. Este proceso continúa hasta que solo queda un elemento.
Órdenes de los elementos y sus posibilidades.
P a r a d e t e r m i n a r e l n ú m e r o t o t a l d e p e r m u t a c i o n e s , multiplicamos el número de posibilidades que existen en la elección de cada elemento. De esa forma:
La expresión anterior se llama factorial de ny usamos el símbolo ¡norte!.
Obtenga más información sobre factorial aquí.
Ejemplo:
Las diferentes formas de organizar las letras de una palabra se denominan anagramas. ¿Cuántos anagramas hay para la palabra PATO?
Estas son las posibilidades:
Orden de los elementos y sus posibilidades.
Entonces, como la palabra PATO tiene 4 letras, tenemos que
Entonces, hay 24 permutaciones simples para la palabra PATO.
Ejercicios simples de permutación
Pregunta 1
Calcule el valor de .
Pregunta 2
Considere una cola de personas organizadas por orden de llegada donde hay seis personas en un momento dado. ¿De cuántas formas diferentes se podría ordenar a estas personas de la primera a la última?
Pregunta 3
Considere la palabra HORQUILLA y responda las siguientes preguntas.
a) ¿Cuántos anagramas de la palabra GARFO hay?
b) ¿Cuántos anagramas comienzan con la letra A?
c) ¿Cuántos anagramas hay en caso de que las vocales estén siempre una al lado de la otra?
Ver respuesta
Una posibilidad sería GRFA O.
Hay tres formas de ordenar las consonantes. P3 = 3 x 2 x 1 = 6 Hay dos formas de ordenar las vocales. P2 = 2 x 1 = 2
Todavía hay dos formas más de organizar los grupos (consonantes y vocales) entre sí. P2 = 2 x 1 = 2
Ahora solo multiplica los resultados.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Por lo tanto, hay 24 anagramas, en cuyo caso las vocales siempre están juntas.
Permutación con repetición
Una permutación con elementos repetidos ocurre cuando en un conjunto de n elementos, algunos de estos son iguales.
En la fórmula para determinar el número de permutaciones con repetición, dividimos el factorial del número total n de elementos, por el producto entre los factoriales de los elementos que se repiten.
es el número de permutaciones de n elementos.
son el número de elementos de cada tipo que se repiten.
es el factorial del número total de elementos n.
EJEMPLOS
Determinamos cuántas permutaciones hay para la palabra OVO.
Para hacerlo más fácil, coloreemos las letras. Veamos los anagramas de la palabra OVO.
El número de permutaciones simples con 3 elementos viene dado por
Sin embargo, algunas permutaciones se repiten y no podemos contarlas dos veces. Para eso debemos dividir el valor de (porque la palabra tiene tres letras), por (porque la letra O se repite dos veces).
Por lo tanto, el número de permutaciones de las letras de la palabra OVO es igual a 3.
Veamos este otro ejemplo en el que definiremos el número de permutaciones de las letras de la palabra BANANA.
Dónde:
significa permutación con 6 elementos donde se repiten las letras A y N.
3! por lo tanto, la letra A se repite tres veces.
¡dos! porque la letra N se repite dos veces.
¡Un consejo para facilitar el cálculo es desarrollar 6! hasta llegar a 3 !, haciendo la simplificación con el denominador.
Ver desarrollo.
Por lo tanto, el número de permutaciones de las letras de la palabra BANANA es igual a 60.
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