Material del Estudiante
Actividad: Ordenando todos los elementos
Conceptos claves: Diagrama de árbol, principio multiplicativo, factorial, permutación, permutación con repetición, modelo de Laplace en el cálculo de probabilidades.
Tras la victoria, a celebrar con una buena película
Tras la victoria obtenida por Ariel en el torneo, su familia compuesta por 4 personas: Bruno su padre, Carla su madre, y sus hermanos Darío y Eliana, orgullosos de su triunfo al obtener el primer lugar de la carrera, deciden invitarlo al cine. Su padre compra 5 entradas, en las ubicaciones N°6, N°7, N°8, N°9 y N°10 correspondientes a la fila 12. Pero, todos
desean sentarse junto a Ariel, por lo que deciden sentar a Ariel en la butaca N°8.
¿Cuál es la probabilidad de ubicarse en el siguiente orden?
Tabla 1
1.
¿Importa el orden en que se ubican cada integrante de la familia? Anota tus observaciones.¿De cuántas formas se pueden sentar todos los integrantes de la familia para ver la película?
Ordenando la familia de Ariel
Nombre:_________________________________________ Fecha:________
Butaca N°6 Butaca N°7 Butaca N°8 Butaca N°9 Butaca N°10
Considera las siguientes iniciales para cada integrante de la familia: - A: para Ariel.
- B: para Bruno. - C: para Carla. - D: para Darío. - E: para Eliana.
1.
Escribe 6 ejemplos de formas distintas que tiene la familia de Ariel para sentarse: 1. A B C D E 4. 2. 5. 3. 6.2.
¿Cuántas son las opciones de sentarse en las siguientes butacas?Butaca N°6 Butaca N°7 Butaca N°8 Butaca N°9 Butaca N°10
3.
¿Cómo determinar todas las maneras diferentes de sentarse que tiene la familia? Expresa aritméticamente tu resultado.4.
Si n es la cantidad de personas que conforman la familia y todos ellos se quieren ordenar en fila, determina la expresión que responde a:
El número de ordenaciones posibles de
n
elementos
5.
Retomando la pregunta de la sección anterior ¿De cuántas maneras se puedensentar todos los integrantes de la familia para ver la película?
La expresión encontrada corresponde a un Permutación, ésta permite determinar el número de maneras en que se pueden ordenar n objetos de entre esos n objetos diferentes, es decir, es una ordenación que se puede formar con todos los elementos disponibles del conjunto.
El número de permutaciones distintas de n objetos tomados de n en n, se denota por:
P = n!
nEn la situación anterior
6.
Entonces ¿Cuál es la probabilidad de sentarse en el orden E - B – A – C – D?¡Llegan más integrantes! ¡Qué divertido!
Ariel desea celebrar con todos sus seres queridos, por esto invita a su querida polola Francisca al cine junto a toda su familia. ¿Cuál es la probabilidad que Ariel y su polola queden sentados juntos?
1.
¿De cuántas formas se pueden sentar todos los integrantes?No olvidar Si importa el orden.
Si entran todos los elementos. No se repiten los elementos.
2.
Dado que Ariel y Francisca desean sentarse juntos, se considerará a ambos como una persona, ¿De cuántas maneras se pueden sentar Ariel-Francisca y los demás?
3.
¿De cuántas formas se pueden ordenar Ariel y Francisca?
4.
A partir de los resultados de 2 y 3, determina el número de casos favorables.5.
Retomando la pregunta inicial de la sección ¿Cuál es la probabilidad que Ariel y su polola Francisca queden sentados juntos?
¿Pelotas Repetidas?
Ya finalizada la película, Eliana observa que en una esquina del cine se encuentra mucha gente reunida, pide que se dirijan al lugar, donde se enteran que están realizando un concurso. Una persona le comenta que el juego consiste en extraer de una urna 3 pelotas sin reposición, donde hay 1 morada y 2 verdes.
¿Cuál es la probabilidad que el orden de extracción sea verde – morada – verde?
1.
Observa el siguiente diagrama de árbol donde se muestran las posibilidades de extracción que puede tener Eliana.2.
Observando el diagrama de árbol ¿Cuántas maneras distintas tiene Eliana de extraer las pelotas, considerando el orden? Escribir.
3.
¿Cuántas permutaciones posibles se pueden realizar con las 3 pelotas?
4.
¿Cuántas permutaciones posibles se pueden realizar con las pelotas verdes?1°Extracción 2°Extracción 3°Extracción
5.
¿Cuántas permutaciones posibles se pueden realizar con la pelota morada?6.
A partir de los resultados que obtuviste en 2, 3 y 4, realizando alguna operación entre ellas, se puede determinar la respuesta de la pregunta 5? Escribe tu respuesta.7.
¿Cuál es la probabilidad que el orden de extracción sea verde – morada – verde? Comprendiendo la pregunta N° 6Sin necesidad de realizar un diagrama de árbol, existe otra forma de contar la cantidad de extracciones diferentes cuando hay elementos repetidos.
Para el ejemplo anterior, existen 3! casos posibles y dos elementos repetidos (las pelotas verdes), es decir, las permutaciones posibles de las pelotas verdes son 2!, y de la pelota morada 1!, de modo que para obtener la cantidad de extracciones diferentes, se divide 3! por el producto de 2! y 1!. Esto es:
3!
3 2 1
3
2! 1!
2 1 1
¡Más Pelotas para jugar!
Dado la gran cantidad de ganadores en el juego, los organizadores deciden agregar pelotas a la urna justo en el turno de Eliana, lo que le produce una gran ansiedad y nerviosismo. En total se tiene 5 moradas (M), 3 verdes (V), 1 amarillo (A) y 1 roja (R). La nueva condición es que para ganar se debe extraer la secuencia de pelotas
M - M - A - V - M - R - V - V - M - M.
¿Cuál es la probabilidad que Eliana gane el concurso?
1.
¿Cuántas permutaciones posibles se pueden realizar con el total de pelotas?2.
Escribe las permutaciones de los elementos repetidos.
3.
Con la técnica que descubriste anteriormente, calcula el número total deextracciones diferentes.
En la multiplicación del denominador, notar que no es necesario multiplicar por 1!
4.
Ahora! Si n es el total de pelotas, con k y r elementos repetidos, la cantidad de extracciones diferentes, establece:
Número de ordenaciones posibles de
n
pelotas
,
con k y r pelotas repetidas
La expresión encontrada corresponde a una Permutación con repetición, esta permite determinar el número de maneras en que se pueden ordenar n objetos de entre esos n objetos, con k, r y m elementos repetidos, implica que existe k elementos iguales entre sí, r elementos iguales entre sí y m elementos iguales entre sí. Es decir, es una ordenación que se puede formar con todos los elementos disponibles del conjunto eliminando las ordenaciones que son iguales.
El número total de permutaciones distintas de n objetos tomados de n en n, con k, r y m elementos repetidos, se denota por:
n k,r,mn!
PR
=
k! r! m!
5.
¿Cuál es la probabilidad que Eliana gane el concurso? ¿Le recomiendas que juegue o que no pierda el tiempo en intentarlo?No olvidar Si importa el orden.
Si entran todos los elementos. Si se repiten los elementos.
Explora con los nuevos conocimientos
1.
En un grupo de 1º Medio hay 30 alumnos y se desea escoger Presidente, Tesorero y Secretario. De ellos, Mario quiere ser presidente, Sofía secretaria y Víctor tesorero para representar al curso. ¿Cuál es la probabilidad que ocupen estos cargos si todos los alumnos de la clase se presentan a la elección?¿Importa el orden? ¿Entran todos los elementos?
¿Se repiten los elementos?
2.
Alicia ha decidido que la próxima semana preparará de almuerzo tres días pescado, dos días carne y dos días pasta.¿Cuál es la probabilidad que Alicia se disponga almorzar Carne-Pescado-Pescado-Pasta-Carne-Pescado-Pasta?
¿Importa el orden? ¿Entran todos los elementos?
3.
El estacionamiento de una empresa dispone de 12 lugares numeradas del 1 al 12. Si en la empresa hay 12 empleados:a) ¿De cuántas maneras distintas pueden distribuirse los estacionamientos? b) Si la jefa ocupa siempre el primer estacionamiento, ¿de cuántas formas se
pueden repartir los restantes?
¿Importa el orden? ¿Entran todos los elementos?
¿Se repiten los elementos?
