Extremos de funciones de dos variables 1.- Sea z = f(x, y) una función cuyas derivadas parciales son continuas en afirmarse que:

(1)

Extremos de funciones de dos

variables

1.- Sea z = f(x, y) una función cuyas derivadas parciales son continuas en R . Puede 2 afirmarse que:

□ a) f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos en R . 2 □ b) f es diferenciable en todo punto de R . 2

□ c) f_xy''

( )

a,b ≠f_yx''

( )

a,b , para algún punto

( )

a,b ∈R2.

2.- Sea z = f(x,y) una función diferenciable en un abierto U de R2 , sea g(x,y) = 0 una curva contenida en U tal que la función g(x,y) es diferenciable en un subconjunto V⊂U y sea (x0,y0)∈V :

a) Si f

(

x₀,y₀

)

→

∇ =λ g

(

x₀,y₀

)

→

∇ para cierto λ, entonces f(x0,y0) es un valor extremo

de la función f cuando está sujeta a la condición g(x,y)=0.

b) Si f(x0,y0) es un valor extremo de la función f sujeta a la condición g(x,y)=0,

entonces f

(

x₀,y₀

)

→

∇ =λ g

(

x₀,y₀

)

→

∇ .

c) Ninguna de las anteriores.

3.- La superficie de ecuación f(x,y)= ln(x2y): a) No tiene puntos críticos.

b) Sus puntos críticos son los puntos del eje de ordenadas. c) Sus puntos críticos son los puntos de los ejes de coordenadas.

4.- Sea z=f

( )

x,y una función con dominio en R . Se nos pide hallar los extremos de f 2 en la región de ecuación x2 +3y2 =4. El resultado se obtiene:

a) Hallando los puntos críticos de f y aplicando el criterio de la derivada segunda.

b) Aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange para máximos y mínimos condicionados.

c) Combinando los dos métodos anteriores.

5.- Sea z = f(x,y) una función continua en una región R del plano cerrada y acotada y designemos por M el máximo absoluto de f en R.

a) M no tiene porqué existir, es decir, f no tiene porqué estar acotada en R.

b) Necesariamente existe M y si (a,b) verifica que f(a,b)= M, entonces f(a, b) ≥ f(x, y) ∀(x,y) ∈ R

c) Necesariamente existe M y si (a,b) verifica que f(a,b)= M, entonces

( )

, 0 f a b x ∂ = ∂ y

( )

, 0 f a b y ∂ = ∂ .

6.- Si el plano tangente a la superficie z = f(x,y) en un punto P0(x0, y0) es horizontal

(paralelo al plano XY), puede afirmarse que:

a) P0 es un punto crítico de f.

b) f posee en P0 un valor extremo.

(2)

7.- La gráfica adjunta muestra curvas de nivel de la superficie ₂ 3₂ 1 y z x y − = + + . ¿Cuál de las siguientes opciones da una información veraz de dicha superficie?

a) La superficie tiene dos máximos relativos

b) La superficie tiene un máximo y un mínimo relativo

c) La superficie es discontinua en y = 0.

8.- Sea g(x,y)=0 una curva contenida en el dominio de una función diferenciable z=f(x,y). Si f alcanza su valor máximo a lo largo de dicha curva en un punto P0(x0,y0),

entonces:

a) ∇JJJJJJJGf (P )·₀ es paralelo a ∇JJJJJJJGg(P )₀ .

b) ∇JJJJJJJGf (P )·₀ es perpendicular a ∇JJJJJJJGg(P )₀ .

9.- Sea P0(x0,y0) un punto del dominio de una cierta función z=f(x,y). P0 es un punto

crítico de la función f si y solo si:

a) Existe∇f (P )0 JJJJJJJG y es ∇JJJJJJJGf (P )₀ =(0, 0) b) Existe∇JJJJJJJGf (P )₀ y es ∇JJJJJJJGf (P )₀ =(1,1) c)

( )

0 f P x ∂ ∂ y

( )

0 f P x ∂

∂ existen y son ambas nulas, o bien no existen.

10.- Si z=f(x,y) presenta un valor mínimo absoluto en un punto P(x0,y0) del dominio de

f, entonces:

a) No existen las derivadas parciales de f en P.

b)

( )

0 f P x ∂ ∂ =

( )

0 f P y ∂ ∂ =0.

c) f (x , y )₀ ₀ ≤f (x, y) para cualquier

(

x, y

)

∈Domf .

11.- Para hallar, utilizando multiplicadores de Lagrange, la distancia máxima y mínima del punto P(3,4) a la circunferencia unidad, debe considerarse la función:

a)

(

) (

2

)

2

(

₂ ₂

)

H x, y, z = x−3 + y−4 − λ x +y −1 b)

(

)

(

₂ ₂

)

(

) (

2

)

2 H x, y, z = x +y − − λ1 _⎣⎡ x−3 + y−4 ⎤_⎦ c)

(

)

2 2 f x, y =x +y −1

12.- Sea z=f(x,y) una función de dos variables tal que en el punto crítico (1,2) se verifica que fxx(1,2)=3 y el hessiano H(1,2)=-5. Entonces:

a) f tiene un mínimo relativo en (1,2).

b) f tiene un máximo relativo en (1,2).

c) (1,2) es un punto de silla.

13.- Si existen las derivadas de 1er y 2º orden de z=f(x,y) y son continuas en un entorno de (0,0), entonces, f presenta un extremo relativo en (0,0) si se verifica que:

(3)

a) f

( )

0, 0 f

( )

0, 0 0, x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 2 2 f (0, 0) 0 x ∂ ≠ ∂ , Hess f (0, 0)≠0 b) f

( )

0, 0 f

( )

0, 0 0, x y ∂ ₌ ∂ ₌ ∂ ∂ 2 2 f (0, 0) 0 x ∂ _≠ ∂ , Hess f (0, 0)>0 c) f

( )

0, 0 f

( )

0, 0 0, x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ 2 2 f (0, 0) 0 x ∂ > ∂ , Hess f (0, 0)<0

14.- Si z=f(x,y) presenta un valor máximo absoluto en un punto P(x0,y0) del dominio de

f, entonces:

a) No existen las derivadas parciales de f en P.

b)

( )

0 z P x ∂ ∂ =

( )

0 z P y ∂ ∂ =0.

c) f (x , y )₀ ₀ ≥f (x, y) para cualquier

(

x, y

)

∈Domf .

15.- Sea z=f(x,y) una función que presenta un máximo relativo en un punto P(a,b). Puede asegurarse que:

a) f es derivable en P y f

( )

a b, 0 x ∂ = ∂ y

( )

, 0 f a b y ∂ = ∂ . b) P es un punto crítico de f.

c) f no admite derivadas parciales en P.

16.- Si la función z = f(x, y) está definida en una región abierta R y presenta en un punto P∈R un extremo relativo, podemos afirmar que:

a)

( )

P 0 y f P x f = ∂ ∂ = ∂ ∂ . b) ElHessiano de f en P es ≠0. c) P es un punto crítico de f.

17.- Sea z=f(x,y) una funcion de dos variables tal que tiene en (1,1) un punto crítico, verificándose que fxx(1,1)=5 y el hessiano H(1,1)=-3. Entonces:

a) f tiene un mínimo relativo en (1,1).

b) (1,1) es un punto de silla para f.

c) f tiene un máximo relativo en (1,1).

18.- Si P es un punto crítico de una función z = f(x, y), se verifica:

a)

( )

P 0 y f P x f = ∂ ∂ = ∂ ∂

b) No existen las derivadas parciales de f en P.

c) Es posible que f tenga un valor extremo en P.

19.- Sea c la curva de nivel de una función derivable z = f(x, y) correspondiente a un punto P. Puede afirmarse lo siguiente:

a) f

( )

P

→

∇ marca la dirección de la recta tangente a c en P.

b) f

( )

P

→

∇ es perpendicular a c en P.

c) f

( )

P

→

∇ es perpendicular a la dirección de máximo crecimiento de f en P.

20.- Sea Ax + By + Cz + D = 0 la ecuación del plano tangente, en P, a una superficie diferenciable z = f(x, y). Se verifica:

a) Dicho plano no tiene porqué ser próximo a la superficie en ningún entorno de P.

(4)

c) No puede asegurarse que tal plano tangente exista para la función f.

21.- Consideremos la superficie de ecuación x2 +2yz2 −xz=0. Puede afirmarse que:

a) Todas sus curvas de nivel son parábolas, excepto una de ellas que es una recta.

b) Esta superficie sólo admite curvas de nivel para z≥0.

c) La curva de nivel correspondiente a la cota k = 5 está contenida en el plano z = 5.

22.- Sea z = f (x, y) una función diferenciable en el punto P(a, b). Se verifica que:

a) Si

( )

→ →

=

∇f a,b 0, entonces la derivada direccional de f en P en cualquier dirección vale 0.

b) La dirección de la curva de nivel en P es la del vector f

( )

a,b →

∇ .

23.- Seaz=f

( )

x,y la ecuación de una superficie en R diferenciable:3

a) Existe el plano tangente a la superficie en cada punto P de la misma y es una buena aproximación de la superficie en un entorno de P.

b) Puede que en algún punto de la superficie no exista plano tangente. c) Existen y son continuas las derivadas parciales primeras en todo punto P.

24.- Sea z = f(x, y) una función definida y continua en una región S del plano. Se verifica:

a) Si f alcanza su valor máximo relativo en un punto P , entonces, obligatoriamente 0 existen las derivadas parciales de f en P y valen 0 fx

( )

P0 =fy

( )

P0 =0.

b) Si S=

{

( )

x,y ∈R2 / x≥0 e y≥0

}

, f no tiene porqué tener máximo o mínimo absolutos en S.

c) Si S=

{

( )

x,y ∈R2 / x2 +y2 ≤1

}

, f alcanza sus valores máximo y mínimo absolutos precisamente en la frontera de S (circunferencia borde).

25.- Sea P un punto de una superficie z = f(x, y) tal que 0 fx

( )

P0 =fy

( )

P0 =0. Suponiendo que las derivadas parciales segundas existen y son continuas en P , se ₀ verifica:

a) Si f_xx

( )

P₀ >0 y f_xx

( )

P₀ ⋅f_yy

( )

P₀ >f_xy2

( )

P₀ , entonces f presenta un mínimo relativo en P . ₀ b) Si f_xx

( )

P₀ >0 y

( )

2

( )

₀ xy 0 yy 0 xx P f P f P

f ⋅ < , entonces f presenta un máximo relativo en P . ₀

26.- Sea la superficie de ecuación ₂ x 1 y z + = . Se verifica: a) Existen curvas de nivel sólo para z≥0.

b) Las curvas de nivel de S son parábolas, excepto para z = 0 que es una recta. c) La curva de nivel para z = 2 es una parábola con vértice en V (0, 0).

27.- Un cambio de variables

( )

_{( )}

⎩ ⎨ ⎧ = = v , u h y v , u g x

en la función diferenciable z = f (x, y), verifica:

(5)

a) u h y z u g x z u z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ . b) y h v z x g u z x z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ . c) Ninguna de las anteriores.

27.- Debido a una amenaza de tormenta, un montañero debe descender lo más deprisa posible (máxima pendiente) una colina de ecuación aproximada z = f (x, y). Si se encuentra en un punto P , tomará la dirección dada por el vector:₀

a)

(

f_x

( )

P₀ , f_y

( )

P₀

)

b)

(

fx

( )

P0 , −fy

( )

P0

)

c)

(

−f_x

( )

P₀ , −f_y

( )

P₀

)

28 La ecuación z3 +2xz+yz-x =0 define de forma implícita una función

( )

x,y f

z= diferenciable en un entorno del punto P(1, -2). El gradiente de f en P es: a)

(

−3,−3

)

b)

( )

3, 3 c) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛₋ ₋ 3 1 , 3 1 .

Extremos de funciones de dos variables 1.- Sea z = f(x, y) una función cuyas derivadas parciales son continuas en afirmarse que: