A = y(x) dx. A(a,b) = y(x) dx

(1)

(2)

(3)

6.1. Planteamiento del problema

Hastaahorahemosdesarrolladoelinstrumentalmatemátioquenoshapermitido

anali-zarómoambiaunavariable

y

respetoaotravariable

x

.Así,porejemplo,hemosaprendido a:

Estudiarel modo enque seomporta lavariableyuando la variable

x

toma valores queseaproxima aiertovalor

x

=

a

(límiteyontinuidad de

y(x)

en

x

=

a

).

Estudiar si los valores de la variable se mantienen dentro de ierto intervalo

[m, M

]

(aotaión de

y

).

Estudiarlaveloidadon queambia

y

respeto a

x

(derivada de

y

respeto a

x

). Valormedio de yrespeto a

x

en unintervalo

[a, b]

(integral de

y(x)

en [a,b℄).

Calular parámetros asoiados a la variable

y

respeto a

x

(dado un fragmento de urva denido por la funión

y(x)

, álulo del área limitada, longitud, volumen del sólidode revoluión).

Ahora bien,en los fenómenosrealesquenosinteresan enlas Cieniasyen laIngeniería

suelen apareer tambiénmagnitudes

M

quedependen devarias variablessimultáneamente. Cadauna de estasvariablestendrá su propiosigniado ysu propio dominiode deniión.

Para indiar que la variable M depende, por ejemplo, de las variables

u, v, w

, denotamos

M

(u, v, w)

. Veamos algunos ejemplossenillos:

Ejemplo 6.1 (Área y volumen) Eláreao elvolumendeguras omoretángulos,

trián-gulos, esferas, onos, et, vienendadasenfunión dediversosparámetros omo longitud, la

altura, elradio, et. Por tanto,el área o elvolumen sonfunión deestos parámetros.

Área deun retángulo delados

x

e

y

:

A(x, y) =

xy

Área deun triángulode base

b

yaltura

h

:

A(b, h) =

bh/2

Volumen de unono de radio

r

yaltura

h

:

V

(r, h) =

πr

2 _h/3

Volumen de unprisma retangular debase

b

, anhura

a

yaltura

h

:

V

(b, a, h) =

bha

Ejemplo 6.2 ( Integraión de

y(x)

on extremos variables)

Sabemos quesi

y(x)

≤

0

enelintervalo

[a, b]

, entones elvalor(si existe)de

A

=

Z

b

a

y(x)

dx

es igual al área limitada por la gráa de

y(x)

y el eje

OX

, para

x

∈

[a, b]

. Sin embargo, tomando los extremos

a

y

b

omo variables, entones podemos esribir el valor de

A

en funiónde

a

y

b

:

A(a, b) =

Z

b

a

(4)

Por ejemplo, si

y(x) =

e

x

:

A

=

Z

b

a

e

x

dx

= e

b

₋

e

a

A(a, b) = e

b

₋

e

a

(6.1)

Laexpresión(6.1)nospermitealulardiretamenteelvalordelárea

A

unavezonoidos losvaloresde

a

y

b

. Deeste modo,

A(0,

1) =

e

−

1

y

A(2,

4) =

e

4 ₋

_e

2

.

Ejemplo 6.3 ( Lanzamiento de proyetiles )

Consideremos un añón que dispara un proyetil desde el suelo, on ierto ángulo de

lanzamiento

θ

yveloidad

v

(ver Figura6.1).

Figura6.1:Tiro parabólio

En esteaso, un modeloquenospermitealular laposiión

x

delproyetil ysu altura

y

en ada instante detiempo

t

vienedado por lasfuniones:

(

x(t, v, θ) =

t v

cos

θ

y(t, v, θ) =

v

sen

θ

₋

g t

2 /2

(6.2)

Asípues,

x

e

y

sonfunióndeltiempo(

t

),delaveloidadiniial (

v

) ydelángulodetiro (

θ

).Delaseuaiones (6.2)sepuede deduirlaposiión vertial(

y

)en funiónde

x

,

v

y

θ

:

y(x, v, θ) =

x

tg

θ

₋

gv

2 2v

2 _cos

2 _θ

(6.3)

Observa la Figura 6.2. En (a) hemos tomado diversos valores de

v

y trazado las o-rrespondientes gráas de

y

en funión de

x

, on

θ

onstante en todasellas. En (b) hemos tomado diversosvalores de

θ

y trazado las orrespondientes gráas de

y

en funión de

x

, on

v

onstante entodasellas.

Ejemplo 6.4 ( Distribuión de alor en una barra)

Supongamosquedeseamosestudiarómoambialatemperatura

T

deunabarrametália delongitud

L

.Elvalorde

T

enunpuntodelabarravienedadopordosvariables,laposiión

(5)

Figura6.2: Tiroparabólio 2

laFigura6.3(a),hemostrazadounaposibleevoluióndeladistribuiónde

T

alolargodela barraendiversosinstantesdetiempo

t

(porejemploenelasodeunabarraonextremosa temperaturaonstanteyquesealientaenelentro). Asípues,laguramuestralasgráas

de

T

(x, t)

para iertos valores josde

t

. Naturalmente,

T

(x,

0)

es ladistribuión iniial de temperatura alolargo de labarra.

Figura6.3: Distribuión de alor

En ambio, en la Figura 6.3(b) hemos trazado una posible gráa del valor de

T

en determinadospuntosjosdelabarra.Asípues,laguramuestralasgráasde

T

(x, t)

para diversosvalores de

x

(por ejemplo el enfriamiento de una barra alentada omo en el aso anterior). En este aso, las funiones

T

(0, t)

y

T

(L, t)

indian ómo evoluiona respeto al tiempo latemperatura en los extremosdelabarra.

Las gráas anteriores se han trazado dando un valor jo a una de las variables. Pero

podemosdar tambiénunaimagendelmodoen queevoluionalatemperatura

T

en labarra en funión de ambasvariables

x

y

t

. Para ello neesitamos un gráo en elespaio. Proe-demosasí.Tomamos varios valoresjosde

x

ytrazamoslasorrespondientesurvas

T

(x, t)

(ver Figura6.4(a)).Luego tomamosvarios valoresjosde

t

ytrazamoslasorrespondientes urvas

T

(x, t)

(ver Figura6.4(b)).

Si trazamosambasfamiliasdeurvasenunmismográoespaial,podemosobservarel

modo enque evoluiona

T

en términos de

x

yde

t

simultáneamente (Ver Figura6.5). En denitiva,para ada punto

(x, t)

hemos situado en eleje

OZ

elvalor de

T

(x, t)

. El resultado es una superie 3D. Cortando esta superie on

x

=

K

, obtenemos una urva

(6)

Figura6.4: Temperatura en 3D

Figura 6.5:Temperatura en 3D(2)

que nos india ómo evoluiona la temperatura en ese punto

x

jo de la barra, a medida que transurre el tiempo. En ambio, si ortamos la superie on

t

=

K

, obtenemos una urva quenosindiael valor delatemperatura enada punto

x

de labarra eneseinstante jo. Naturalmente, podemos ambiar ladensidad de estasurvaspara trazar la superie,

omoaparee en laFigura6.6.

Ejeriio 6.1 Otros ejemplos de funiones de varias variables que apareen en las

aplia-iones prátia son: temperatura

T

(x, y)

de ada punto

(x, y)

deuna hapa metália plana; temperatura

T

(x, y, z)

enadapunto

(x, y, z)

de unhorno;nivel deonentraión

C(x, y, z)

de ierto ontaminante en ada punto de una región del espaio. Empleando las ideas

an-teriores, en ada uno de estos ejemplos, trazar gráos que podrían orresponder a posibles

(7)

Figura 6.6:Diversasdensidades de temperatura en 3D

Hemos visto ómo en las apliaiones prátias interesantes surgen funiones de varias

variablesreales. Vamos adenir elonepto de manera formal.

Deniión 6.1 Sea

D

undominio plano. Una funiónreal dedos variables reales denida en

D

es una orrespondenia que asoia a ada punto

(x, y)

∈

D

un únio número real

f

(x, y)

.

Exatamente delmismomodosedenenlasfunionesreales detres,uatroonvariables

reales.

Ejeriio 6.2 Obtener yrepresentar gráamente eldominio deadauna delas siguientes

funiones reales. 1.

f

(u, v) =

1 u

+

v

2.

f

(x, y) =

p

x

2 ₊

_y

2

3.

f

(x, y) = ln

x

2 ₋

_xy

4.

f

(x, y, z) =

√

_xyz

5.

f

(x, y, z) =

√

x

+

y

+

z

₋

1

Ahora, eltrabajo que nosplanteamoses el mismo que para las funiones de una únia

variablereal,esdeir,setratadedesarrollaruninstrumentalmatemátioonelqueestudiar

ómo ambia unavariable

M

a medida que ambian los valores de las variables

x, y, z, . . .

de lasque depende. ¾Tendrásentidohablar de límite yontinuidad de funiones

M(x, y)

o

M

(x, y, z)

?¾Sepodránderivar?¾Integrar?¾Quésigniarán eneseasoladerivadayla in-tegral?¾Quéutilidadtendránestosoneptos?Iremosrespondiendoatodasestaspreguntas

(8)

6.2. Representaión gráa de

z

=

f

(

x, y

)

. Curvas de nivel Vamos a omenzar estudiando on más detalle el modo de representar gráamente

las funiones de dos variables

z

=

f

(x, y)

. Observa que para representar gráamente una funiónrealdeunavariable

y(x);

x

∈

D

⊂

R

,loquehaemosesrepresentaren elplanoel onjunto de puntos

(x, y(x))

tales que

x

∈

D

. Puesbien, omo hemos visto en el apartado anterior,laideapararepresentarlafunión

z

=

f

(x, y)

eniertodominio

D

⊂

R

2

esidéntia,

onsisteen representaren el espaioelonjunto depuntosdelaforma

(x, y, f

(x, y))

tales que

(x, y)

∈

D

. Este onjunto depuntosforma unasuperie.

Para trazar de forma aproximadamente la gráa de

z

=

f

(x, y); (x, y)

∈

D

, lo que haemoses:

Representar gráamente en el plano

y

=

k

la urva

z

=

f

(x, k)

, para diversos v a-lores de

k

. Es deir, ortamos la superie on planos perpendiulares al eje

OY

y representamos las urvasinterseión que sevan obteniendo.

Representar gráamente en el plano

x

=

k

la urva

z

=

f

(k, y)

, para diversos v a-lores de

k

. Es deir, ortamos la superie on planos perpendiulares al eje

OX

y representamos las urvasinterseión que sevan obteniendo.

Ejemplo 6.5 La Figura 6.7(a) representa de este modo la gráa dela funión

z

= 2.

6 +

(x

₋

0. 4)(y

₋

0. 4)

enel dominio

D

= [0.

4,

1. 4]

×

[0.

4,

1. 4]

. La Figura 6.7(b)representa en

D

= [

₋

4,

4]

_×

[

₋

4,

4]

la gráa de la funión

z

=

−

5/(1 +

exp(x

2 ₊

_y

2 ₎₎

.

Figura 6.7:Funiones

Se puede obtener informaión adiional de la gráa de

z

=

f

(x, y)

ortando la superie on unplanoperpendiularaleje

OZ

, esdeir,onun planodelaforma

z

=

k

. Observala Figura6.8. Hemosrepresentado:

(9)

6.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICADE

Z

=

F

(X, Y

)

. CURVAS DENIVEL 213

En(a), lasuperie denida por lafunión

z

= 40

−

4x

2 ₋

_y

2

En(b) lasuperie,elplano

z

= 33

, ylaurva interseión entreambos

En(),lasuperieyalgunasotrasurvasobtenidasinterseando lasuperie onun

planode laforma

z

=

k

.

Figura 6.8:Seiones

Veamos qué tipo de urva se obtiene en general interseando la superie denida por

z

= 40

₋

4x

2 ₋

y

2

yelplano

z

=

k

:

(

z

= 40

₋

4x

2 ₋

y

2 z

=

k

⇒

k

= 40

−

4x

2 ₋

_y

2 _⇒

x

2

40 −

k

4 +

y

2

40 ₋

k

= 1

⇒

x

2 _q

40 −

k

4

2 +

y

2 √

40 ₋

k

2 = 1

(6.4)

Así pues, se obtiene una elipse situada en el plano

z

=

k

, entrada en el punto

(0,

0, k)

y on semiejes

a

=

r

40 ₋

k

4 b

=

√

40 ₋

k

(k <

40)

(6.5)

Además, en vez de representarestas elipses en el espaio, podemos representarlas en el

plano

XY

, obteniendo las llamadas urvasde nivel.

Deniión 6.2 Sea

D

un dominio plano y

z

=

f

(x, y)

una funiónde dos variables reales denida en

D

. Llamamos urva de nivel a toda urva de la forma

k

=

f

(x, y)

, donde

k

es una onstante.

Como puede verse en laFigura 6.9, lasurvasde nivelsonla proyeión sobre elplano

(10)

Figura6.9:Curvasde nivel

Observa que una urva de nivel está formada por los puntos

(x, y)

en los que

z

toma el mismo valor. Por ejemplo, si

z

= 40

−

4x

2 ₋

_y

2

representara el valor de la temperatura

que tiene una hapa metália en ada punto

(x, y)

, entones para ada valor de

k

, la o-rrespondiente elipse de la Figura 6.9 agruparía los puntos

(x, y)

de lahapa que tienen la temperatura

k

. A medida que aumenta el valor de

k

(mayor temperatura), el valor de los semiejesdelaelipsedisminuyen(euaiones ??).El máximo detemperatura es

k

= 40

, que sealanza en el punto

(0,

0)

. En este aso, no existe urva de nivel, lainterseión entrela superie yelplano

z

= 40

se reduealpunto

(0,

0,

40)

.

Undetalleimportantequenospermiteextraerinformaióndeundiagramadeurvasde

niveleslaseparaiónqueexisteentredosurvasonseutivas.Lasurvasdenivel

f

(x, y) =

k

setrazanon inrementos onstantes delparámetro

k

. Por ejemplo, lasdiezurvasde nivel delaFigura6.9sehantrazadotomandolosvalores

k

= 30,

31,

32, . . . ,

39

.Observaenesta misma gura que las urvas de nivel están más próximas uanto más lejos se enuentren

del punto

(0,

0)

. Eso signia que en un punto

(a, b)

alejado del punto

(0,

0)

, un pequeño desplazamiento desde

(a, b)

hasta

(a

+

h, b

+

k)

puede dar lugar auna gran diferenia enel valorde la funión. Es deir, ladiferenia entre

f

(a, b)

y

f

(a

+

h, b

+

k)

(inremento de

f

) esmayor uanto más alejadoesté elpunto

(a, b)

delpunto

(0,

0)

.

Ejeriio 6.3 Para la funión

f

(x, y) = 40

−

4x

2 ₋

_y

2

, alular el inremento que

expe-rimenta la funión al pasar del punto

(a, b)

al

(a

+

h, b

+

k)

en los puntos

(0,

0),

(1,

1)

y

(10,

10)

, tomando un pequeño inremento (por ejemplo

h

= 0.

1, k

= 0.

2

). Interpretar el resultado obtenido.

Aabamos de ver ómo, para la funión

f

(x, y) = 40

−

4x

2 ₋

_y

2

(11)

f

(a, b)

y

f

(a

+

h, b

+

k)

(inremento de

f

)esmayor uanto más alejadoesté elpunto

(a, b)

del punto

(0,

0)

. En general, para una funión

z

=

f

(x, y)

, al desplazarnos desde el punto

(a, b)

alpunto

(a

+

h, b+

k)

(onpequeñosinrementos

h

y

k

),sielpunto

(a, b)

seenuentra en una zona en la que las urvas de nivel están muy juntas, entones el valor de

z

puede experimentar un gran inremento. Y si el punto

(a, b)

se enuentra en una zona en la que lasurvasdenivelestán muyalejadas, entones elvalor de

z

experimentaráun inremento menor. Diho de otro modo, la veloidad on que ambia la variable

z

es mayor en las zonas en las que las urvas de nivel están próximas que en aquellas zonas en las que las

urvas de nivel están alejadas. Como ves, vamos poo a poo dando forma a un onepto

que ya estudiamos para funiones de una variable

y

=

f

(x)

, la derivada, pero ahora para funionesde dosvariables

z

=

f

(x, y)

.

6.3. Apliaiones de las urvas de nivel

Veamos algunos ejemplos de situaiones prátias donde puede obtenerse informaión

muyvaliosade lasurvasdenivelde una funión

z

=

f

(x, y)

.

Ejeriio 6.4 Isobaras

Una magnitudimportante enMeteorología eselvalor

P

delapresióna niveldelmaren ada punto

(x, y)

de una zona geográa. Así pues, se tiene una funión real

P

=

F

(x, y)

, uyovalornormalmenteseexpresaenmilibares.Losvaloresdepresiónatmosfériasereogen

al mismo tiempo en numerosas estaiones meteorológias situadas en tierra, y en boyas

otantes sobre el mar. Al unir mediante líneas los puntos del mapa en los que la presión

atmosféria es la misma (por onvenio, a intervalos de uatro milibares), los meteorólogos

puedenhaerseunaideadeualeslasituaióngeneraldelapresiónenlazonadelasuperie

terrestre. Dihaslíneasse onoen en Meteorología on el nombre de isobaras, pero noson

mas que las urvas de nivelde lafunión presión, esto es, las urvas

F(x, y) =

k

, donde

k

valepor ejemplo

996,

1000,

1004,

et).

LaFigura6.10muestra unmapadeisobarastípio,orrespondiente aldía20deotubre

de2004.Observaquelasisobarasestánrelativamentepróximasenalgunaszonasgeográas

(entro de la Península Ibéria, por ejemplo) y muho más alejadas en otras (la zona del

Mediterráneo,porejemplo).Paraaquellaszonasenlasquelasisobarasestánmáspróximas,

en dos puntos en tierra relativamente eranos se pueden medir grandes diferenias en la

presiónatmosféria

P

.Enotraspalabras,laveloidaddeambiodelapresión

P

esmayoren aquellaszonasenlasquelasisobarasestánpróximas.¾YquésigniaestoenMeteorología?:

Fuertes vientos. En las zonas en las que las isobaras estén muy próximas, soplaránfuertes

vientos.Enlaszonasenlasquelasisobarasesténalejadas,elviento serádébil.Porejemplo,

en el mapade laFigura 6.10 lasisobaras sobre la zona del País Vaso están relativamente

próximas,yaqueldíaseregistraronenlaestaiónmeteorológiadeCerroja(Bizkaia)rahas

de viento huraanado de

143

Km/h.

(12)

Figura6.10: Isobaras

En los mapas topográos se representa el desnivel del terreno en altura

H

=

H(x, y)

en ada punto

(x, y)

por medio de urvas de nivel. Las urvas de nivel se forman uniendo los puntos que están a la misma altura respetoal niveldel mar (Figura 6.11). Lasurvas

denivelsellamanisohipsassiseenuentranporenima delniveldelmareisobatasuando

seenuentran por debajo.

Figura6.11: Creaión de urvasde nivel

Observa laFigura 6.12. Hemos representado un mapatopográo de

60

Km

2

de ierta

(13)

A

y

B

,hemostrazadodeformaaproximadaelperldelaminoentreambospuntos. Perles de este tipo apareen, por ejemplo, en los libros de senderismo y en la informaión sobre

las etapas de las vueltas ilistas. Las zonas de terreno en las que las isohipsas están más

próximas, indian pendientes más pronuniadas, terreno más abrupto, un pequeño

despla-zamiento horizontal puede dar lugar a una fuerte subida. Las zonas de terreno en las que

lasisohipsas estánmás separadas, indian menorespendientes, terreno más llano.En otras

palabras,laveloidadde ambiodelavariablealtura

H

,será mayoren laszonasenlasque lasisohipsas esténmás juntas.

Figura6.12: Curvasde nivel

Ejeriio 6.6 Sobre la Figura 6.12:

1. Trazar elperldelterreno entre lospuntos

C

y

D

siguiendouna trayetoria reta.

2. Calular aproximadamente ladistaniasobre elterreno entreambospuntos.

3. Supongamos que haemos el reorrido en bii y que deseamos evitar las pendientes

muy pronuniadas. Elige una trayetoria entre los puntos

C

y

D

lo más orta que puedas.

(14)

6.4. Algunas superies lásias

Como hemos visto, para trazar un bosquejo de la superie denida por una funión

z

=

f(x, y)

, lo que haemos es trazar algunas urvas obtenidas interseando la superie on losplanos

x

=

k, y

=

k, z

=

k

. Para lafunión

z

= 40

−

4x

2 ₋

_y

2

, lainterseión entre

lasuperieyelplano

z

=

k

dalugaraunaelipse. Essenilloomprobarquelainterseión onelplano

x

=

k

dalugar aunaparábola,yourrelomismo onelplano

y

=

k

(ver enla Figura6.8estasparábolas).Por ello,lasuperie denidapor lafunión

z

= 40

−

4x

2 ₋

_y

2

sellamaparaboloide elíptio.

Ejeriio 6.7 En la Figura 6.13 se muestran algunas superies que apareen

freuente-menteenlasapliaionesprátias.Suseuaionessonlasque vienenaontinuaión.¾Eres

apaz de asoiar ada superie on su orrespondiente euaión?

1.

x

2 a

2 +

y

2 b

2 = 1 +

z

2 c

2

2.

z

=

x

2 a

2 +

y

2 b

2

3.

x

2 a

2 +

y

2 b

2 =

z

2 c

2 −

1

4.

x

2 a

2 +

y

2 b

2 =

z

2 c

2

5.

−

x

2 a

2 +

y

2 b

2 =

cz

6.5. Superies ilíndrias

ObservalaFigura 6.14(a).Hemosrepresentado laparábola

y

=

x

2 ₋

₁

en elplano

XY

. Es deir,hemos representado enel espaioelonjunto de puntos denidopor las siguientes

dosondiiones analítias:

(

y

=

x

2 ₋

1 z

= 0

Sin embargo, ¾qué ourre si eliminamos la segunda ondiión,

z

= 0

? ¾Qué onjunto de puntos representa en el espaio la ondiión

y

=

x

2 ₋

₁

? Observa que esta ondiión

y

=

x

2 ₋

₁

india que la variable

z

no tiene ninguna restriión, puede tomar ualquier valor

z

∈

(

−∞

,

∞

)

. El onjunto de puntos del espaio

(x, y, z)

talesque

y

=

x

2 ₋

₁

dene

una superie formada por las retas que pasan por el punto

(x, y)

y paralelas al eje

OZ

. Lasguras6.14(b,,d)muestran unfragmento deesta superie observada desdediferentes

(15)

Figura 6.13:Superiesdel ejemplo6.7

ilindro. La urva plana

y

=

f

(x)

que dene lasuperie ilíndria se llama diretriz. Las retasparalelas aleje OZ quegeneran elilindro sellamangeneratries.

La Figura 6.15 muestra otro fragmento de ilindro, en este aso tiene omo diretriz

una elipse. Pero observa que, en general, un ilindro puede tener omo diretriz una urva

no errada. Además,la diretriz puede ser también una urva situada en ualquiera de los

planos oordenados

XZ

o

Y Z

. En general, una superie ilíndria vienedenida por una urva

F

(x, y) = 0

(ilindro paralelo al eje

OZ

),

F(x, z) = 0

OY

) o

F

(y, z) = 0

OX

). El ilindro es siempre paralelo al eje uya oordenadafalta en laurva diretriz.

Ejeriio 6.8 LaFigura6.16muestrafragmentosdelassuperiesilíndriasdenidaspor

(16)

Figura6.14: Superiesilíndrias

(17)

on su diretriz?

Ejeriio 6.9 Representa gráamente las siguientes superies

1.

x

=

y

2 a

2 +

z

2 b

2

2.

(x

₋

x

0 )

2 a

2 +

(z

₋

z

0 )

2 b

2 =

(y

₋

y

0 )

2 c

2

3.

x

=

1 y

2

4.

y

2 ₊

_z

2 ₌

_R

2

5.

y

=

z

2 _{+ 2}

6.6. Sólidos denidos por superies

Aveesnosinteresaonstruir unsólidoenelespaioyestudiarsusdiversosparámetros:

volumen, área de su superie, antidad de materia que ontiene, oordenada de su entro

de gravedad, et. Iremos estudiando el modo de alular esos parámetros. De momento,

sólo observaremosqueun sólido

S

puede a vees representarse mediante las superiesque forman sufrontera.

Ejeriio 6.10 LaFigura6.17muestra tres sólidos,denidosporlosgrupos deondiiones

analítias indiadas más abajo. Setratade asoiaradasólido on su grupo de ondiiones

(18)

Figura6.17: Sólidosdelejeriio 6.10 1.

(

x

2 ₊

_y

2 ₌

_z

z

= 1

2.

(

z

=

p

x

2 ₊

_y

2 z

= 1

₋

p

x

2 ₊

_y

2

3.











x

2 +

y

2 = 4

x

2 +

y

2 + (z

₋

2)

2 = 4 2

_≤

z

_≤

4 z

= 0

6.7. Representaión gráa de funiones w=f(x,y,z). Sup

er-ies de nivel

Hemos visto ómo una funión

f

(x, y)

denida en ierto reinto plano

D

⊂

R

2

, puede

representar una magnitud físia importante (temperatura, onentraión de materia,

pre-sión, altura, et). Pues bien, una funión

f

(x, y, z)

denida en un dominio

D

⊂

R

3

puede

representar también una determinada magnitud físia medida en ada

(x, y, z)

∈

D

. Por ejemplo,

D

podríaserelinteriordeunhorno y

T

=

f

(x, y, z)

envalordelatemperatura en ada punto

(x, y, z)

.

Reuerda que para representar una funión de una variable

y

=

f

(x)

utilizamos un diagrama en

R

2

; para representar una funión de dos variables

z

=

f

(x, y)

utilizamos un diagrama en

R

3

. Del mismo modo, para representar una funión de tres variables

w

=

f

(x, y, z)

neesitaríamosun diagramaen

R

4

, loualno esposible.

Pues bien,la ideaonsiste endibujar los niveles de lafunión

w

=

f

(x, y, z)

, esdeir, damos valores a la onstante

k

y representamos los puntos

(x, y, z)

del espaio tales que

(19)

f

(x, y, z) =

k

. Geométriamente, estosniveles sonsuperiesen

R

3

, llamadas preisamente

superiesde nivel.

Deniión 6.3 Sea

D

undominiodelespaioy

w

=

f

(x, y, z)

unafunióndetresvariables reales denidaen

D

.Llamamossuperiedeniveldelafuniónatodasuperiedelaforma

k

=

f

(x, y, z)

, donde

k

es una onstante.

Ejemplo 6.6 Supongamos que la onentraión de materiade ierto sólido úbio enada

punto

P(x, y, z)

es proporional a la distania entre

P

y uno de sus vérties. Así pues, el valor de la masa puntual vendrá dada en ada punto

P

(x, y, z)

por la funión

C(x, y, z) =

M

p

x

2 ₊

_y

2 ₊

_z

2

. Las superies de nivel serán

C(x, y, z) =

k

, es deir,

k

M

2 =

x

2 +

y

2 +

z

2

, esferas entradas en el origen y radio

k/M

. Para ada valor de

k

, la superie de nivel orrespondiente está formada por aquellos puntos

P

(x, y, z)

tales que elvalor de la onentraión demateriaeselmismo.La Figura6.18representaalgunasdeestassuperies

de nivel.

Ejemplo 6.7 UnamasaMdeneunampo gravitatorio alrededor deM.Elvalordelampo

es idéntio en todos los puntos que se enuentren a la misma distaniade M.Así pues, las

superies de nivel (llamadas superies equipoteniales) son esferas entradas en M. La

Figura 6.19 muestra algunas de esas superies equipoteniales, suponiendo que la masa

está situadaenel origen deoordenadas.

Ejemplo 6.8 Cuando unaorriente elétria irula porunondutor,se genera unampo

magnétio alrededor delmismo.El valor

V

del ampo magnétio será idéntio enlos puntos

(x, y, z)

situadosalamismadistaniadelondutor.LaFigura6.20representa unondutor formado por varias espiras de able y dos superies denivel.

(20)

6.8. Límite y ontinuidad de una funión

z

=

f

(

x, y

)

Vamos aomenzarelestudiodelmodoen queseomportaunafunióndedosvariables

z

=

f

(x, y)

enlas eraníasdeun punto

(a, b)

. ObservalaFigura6.21.Hemosrepresentado gráamente lasiguiente funiónen eldominio

D

= [0,

2]

×

[0,

1]

:

z

=

(

2x

2 + 1

si

0 ≤

x

≤

1

2 ₋

x

si

1 ≤

x

≤

2

(21)

6.8. LÍMITEYCONTINUIDADDE UNAFUNCIÓN

Z

=

F

(X, Y

)

225

Figura6.21: Límite yontinuidad

Enseguida vemos que la funión

f

(x, y)

se omporta de un modo muy diferente en las eranías de los puntos

P

(1,

0. 5)

y

Q(1.

5,

0. 5)

. A la vista de la gráa, paree razonable aliar omo ontinuo al omportamiento de

f

(x, y)

en el punto

Q(1.

5,

0. 5)

y de dis-ontinuo al omportamiento de

f(x, y)

en

P(1,

0. 5)

. Más aún, podemos asegurar que la funión

f

(x, y)

esdisontinua en todoslospuntosdel dominioquetengan laforma

(1, y)

. Sin embargo, a vees no es suiente la gráa de la funión

f

(x, y)

para desribir de qué modo seomportadihafunión enlas eranías deun punto

(a, b)

. Observa lagráaque aparee enlaFigura 6.22. Hemosrepresentado en unentornodel punto

(0,

0)

dosvistas de lafunión

z

=

x

2 ₋

_y

2 x

2 ₊

_y

2

(6.7)

¾Es ontinua en

(0,

0)

?: Esta funión no está denida en el punto

(0,

0)

, ymediante su gráaesdifíil estudiar elmodo enque seomportaen las eraníasde este punto.

Asípues,aligualquehiimosparalasfunionesdeunavariablereal,neesitamosesribir

(22)

Figura6.22: Funión

z

=

x

2 ₋

_y

2 x

2 ₊

_y

2

una variable. Observalagráa delafunión

y(x)

queaparee en laFigura6.23.

Figura 6.23: Funiónde una variable

Veamos ómo seomporta

y(x)

enalgunos de lospuntosdel dominio:

(23)

Z

=

F

(X, Y

)

227

límiteslaterales existen yoiniden on estevalor.

Enelpunto

x

= 1.

5

lafuniónestádenida yesontinua porquelos límiteslaterales existen yoinidenon

y(1) = 2.

5

.

En el punto

x

= 2

la funión está denida y existe límite

L

= 2.

819

, pero no es ontinua porque L nooinide on

y(2) = 3.

5

.

Enelpunto

x

= 3

lafuniónestá denidaperonoexiste límiteyaqueellímiteporla dereha (

2.

5

) esdistinto dellímite por laizquierda (

1.

423

).

Como en este ejemplo, para funiones de una variable real

y(x)

, el estudio de la exis-tenia de límite

L

en un punto

x

=

a

se redue a estudiar si oiniden on

L

los límites lateralesenesepunto.Después, lafuniónseráontinua en

x

=

a

si

L

=

y(a)

. Sinembargo, uando intentamos llevar estasideas a las funiones de dosvariables,nos enontramos on

un problema. Observa laFigura 6.24(a). Hemos representado iertodominio

D

⊂

R

2

y un

punto

(a, b)

∈

D

.Deseamosqueelpunto

(x, y)

∈

D

tiendahaia

(a, b)

,peroahoranoexisten izquierda nidereha delpunto

(a, b)

. Para aproximarnosalpunto

(a, b)

podremosseguir diferentesaminos ourvas

y

=

c(x)

talesque

l´ım

x

→

a

c(x) =

b

La Figura6.24(b) muestra algunos de talesaminos.

Figura6.24: Caminos

Así pues,esta eslaideaquepodemos utilizar para araterizarlaexistenia delímite y

laontinuidad de

z

=

f(x, y)

:

Elnúmeroreal

L

esellímiteuando

(x, y)

→

(a, b)

de

z

=

f

(x, y)

si:independientemente de la trayetoria que siga elpunto

(x, y)

∈

D

para tender haia elpunto

(a, b)

, el valor de

(24)

z

=

f

(x, y)

siempre tiendehaia el mismo valor

L

. Si además

L

=

f

(a, b)

, entones

f

(x, y)

esontinua en

(a, b)

.

Ahora vamos a esribir deun modo formalestasideas:

Deniión 6.4 Sea

z

=

f

(x, y)

una funión denida en ierto dominio

D

⊂

R

2

, y

L

un número real. Ese valor

L

es el límite de

f

(x, y)

uando

(x, y)

→

(a, b)

si se umple la siguiente ondiión:dada una urva ualquiera

y

=

c(x)

ontenida en

D

tal que

l´ım

x

→

a

c(x) =

b

entones

l´ım

x

→

a

f

(x, c(x)) =

L

Esta ondiiónsedenota delsiguiente modo:

l´ım

(

x,y

)

→

(

a,b

)

f

(x, y) =

L

Deniión 6.5 Sea

z

=

f

(x, y)

una funión denidaen ierto dominio

D

⊂

R

2

y

(a, b)

∈

D

. La funiónes ontinua en

(a, b)

sitiene límite en

(a, b)

y su valor oinideon

f(a, b)

. Esta ondiiónse denota delsiguiente modo:

l´ım

(

x,y

)

→

(

a,b

)

f

(x, y) =

f

(a, b)

Undetalleatenerenuenta:Aligualquesuedeonlasfunionesdeunavariable,para

que exista el límite

L

en un punto

(a, b)

, no es neesario que el punto

(a, b)

se enuentre dentrodel dominio

D

de

f

(x, y)

, esdeir, no tiene por qué existir

f

(a, b)

. En ambio, para que la funión

f

(x, y)

sea ontinua en

(a, b)

, es neesario que exista

f

(a, b)

. Por ejemplo, funión(6.7) noestádenidaenelpunto

(a, b) = (0,

0)

, demodo quenoesposibleestudiar su ontinuidad en tal punto. Sin embargo, para

z

=

f

(x, y)

puede estudiarse la existenia de límite enese punto.

Observala Figura6.25. Hemosrepresentado eldominio

D

de iertafunión

z

=

f

(x, y)

ontrazo punteado, queriendodeiron elloquelafunión

z

=

f(x, y)

estádenida sóloen lospuntosinterioresa

D

,noenlospuntosdelafronterade

D

.Elpunto

(a, b)

noseenuentra en

D

,por tanto no puede estudiarselaontinuidad de

z

=

f

(x, y)

en

(a, b)

. Ysinembargo, síquepuede estudiarselaexistenia delímite de

z

=

f

(x, y)

uando

(x, y)

→

(a, b)

, porque podemos haer que

(x, y)

→

(a, b)

mediante urvasontenidas en

D

. En ambio, no tiene sentido tratar de estudiar el límite de

z

=

f

(x, y)

uando

(x, y)

→

(c, d)

, porque no hay forma detender alpunto

(c, d)

mediante urvasqueseenuentren dentrode

D

.

Ejeriio 6.11 Dadoundominio

D

⊂

R

2

,dene demaneraformallosoneptos depunto

interior a

D

, punto frontera de

D

y punto exterior a

D

. Enuentra ejemplos. Explia las ondiiones que debe umplir un punto

(a, b)

para que pueda estudiarse el límite de

(25)

Z

=

F

(X, Y

)

229

Figura6.25: Punto exteriorypunto frontera

Ejemplo 6.9 Vamosa tomar denuevo la funión(6.6)y aestudiar la existeniade límite

en los puntos

P

(1,

0. 5)

y

Q(1.

5,

0. 5)

. Observa la Figura 6.26. Para el punto

P

(1,

0. 5)

, hemos enontrado dos urvas C1 y C2 que tienden haia

P

, y las orrespondientes urvas imagensobrelasuperie(L1yL2)onvergenhaiapuntosdistintos(lospuntos

(1,

0. 5,

3)

y

(1,

0. 5,

1)

respetivamente).Asípues,elvalorhaiaelqueonvergelaoordenada

z

=

f

(x, y)

uando

(x, y)

→

(1,

0. 5)

dependedelatrayetoria quesigaelpunto

(x, y)

,yenonseuenia no existe límite en

(1,

0. 5)

.

Enambio,sitomamosunaurvaualquieraC3queonvergehaiaelpunto

Q(1.

5,

0. 5)

, laurvaimagensobrelasuperie(L3)siempreonvergehaiaelmismopunto

(1.

5,

0. 5,

0. 5)

. Esodemuestraellímite existeyvale

0.

5

. Como

f

(1.

5,

0. 5) = 0.

5

, lafuniónesontinua en

Q(1.

5,

0. 5)

.

Ejemplo 6.10 Estudiemoslaexisteniadelímiteen

(0,

0)

paralafunión

z

=

xy/(x

2 _+y

2 ₎

.

Vamos a haerque elpunto

(x, y)

tienda haia

(0,

0)

siguiendo trayetorias paralelas a losejesoordenados. Esdeir:

Tomamos

y

= 0

,

x

→

0

, setiene:

l´ım

x

→

0 y

= 0

xy

x

2 ₊

_y

2 = l´ım

_x

_→

₀

0 x

2 = 0

Ahoratomamos

x

= 0

,

y

→

0

, setiene:

l´ım

y

→

0 x

= 0

xy

x

2 ₊

_y

2 = l´ım

_y

_→

₀

0 y

2 = 0

(26)

Figura6.26: Funión

z

=

x

2 ₋

_y

2 x

2 ₊

_y

2

Esteresultado nidemuestra queexistelímite ni demuestra queno existe(¾por qué?).

Estosdoslímitessellamanlímitesiterados.Loslímitesiteradospueden utilizarsepara

demostrar que el límite no existe (en el aso de que sean diferentes), pero en el aso

de queloslímites iteradosoinidan, no podemos asegura queellímite exista.

Vamos a haer que el punto

(x, y)

tienda haia

(0,

0)

siguiendo la familia de retas

y

=

mx

, donde

m

esunaonstante real arbitraria. Eneste aso:

l´ım

x

→

0 y

=

mx

xy

x

2 ₊

_y

2 = l´ım

_x

_→

₀

mx

2 x

2 ₊

_m

2 _x

2 =

m

1 +

m

2

Así pues, el valor haia el que onverge la oordenada

z

=

f

(x, y)

depende de la trayetoriaquesigaelpunto

(x, y)

→

(0,

0)

.Enonseuenia,noexistelímiteen

(0,

0)

. También podemoshaer queelpunto

(x, y)

tienda haia

(0,

0)

siguiendolafamilia de parábolas

y

=

mx

2

,obteniendoelmismoresultado.LaFigura6.27(a)muestraalgunas

(27)

6.9. PLANOTANGENTEAUNASUPERFICIE

Z

=

F(X, Y

)

:DERIVADASPARCIALES231

imagen onvergen haia puntos diferentes, es deir, el valor haia el que onverge la

oordenada

z

=

f

(x, y)

depende de la trayetoria que se siga uando

(x, y)

→

(0,

0)

. La Figura6.27(b) muestra también lasuperie

z

=

f

(x, y)

.

Figura6.27: Caminos ysusimágenes

Ejeriio 6.12 Demostrar que la funión

z

=

xy

x

+

y

no admite límite en el punto

(0,

0)

. AYUDA: utilizarlos límites iterados y las urvas

y

=

x

3 ₋

_{x, y}

₌

_x

2 ₋

_x

.

Ejeriio 6.13 Demostrar que la funión

z

=

x

2 _y

x

2 ₊

_y

2

admite límite en el punto

(0,

0)

. AYUDA: primero demostrar que el límite, si existe, debe ser

0

. Luego, tomar una funión arbitraria

y(x)

tal que

y

→

0

uando

x

→

0

, y estudiar los ordenes on que numerador y denominador tienden haia

0

.

Ejeriio 6.14 Estudiar la existenia delímite en elpunto

(0,

0)

dela funión

z

= 3 +

1 x

2 ₊

_y

2

,uya gráa aparee enla Figura6.28.Utilizar esteejemploparadenirde manera formal elonepto de límite innito deuna funión

z

=

f

(x, y)

enun punto

(a, b)

.

6.9. Plano tangente a una superie

z

=

F

(

x, y

)

: derivadas pariales

Reuerda que,para funiones

y(x)

deunavariablereal,laeuaiónde laretatangente enunpunto

x

=

a

nossirvepara obtenerunaaproximaiónde

y(x)

enunentornode

x

=

a

. La Figura6.29muestra el proeso queseguimos para obtener estareta tangente.

(28)

Figura6.28: Funión

z

= 3 +

1 x

2 ₊

_y

2

Figura6.29: Retatangente en

R

2

1. Trazamos la reta seante a la urva por los puntos

(a, y(a))

,

(a

+

h, y(a

+

h))

. Esta reta tieneomo pendiente m elvalor

m

=

y(a

+

h)

−

y(a)

h

2. Haiendoque

h

→

0

,onseguimosquelaretaseanteonverjahaialaretatangente. Lapendiente

m

deestaretaserá,siexiste,elsiguientevalor,alquellamamosderivada

(29)

Z

=

F(X, Y

)

:DERIVADASPARCIALES233 de

y(x)

enel punto

x

=

a

:

y

′

_{(a) = l´ım}

h

→

0 y(a

+

h)

₋

y(a)

h

3. La euaión delareta tangente alafunión

y(x)

por elpunto

x

=

a

será:

y

=

y(a) +

y

′

_(a)(x

₋

_a)

4. Llamamos diferenial de

y(x)

en el punto

x

=

a

a la expresión

df(h) =

y

′

_(a)h

. Para

alular elvalor aproximadode

y(a

+

h)

empleandoladiferenial:

y(a

+

h) =

y(a) +

y

′

_(a)(x

₋

_a)

Pues bien, vamos a tratar de llevar estas ideas a las funiones de dos variables.

Su-pongamos que

z

=

F(x, y)

está denidaen un dominio

D

⊂

R

2

ytomamos un punto

(a, b)

_∈

D

.ObservalaFigura6.30(a).Enesteasono existeunaúnia retatangente por elpunto

(a, b, F(a, b))

, sino innitas. La ideaonsiste en alular de algún modo elplanotangente,que ontendrá a todaslasretastangentes (Figura 6.30(b)).

Figura6.30: Planotangente

El proesoqueseguiremos esidéntioalqueempleamospara funionesdeuna variable:

trazamos un plano seante a la superie y luego haemos que ese plano seante onverja

haiael planotangente. Conmás detalle:

1. Para alularlaeuaión delplanoseante,utilizaremoslostrespuntos

(a, b, F

(a, b))

,

(a

+

h, b, F

(a

+

h, b))

y

(a, b

+

k, F

(a, b

+

k))

, donde

h

y

k

son pequeñosinrementos de lasvariables (ver Figura6.31(a)).

(30)

2. Calulamos elplanoseante (ver Figura 6.31(b)).

3. Haemosque

(h, k)

→

(0,

0)

, ver Figura6.31()

4. Cuando los puntos

(a

+

h, b, F

(a

+

h, b))

y

(a, b

+

k, F

(a, b

+

k))

seonfunden on el punto

(a, b, F

(a, b))

, el plano que se obtiene (en elaso de que el límite exista)es el planotangente alasuperie, ver Figura6.31(d).

Ya tenemoslaro elsigniado geométrio de loquevamosa haer. Manosa laobra.

Los trespuntos:

A(a, b, F

(a, b)), B(a, b

+

k, F

(a, b

+

k))

y

C(a

+

h, b, F

(a

+

h, b))

Losvetores diretoresdelplano:

−−→

AB

= (0, k, F

(a, b

+

k)

₋

F

(a, b))

−→

AC

= (h,

0, F

(a

+

h, b)

₋

F

(a, b))

El vetorperpendiularalplano (produtovetorial

−−→

AB

_×

−→

AC

) será:

−−→

AB

_×

−→

AC

=

i

j

w

0 k F

(a, b

+

k)

₋

F

(a, b)

h

0 F(a

+

h, b)

₋

F

(a, b)

=

k(F

(a+h, b)

₋

F(a, b)), h(F

(a, b+k)

₋

F

(a, b)),

₋

hk

Ahoradividimos elvetor resultante entre

hk

yobtenemoselvetor

V

~

busado:

~

V

=

F

(a

+

h, b)

−

F

(a, b)

h

,

F

(a, b

+

k)

₋

F(a, b)

k

,

−

1

Así pues,las tres omponentesde

~

V

son:

V

x

(h) =

F

(a

+

h, b)

₋

F

(a, b)

h

V

y

(k) =

F

(a, b

+

k)

₋

F(a, b)

k

V

z

=

−

1

Como ves, para ada punto

(a, b)

jo,

V

x

sólo es funión de

h

,

V

y

sólo esfunión de

k

y

V

z

es onstante. La Figura 6.32muestra el vetor

V

~

perpendiular alplano seante yel vetor

−→

V T

perpendiular alplanotangente. Si existelímite uando

(h, k)

→

(0,

0)

, setiene

~

V

_→

−→

V T

Denotamos

−→

V T

=

F

x

(a, b), F

y

(a, b),

−

1

(31)

Z

=

F(X, Y

)

Figura6.31: Planotangente omo límite

Entones, haiendo elpasoallímite:

F

x

(a, b) = l´ım

h

→

0 F

(a

+

h, b)

₋

F(a, b)

h

(6.8)

F

y

(a, b) = l´ım

k

→

0 F

(a, b

+

k)

₋

F

(a, b)

k

(6.9)

(32)

Figura6.32: Vetoresnormales

Observa que lasrelaiones (6.8) y (6.9), on las quepodemos alular las omponentes

del vetor tangente

−→

V T

, son muy pareidas a la deniión de derivada de una funión de una variable. Veamos quésignia (6.8):

1. En la funión

F

(x, y)

, tomamos la oordenada

y

omo onstante,

y

=

b

. Geométri-amente, hemos obtenido la urva Cinterseión entre la superie

z

=

F

(x, y)

yel plano

y

=

b

(verguras 6.33(a,b)).

2.

F

x

(a, b)

es igual a la derivada respeto a

x

de la funión

F

(x, b)

. Geométriamen-te,

F

x

(a, b)

es igual a la pendiente de la reta tangente a la urva C por el punto

(a, b, F

(a, b))

(ver Figura6.33()). Una parametrizaión de laurvaC vienedada por

(t, b, F

(t, b))

yelvetortangente enada punto de lamismaserá

(1,

0, F

t

(t, b))

.

3. Reordando que la derivada de una funión

y(x)

en un punto

x

=

a

también se interpreta omo la veloidad instantánea on que ambia la variable

y

respeto a la variable

x

en el punto

x

=

a

, podemos interpretar el signiado de

F

x

(a, b)

del siguientemodo:elvalorde

F

x

(a, b)

esigualalaveloidadrespetoa

x

onqueambia la variable

z

=

F

(x, y)

uando se toma

y

=

b

. Además, fíjate en que para alular

F

x

(a, b)

podemosapliarlasreglasdederivaiónqueonoemos parafunionesdeuna variable.

(33)

Z

=

F(X, Y

)

Figura6.33: Tangente enun plano

Ejeriio 6.15 Consideremosla superie denida por la funión

z

=

F

(x, y) =

x

2 ₊

_y

2

.

(34)

2. Calulala urvainterseión entre la superie y elplano

y

=

b

. 3. Calulala reta tangente a esa urva.

4. Representa gráamente todo lo anterior.

Ahora veamos quésignia(6.9), ver Figura6.34.

1. En la funión

F

(x, y)

, tomamos la oordenada

x

omo onstante,

x

=

a

. Geométri-amente, hemos obtenido la urva Cinterseión entre la superie

z

=

F

(x, y)

yel plano

x

=

a

.

2.

F

y

(a, b)

es igual a la derivada respeto a

y

de la funión

F

(a, y)

. Geométriamen-te,

F

y

(a, b)

es igual a la pendiente de la reta tangente a la urva C por el punto

(a, b, F

(a, b))

. Una parametrizaión de la urva C viene dada por

(a, t, F(a, t))

y el vetor tangente en ada punto de lamisma será

(0,

1, F y(a, t))

.

Figura 6.34:Tangente a unaurva

3. Podemos tambiéninterpretarelsigniado de

F

y

(a, b)

delsiguiente modo:El valorde

(35)

Z

=

F(X, Y

)

uando se toma

x

=

a

. Al igual que para

F

x

(a, b)

, para alular

F

y

(a, b)

podemos apliarlas reglasde derivaión queonoemos para funionesde una variable.

Ejeriio 6.16 Consideremosla superie denida por la funión

z

=

F

(x, y) =

x

2 ₊

_y

2

.

1. Calula

F

y

(a, b)

.

2. Calulala urvainterseión entre la superie y elplano

x

=

a

. 3. Calulala reta tangente a esa urva.

4. Calulala euaión del plano tangente a la superie por elpunto

(a, b)

. 5. Representa gráamente todo lo anterior.

Así pues, hemos enontrado que las derivadas de la funión

z

=

F

(x, y)

respeto a

x

y respeto a

y

, resultan muy útiles para estudiar el modo en que se omporta la funión. Vamos adenir elonepto yadarle nombre.

Deniión 6.6 Llamamos derivada parialrespeto a

x

de una funión

z

=

F

(x, y)

enel punto

(a, b)

, al límite, si existe:

F

x

(a, b) = l´ım

h

→

0 F

(a

+

h, b)

₋

F(a, b)

h

Deniión 6.7 Llamamos derivada parial respeto a y de una funión

z

=

F(x, y)

enel punto (a,b), al límite, siexiste:

F

y

(a, b) = l´ım

k

→

0 F

(a, b

+

k)

₋

F

(a, b)

k

Observa que esposible denir las funiones derivada parial

F

x

(x, y), F

y

(x, y)

, que sonasuvezfunionesdedosvariablesreales.

F

x

(x, y)

seobtienetomando

y

omoonstantey derivandorespetoa

x

;

F

y

(x, y)

seobtienetomando

x

omoonstanteyderivandorespetoa

y

.Después,mediante lasfunionesderivadaparialesposibleevaluarlasderivadaspariales en ada punto

(a, b)

. Este onepto es similar al de funión derivada

y

′

_(x)

de una funión

y(x)

de variablereal.

Ejeriio 6.17 Demostrar que la existeniadederivadas pariales

F

x

(a, b)

,

F

y

(a, b)

no im-pliala ontinuidadenelpunto

(a, b)

.Demostrarque la ontinuidadde

z

=

F

(x, y)

en

(a, b)

no implia la existenia de derivadas pariales

F

x

(a, b)

,

F

y

(a, b)

.

AYUDA: Para la primera parte, utilizar la funión

F

(x, y) =







xy

x

+

y

si

(x, y)

6 = (0,

0)

0

si

(x, y) = (0,

0)

(36)

Apliando lasdeniiones6.6y6.7,demostrar que

F

x

(0,

0) =

F

y

(0,

0) = 0

.Pero

F

(x, y)

ni siquiera admite límite en

(0,0)

(ver Ejeriio 6.12). Para la segunda parte, utilizar las siguientes funiones:

G(x, y) =

_|

x

_|

H(x, y) =

_|

y

_|

P

(x, y) =

_|

x

_|

+

_|

y

_|

Probarquelastressonontinuasyqueexiste

G

y

(0,

0)

,noexiste

G

x

(0,

0)

,existe

H

x

(0,

0)

, no existe

H

y

(0,

0)

y no existen

P

x

(0,

0)

ni

P

y

(0,

0)

. Las guras 6.35(a,b,) muestran las gráas de

G(x, y), H

(x, y), P

(x, y)

, ¾eras apaz deidentiarlas?

Figura6.35: Continuidadyderivabilidad

Reuerda que, para funiones

y(x)

de una variable real, éramos apaes de identiar me-diante su gráa aquellos puntos

x

=

a

en los que la funión no era derivable: existe un pliegue en la gráa, la pendiente por la dereha ypor la izquierda del punto

x

=

a

no oinide(verelejemplodelaFigura6.36).Puesbien,parafunionesdedosvariablesourre

lomismo:observa quesusgráas tienen también unpliegue.

Según todo lo que hemos obtenido, la euaión del plano tangente a la superie

z

=

F

(x, y)

vienedada por:

z

= (x

₋

a)F

x

(a, b) + (y

−

b)F

y

(a, b) +

F

(a, b)

(6.10)

6.10. Aproximaión a

z

=

F

(

x, y

)

mediante la diferenial

Una vezquesabemosómoseobtieneelplanotangenteaunasuperie

z

=

F

(x, y)

por un punto

(a, b, F(a, b))

(euaión (6.10)), vamos a utilizar este plano para alular aproxi-maionesalafuniónenunentornode

(a, b)

.Apartirdelpunto

(a, b)

,tomamosunpequeño desplazamiento

(h, k)

en ada una de las variables, obteniendo el punto

(a

+

h, b

+

k)

. El valor exato de

z

=

F

(x, y)

en

(a

+

h, b

+

k)

es

F

(a

+

h, b

+

k)

. El valor aproximado de

(37)

Figura6.36: Derivabilidad en

R

2 z

=

F

(x, y)

utilizando(6.10)será

z

=

h

· F

x

(a, b)+k

· F

y

(a, b)+F

(a, b)

. Asípues,yatenemos una relaiónque nospermite alularaproximadamente

F

(a

+

h, b

+

k)

:

F

(a

+

h, b

+

k)

_≈

F

(a, b) +

h

_·

F

x

(a, b) +

k

· F

y

(a, b)

(6.11) Al prinipio del apartado 6.9 reordábamos que la diferenial de una funión de una

variable

y(x)

enel punto

x

=

a

es laexpresión

df

(h) =

hy

′

_(a)

, yque para alular elvalor

aproximado de

y(a

+

h)

empleandoladiferenial tomamos

y(a

+

h)

_≈

y(a) +

hy

′

_{(a) =}

_{y(a) +}

_df

_(h)

Pues bien, exatamente lo mismo ourre para funiones de dos variables,la diferenial

será en este aso

dF

(h, k) =

h

· F

x

(a, b) +

k

· F

y

(a, b)

, on lo ual la relaión (6.11) se transforma en

F

(a

+

h, b

+

k)

_≈

F

(a, b) +

dF

(h, k)

(6.12)

Ejeriio 6.18 Consideremos la superie denida por la funión

z

=

F

(x, y) =

x

2 ₊

_y

2

y el punto

(1,

2)

. Utilizando la diferenial (6.12), alula de forma aproximada el valor de

F

(1 +

h,

2 +

k)

tomando

(h, k) = (0.

5,

0. 6)

y

(h, k) = (0.

01,

0. 005)

. Calula elvalor exato de la funiónen ambos puntos, ompara la exatitud obtenida e interpreta los resultados.

6.11. Derivada de la funión ompuesta: regla de la adena

Supongamos que

z

=

F

(x, y)

representa ierta magnitud físia que nos interesa. Por ejemplo, zpuede ser:

La temperatura de unaplanha metália enada punto

(x, y)

.

Laintensidaddeorriente queirulapor uniruito,donde

x

e

y

sonparámetrosdel mismo (latensiónde alimentaión, resistenia,indutania, apaidad, et).

(38)

Hemos visto ómo las derivadas pariales

F

x

(a, b)

,

F

y

(a, b)

en ada punto nos indian las veloidades onqueambiaelvalorde

z

siseguimoslasdireionesdelosejesoordenados. Ahora bien, es posible que las variables

x

e

y

dependan a su vez de otras variables. Por ejemplo:

Si

z

=

F

(x, y)

es la temperatura de una planha metália en ada punto

(x, y)

, nos puede interesaronoerómo ambialatemperatura respetoaltiempo sinosvamos

desplazandopor laplanha siguiendoiertatrayetoria

x(t), y(t)

.Asípues, lafunión ompuesta resultante será

z(t) =

F

(x(t), y(t))

, y nosinteresará onoer la veloidad de ambiode

z

respetoal tiempo,esdeir,

z

′

_(t)

.

Si

z

=

F

(x, y)

es la intensidad de orriente que irula por un iruito, donde

x

e

y

son parámetros del mismo (la tensión de alimentaión, resistenia, indutania, apaidad,et), a su vezesos parámetros

x

e

y

pueden dependerde otrosparámetros omolaarga

c

onetada aliruito,latemperatura

s

, et.Por eso,quizá lafunión ompuesta resultante sea de la forma

z(c, s) =

F

(x(c, s), y(c, s))

. En ese aso, nos interesará onoer lasveloidades de

z

respetoa

c

yrespetoa

s

, esdeir,

F

c

y

F

s

. Reuerda ómo alulábamos la derivada de las funiones ompuestas de una variable

real. Si la variable

y

depende de

x

(y

=

y(x))

, y a su vez

x

depende de

u

(x

=

x(u))

, la funión ompuesta tiene la forma

y

=

y(x(u)))

, neesitaremos hallar

dy/du

. Observa la Figura 6.37. Resulta que la veloidad de ambio de

y

respeto a

u

, es el produto de las veloidades de ambiodelas dosetapas delaomposiiónde lafunión.

Figura 6.37: Reglade laadena

Pues bien,algo muypareido ourrepara funionesde dosvariables

z

=

F

(x, y)

. Si

x

e

y

dependen a su vez de las variables

u

y

v

, observa en laFigura 6.38 ómo sealulan las derivadaspariales

F

u

y

F

v

.Si

x

e

y

dependenambasdeunavariable

u

,lafuniónresultante

z(u) =

F

(x(u), y(u))

sederiva respetoa

u

omo seindia laFigura6.39.

6.12. Derivada direional

Dada una funión

z

=

F

(x, y)

, hemos visto que las derivadas pariales pueden inter-pretarse omo veloidades.

F

x

(a, b)

esla veloidad on que ambia la variable

z

=

F

(x, y)

(39)

Figura6.38: Derivada de lafuniónompuesta

Figura 6.39:Derivadatotal

uando el punto

(x, y)

se desplaza desde el punto

(a, b)

siguiendo la direión (y sentido reiente)del eje

OX

. Delmismo modo,

F

y

(a, b)

eslaveloidadon queambia lavariable

z

=

F(x, y)

uando el punto

(x, y)

se desplazadesde elpunto

(a, b)

siguiendo la direión (ysentido reiente) deleje

OY

.

Pues bien, ahora nos planteamos alular la veloidad on que ambia la variable

z

=

F

(x, y)

uando el punto

(x, y)

se desplaza desde el punto

(a, b)

siguiendo una direión ualquiera

~v

. Si, por ejemplo, la funión

F

(x, y)

representa la temperatura en ada punto

(x, y)

de unaplanha metália,nosinteresará saber aquéveloidad ambialatemperatura dependiendode ladireión

~v

quetomemos.

ObservalaFigura6.40.Unadireiónvienedadaporunvetorunitario

~v

= (cos

θ,

sen

θ)

. Ahoranosdesplazamosenesadireióndesdeelpunto

(a, b)

hastaelpunto

(a, b)+t(cos

θ,

sen

θ) =

(a

+

t

cos

θ, b

+

t

sen

θ)

.

El inremento delafunión

z

=

F

(x, y)

alpasardelpunto

(a, b)

alpunto

(a

+

t

cos

θ, b

+

(40)

Figura6.40: Direión

en elpunto

(a, b)

siguiendoladireión

~v

= (cos

θ,

sen

θ)

será:

F

v

(a, b) = l´ım

t

→

0 F

(a

+

t

cos

θ, b

+

t

sen

θ)

₋

F(a, b)

t

(6.13)

Vamos adenir elnuevo onepto quehemos enontrado.

Deniión 6.8 Ellímitedadoporlarelaión(6.13),siexiste,sellamaderivadadireional

de la funión

z

=

F(x, y)

en elpunto

(a, b)

, siguiendo la direión

~v

= (cos

θ,

sen

θ)

. Veamos en quéonsiste alularladerivada direional. Observa laFigura6.41.

1. Obtenemos laurva Cinterseión entrelasuperie

z

=

F(x, y)

yelplano

(x

₋

a) sen

θ

= (y

₋

b) cos

θ

2. Laderivada direional

F

v

(a, b)

esigual alapendiente delaretatangente alaurva Cporel punto

(a, b, F

(a, b))

.

Pero laexpresión (6.13) esdifíil de utilizar para alular elvalor de laderivada

dire-ional

F

v

(a, b)

. Vamos a tratar de enontrar una expresión más senilla.La idea esutilizar laaproximaiónmediante ladiferenial(6.12)para evaluarelnumerador de(6.13) deforma