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TEMA 7: ENERGÍA, TRABAJO Y CALOR. EJERCICIOS RESUELTOS

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Academic year: 2021

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(1)

1 A01 a) ¿Qué se entiende por fuerza conservativa? ¿Y por energía potencial? Indica algunos ejemplos de fuerzas conservativas y

no conservativas.

b) ¿Puede un mismo cuerpo tener más de una forma de energía potencial? Razona la respuesta aportando algún ejemplo. Solución

a) Una fuerza se dice que es conservativa cuando el trabajo que realiza no depende del camino. Por lo tanto, el trabajo solo dependerá de las posiciones inicial y final. Supone también que el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es cero.

A toda fuerza conservativa se le puede asociar una función, que se denomina energía potencial, EP, tal que:

W = EP(A) – EP(B).

Ejemplo de fuerzas conservativas son el peso (Tierra) y la fuerza elástica (resortes). Ejemplo de fuerza no conservativa, la fuerza de rozamiento (superficies), o la tensión (hilos).

b) Si. Un objeto que cuelga de un muelle, está sometido a las fuerzas de la tierra y elástica del muelle, ambas conservativas, por lo que podemos definir una energía potencial gravitatoria y una energía potencial elástica; dos energías potenciales.

A02 El trabajo de una fuerza conservativa entre dos puntos, ¿es menor si se realiza a través de la recta que los une? Solución

No. Por definición, el trabajo de una fuerza conservativa es independiente del camino seguido por la fuerza para desplazarse desde un punto entre al otro.

A03 Contesta si es verdadero o falso y justifica o explica tu respuesta:

a) La energía cinética, al igual que el trabajo, puede ser tanto positiva como negativa. b) La energía mecánica total de una partícula se conserva siempre.

c) La energía cinética depende del sistema de referencia. d) Siempre que ejercemos una fuerza, realizamos un trabajo Solución

a) Falso. La energía cinética no puede ser negativa, pues su expresión: EC = 1/2 m v2, es un producto de términos siempre

positivos. En cambio, el trabajo puede ser tanto positivo como negativo, pues en su expresión W = F e cos α, F y e son siempre positivos, pero cos α puede ser negativo.

b) Falso. La energía mecánica total, suma de la energía cinética y energías potenciales, se conserva solo si no se ejercen fuerzas no conservativas sobre la partícula. Es lo que se desprende del teorema del trabajo y las energías.

(B) E (B) E W (A) E (A) E C P F γ B, A P C   nocons  

c) Cierto. Dado que v depende del sistema de referencia, EC = 1/2 m v2, también dependerá del sistema de referencia.

d) Falso. Las fuerzas normales (perpendiculares a la trayectoria) no realizan trabajo. A04 ¿Puede ser negativa la energía cinética de una partícula? ¿Y su energía potencial?

Solución

La energía cinética no puede ser negativa, pues su expresión: EC 1/2 m v2, se trata de un producto de términos siempre

positivos.

En cambio si puede ser negativa la energía potencial. Y ello es así porque la energía potencial está indefinida en una constante (solo conocemos con exactitud la variación de energía potencial), y dependiendo de donde se tome el origen de potenciales, será el valor de la constante y por consiguiente el signo de la energía potencial. Normalmente se elige el origen de forma que la constante se haga cero.

A05 A un objeto de 50 kg, que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, le aplicamos una fuerza constante de 150 N en dirección horizontal. Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular su velocidad cuando se haya desplazado 2,0 m. Solución

Del Teorema del trabajo y las energías:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) EC  Pg  Pe  AB,noconsγ  C  Pg  Pe

Sobre el cuerpo se ejercen tres fuerzas, el Peso, que es conservativa, la fuerza del suelo y la fuerza horizontal de 150 N, ambas no conservativas.

Es fácil ver que :              J 300 0 cos 2,0 150 W W W W muelles) hay (no 0 E y altura) de cambios hay (no 0 E 150N 150N F cons no Pe Pg CS Luego: 50 v 0 0 v 3,5m/s 2 1 300 0 0 0      2B   B 150 N FOS A FOT = P B μ = 0

(2)

2 A06 Un niño desplaza horizontalmente un camión de juguete de 0,50 kg mediante una cuerda que forma un ángulo de 45º con la horizontal. Si ejerce una fuerza constante de 6,0 N a lo largo de 5,0 m y el coeficiente de rozamiento es 0,20; calcula el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el camión.

Solución J 21,2 45 cos 5,0 6,0 ) u , F ( cos d F cos d F WFCN  CN  CN CN tg       α J 0 90 cos d P cos d P WP α J 0,80 5,0 0,15 d F W N 0,15 0,74 0,20 F N 0,74 0,71 6,0 5,0 F 0 P 45 sen F F F 0,20 F μ F 180 cos d F W W W W roz F roz N CN N N N roz roz F F F F CS roz roz N CS                                    

A07 Una maceta cae desde un balcón situado a una altura de 15 m sobre el suelo. ¿Con qué rapidez llegará al suelo? Solución

Aplicamos el teorema del trabajo y las energías a la maceta: Sea A el instante en que la maceta comienza su caída y B el instante en que llega al suelo. Entonces será:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) ECPgPeAFnoconsB,CPgPe  

Sobre la maceta actúa una única fuerza, la que ejerce la Tierra, el peso de la maceta, que sabemos es conservativa. Luego:

0 (B) h g m (B) v m 2 1 0 0 (A) h g m (A) v m 2 1 2 2

Si elegimos el suelo como origen de alturas, quedará:

m/s 17,3 v(B) m/s 70 v(B) 0 (B) v m 2 1 15 10 m 0 2

A08 Lanzamos verticalmente hacia arriba un objeto de 3 kg de masa, con v = 15 m/s. Calcula la energía disipada por rozamiento con el aire si, cuando el objeto vuelve al suelo, su velocidad es 12,5 m/s.

Solución

Sea A el instante cuando lo lanzamos y B el instante cuando llega. Sobre el objeto se ejercen en todo momento dos fuerzas: el peso (conservativa) y la fuerza del aire (no conservativa). Si aplicamos el teorema del trabajo y las energías al objeto:

J 103 W 0 12,5 3 2 1 W 0 15 3 2 1 (B) E (B) E W (A) E (A) E roz Froz B, -A 2 F B, -A 2 P C cons no γ AB, P C          γ     γ

A09 Desde una ventana situada a 40 metros de altura se deja caer una maceta de 800 gramos de masa. La maceta llega al suelo con una velocidad de 25 m/s. ¿Cuánta energía se ha disipado por rozamiento con el aire durante la caída? Dato: g = 9,8 m/s2

Solución

Aplicamos el teorema del trabajo y las energías a la maceta: Sea A el instante en que la maceta comienza su caída y B el instante en que llega al suelo. Entonces será:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) ECPgPeAFnoconsB,CPgPe  

Sobre la maceta actúan dos fuerzas: la que ejerce la Tierra, el peso de la maceta, que sabemos es conservativa, y la del aire. No hay fuerzas elásticas. Si elegimos el suelo como origen de alturas, quedará:

J 63,6 W 0 25 0,8 2 1 W 40 9,8 0,8 0 (B) h g m (B) v m 2 1 W (A) h g m (A) v m 2 1 Faire B, A 2 Faire B, A 2 Faire B, A 2    γ γ γ

Es decir, la maceta transfiere una energía (trabajo) al exterior (signo −) de 63,6 J.

A10 Un camión de 2 000 kg de masa va a una velocidad de 72 km/h cuando frena y para en 4 segundos. Calcula el trabajo efectuado por la fuerza de frenado, la intensidad de dicha fuerza y la distancia que recorre hasta pararse.

Solución

Sea A el instante en que comienza a aplicar los frenos y B el instante en que se detiene. Aplicamos el teorema del trabajo y las energías al camión:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) ECPgPeAFnoconsB,CPgPe   45º FCN FCT = PC FCS 0,5 kg μ = 0,2 tg n FN Froz

(3)

3 Sobre el camión actúan dos fuerzas: la que ejerce la Tierra, el peso del camión, que sabemos es conservativa, y la del suelo. Ésta es la fuerza que frena el camión. Conviene descomponerla en FROZ y FN. WFN = 0. No hay fuerzas elásticas.

J 10 4 W 0 0 W 0 20 2000 2 1 (B) h g m (B) v m 2 1 W (A) h g m (A) v m 2 1 5 F B, A Froz B, A 2 2 F B, A 2 roz CS                   γ γ γ

De la definición de trabajo de una fuerza:

(1) J 10 4 d F ) v , F ( cos d F W 5 roz roz roz F B, Aroz        γ

Por otro lado, el camión describe un MRUA. La distancia que recorre hasta parar será:

m 40 e m/s 5 a 4 1/2a 4 20 e 4 a 20 0 t 1/2a t v e t a v v 2 tg 2 tg tg 2 tg 0 tg 0 F                      

Volviendo a (1), sustituyendo el valor de d (d ≡ e):

N 10000 F 10 4 40 F 5 roz roz     

A11 Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal, con una velocidad de 6,0 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,30, calcular el tiempo que tarda en detenerse y el espacio recorrido? Dato: g = 9,8 m/s2.

Solución

Sea A el instante en que se lanza el cuerpo y B el instante en que se detiene. Aplicamos el teorema del trabajo y las energías:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) ECPgPeAFnoconsB,CPgPe  

Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas: la que ejerce la Tierra, el peso, que sabemos es conservativa, y la del suelo. Ésta es la fuerza que frena al cuerpo. Conviene descomponerla en FROZ y FN. WFN = 0. No hay fuerzas elásticas.

m 18 W 0 0 W 0 6 m 2 1 (B) h g m (B) v m 2 1 W (A) h g m (A) v m 2 1 roz CS F B, A Froz B, A 2 2 F B, A 2                  γ γ γ

Por otro lado, de la definición de trabajo de una fuerza, de la ecuación fundamental de la dinámica y de la expresión empírica de la fuerza de rozamiento, se tiene:

m 6,1 d m 18 d m 2,9 m 2,9 F m 18 d F F 0,30 F μ F m 9,8 P F a m F Σ a m F Σ a m F Σ m 18 d F ) v , F ( cos d F W roz roz N N roz N n n tg tg roz roz roz F γ B, Aroz                                               

Por otro lado, el cuerpo mientras se detiene describe un MRUA. Por lo tanto:

s 2,03 t m/s 2,95 a 6,1 a 2 6,0 0 t a 6,0 0 e 2a v v t a 1/2 t v e t a v v 2 tg tg 2 2 tg tg 2 0 2 t 2 tg 0 t tg 0 t                         

A12 Se lanza un bloque de 10 kg con una velocidad de 15 m/s por una superficie horizontal con rozamiento ( = 0,20). Hallar la distancia que recorrerá hasta que para.

Solución

Sea A el instante en que se lanza el bloque y B el instante en que se detiene. No existe energía potencial elástica. Sólo energía potencial gravitatoria. Como origen de energía potencia gravitatoria se toma el suelo (h = 0). Del Th del trabajo y las energías:

J 1125 W 0 0 W 0 15 10 2 1 (B) h g m (B) v m 2 1 W (A) h g m (A) v m 2 1 cons no B, A cons no B, A 2 2 cons no B, A 2                 γ γ γ

Por otro lado, de la definición de trabajo:

μ = 0,20 FBS Froz FN P = mg v n tg μ = 0,3 FCS tg n Froz FN P = mg v μ FCS tg n Froz FN P = mg v

(4)

4 e F μ e F W W W W W F roz N B -A F B -A F B -A F B -A cons no B -A  BS  roz N  roz  

Y de la ley fundamental de la dinámica:

N 100 g m P F 0 P F 0 F Σ n  N   N   Finalmente: m 56,3 e e 10 0,20 1125 e g m μ WFBS B -A        

A13 Una fuerza de 70 N se aplica continuamente a un objeto de 5,0 kg como se muestra en la figura.

a) Si el rozamiento puede despreciarse, ¿cuál será la velocidad del objeto cuando se haya desplazado 6,0 m desde el reposo.

b) Repítase el cálculo si el coeficiente de rozamiento es 0,40. Solución

a) Sea A el instante en que se comienza a aplicar la fuerza, y B un instante posterior, cuando ya se ha desplazado 6 m. Del teorema del trabajo y la energía cinética:

m/s 11,6 (B) v (B) v 5 2 1 0 0 37 cos 6 70 0 (B) v m 2 1 W W W (A) v m 2 1 2 2 F γ B, A F γ B, A N 70 γ B, A 2 OS OT                 

b) Del teorema del trabajo y la energía cinética:

(1) (B) v 3 2 1 W 0 0 37 cos 6 70 0 (B) v m 2 1 W W W W (A) v m 2 1 2 F γ B, A 2 F γ B, A F γ B, A F γ B, A N 70 γ B, A 2 roz roz N OT                   

Por otro lado, de la ecuación fundamental de la dinámica y de la expresión empírica de la fuerza de rozamiento:

N 3,2 F N 7,9 F F 0,4 F μ F 0 50 37 sen 70 F a m F Σ a m F Σ a m F roz N N N d roz N n n tg tg                       

Y de la definición de trabajo: W FrozdA-Bcos( Froz,utg) 3,2 6 cos (180) 19J

F B, -Aroz          Finalmente, volviendo a (1): m/s 11,3 v (B) v 5 2 1 19 0 37 cos 6 70 0        2  B 

A14 Calcular la masa de una caja sabiendo que para arrastrarla con velocidad constante sobre una superficie horizontal con la que tiene un coeficiente de rozamiento µ = 0,25; se requiere una fuerza de 800 N.

Solución

De la ecuación fundamental de la dinámica y de la expresión empírica de la fuerza de rozamiento:                              kg 320 m 0 2,5m 800 : (1) de m 2,5 F : (3) de 10m F : (2) de F 0,25 F μ F 0 m 10 F a m F 0 F 800 a m F a m F roz N N N roz N n n roz tg tg   kg 320 m 800 10 m 025 0 0 v m 2 1 e 800 e g m μ 0 0 v m 2 1 (B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) E 2 2 Pe Pg C F γ B, A Pe Pg C nocons                         

A15 Un cuerpo cae desde una altura de 40 m por un plano inclinado 30º con respecto a la horizontal. Si se desprecia el rozamiento, calcula la velocidad del cuerpo al llegar al suelo.

Solución tg n a Froz FN P 800 N 37º 5 kg 70 N FOS FOT FN Froz tg n 37º 5 kg 70 N FOS FOT 37º 5 kg 70 N

(5)

5 Aplicamos el teorema del trabajo y las energías:

(B) E (B) E W (A) E (A) E nocons C P γ AB, P C    

Instante A: el bloque en la parte superior. Instante B: el bloque abajo.

Fuerzas aplicadas: P y FS. P es conservativa, y FS es normal, por lo que WFs = 0.

Luego: m/s 28,3 v v 2 1 40 10 0 v m 2 1 0 h g m 0 A   2B    2B  B 

A16 Se abandona un cuerpo de 3 kg en lo alto de una superficie pulida, inclinada 30º respecto de la horizontal, y de 4 metros de longitud. Se pide:

a) Especificar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo b) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas. c) La aceleración del cuerpo.

d) La rapidez con que llega el cuerpo a la base del plano. Solución

a) b) De la definición de trabajo de una fuerza:

J 60 0 cos 4 30 sen 10 3 ) v , P ( cos d P W 0 W W W 0 90 cos 4 F ) v , F ( cos d F W tg tg P B, A P B, A P B, A P B, A CS CS CS F B, A tg tg N CS                           γ γ γ γ γ

c) De la ecuación fundamental de la dinámica:                      0 30 cos g m F a m F Σ m/s 5 30 sen 10 a a m sen30 g m a m P a m F Σ a m F Σ CS n n 2 tg tg tg tg tg tg  

d) Aplicando el teorema del trabajo y las energías:

m/s 6,3 v 0 v 3 2 1 0 sen30 4 10 3 0 (B) h g m (B) v m 2 1 W (A) h g m (A) v m 2 1 F 2 2 B, A 2   CS             γ

A17 Se abandona un cuerpo de 3,0 kg en lo alto de una superficie rugosa, inclinada 30º respecto de la horizontal, y de 4,0 metros de longitud. Se supone un coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie valor  = 0,10. Se pide:

a) Especificar las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo. b) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas. c) La aceleración del cuerpo.

d) La velocidad con que llega el cuerpo a la base del plano. Solución

a)

FCT ≡ Fuerza q sobre cuerpo ejerce Tierra

FCS ≡ Fuerza q sobre cuerpo ejerce suelo

c) De la ecuación fundamental de la dinámica y de la expresión empírica de la fuerza de rozamiento: 2 tg tg roz tg roz N roz N N n n tg roz tg tg tg m/s 4,1 a a 3 2,6 15 N 2,6 26 0,1 F a m F 30 sen P F μ F N 26 F 0 Pcos30 F a m F Σ a m F P a m F Σ a m F Σ                                      

b) De la definición de trabajo de una fuerza:

J 60 0 cos 4 30 sen 10 3 ) v , P ( cos d P W 0 W W W J 10,4 2,6 4 F 4 180 cos 4 F ) v , F ( cos d F 0 W W W tg tg P B, A P B, A P B, A P B, A roz roz roz roz F B, A F B, A F B, A tg tg N roz N CS                                      γ γ γ γ γ γ γ

d) Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética:

m/s 5,8 v v 3 2 1 10,4 60 0 (B) v m 2 1 W W (A) v m 2 1 F 2 2 B, A F B, A 2  P  CS            γ γ 30º FCS FCT = P Ptg PN tg n Froz FN μ = 0,1 30º FCS FCT = P Ptg PN n tg 40 m 30º P FS

(6)

6 A18 Un bloque de 5,0 kg desciende desde el reposo por un plano inclinado 30º, cuya longitud es 10 m. El coeficiente de

rozamiento es 0,10. Halla la velocidad del bloque al final del plano. Solución

FBT ≡ Fuerza que sobre bloque ejerce Tierra

FBS ≡ Fuerza que sobre bloque ejerce suelo

El bloque está sometido a dos fuerzas: la fuerza de la Tierra, el peso, conservativa, y la fuerza de la superficie del plano, no conservativa. Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética entre los instantes A (cuando el bloque está arriba) y B (cuando está abajo), y tomando el suelo como origen de alturas:

(1) (B) h g m (B) v m 2 1 W (A) h g m (A) v m 2 1 F 2 B, A 2   BS    γ

De la definición de trabajo de una fuerza, de la definición empírica de fuerza de rozamiento, y de la 2º ley de Newton:

J 43 4,3 10 W N 4,3 F N 43 30 cos 10 5,0 P F 0 P F 0 F Σ F 0,10 F μ F F 10 180 cos 10 F ) v , F ( cos d F 0 W W W BS roz N BS F γ B, A roz N N N N n N N roz roz roz roz roz F γ B, A F γ B, A F γ B, A                                             

Por consideraciones geométricas: h (A) = 10 sen 30 = 5,0 m Finalmente, de (1): m/s 9,1 v 0 v 5,0 2 1 43 5,0 10 5,0 0 2

A19 Un cuerpo de 2,0 kg asciende por un plano inclinado 60º con respecto a la horizontal con una velocidad inicial de 6,0 m/s. Si el coeficiente de rozamiento es 0,20; calcula:

a) La distancia que recorrerá por el plano hasta detenerse. b) La energía perdida a causa del rozamiento.

Solución

a) De la ecuación fundamental de la dinámica y de la expresión empírica de la fuerza

de rozamiento: 2 tg tg roz tg roz N roz N N n n tg roz tg tg tg m/s 9,7 a a 2 2 17,3 N 2 10 0,2 F a m F 60 sen P F μ F N 10 F 0 60 cos P F a m F Σ a m F P a m F Σ a m F Σ                                          

De la definición de trabajo, del teorema del trabajo y las energías, y de la geometría del problema:

m 2,07 d d 0,87 10 2 0 d 2 6 d 0,87 h 60 sen d h h g m v m 2 1 W h g m v m 2 1 d 2 d F W W 2 B 2 B F γ B, A A 2 A roz F γ B, A F γ B, A CS roz CS                               b) Según se ha visto: J 4,14 2,07 2 d 2 d F WF roz γ B, Aroz     

A20 Una persona de 80 kg salta desde una cierta altura al suelo, llegando al mismo con una rapidez de 5 m/s y amortiguando su caída flexionando sus rodillas de manera que su “centro de masas” desciende 0,80 m respecto a su posición erguida. Halla la fuerza que ejerce sobre el suelo (supuesta constante).

Solución

Sobre la persona se ejercen dos fuerzas: el peso (conservativa), y la fuerza del suelo (no conservativa). Sea A el instante en que la persona toma contacto con el suelo y B el instante en que acaba su flexión de rodillas. Aplicando el teorema del trabajo y las energías

N 2050 F 0 0 0,8 F 0,80 10 80 5,0 80 2 1 (B) E (B) E W (A) E (A) E S S 2 Pg C F γ AB, Pg C n               60º FCS FCT = P Ptg PN tg n Froz FN μ = 0,2 30º FBS FBT = P Ptg PN tg n Froz FN μ = 0,1

(7)

7 A21 Un cuerpo de 2,0 kg de masa atado al extremo de una cuerda de 0,50 m de longitud describe

una circunferencia situada en un plano vertical. Si la velocidad en el punto más alto es de 5,0 m·s−1, hallar la tensión de la cuerda:

a) En el punto más alto de la trayectoria. b) En el punto más bajo.

c) En un punto de la trayectoria al mismo nivel que el centro de la circunferencia. d) Formando un ángulo de 45° con la horizontal.

Solución

a) De la ley fundamental de la dinámica en el punto A:

N 80 10 2 0,5 5 2 T R v m T P a m F Σ a m 0 a m F Σ a m F Σ 2 A 2 A A n n tg tg tg                      

b) De la ley fundamental de la dinámica y del teorema del trabajo y las energías:

N 200 10 2 0,5 6,7 2 T m/s 6,7 v 0 g m v m 2 1 1 g m 5 m 2 1 R v m P T a m F Σ a m 0 a m F Σ a m F Σ 2 C C 2 C 2 2 C C n n tg tg tg                                         c) N 140 0,5 5,9 2 T m/s 5,9 v 0,5 g m v m 2 1 1 g m 5 m 2 1 R v m T a m F Σ a m P a m F Σ a m F Σ 2 B B 2 B 2 2 B B n n tg tg tg                                       d) N 97,8 0,71 10 2 0,5 5,3 2 T m/s 5,3 v 0,85 g m v m 2 1 1 g m 5 m 2 1 R v m 45 cos P T a m F Σ a m 45 sen P a m F Σ a m F Σ 2 D D 2 D 2 2 D D n n tg tg tg                                           

A22 Un columpio está formado por una silla de 1,5 kg y una cadena de 1,8 m de longitud y masa despreciable. Una niña de 20 kg se está balanceando. En el punto más alto de la oscilación, la cadena forma un ángulo de 40 º con la vertical. Calcula: a) La aceleración del columpio y la tensión de la cadena en el punto más alto de la oscilación.

b) La velocidad del columpio en el punto más bajo de la oscilación. c) La tensión máxima en la cadena.

Solución

a) El columpio está sometido a las fuerzas de la Tierra (P) y de la cadena (T). Aplicando la ecuación

fundamental de la dinámica en el punto A (v  0,  40º):

                      N 165 T 0 40 cos g m T R / v m P T a m F Σ m/s 6,4 40 sen 10 a a m sen g m a m F Σ a m F Σ A A 2 n n n 2 tg tg tg tg α  

b) Del teorema del trabajo y las energías:

m/s 2,9 v v 21,5 0,5 0 0,42 10 21,5 0 (B) E (B) E W (A) E (A) E 2 B B P B cons no γ AB, P C              

c) De la expresión de la tensión obtenida en el apartado a)

N 315 0 cos 10 21,5 1,8 2,9 21,5 T 0 cuando máx es T cos P R v m T 2  α  α    2     T 40º B A Ptg PN P T T T P P P A C B D h  0

(8)

8 A23 Un cuerpo de masa 2,0 kg se encuentra sujeto al extremo de una cuerda de longitud 1,0 m y, al girar, describe una circunferencia contenida en un plano vertical. Cuando el cuerpo pasa por el punto más bajo de la circunferencia, la tensión de la cuerda vale 200 N. Si en este momento se rompe la cuerda, calcular:

a) La velocidad con qué saldrá despedido el cuerpo.

b) La tensión que soportaba la cuerda cuando el cuerpo estaba en el punto más alto de su trayectoria Solución

a)

En el punto más bajo, el objeto está sometido a las fuerzas de la Tierra y de la cuerda. De la 2º ley de Newton:                     m/s 9,5 v 1,0 v 2,0 20 200 R v m P T a m F Σ 0 a a m F Σ a m F 2 2 n n tg tg tg  

b) De la aplicación de la 2º ley de Newton en el punto más alto:

1,0 v 2,0 20 T R v m P T a m F Σ 2B B2 n n       

De la aplicación del teorema del trabajo y las energías entre A y B (hA = 0, hB = 2,0 m, WT = 0):

m/s 7,1 v 2,0 10 2,0 v 2,0 2 1 0 0 9,5 2,0 2 1 mgh v m 2 1 W mgh v m 2 1 B 2 B 2 B 2 B T B -A A 2 A                 Y finalmente: N 80 20 1,0 7,1 2,0 T  2   A24

Un esquiador cuya masa es de 70 kg está en reposo en el punto A de la ladera de una montaña. Suponiendo que el esquiador comienza a moverse por efecto de su propio peso (no se impulsa con los bastones) y que el rozamiento es despreciable, calcula la velocidad que llevará en los puntos B, C y D.

Solución

Sobre el esquiador se ejercen dos fuerzas, el peso, que es una fuerza conservativa y por lo tanto tiene asociada una energía potencial, y la fuerza del suelo, que es normal, pues el rozamiento puede considerarse despreciable, y que por lo tanto no realiza trabajo. Aplicando el teorema del trabajo y las energías:

m/s 30 v 0 10 70 v 70 2 1 0 45 10 70 0 h g m v m 2 1 W h g m v m 2 1 m/s 17,3 v 30 10 70 v 70 2 1 0 45 10 70 0 h g m v m 2 1 W h g m v m 2 1 m/s 26,5 v 10 10 70 v 70 2 1 0 45 10 70 0 h g m v m 2 1 W h g m v m 2 1 D 2 D 2 D F B, A A 2 A C 2 C C 2 C F B, A A 2 A B 2 B B 2 B F B, A A 2 A S S S                                                       γ γ γ

A25 Un pequeño objeto de masa m se suelta desde el punto A del rizo. Calcular: a) La velocidad del cuerpo en el punto C.

b) La fuerza que ejerce la vía sobre el cuerpo en dicho punto. Solución

a) Se considera despreciable el rozamiento. El objeto está sometido a dos fuerzas: el peso, que es conservativa, y la fuerza del rizo, no conservativa, pero dado que no se considera rozamiento, es perpendicular en todo momento al rizo, y no realiza trabajo. Luego, de acuerdo con el teorema del trabajo y las energías:

8gR v 2R g m v m 2 1 6R g m 0 (C) E (C) E W (A) E (A) E C 2 C Pg C F γ B, A Pg C   nocons         FOT = P FOT = P FOC=TB FOC=TA A B h= 0

(9)

9

b) Sobre el cuerpo en el punto C actúa dos fuerzas: el peso y la fuerza del rizo.

Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica:

g m 7 g m g m 8 F R v m F P a m F a m 0 a m F a m F R 2 R n n tg tg tg                    

A26 ¿Desde qué altura mínima tomando como unidad el radio, debemos dejar resbalar un cuerpo en la pista de la figura para que complete el rizo si suponemos que no hay fricción? Solución

El objeto está sometido en todo momento a la fuerza de la Tierra, el peso, que es una fuerza conservativa, y a la fuerza del carril, que tiene la dirección de la normal, dado que no hay rozamiento.

Por un lado, el teorema del trabajo y las energías entre los instantes A y B: R 2 v g 2 1 h R 2 g m v m 2 1 0 h g m 0 (B) E (B) E W (A) E (A) E 2 B 2 B Pg C F γ B, -A Pg C Carril              

Por otro lado, de la segunda ley de Newton, en el punto B:

R g v 0 F cuando mínima será v Luego . R v m F g m B Pista Bmin 2 B Pista      Luego, finalmente: R 2 5 R 2 R g 2g 1 R 2 v g 2 1 h min 2 B min    

A27 Un bloque de 3 kg de masa baja por una rampa (sin rozamiento) desde una altura de 4 m. Al llegar abajo se desplaza por una superficie horizontal 8 m hasta pararse. El coeficiente de rozamiento entre esta superficie horizontal y el bloque es μ.

a) ¿Cuál es la energía cinética del bloque al final de la bajada? b) ¿Qué trabajo efectúa la fuerza de rozamiento sobre el bloque hasta que éste se para?

c) Calcula el coeficiente de rozamiento, μ. Solución

a) Aplicamos el teorema del trabajo y las energías: EC(A)EP(A)WAB,noconsγ EC(B)EP(B)

Sea A el instante cuando se suelta el bloque. Sea B el instante cuando el bloque llega a la superficie horizontal. Esta superficie se toma como nivel h = 0.

Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo durante la caída son el peso, que es una fuerza conservativa, y la fuerza del suelo, no conservativa, pero que no realiza trabajo por ser perpendicular a la dirección del movimiento.

Entonces: J 120 4 10 3 (B) E 0 (B) E 0 h g m 0 (B) E (B) E (A) E (A) EC  P  C  P   A  C   C    

b) Aplicamos el teorema del trabajo y las energías entre B y C:

(C) E (C) E W (B) E (B) E B P cons no γ BC, P C     donde WBC,noconsγ WBC,FRγ Luego: J 120 W 0 0 W 0 80 3 2 1 R FR BC,γ F BC,γ       

c) Y de la definición de trabajo, junto con que, como se observa en el diagrama de fuerzas, FN = P:

0'5 μ 8 10 3 μ 120 e g m μ e P μ e F μ e F WF R N γ BC,R             

A28 Un cuerpo de 2,0 kg de masa está situado a 5,0 metros de altura sobre un plano inclinado sin rozamiento. Se le deja deslizar por el plano, y cuando llega al punto más bajo encuentra una superficie horizontal rugosa sobre la que sigue deslizándose,

hasta que se para después de avanzar 10 metros. Dato: g = 9,8 m/s2.

a) ¿Cuál es la velocidad del bloque al finalizar el descenso del plano? b) ¿qué trabajo realiza la fuerza de rozamiento?

FS F S A B P C P FN FR A R h B P FPista A R 6R C P FR

(10)

10 c) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento en la superficie horizontal?

Solución

a) Aplicamos el teorema del trabajo y las energías: E (A) E (A) Wnocons EC(B) EP(B) γ

AB, P

C    

Sea A el instante cuando se suelta el bloque. Sea B el instante cuando el bloque llega a la superficie horizontal. Esta superficie se toma como nivel h = 0.

Las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo durante la caída son el peso, que es una fuerza conservativa, y la fuerza del suelo, no conservativa, pero que no realiza trabajo por ser perpendicular a la dirección del movimiento.

Entonces: m/s 10 v v 2 1 5 10 0 v m 2 1 0 h g m 0 A   2B     B2  B

b) Aplicamos el teorema del trabajo y las energías entre B y C:

(C) E (B) E W (B) E (B) ECPBC,noconsγBP donde FR γ BC, cons no γ BC, W W  Luego: J 100 W 0 0 2 2 1 W 0 10 2 10 2 2 1 R FR γ BC, 2 F γ BC, 2  

c) Y de la definición de trabajo, junto con que, como se observa en el diagrama de fuerzas, FN = P:

0'5 μ 10 10 2 μ 100 e g m μ e P μ e F μ e F WBC,FRγ  R  N           

A29 En lo alto de una montaña rusa se encuentra un cochecito de 200 kg de masa en el que se encuentran dos personas de 75 kg cada una. El cochecito se pone en movimiento a partir del reposo, haciendo el recorrido desde A hasta C sin rozamiento, encontrándose finalmente con un freno a partir de C que le detiene en D. Sabiendo que las cotas de las posiciones citadas se indican en la figura y que la distancia de frenado CD es 10 m, se pide:

a) ¿Cuál es la velocidad con que llega el cochecito a las posiciones B y C.? b) ¿Qué valor tiene la aceleración de frenado?

Solución

a) En el tramo A-C, sobre el cochecito actúa el peso, fuerza conservativa, y la fuerza de la vía, que no realiza trabajo pues al no existir rozamiento, es una fuerza perpendicular a la trayectoria. Por lo tanto:

m/s 16,1 v 15 10 350 v 350 1/2 0 28 10 350 0 (C) E (C) E W (B) E (A) E m/s 21,4 v 5 10 350 v 350 1/2 0 28 10 350 0 (B) E (B) E W (B) E (A) E c 2 C P C F γ , A P C B 2 B P C F γ B, A P C cons no cons no                                     C

b) Entre C y D, el cochecito describe un MRUA. De las ecuaciones de este movimiento:

2 tg tg 2 2 D C tg 2 C 2 D v 2a e 0 16,1 2a 10 a 13 m/s v         MUELLES

A30 Se utiliza un muelle horizontal para lanzar un objeto. ¿Qué trabajo realiza el muelle (la fuerza) sobre un objeto de 50 g si lo lanza con una rapidez de 15 m/s?

Solución

Sea A el instante en que el muelle comienza a descomprimirse y B el instante que el resorte alcanza su longitud natural. Las fuerzas que se ejercen sobre el bloque son el peso (Tierra), la fuerza elástica (resorte) y la fuerza del suelo

(suelo). Las dos primeras son conservativas. La del suelo no es conservativa, pero suponemos que no hay rozamiento, por lo que será normal y no realizará trabajo. Aplicamos el teorema del trabajo y la energía cinética:

(B) E W W W (A) E (B) E W (A) E Felast C γ AB, Fs γ AB, P γ AB, C C ext F γ AB, C       

Dado que P y FS son perpendiculares al movimiento: WAB,P γ WAB,Fsγ 0. Entonces:

J 5,625 W 15 0,050 2 1 W 0 Felast    2  Felast  FBT FBS FBM FS FS A B C P P FN FR 10 m

(11)

11 A31

El resorte de la figura está comprimido 7,0 cm con respecto a su longitud normal. La masa unida a él es de 175 g y la constante elástica es de 2500 N/m. Calcular la velocidad que poseerá el cuerpo al pasar por el punto de equilibrio:

a) En ausencia de rozamiento.

b) Actuando una fuerza de rozamiento constante de 56 N. Solución

a) Aplicamos el teorema del trabajo y las energías al bloque unido al resorte: Sea A el instante en que el muelle esta comprimido 7cm y B el instante en el que el bloque pasa por la posición de equilibrio. Entonces será:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) E C Pg Pe F B, A Pe Pg C    nocons   

Sobre el bloque se ejercen tres fuerzas: la de la Tierra y la del resorte, ambas conservativas, y la fuerza del suelo, no conservativa. Pero esta última, dado que no hay rozamiento, tiene la dirección de la normal, y no realiza trabajo. Por lo tanto: (B) K x 2 1 (B) h g m (B) v m 2 1 0 (A) K x 2 1 (A) h g m (A) v m 2 1 2 2 2 2

Si elegimos el suelo como origen de alturas, quedará:

m/s 8,4 v(B) m/s 70 (B) v (B) v 0,175 2 1 0,07 2500 2 1 0 2500 2 1 0 10 0,175 (B) v 0,175 2 1 0,07 2500 2 1 0 10 0,175 0 0,175 2 1 2 2 2 2 2 2 2                      

b) En las nuevas condiciones, el trabajo de las fuerzas no conservativas será:

J 3,9 0,070 56 e) F ( 0 W W W W F roz γ B, A F γ B, A C F γ B, A F γ B, Anocons  S  N  roz       Luego, aplicando el teorema del trabajo y las energías:

m/s 5,0 v(B) 0 2500 2 1 0 10 0,175 (B) v 0,175 2 1 0,07 2500 2 1 0 10 0,175 0 0,175 2 1 2 2 2 2 9 , 3

A32 Un bloque de 1,0 kg choca contra un resorte horizontal sin peso cuya constante es 2,0 N/m. El bloque comprime el resorte deformándolo 4,0 m a partir de la posición de reposo. Suponiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie horizontal sea de 0,25, ¿cuál era la velocidad del bloque en el instante del choque?

Solución

Sea A el instante en que el bloque choca con el resorte y B el instante que el resorte alcanza la máxima compresión. Las fuerzas que se ejercen sobre el bloque son el peso (Tierra), la fuerza elástica (resorte) y la fuerza del suelo

(suelo). Las dos primeras son conservativas. La del suelo no es conservativa. Aplicamos el teorema del trabajo y las energías:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) EC  Pg  Pe  AB,noconsγ  C  Pg  Pe

En el caso que nos ocupa, : Wno cons = WFs = WFroz = −μ FN = −μ P = −μ m g. Luego:

m/s 7,2 v 4 2 2 1 0 0 10 4 0,25 0 2 2 1 0 v 1 2 1 A 2 2 2 A               

A33 Un bloque de 5,0 kg choca con una velocidad de 10 m/s contra un muelle de constante elástica k = 25 N/m. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es 0,20. Calcula la longitud que se comprime el muelle.

Solución

Aplicamos el Teorema del trabajo y las energías mecánicas.

(B) E (B) E W (A) E (A) E nocons C P γ AB, P C    

Sea A el instante en el bloque toma contacto con el muelle B el instante en que el muelle alcanza su máxima compresión.

El bloque está sometido a tres fuerzas: la que ejerce la Tierra, la que ejerce el muelle, ambas conservativas, y la que ejerce el suelo. Entonces:

(B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) EC  Pg  Pe  AB,Fsγ  C  Pg  Pe 

De las características de este caso: hA = hB = 0, xA = 0, xB = x, vB = 0; puede escribirse además que:

x P Fe FS Froz A B FN FBT FBS FBM FN Froz

(12)

12 2 F 2 A 0 0 W 0 0 1/2 k x v m 1/2    S    

Por otro lado de la definición de trabajo y de la aplicación de la 2ª ley de Newton, es fácil concluir que:

e g m μ e F μ e F W W F roz N γ AB, F γ AB,S  roz     

Finalmente, sustituyendo valores:

m 4,1 x 0 x 12,5 x 10 250 x 25 2 1 x 10 5,0 0,20 10 5,0 2 1 2 2 2

A34 Se deja caer un cuerpo de 100 g sobre un muelle de k = 400 N/m. La distancia entre el cuerpo y el muelle es de 5,0 m. Calcular la longitud que se comprime el muelle.

Solución

Sea A el instante en que el cuerpo se deja caer y B el instante en que el muelle alcanza su máxima compresión. Sobre el cuerpo se ejercen dos fuerzas, ambas conservativas; la de la Tierra y la del muelle. Por lo tanto:

m 0,16 L Δ 0 5 L Δ L Δ 200 L Δ 400 2 1 0 0 0 0 L) Δ (5 10 0,100 0 (B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) E 2 2 Pe Pg C cons no γ AB, Pe Pg C                        

A35 Un bloque de 1,0 kg de masa está en lo alto de un plano inclinado 30º respecto del horizonte, el cual lleva en su extremo inferior un resorte de constante k = 500 N/m. El bloque se desliza libremente sin rozamiento y comprime el resorte, Calcular la máxima compresión del resorte si la separación inicial entre el bloque y el resorte era de 3,0 m. Tomar g = 10 m/s2.

Solución

Del teorema del trabajo y las energías:

m 0,28 L Δ 0 15 L Δ 5 L) 250(Δ L) (Δ 500 2 1 0 0 0 0 30 sen L) Δ (3 10 1,0 0 (B) E (B) E (B) E W (A) E (A) E (A) E 2 2 Pe Pg C cons no γ AB, Pe Pg C                         POTENCIA

A36 Calcular la potencia que debe desarrollar el motor de un automóvil de 100 kg de masa para que partiendo del reposo sea capaz de alcanzar la velocidad de 100 km/h en 8,0 s sobre una pista horizontal.

Solución

El automóvil realiza un MRUA. Luego (100 km/h = 27,8 m/s):

m 111,1 e m/s 3,5 a 8 a 2 1 8 0 0 s 8 a 0 27,8 ) t (t a 2 1 ) t (t v s s ) t (t a v v 2 tg 2 tg f tg 2 0 tg 0 0 0 t 0 tg 0 t                             

La fuerza neta a la que está sometido el automóvil será: Ftg = m atg = 100∙3,5 = 350 N

Y la potencia desarrollada será entonces:

W 4861 8 111,1 350 t d F t W P  tg    ΔL 5,0 m h=0

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