Sistema de Control Inteligente Adaptable
Virgilio López Morales
Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo-CITIS, México.
Los grandes desafíos del SIGLO XXI
Introducción
Estado del Arte sobre Estimación de parámetros de una planta
Modelo Inteligente (difuso) T-S
Estimador de Parámetros del Modelo Difuso T-S
Ejemplo de diseño de un controlador difuso adaptable
Conclusiones
Algo en mente ?
Porqué control inteligente adaptable?
Cuanto más detalles matemáticos del modelo de un sistema,
menos se parece al mundo real! (A. Einstein).
∴
expandir las
herramientas de modelado de sistemas
=
⇒
Modelado con un
Sistema Inteligente
Los sistemas controlados (plantas) en el mundo real están
expuestos a la influencia del medio o del tiempo
=
⇒
Adaptación del controlador.
Desarrollo de nuevas herramientas de análisis de sistemas para
el desarrollo de un nuevo enfoque de control
=
⇒
Conjunción de la teoría de control y ciencias computacionales
1
Sistema (o planta)
2
Controlador
3
Lazo cerrado
4
Modelo difuso T-S
5
Variación de parámetros y/o perturbaciones
6
Método de Lyapunov
Sistema (o planta)
Lineal:
y
1
+
y
2
=
P
(u
1
+
u
2
) =
P
(u
1
) +
P
(u
2
)
, Ej. V=RI
No lineal:
y
=
f
(u) =
⇒
y
1
+
y
2
6
=
f
(
1
) +
f
(
2
)
, Ej.
y
=
sen(u)
,
Controlador
Variaciones de parámetros y/o perturbaciones
Modelo Difuso T-S de un sistema no lineal
Si 20
<
X
<
35 Entonces Usar-modelo-1(lineal)
Si 40
<
X
<
50 Entonces Usar-modelo-2 (lineal)...
Método de Lyapunov
Sea el sistema
dx
dt
=
f
(x
)
con
f
(
0
) =
0.
Si puede encontrar una función V(x) definida positiva en una región
(es decir que
V
(
0
) =
0 y que
V
(x
)
>
0 en una
U
⊂
R
n
), y que su
derivada con respecto al tiempo sea menor que cero (negativa),
entonces la solución del sistema en el origen es estable.
1
En el Controlador Adaptable Directo el sistema difuso es el
controlador
2
En el Controlador Adaptable Indirecto el sistema difuso es un
modelo aproximado de la planta (modelo difuso)
∴
el
controlador se construye suponiendo que el modelo difuso
representa la planta.
El problema es que las plantas varían sus parámetros o sufren
perturbaciones!
Algoritmos de estimación fuera de línea
Estimación de parámetros de los modelos difusos a partir de
mediciones de Entrada-Salida (Modelos de relación, Modelos
con base a aproximaciones)
Modelos Difusos Cualitativos.
Redes Neuronales
Pero es necesario tiempo real !
En ésta plática se revisa una metodología para un estimador de
parámetros en línea de un modelo difuso T-S.
Caso utópico
Modelo de Jesús:
J
=
a
1
∗
Egoista
+
a
2
∗
Centrado
+
a
3
∗
Servicial
+
a
4
∗
Inteligencia
donde
a
1
=
0
.
6
,
a
2
=
0
.
3
,
a
3
=
0
.
1
,
a
4
=
0
.
7
Modelo de Mary:
M
=
b
1
∗
Egoista
+
b
2
∗
Centrado
+
b
3
∗
Servicial
+
b
4
∗
Inteligencia
donde
b
1
=
0
.
1
,
b
2
=
0
.
4
,
b
3
=
0
.
5
,
b
4
=
0
.
8
Variación en los Parámetros cambian la dinámica de una planta !
pero además hay PERTURBACIONES por ejemplo.
Y CAMBIABAN SUS COMPORTAMIENTOS
REPENTINAMENTE !!
Observaciones
1
Las plantas a controlar además de estar expuestas a
perturbaciones, tienen parámetros que normalmente varían en
función de variables del entorno (humedad, temperatura,
tiempo,radiación solar, concentraciones diferentes, etc.)
∴
Controlador adaptable
2
Los modelos que se proponen para una planta debería de ser
no solamente analíticos sino además, integrar información
lingüística valiosa de los expertos
∴
Modelos difusos
3
La estimación de parámetros de la planta, debería ser en línea
R
i
:
Si
x
1
es
tá
M
1
i
y
· · ·
y
x
n
es
tá
M
n
i
Entonces
d x
dt
=
A
i
x
+
B
i
u
∴
Modelo Final
˙
x
=
P
l i=1w
i(
x
)
{A
ix
+
B
iu}
P
l i=1w
i(
x
)
donde
w
i
(x
)
es el grado en que el i-ésimo
modelo está participando.
Truco: modificar el modelo difuso de la Planta
˙
x
=
A
s
·
x
+
P
n i=1w
i(
x
)((
A
i−A
s)
·x
+
B
i·u
)
P
n i=1w
i(
x
)
Estimador
x
˙ˆ
=
A
s
·
ˆ
x
+
P
n i=1w
i(
x
)(( ˆ
A
i−A
s)
·x
+ ˆ
B
i·u
)
P
n i=1w
i(
x
)
Para poder medir si funciona bien el estimador
ˆ
x
del estado
x
defina
ε
=
x
−
ˆ
x
es decir
ε
˙
= ˙
x
−
x
˙ˆ
=
A
s
·
ε
−
P
w
iA
˜
iP
w
ix
−
P
w
iB
˜
iP
w
iu
donde
˜
A
i
= ˆ
A
i
−
A
i
,
B
˜
i
= ˆ
B
i
−
B
i
Ahora bien, lo que se requiere es que
ε
=
0 es decir que
˜
A
i
→
0
,
B
˜
i
→
0 Estimador OK!
Propongamos entonces una función V(x)
V
=
ε
T
P
ε
+
P
l
i
=
1
tr
(
˜
A
T iP
A
˜
ir
1i) +
P
l
i
=
1
tr
(
˜
B
T iP
B
˜
ir
2i)
donde tr es la traza,
r
1i
,
r
2i
>
0 son escalares, y
P
=
P
T
.
Obtenga
˙
V
= ˙
ε
T
P
ε
+
ε
T
P
ε
˙
+
P
N
i
=
1
tr
(
˙˜
A
T iP
A
˜
ir
1i+
˜
A
TiP
AT˙˜i PAi˜ r1iA
˜
ir
1i) +
P
N
i
=
1
tr
(
˙˜
B
T iP
B
˜
ir
2i+
˜
B
T iP
B
˙˜
ir
2i)
donde
˙
ε
T
P
ε
+
ε
T
P
ε
˙
=
ε
T
(A
T
s
P
+PA
s
)ε
−
2
ε
T
P
(
P
w
i
A
˜
i
/
P
w
i
)x
−
2
ε
T
P
(
P
w
i
B
˜
i
/
P
w
i
)u
Utilizando las propiedades de la Traza, se tiene:
˙
V
=
−
ε
T
P
ε
+
2tr
(
P
A
˜
TiPF
ir
1i−
w
iA
˜
TiP
w
iP
εx
T
+
P
B
˜
iTPG
ir
2i−
w
iB
˜
iTP
w
iP
εu
T
)
Note que la elección obvia para hacer
V
˙
negativa es
X
A
˜
T
i
PF
i
r
1i
=
w
i
˜
A
T
i
P
w
i
P
εx
T
,
y
X
B
˜
T
i
PG
i
r
2i
=
w
i
˜
B
i
T
P
w
i
P
εu
T
Es decir que
˙ˆ
A
i
=
F
i
=
r
1i
w
i
P
w
i
εx
T
,
y
B
˙ˆ
i
=
G
i
=
r
2i
w
i
P
w
i
εu
T
Dada una planta representada por
˙
x
=
P
n
i
=
1
w
i
(x
)
{
A
i
x
+
B
i
u
}
P
n
i
=
1
w
i
(x
)
El modelo de estimación
˙ˆ
x
=
A
s
·
x
ˆ
+
P
n
i
=
1
w
i
(x)((ˆ
A
i
−
A
s
)x
+ ˆ
B
i
u)
P
n
i
=
1
w
i
(x
)
en conjunto con la ley adaptable
˙ˆ
A
i
=
F
i
=
r
1i
w
i
P
w
i
εx
T
,
y
B
˙ˆ
i
=
G
i
=
r
2i
w
i
P
w
i
εu
T
Sistema SISO No lineal representado por
R
i
:
Si
x
1
es
tá
M
1
i
y
x es
˙
tá
M
2
i
y
· · ·
y
x
n−1
es
tá
M
n
i
Entonces
˙
x
=
A
i
x
+
B
i
u i
=
1
,
2
,
· · ·
,
l
donde
x
T
= [x
(
n−1
)
,
x
(
n−2
)
,
· · ·
,
x,
˙
x
] = [x
n
,
x
n−1
,
· · ·
,
x
1
]
y la entrada
u
∈
R
1
se pueden medir.
Además
A
i
=
a
i
n
a
n−1
i
· · ·
a
i
2
a
i
1
1
0
· · ·
0
0
0
1
· · ·
0
0
..
.
..
.
. .. 0 0
0
0
· · ·
1
0
,
B
i
=
b
i
0
0
..
.
0
Las reglas difusas T-S pueden ser inferidas de la sig. forma
x
(
n
)
=
P
l i=1w
i(
x
)
{a
Tix
+
b
iu}
P
l i=1w
i(
x
)
=
P
l
i
=
1
h
i
(x
)
{
a
T
i
x
+
b
i
u
}
donde
h
i
(x
) = (w
i
(x
)/
P
r
i
=
1
w
i
(x
)).
Para la planta no lineal representada por el modelo difuso existe un
controlador (C.W.Park, H.K.Kang, Y.Yee and M.Park, Proc.
I.E.E.C.T. 2002) de la sig. forma:
u
=
a
T
d
·
x
−
P
r
i
=
1
w
i
(x
)a
T
i
·
x
P
r
i
=
1
w
i
(x
)b
i
=
P
r
i
=
1
w
i
(x
)(a
d
T
−
a
i
T
)
·
x
P
r
i
=
1
w
i
(x
)b
i
a
d
∈
R
n
es elegida t.q.
x
(
n
)
=
a
T
d
·
x
es asintóticamente estable.
Ley de controlador por retro de estado con estimador
propuesto
u
=
P
r
i
=
1
w
i
(x
)(a
d
T
−
ˆ
a
i
T
)
·
x
P
r
i
=
1
w
i
(x
)ˆ
b
i
Estructura de control completa
1
Al problema de que los sistemas a controlar están expuestos a
perturbaciones, y tienen parámetros que normalmente varían
en función de variables del entorno aplicamos un Controlador
adaptable
2
El modelo que se propone para una planta integra información
lingüística dado que esta expresado como un Modelo difuso
3
La estimación de parámetros del sistema se realiza a través de
una ley de adaptación en línea para la utilización en áreas
donde se requiere tiempo real.
4
