Espacios M´etricos
25 de octubre de 2011
1.
Nociones de espacios m´
etricos
Llamaremosespacio m´etricoa un conjunto X con una funci´ond:X×X →R≥0 (que llamaremos la m´etrica de X) que verifica las siguientes propiedades:
(1) d(x, y)≥0 ∀x, y ∈X; (2) d(x, y) =d(y, x) ∀x, y ∈X;
(3) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) ∀x, y, z ∈X, ( desigualdad triangular); (4) d(x, y) = 0 s´olo si x=y.
(Ocasionalmente hablaremos de pseudom´etricas, que son funciones que satisfacen las pri-meras 3 propiedades). Al n´umero no negativo d(x, y) lo llamaremos la distancia de x a
y.
Los siguientes son algunos ejemplos de espacios m´etricos:
1. En el conjuntoR de los n´umeros realesd(s, t) =|s−t|es una m´etrica.
2. En cualquier conjunto X, d(x, y) = (
1 six6=y,
0 six=y es una m´etrica; usualmente se
llama m´etrica discreta.
3. En el conjunto Rn las siguientes funciones son m´etricas: si x = (x
1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) d1(x, y) = Pn i=1|xi−yi|; d2(x, y) = (Pni=1|xi−yi|2)1/2; d∞(x, y) = m´axi=1,...,n|xi−yi|; dp(x, y) = ( Pn i=1|xi−yi|p)1/p si 1≤p < +∞.
La comprobaci´on de que las funciones dp (1 < p < ∞) cumplen la propiedad triangular depende de la importantedesigualdad de H¨older
n X i=1 aibi ≤( X api)1/p(Xbqi)1/q
v´alida para ai,bi no negativos, donde q est´a definido por la identidad 1p + 1q = 1.
Desigualdad de H¨older.
Si p >1 llamamos aq = p−p1 elexponente conjugado dep. Entonces (1) Si a, b >0 vale ab≤ a p p + bq q. (2) Dados (x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)∈Rn vale | n X i=1 xiyi| ≤ n X i=1 |xiyi| ≤ n X i=1 |xi|p !1/p n X i=1 |yi|q !1/q .
Demostraci´on. (1) La funci´on f(x) = xpp −x+ 1q definida en R≥0 es derivable y su derivada f0(x) = xp−1 −1 s´olo se anula en x = 1. Adem´as f0(x)< 0 si x < 1 y
f0(x) >0 si x > 1, de modo que f alcanza su m´ınimo en x = 1 y f(1) = 0, o sea
f(x) = xpp +1q −x≥0 ∀x≥0. Tomandox=ab−q/p y multiplicando la desigualdad obtenida apbp−q + 1q −ab−q/p ≥0 por bq, obtenemos el resultado, para b−q/p+q =b. (2) Escribamos kxkp = ( Pn i=1|xi|p) 1/p ; kykq = ( Pn i=1|yi|q) 1/q y definamos ai = |xi| kxkp , bi = |yi| kykq .
Por la parte (1) tenemos que
aibi ≤ 1 p |xi|p kxkpp +1 q |yi|q kykqq . Sumando n X i=1 aibi ≤ 1 p Pn i=1|xi| p kxkpp +1 q Pn 1|yi| q kykqq = 1 p+ 1 q = 1 . Pero n X i=1 aibi = 1 kxkpkykq n X i=1 |xi||yi|. Resulta |Pni=1xiyi| ≤ Pn
i=1|xiyi| ≤ kxkpkykq como deb´ıamos probar. En particular si p= 2 obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Una consecuencia de esto es la famosa
Desigualdad de Minkowski.
Si x, y ∈Rn y p≥1 entonceskx+yk
p ≤ kxkp+kykp.
Demostraci´on.Sip= 1 la desigualdad es evidente usando las propiedades del m´odulo en R.
Supongamos que p > 1. Si i = 1,2, . . . , n vale |xi +yi|p = |xi +yi|p−1|xi +yi| ≤ |xi+yi|p−1(|xi|+|yi|). Aplicando la desigualdad de H¨older dos veces obtenemos
n X i=1 |xi+yi|p−1|xi| ≤ n X i=1 |xi+yi|(p−1)q !1/q n X i=1 |xi|p !1/p . y n X i=1 |xi+yi|p−1|yi| ≤ n X i=1 |xi+yi|(p−1)q !1/q n X i=1 |yi|p !1/p .
Como (p−1)q=p, concluimos que kx+ykp p = n X i=1 |xi+yi|p ≤ kx+ykp/qp (kxkp+kykp) , de donde kx+ykp =kx+ykpp−p/q ≤ kxkp +kykp .
4. Si X es un espacio m´etrico con funci´on distancia d entonces cualquier subconjunto
Z de X es un espacio m´etrico con la misma distancia.
5. Si X es el conjunto de todas las sucesiones x = (sn) de n´umeros reales entonces
d(x, y) = P 1 2n
|sn−tn|
1+|sn−tn| define una m´etrica sobre X.
6. SiX es el conjunto de las sucesiones acotadas de n´umeros reales entoncesd(x, y) = supn|sn−tn|es una m´etrica sobre X. Usualmente se denota aX por el s´ımbolo `∞ ´
o `∞(N).
7. Consideremos, parap∈[1,+∞) el conjunto
`p ={x= (sn) : X
n
|sn|p <+∞}. Entonces d(x, y) = (P∞
n=1|sn−tn|p)1/p define una m´etrica en `p. Particularmente importantes son los espacios `1 y `2.
8. Si C[a, b] es el conjunto de todas las funciones continuas sobre el intervalo [a, b] con valores reales entonces d∞(f, g) = supt∈[a,b]|f(t)−g(t)|es una m´etrica sobre X. Usualmented∞se denomina lam´etrica uniformedeC[a, b]. Obs´ervese que gracias al
teorema que dice que una funci´on continua sobre un intervalo compacto alcanza su m´aximo, la distanciad(f, g) se alcanza en alg´un punto, o sea existet0 ∈[a, b] tal que
d∞(f, g) =|f(t0)−g(t0)|. Obviamente, t0 depende de f y de g. Obs´ervese tambi´en que si en lugar de funciones continuas sobre [a, b] tenemos funciones continuas sobre (a, b) entoncesd∞(f, g) = supt∈(a,b)|f(t)−g(t)|puede ser +∞: por ejemplo,d(f,0) = +∞ sif(s) = 1/s para s∈(0,1). As´ı, d no es una m´etrica sobre C(a, b).
Hay otras maneras de metrizar C(a, b). Por ejemplo, definiendo
d(f, g) = ∞ X n=1 1 2n kf−gkn 1 +kf−gkn donde kf−gkn = supt∈[a+1
n,b−
1
n]|f(t)−g(t)|.
9. Una m´etrica que proviene de la teor´ıa de las comunicaciones es la m´etrica de Ham-ming: llamamosmensaje de longitudn a un vector Rn con coordenadas 0 ´o 1 (o sea un elemento de{0,1}n); la distancia de Hamming entre dos mensajes de longitudn es el n´umero de coordenadas en las que ambas difieren.
Generalmente en la forma de la m´etrica de un espacio de funciones interviene el tipo de funciones: si son funciones generales intervienen expresiones del tipo |f(t)−g(t)|, si son funciones derivables intervienen adem´as expresiones del tipo|f0(t)−g0(t)|, si son funciones con n derivadas tendremos expresiones del tipo |f(k)(t)−g(k)(t)|, 1≤k≤n.
Algunos de los ejemplos anteriores son casos particulares de lo siguiente. Si E es un espacio vectorial sobre R ´o sobre C, una norma sobre E es una funci´on k · k :E → R≥0 que verifica:
(1) kxk ≥0∀x∈E y kxk= 0 si y s´olo si x= 0. (2) kλxk=|λ|kxk ∀x∈E,λ∈R (´o C).
(3) kx+yk ≤ kxk+kyk, ∀x, y ∈E.
El par (E,k k) es un espacio normado. Si definimos d(x, y) = kx −yk para todo
x, y ∈E entonces (E, d) es un espacio m´etrico y se dice que d es la m´etrica inducida por la norma.
Los ejemplos 1, 3, 6, 7 y 8 corresponden a espacios normados.
Construcci´on de m´etricas.
(1) Sid1, d2son m´etricas entoncesa1d1+a2d2 es una m´etrica para todo a1 >0,a2 >0. Tambi´en es una m´etrica m´ax{d1, d2}.
(2) Si d es una m´etrica entonces d0 = 1+dd es una m´etrica. En efecto como la funci´on t 7→ t 1+t es creciente enR + entonces d(x, y) 1 +d(x, y) ≤ d(x, z) +d(z, y) 1 +d(x, z) +d(z, y) ≤ d(x, z) 1 +d(x, z)+ d(z, y) 1 +d(z, y). Se deja como ejercicio demostrar est´as afirmaciones.
2.
Nociones topol´
ogicas en un espacio m´
etrico
Fijemos un espacio m´etrico (X, d). Llamaremospuntosa los elementos deX. Six0 ∈X y r es un n´umero real, la bola abierta de centro x0 y radio r es el conjunto
B(x0, r) ={x∈X :d(x, x0)< r}.
(Si r≤0 entoncesB(x0, r) =∅. Descartaremos este caso en lo sucesivo). Labola cerrada de centro x0 y radio r es el conjunto
B[x0, r] ={x∈X :d(x, x0)≤r}.
Como vimos, en un conjuntoX se pueden definir diferentes m´etricas. Diremos que dos m´etricas d y d0 son equivalentes si para cada x ∈ X y r > 0 existen n´umeros positivos
α, β tales que Bd(x, α)⊂Bd0(x, r) y Bd0(x, β)⊂Bd(x, r).
Teorema 2.1 En Rn todas las m´etricas d
p, 1≤p≤+∞ son equivalentes.
M´as generalmente, se puede probar que todo espacio vectorial real E, de dimensi´on finita, es homeomorfo a Rn y dos normas cualesquiera en E son equivalentes.
Un subconjunto U de X se llama abierto si para todo x0 ∈ U existe r > 0 tal que
B(x0, r)⊂U.
Un subconjuntoF deX se llamacerradosi su complementoXrF es abierto. Un sub-conjunto puede no ser abierto ni cerrado: por ejemplo en X =Run intervalo semiabierto [a, b) ={t∈R:a≤t < b} dondea < b.
Proposici´on 2.2 Si (X, d) es un espacio m´etrico entonces: (1) toda bola abierta B(x0, r) es un abierto de X;
(2) toda uni´on de conjuntos abiertos es abierto;
Demostraci´on. (1) Si x ∈ B(x0, r) entonces d = d(x, x0) < r. Veamos que B(x, s) ⊂ B(x0, r) si s∈(0,(r−d)/2): si d(z, x)< s entonces d(z, x0)≤d(z, x) +d(x, x0)< r 2 − d 2 +d= r+d 2 < r . (2) Si Ui(i ∈ I) es abierto y x∈ S
iUi entonces existe i0 ∈I tal que x ∈Ui0 y como
Ui0 es abierto, existe r >0 tal queB(x, r)⊂Ui0 ⊂
S iUi. (3) Si Ui, . . . , Un son abiertos y x ∈
Tn
i=1Ui entonces x ∈ U1, x ∈ U2, . . . , x ∈ Un; como los Ui son abiertos, existen r1 > 0, r2 > 0, . . . , rn > 0 tales que B(x, ri) ⊂ Ui,
i= 1,2, . . . , n. Si r = m´ın{r1, r2, . . . , rn} entonces B(x, r)⊂U1∩U2∩ · · · ∩Un.
Proposici´on 2.3 Un subconjunto de un espacio m´etrico es abierto si y s´olo si es uni´on de bolas abiertas.
Demostraci´on. Toda uni´on de bolas abiertas es abierta por la proposici´on anterior. Rec´ıprocamente, siU es abierto entonces para todox∈U existerx>0 tal queB(x, rx)⊂
U. Entonces U =S
x∈UB(x, rx).
Para algunos espacios m´etricos se conoce la forma que tienen todos sus subconjun-tos abiersubconjun-tos. Obviamente, si (X, d) es discreto todo Z ⊂ X es abierto. Mencionemos el siguiente resultado no trivial.
Un conjunto X es numerable si existe una funci´on f :N−→X biyectiva.
Teorema 2.4 Todo subconjunto abierto de R (con la m´etrica d(s, t) = |s−t|) es de la forma S∞
n=1(an, bn) donde an< bn < an+1 ∀n.
As´ı, todo abierto de R es la uni´on de una cantidad numerable de intervalos abiertos que no se intersecan entre s´ı. No existe una caracterizaci´on an´aloga para Rn con n≥2.
Corolario 2.5 Todo cerrado de Res intersecci´on de una cantidad numerable de conjun-tos de la forma R r(a, b).
Dado Z ⊆ X, el interior de Z es el mayor conjunto abierto contenido en Z. Lo denotamos Z0 ´o intZ.
Por ejemplo, si Z es abierto entonces Z◦ =Z. Puede ocurrir queZ no sea vac´ıo pero Z◦ = ∅: por ejemplo, en R el subconjunto Q de los n´umeros racionales tiene interior vac´ıo.
Proposici´on 2.6 El interior de Z es la uni´on de todos los conjuntos abiertos contenidos en Z, es decir, Z◦ =S
G, donde G⊂Z y G es abierto.
Proposici´on 2.7 El interior de un subconjunto Z de X es la uni´on de todas las bolas abiertas contenidas en Z.
Demostraci´on. El conjunto S
x∈Z, B(x,δ)⊂ZB(x, δ) es abierto y est´a contenido en Z. Luego est´a contenido enZ◦. Rec´ıprocamente siz ∈Z◦, entonces existeB(x, δ)⊂Z◦ ⊂Z, y por lo tanto x∈S
x∈Z, B(x,δ)⊂ZB(x, δ).
De manera dual, llamamos clausura de Z al menor cerrado que contiene a Z. Lo notaremos Z.
Proposici´on 2.8 La clausura de Z es la intersecci´on de los conjuntos cerrados que con-tienen a Z, es decir, Z =T
F, donde F ⊃Z yF es cerrado.
Observemos queZ◦ ⊆Z ⊆Z.
Es falso, en general, que la clausura de la bola abierta B(x0, r) sea la bola cerrada
B[x0, r]. Sin embargo, esta afirmaci´on es verdadera para espacios normados. Diremos queZ esdenso enX si Z =X.
Proposici´on 2.9 Z es denso si y s´olo si XrZ tiene interior vac´ıo, es decir (Zc)◦ =∅. Demostraci´on. Supongamos que Z es denso. Luego Z =X. Si suponemos que XrZ no tiene interior vac´ıo, entonces existex∈(XrZ)◦, o equivalentemente, existe δ >0 tal que
B(x, δ)⊂X rZ, o bien B(x, δ)⊂Zc. Luego B(x, δ)c ⊃ Z. Como B(x, δ) es abierta, su complemento es cerrado y luegoB(x, δ)c ⊃Z, ya que Z es el menor cerrado que contiene a Z. Entonces Z X, que es absurdo.
Rec´ıprocamente, si (XrZ)◦ =∅y suponemos queZ no es denso, entoncesXrZ 6=∅. Adem´asXrZ = (Z)c es abierto y X−Z ⊂X
rZ, luego (X−Z)◦ 6=∅, absurdo.
Corolario 2.10 Z es denso si y s´olo si para todo conjuntoGabierto no vac´ıo, se verifica que G∩Z 6=∅.
Demostraci´on. Si existeGabierto no vac´ıo tal que G∩Z =∅ entoncesG⊂Zc=X−Z, o equivalentemente (X−Z)◦ 6=∅, con lo cualZ no es denso.
Rec´ıprocamente, supongamos que para todo G abierto no vac´ıo, G∩Z 6=∅ y supon-gamos que Z no es denso. Entonces Zc tiene interior no vac´ıo, es decir (Zc)◦ 6= ∅. Si
G= (Zc)◦ entonces G∩Z ⊆Zc∩Z =∅ y G6=∅, absurdo.
El subconjunto Q de R es denso en R esencialmente porque cada intervalo abierto contiene n´umeros racionales.
Proposici´on 2.11 Z ={x∈X :∀δ >0, B(x, δ)∩Z 6=∅}. Demostraci´on. Supongamos que x0 ∈ Z =
T F⊃Z
F, F cerrado y supongamos que existe
δ > 0 tal que B(x0, δ)∩Z = ∅. Entonces Z ⊂ B(x0, δ)c = F0, F0 es cerrado y x0 ∈/ F0, absurdo. Luego, x0 ∈ {x∈X :∀δ >0, B(x, δ)∩Z 6=∅}.
Rec´ıprocamente si x0 ∈ {x ∈X :∀δ >0, B(x, δ)∩Z 6=∅} y suponemos que x0 ∈/ Z, entonces existe un conjunto cerradoF ⊃Z tal quex /∈F. Luego x0 ∈Fc, que es abierto. Entonces existe δ >0 yB(x0, δ)⊂Fc, absurdo.
Llamamos frontera deZ ⊂X al conjunto
∂Z =Z ∩(XrZ) =Z∩Zc .
Por ejemplo si X = C[a, b] y Z = {f ∈ X : supt∈[a,b]|f(t)| ≤ 1} entonces Z◦ ={f ∈
X : supt∈[a,b]|f(t)|<1} y ∂Z ={f ∈X : supt∈[a,b]|f(t)|= 1}.
M´as generalmente si E es un espacio normado y Z = B[x, r] = {x ∈ E : kxk ≤ r} entonces Z =Z, Z◦ =B(x, r) = {x∈E :kxk< r} y ∂Z ={x∈E :kxk=r}.
Se dejan como ejercicios estas afirmaciones.
Ejercicio: Sea (X, d) un espacio m´etrico y seanG yF subconjuntos de X. Probar que
G es abierto si y s´olo si G=G◦; F es cerrado si y s´olo si F =F.
Proposici´on 2.12 Dado Z ⊂X vale que Z =Z◦∪∂Z =Z∪∂Z.
Demostraci´on. ∂Z = Z ∩Zc ⊂ Z. Luego Z◦ ∪∂Z ⊂ Z ∪∂Z ⊂ Z. Rec´ıprocamente si
x ∈ Z, hay dos posibilidades, o bien x ∈ Z◦ o x /∈ Z◦. Si x ∈ Z◦, listo. Supongamos
x /∈Z◦, entonces@δ >0 tal que B(x, δ)⊂Z. Luego ∀δ >0, B(x, δ)∩Zc6=∅, con lo cual
x∈Zc. Luego,x∈Z∩Zc=∂Z.
Un espacio m´etrico (X, d) es separable si existe D⊂X denso numerable. Por ejemploRn es separable con cualquier m´etrica d
p (1≤p≤+∞).
2.1.
Sucesiones.
Una sucesi´on en un espacio m´etrico X es una funci´on f : N → X. Usualmente se la denota por sus valores: si f(n) = xn, se habla de la sucesi´on{xn} ´o (xn). Diremos que la
sucesi´on(xn) convergesi existex∈X tal que l´ımn→∞d(x, xn) = 0; al puntoxse lo llama el l´ımite de la sucesi´on (xn). La expresi´on xn → x significa que x es el l´ımite de (xn). Obs´ervese quexn →xsignifica que para todo ε >0 existe n0 ∈N tal que d(x, xn)< ε si
n ≥n0.
La siguiente proposici´on expresa la condici´on de ser abierto, cerrado o denso en t´ ermi-nos de sucesiones.
Proposici´on 2.13 Si (X, d) es un espacio m´etrico y V, F, D son subconjuntos de X en-tonces:
(1)V es abierto si y s´olo si para todox∈V y toda sucesi´on(xn) enX tal que xn →x
existe n1 ∈N tal que xn ∈V si n≥n1;
(2) F es cerrado si y s´olo si para toda sucesi´on (xn) en F tal que xn →x se verifica
x∈F.
(3) D es denso en X si y s´olo si para todo x∈X existe (xn) en D tal que xn →x.
Demostraci´on. (1) : Supongamos que V es abierto, x ∈ V y xn →
n x. Como V es abierto existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ V; como xn →
n x, dado ε > 0 existe n0 tal que si
n ≥n0 entonces d(xn, x)< ε, oxn ∈B(x0, ε)⊂V si n ≥n0. Rec´ıprocamente, supongamos que para todo x ∈ V, si xn →
n x entonces existe n0 tal que xn ∈ V si n ≥ n0. Supongamos que V no es abierto. Entonces existe x ∈ V tal que para todo ε >0, el conjunto B(x, ε) no est´a incluido en V. Sea n = n1 y tomemos para cada n, xn ∈B(x,n1)rV. Entonces para todon, d(xn, x)< n1 o sea que xn→xy xn ∈/ V, absurdo.
(2) : Supongamos que F es cerrado y sea (xn)⊂F tal que xn→x. Six /∈ F entonces
x ∈ Fc; adem´as Fc es abierto y xn→x pero no existe n0 tal que si n ≥ n0 entonces
xn ∈Fc, lo que contradice (1).
Rec´ıprocamente, si para toda sucesi´on (xn) ⊂ F, xn→x implica que x ∈F y supon-gamos que F no es cerrado entonces Fc no es abierto, luego existe x ∈ Fc tal que para todoε >0, el conjuntoB(x, ε) no est´a incluido enFc. Razonando como en 1) llegamos a un absurdo.
(3) : SiDes denso entonces (Dc)◦ =∅, luego six∈Dc, para todoε >0, B(x, ε)∩D6=∅ y puedo construir una sucesi´on (xn) tomando εn = 1n tal que (xn)⊂ D, xn→x. Si x∈D tomo xn =x para todon.
Rec´ıprocamente, supongamos que para todo x ∈ X existe (xn) ⊂ D tal que xn→x. Entonces (Dc)◦ = ∅ ya que si x ∈ Dc sea xn→x, (xn) ⊂ D. Entonces dado ε >0, existe
n0 tal que sin ≥n0, xn ∈B(x, ε).
Es f´acil probar que si Z ⊂X y a∈X entonces a∈∂Z si y s´olo si existen (xn) en Z, (yn) en XrZ tales que l´ımxn = l´ımyn =a. (Ejercicio).
Laconvergencia uniforme sobre C[a, b] es la que define la m´etricad∞. En otras
pala-bras, si (fn) es una sucesi´on enC[a, b] entonces d∞(fn, f)→0 se expresa diciendo quefn converge uniformemente af. Obs´ervese que si`∞[a, b] es el conjunto de todas las funciones reales acotadas sobre [a, b] entonces (`∞[a, b], d∞) es un espacio m´etrico. Se puede
demos-trar f´acilmente que C[a, b] es un subconjunto cerrado de `∞[a, b]. En efecto, el l´ımite de una sucesi´on uniformemente convergente de funciones continuas es una funci´on continua.
Proposici´on 2.14 Dos m´etricas d, d0 sobre el mismo conjunto X son equivalentes si y s´olo si tienen las mismas sucesiones convergentes: d(xn, x)→0⇔d0(xn, x)→0.
Demostraci´on. Ejercicio.
Si x es un punto del espacio m´etrico X, llamamos entorno de x a todo subconjunto
V ⊂ X tal que existe un abierto U tal que x ∈ U ⊂ V. En particular, x pertenece a
V. Es f´acil ver que toda uni´on de entornos de x, as´ı como toda intersecci´on finita es un entorno de x. N´otese que todo entorno de x tiene interior no vac´ıo; m´as a´un, el interior de un entorno de x es un entorno de x.
Proposici´on 2.15 Si A⊂X y x∈X son equivalentes: (1) x∈A;
(2) todo entorno abierto de x interseca a A; (3) todo entorno de x interseca a A;
(4) existe (an)⊂A tal que an →x.
Demostraci´on. (1) ⇒ (2) : Supongamos que U es un entorno abierto de x. Entonces existe δ >0 tal queB(x, δ)⊂U. Aplicando la Proposici´on 2.11, B(x, δ)∩A 6=∅.
(2)⇒(3) : SiV es un entorno de x entonces V◦ es un entorno abierto de xy por (2)
A∩V◦ no es vac´ıo. Con mayor raz´on entonces A∩V no es vac´ıo.
(3)⇒(4) : Consideremos la sucesi´on de entornos dex formada por las bolas abiertas
B(x,1/n). Sian ∈A∩B(x,1/n) (la intersecci´on no es vac´ıa, por (3)) entonces d(an, x)< 1/n y entonces an →x.
(4)⇒(1) : Si (an)⊂A converge ax y si F es un cerrado que contiene a A entonces, aplicando (2) de la Proposici´on 2.13, x ∈F. Esto prueba que x ∈ T
F donde F ⊃ A y
F es cerrado. Luego x∈A.
Diremos que x es un punto de acumulaci´on o punto l´ımite de A ⊂ X si para todo entorno V de x, (V r{x})∩A no es vac´ıo. Denotemos A0 al conjunto de puntos l´ımite de A.
Corolario 2.16 A=A∪A0.
Demostraci´on.Vale queA⊂A. Veamos queA0 ⊂A: six∈A0entonces existe (xn)⊂A tal que xn → x, por (4) de la proposici´on anterior x ∈ A. Rec´ıprocamente, supongamos que x∈A. Si x∈A, listo. Supongamos que x /∈A. Como x∈A, existe (xn)⊂A tal que
Si (X, d) es un espacio m´etrico y Aes un subconjunto deX eldi´ametro de A se define como
δ(A) = sup{d(a1, a2) :a1, a2 ∈A}. El di´ametro puede ser un n´umero no negativo ´o +∞.
Proposici´on 2.17 δ(A) = δ(A).
Diremos queAesacotadosiδ(A) es finito. As´ı , todo conjunto finito, toda bola abierta o cerrada, toda uni´on finita de bolas son conjuntos acotados. Si (xn) es una sucesi´on de Cauchy, entonces {xn :n≥1} es un conjunto acotado.
Conviene recordar que si (X, d) es un espacio m´etrico entonces existe una m´etrica d0
que es equivalente a d y X es acotado con respecto a d0, es decir
δ0(X) = sup{d0(x1, x2) :x1, x2 ∈X}<+∞ .
En efecto d0 = 1+dd define una m´etrica acotada equivalente a d (ejercicio).
3.
Continuidad
Si (X, d),(Y, d0) son espacios m´etricos y f :X → Y es una funci´on diremos que f es
continua enx0 ∈X si dado ε >0 existeδ >0 tal que d0(f(x), f(x0))< ε sid(x, x0)< δ. Equivalentemente, si dado ε >0 existe δ >0 tal que f(B(x0, δ))⊂B(f(x0), ε).
Proposici´on 3.1 f es continua en x0 si y s´olo si para todo entorno V de f(x0) existe
un entorno U de x0 tal que f(U)⊂V.
Demostraci´on. Supongamos quef es continua y sea V un entorno de f(x0), entonces existe ε > 0 tal que B(f(x0), ε) ⊂ V y como f es continua en x0, existe δ > 0 tal que
f(B(x0, δ))⊂B(f(x0), ε)⊂V. Tomando U =B(xo, δ) resulta que f(U)⊂V.
Rec´ıprocamente, sea ε > 0 y tomemos V =B(f(x0), ε) entonces existe U entorno de
x0 tal que f(U) ⊂ V. Pero como x0 ∈ U, existe δ > 0 tal que B(x0, δ) ⊆ U. Luego,
f(B(x0, δ))⊂B(f(x0), ε).
En t´erminos de sucesiones tenemos la siguiente descripci´on de continuidad en un punto
x0:
Proposici´on 3.2 f es continua en x0 si y s´olo si para toda sucesi´on (xn) vale que l´ımn→∞f(xn) = f(x0) si l´ımn→∞xn =x0.
Demostraci´on. En efecto, si f es continua enx0 yxn →x0 dadoε >0 existeδ >0 tal que si d(xn, x0) < δ entonces d(f(xn), f(x0)) < ε. Supongamos que f no es continua en
x0. Entonces existe ε >0 tal que para cada n existexn ∈X que verifica d(xn, x0)<1/n y d(f(xn), f(x0))> ε. Entonces xn →x0 perof(xn)9f(x0).
Diremos quef :X →Y escontinua si f es continua en x para todox∈X.
Proposici´on 3.3 Son equivalentes: (1) f es continua;
(2) para todo abierto V de Y, f−1(V) es abierto en X; (3) para todo cerradoF de Y, f−1(F) es cerrado en X.
Demostraci´on. (1) ⇒ (2) : Si V es abierto en Y y x ∈ f−1(V) entonces f(x) ∈ V, n´otese que V es entorno de f(x) de modo que aplicando la Proposici´on 3.1 existe U
entorno de x tal que f(U) ⊂ V. As´ı, x ∈ U ⊂ f−1(V) y luego f−1(V) es abierto, en particular es un entorno abierto de x.
(2)⇒(1) : Supongamos que vale (2) y seaV un entorno def(x0). Puedo suponer que es abierto. entonces f−1(V) es abierto y x
0 ∈ f−1(V) = U. Adem´as f(U) ⊂V. Luego f es continua en x0.
La equivalencia entre (2) y (3) se deduce de la relaci´onf−1(Bc) = f−1(B)c.
Diremos que una funci´on f : (X, d) → (Y, d0) entre espacios m´etricos es un homeo-morfismo si f es biyectiva y tanto f como f−1 : (Y, d0) → (X, d) son continuas. Los
homeomorfismos preservan muchas esctructuras. Se suele llamar propiedades topol´ogicas
a aquellas que son invariantes por homeomorfismos. Veremos m´as adelante que la sepa-rabilidad, la compacidad o la conexi´on est´an entre ellas. Se deja esta afirmaci´on como ejercicio.
Tambi´en es f´acil ver que si sobre un conjunto X hay dos m´etricas d1 y d2 entonces la funci´on identidad 1X : (X, d1)→(X, d2) es un homeomorfismo si y s´olo si las m´etricasd1 y d2 son equivalentes.
4.
Espacios m´
etricos completos.
M´as ´util que la noci´on de sucesi´on convergente en las aplicaciones es la noci´on de
sucesi´on de Cauchy o sucesi´on fundamental: (xn) es de Cauchy si para todo ε >0 existe
n0 ∈ N tal que d(xn, xm) < ε si n, m ≥ n0. Toda sucesi´on convergente es fundamental aunque la rec´ıproca no es cierta en general: en el espacio m´etrico (0,1) la sucesi´on (1n) es fundamental pero no es convergente.
Ejercicio: probar que toda sucesi´on de Cauchy es acotada; y que si una sucesi´on de Cauchy admite una subsucesi´on convergente, entonces toda la sucesi´on es convergente.
Claramente toda sucesi´on convergente es de Cauchy (probar esta afirmaci´on), pero la rec´ıproca no es cierta en general: en (0,1) con la m´etrica del valor absoluto la sucesi´on (xn) conxn = n1 es una sucesi´on de Cauchy que no converge.
Diremos que (X, d) es un espacio m´etrico completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente.
Veamos algunos ejemplos: 1. Q no es completo.
2. Todo espacio m´etrico (X, d) con d la m´etrica 0-1 es completo ya que toda sucesi´on de Cauchy en X es constante a partir de unn0 y luego convergente.
3. No todo espacio m´etrico discreto ( es decir sin puntos de acumulaci´on) es completo: por ejemplo X ={1,1/2, ...,1/n, ...} con la m´etrica inducida por (R,| · |).
4. (R,| · |) es un espacio m´etrico completo.
Demostraci´on. Sea (xn) una sucesi´on de Cauchy enR, entonces es acotada. Usando el axioma de completitud, existe b = supn{xn}. Usando nuevamente el axioma de completitud en R, es f´acil ver que toda sucesi´on mon´otona y acotada en R es convergente. Para cada n ∈ N sea Xn = {xn, xn+1, ...}. Entonces X1 ⊃ X2 ⊃
... ⊃ Xn ⊃ ... y los conjuntos Xn son acotados. Sea an = ´ınfXn, n ∈ N; entonces a1 ≤a2 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ ... ≤ b y luego {an} es convergente. Sea a = l´ımnan. Veamos que a= l´ımnxn. Para probar esto, basta ver que existe una subsucesi´on de (xn),(xnk) tal que xnk →a: si a = l´ımnan, dado ε >0 y n1 ∈ N, existe m > n1 tal
que a−ε < am< a+ε. Como am = ´ınfXm, existe n≥m tal que am ≤xn< a+ε. Luego xn∈(a−ε, a+ε).
5. Rn con la m´etrica dp (1≤p≤+∞) es un espacio m´etrico completo. 6. `p, parap≥1 es un espacio m´etrico completo.
Demostraci´on. Veamos, por ejemplo, que `2 es completo. Veamos primero que `2 es un espacio vectorial: si x= (xn), y = (yn)∈`2 entonces x+y∈`2:
Si xe y∈`2 entoncesP
xiyi <∞: por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, n X i=1 |xi||yi| ≤( n X i=1 |xi|2)1/2( n X i=1 |yi|2)1/2 ≤ kxk2kyk2.
Como la desigualdad vale para todo n, haciendo tendern → ∞, listo. Por lo tanto | ∞ X i=1 xiyi| ≤ kxk2kyk2. Entonces, Pni=1(xi +yi)2 = Pn i=1|xi|2+ Pn i=1|yi|2 + 2 Pn i=1xiyi ≤ kxk22 +kyk22 + 2kxk2kyk2.
Haciendo tender n → ∞, listo. An´alogamente, se demuestra que λx∈`2, λ∈C. Veamos que `2 es completo con k · k
2: sea (xn) ⊂`2 una sucesi´on de Cauchy, xn = (xn1, xn2, ..., xni, ...). Para cada i fijo |xmi −xni| ≤ kxm −xnk2 y luego (xni)n∈N es
de Cauchy. Por lo tanto xni →nai para todo i.
Sea a = (ai). Como (xn) es de Cauchy, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si
n, m≥n0, kxn−xmk2 < ε. Por lo tanto, para todo k, k
X
i=1
|xmi−xni|
2 ≤ε2.
Por lo tanto, para k fijo, haciendo tender m→ ∞ k X i=1 |ai−xni| 2 ≤ε2, ∀n≥n 0. Haciendo tender k → ∞ ∞ X i=1 |ai−xni| 2 ≤ ε2,
con lo cual a−xn ∈ `2, entonces a= a−xn+xn ∈ `2 y ka−xnk2 ≤ ε si n ≥ n0. Entonces xn →n a, en norma 2.
7. C[a, b] con d∞ es un espacio m´etrico completo.
Es f´acil ver que en un espacio m´etrico completo todo conjunto cerrado es completo y que todo subespacio completo de un espacio m´etrico es cerrado. (Ejercicio).
Ejercicio: Ver queC[0,2] no es completo cond1(f, g) = R2
0 |f(t)−g(t)|dt. Sugerencia: considerar la sucesi´on de funciones continuas
fn(x) = 0 si 0 ≤x≤1− 1 n, nx+ 1−n si 1− 1 n < x≤1 1 si 1 < x≤2.
Teorema 4.1 Un espacio m´etrico X es completo si y s´olo si para toda sucesi´on (Fn) de
subconjuntos cerrados no vac´ıos de X tales que Fn ⊃ Fn+1 (n = 1,2, . . .) y δ(Fn) → 0
existe x∈T∞ n=1Fn.
Demostraci´on. Supongamos que X es completo y sea an ∈ Fn n ∈ N. Dado ε >0 existe
n0 ≥ 1 tal que δ(Fn0) < ε. Entonces d(an, am) < ε si n, m ≥ n0, pues an ∈ Fn ⊂ Fn0,
am ∈ Fm ⊂ Fn0 y δ(Fn0) < ε. Como (an) es una sucesi´on de Cauchy, es convergente. Si
a= l´ımn→∞an entonces a∈ T∞
n=1Fn: fijandoFn, am ∈Fn ∀m≥n y como Fn es cerrado
a = l´ımm→∞am ∈ Fn. Rec´ıprocamente, si X tiene la propiedad de encaje de cerrados y (xn) es una sucesi´on de Cauchy entonces An = {xk, k ≥ n} verifica An ⊃ An+1 ∀n y
δ(An)→0. Entonces (An) es una sucesi´on decreciente de cerrados con di´ametro tendiendo a 0, de modo que existe x ∈ T∞
n=1An. Para ver que xn → x, dado ε > 0 encontremos
n0 ≥ 1 tal que δ(An) < ε si n ≥ n0. Entonces d(xn, x) ≤ δ(An) < ε si n ≥ n0 y esto prueba que xn →x.
La hip´otesisδ(Fn)−→n 0 es fundamental: consideremosFn= [n,+∞),n∈N; cadaFn es cerrado deR, Fn+1 ⊆Fn pero
T∞
n=1Fn=∅. Otro ejemplo es el siguiente: consideremos en l2(
N) la familia de conjuntos Fn ={en, en+1, ...}, donde el elemento en es la sucesi´on del2 que tiene todas sus coordenadas nulas salvo la n-´esima, que es uno. Probar que cada
Fn es cerrado, Fn+1 ⊆Fn,δ(Fn) = √
2 y T∞
n=1Fn=∅.
Observemos que la completitud no es una propiedad topol´ogica: por ejemplo, la funci´on tangente,tg : (−2π,π2)→Res un homomeorfismo, cuya inversa es la funci´on arco tangente; sin embargo, R es un espacio completo mientras que el intervalo abierto (−π
2 , π
2) no lo es. Una funci´on f : (X, d) → (Y, d0) entre espacios m´etricos es uniformemente continua
si dado ε >0 existe δ >0 tal qued0(f(x), f(x0))< ε sid(x, x0)< δ.
Es f´acil ver que un homeomorfismo f tal que tanto f como f−1 son uniformemente continuas, preserva la completitud. Es f´acil ver que la continuidad de una funci´on no es suficiente para preservar sucesiones de Cauchy: por ejemplo f : (0,1) → R definida por
f(t) = 1/tes continua,xn = n1 es una sucesi´on de Cauchy peron=f(n1) no es de Cauchy. Sin embargo:
Proposici´on 4.2 Si f : (X, d) → (Y, d0) es uniformemente continua y (xn) ⊂ X es de Cauchy entonces (f(xn))⊂Y es de Cauchy.
Demostraci´on. En efecto, dado ε > 0 existe δ > 0 como en la definici´on de continuidad uniforme. Si d(xn, xm)< δ para n, m≥n0 entonces d(f(xn), f(xm))< ε, si n, m≥n0.
Un ejemplo trivial de funci´on uniformemente continua es el de las isometr´ıas. Decimos quef : (X, d)→(Y, d0) es unaisometr´ıasid0(f(x), f(y)) =d(x, y)∀x, y ∈X. El siguiente
resultado t´ecnico ser´a utilizado en varias ocasiones, a veces inclusive sin menci´on expl´ıcita.
Proposici´on 4.3 Si X e Y son espacios m´etricos completos y A ⊂ X, B ⊂ Y son subconjuntos densos entonces toda funci´on uniformemente continuaf :A→Bse extiende un´ıvocamente a una funci´on uniformemente continua f : X → Y. En particular, si f :A→B es una isometr´ıa entonces f :X →Y tambi´en lo es.
Demostraci´on. Sea x ∈ X, entonces existe (xn) ⊂ A tal que xn → x pues A = X. Como f es uniformemente continua (f(xn)) ⊂ B es de Cauchy. Como Y es completo, existe y = l´ımnf(xn). Definimos f(x) = y. Veamos primero que f est´a bien definida: si
x0n →x,(x0n)⊂A entoncesd(xn, x0n)→0. Comof es uniformemente continua resulta que si yn =f(xn), entonces d(yn, y0n) →0. Luego si yn0 → y0, d(y, y0)≤ d(y, yn) +d(yn, yn0) +
d(y0n, y0)→n 0 e y=y0.
De manera an´aloga se puede probar quef es uniformemente continua.
Si (X, d) es un espacio m´etrico llamaremos una completaci´on de (X, d) a un espacio m´etrico completo (Y, d0) con una isometr´ıa f : (X, d)→(Y, d0) tal que f(X) es denso en
Y.
Se puede demostrar que todo espacio m´etrico admite una completaci´on y que dos completaciones del mismo espacio m´etrico son isom´etricamente isomorfas: para probar la ´
ultima afirmaci´on, consideremos (Y1, δ1), (Y2, δ2) completaciones de (X, d) entonces existen isometr´ıasf1 :X →Y1,f2 :X →Y2 tales queZ1 =f1(X) es denso enY1 y Z2 =f2(X) es denso enY2. Entoncesf2◦f1−1 :Z1 →Z2 es una isometr´ıa y por lo tanto es uniformemente continua, de modo que se extiende de manera ´unica a una funci´on uniformemente continua
φ : Y1 = Z1 → Y2 = Z2. Es f´acil probar que φ es un homeomorfismo isom´etrico de Y1 sobre Y2.
Mostraremos dos formas de probar la existencia de una completaci´on. La primera consiste en definir un nuevo espacio m´etrico ( ˜X,d˜) a partir de (X, d) y probar que es una completaci´on de (X, d). Para ello llamamos X al conjunto de todas las sucesiones de Cauchy (xn) enX. Diremos que (xn),(x0n) enX sonequivalentes(en s´ımbolos, (xn)∼(x0n)) si d(xn, x0n) → 0. Es f´acil ver que ∼ es una relaci´on de equivalencia en X. Definimos
˜
X =X/∼ o sea que ˜X es el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de X. Si denotamos [(xn)] la clase de equivalencia de (xn) y definimos ˜d([(xn)],[(yn)]) = l´ımd(xn, yn), se prueba f´acilmente que este l´ımite existe y que s´olo depende de la clase de equivalencia de (xn) e (yn). Veamos que dadas (xn) e (yn) de Cauchy, el l´ımited(xn, yn) existe: sea an=d(xn, yn), (an)⊂R+ es de Cauchy pues
|an−am| =|d(xn, yn)−d(xm, ym)| ≤ |d(xn, yn)−d(xm, yn)|+|d(xm, yn)−d(xm, ym)| ≤d(xn, xm) +d(yn, ym).
Como (xn) e (yn) son sucesiones de Cauchy, (an) resulta de Cauchy en R y por lo tanto existe a= l´ımnan.
Para ver que el l´ımite s´olo depende de [(xn)] y de [(yn)], sean ( ˜xn) ∈ [(xn)] e ( ˜yn) ∈ [(yn)]. Entonces si l´ımnd( ˜xn,y˜n) = a0
|a0−a| ≤ |a0−d( ˜xn,y˜n)|+|d( ˜xn,y˜n)−d(xn,y˜n)|+|d(xn,y˜n)−d(xn, yn)|+|d(xn, yn)−a| ≤ |a0−d( ˜xn,y˜n)|+d( ˜xn, xn) +d( ˜yn, yn) +|d(xn, yn)−a| →n0.
Es f´acil ver que ( ˜X,d˜) es un espacio m´etrico. Sea f :X → X˜, definida como f(x) = {(xn) ⊂ X : xn →n x} = [(xn)], donde xn = x ∀n, para cada x ∈ X. Entonces f es una isometr´ıa pues si x e y∈X, ˜d(f(x), f(y)) = l´ımnd(xn, yn), dondexn →x e yn→y. Luego ˜d(f(x), f(y)) =d(x, y).
Adem´as, si identificamos X con f(X), X resulta denso en ˜X: sea ˜x∈X˜ y ε >0. Sea (xn)∈x˜ entonces si n, m≥n0
d(xn, xm)< ε.
Para cadan fijo, sea la sucesi´on (yk), definida comoyk =xn∀k. ˜
d([(yk)],x˜) = ˜d([(yk)],[(xk)]) = l´ım
k d(yk, xk) = l´ımk (xn, xk)< ε.
Finalmente, veamos que ˜X es completo. Para esto, observemos primero que dada una sucesi´on de Cauchy (xn)⊂X, la sucesi´on (f(xn))⊂X˜ converge al punto ˜x= [(xn)]. Pues para n fijo, ˜d(˜x, f(xn)) = ˜d([(xk)],[(yk)]) = l´ımkd(xk, yk)< ε,si n≥n0.
Entonces dada una sucesi´on de Cauchy ( ˜xn) ⊂ X˜, sea ˜yn ∈ X tal que ˜d( ˜xn,y˜n) < n1. Luego ( ˜yn)→y˜y luego ˜xn→y˜.
La segunda manera de completar un espacio m´etrico (X, d) consiste en considerar el espacio m´etrico completo (`∞(X), d∞) y probar que, fijado x0 ∈ X, la funci´on fx0 :
(X, d) → (`∞(X), d∞) definida por (fx0(x))(y) = d(x, x0)−d(x0, y) es una isometr´ıa. Si
Z es la imagen de fx0 entonces (Z, d∞) es una completaci´on de (X, d).
Ninguna construcci´on de la completaci´on de un espacio m´etrico es satisfactoria en el sentido de que no permite “imaginar” c´omo es o qu´e forma tienen sus elementos. M´as adelante mostraremos que la completaci´on del espacio m´etrico C[a, b] con la m´etrica dp (1≤p <+∞) definida pordp(f, g) = kf−gkp =
Rb
a|f(t)−g(t)|
pdt1/p es el espacio de Lebesgue Lp[a, b], construido a partir de la medida de Lebesgue en [a, b]. Tambi´en puede probarse que las llamadas distribucionesofunciones generalizadaspueden pensarse como los elementos de la completaci´on de un espacio de verdaderas funciones.
Una contracci´on entre espacios m´etricos es una funci´on que disminuye (contrae) dis-tancias: m´as precisamente, f : (X, d)→(Y, d0) es una contracci´onsi existe una constante
El siguiente es uno de los teoremas m´as ´utiles del an´alisis y sus aplicaciones.
Teorema 4.4 (Principio de la contracci´on o teorema de Banach-Cacciopoli). Si (X, d)
es un espacio m´etrico completo y f :X →X es una contracci´on entonces existe un ´unico elemento x0 ∈ X tal que f(x0) = x0. M´as a´un, para todo z ∈ X la sucesi´on x1 = f(z),
x2 =f(x1), xn=f(xn−1), converge a x0 y d(x0, xn)≤ λ
n
1−λd(f(z), z).
Demostraci´on. Probemos primero la unicidad del punto fijo x0. En efecto, si y es otro punto fijo entonces x0 = f(x0), y = f(y) y d(x0, y) = d(f(x0), f(y)) ≤ λd(x0, y). Como
λ <1, la desigualdad obliga a que d(x0, y) sea nula, o seay =x0.
Dado z ∈ X definimos x1 = f(z), xn+1 =f(xn) para n ∈ N. Entonces d(xn+1, xn) =
d(f(xn), f(xn−1))≤λd(xn, xn−1)≤λ2d(xn−1, xn−2)≤ · · · ≤λnd(f(z), z). Sip≥1,d(xn+p+1, xn)≤Pn+pk=nd(xk+1, xk)≤Pn+pk=nλkd(f(z), z) = Pn+p k=nλk d(f(z), z). Como 0 < λ < 1, la serie P∞
m=0λm converge a 1/(1−λ) y entonces (xn) es una sucesi´on de Cauchy. Como (X, d) es completo, existex0 = l´ımn→∞xn. Como f es continua
f(x0) = l´ımn→∞f(xn) = l´ımn→∞xn+1 =x0. Esto prueba la existencia del punto fijo x0. Finalmente d(x0, xn)≤d(x0, xn+p+1) +d(xn+p+1, xn)≤d(x0, xn+p+1) +d(f(z), z) ∞ X k=n λk ≤d(x0, xn+p+1) + λn 1−λd(f(z), z) y haciendo p→ ∞ obtenemos d(x0, xn)≤ λ n 1−λd(f(z), z).
Daremos a continuaci´on una extensi´on del teorema de Banach-Cacciopoli.
Teorema 4.5 Si (X, d) es un espacio m´etrico completo y f : B(x0, r) → X es una
contracci´on con constante λ ∈ (0,1) que verifica d(f(x0), x0) < r(1−λ) entonces existe un ´unico x∈B(x0, r) tal que f(x) =x.
Demostraci´on. Como antes, construimos (xn) poniendo xn = f(xn−1). Observemos que las hip´otesis garantizan que xn pertenece a B(x0, r): inductivamente d(x1, x0) =
d(f(x0), x0)< r(1−λ)< r; sixk∈B(x0, r) parak= 1,2, . . . , n−1 entonces, como antes,
d(xn, x0)≤d(xn, xn−1) +· · ·+d(x1, x0)≤d(f(x0), x0) n−1 X k=0 λk < r(1−λ) n−1 X k=0 λk≤r.
Del mismo modo, (xn) es una sucesi´on de Cauchy y si x = l´ımn→∞xn entonces f(x) =
x. De la desigualdad d(x, xn) ≤ λ n 1−λd(f(x0), x0) obtenemos que d(x, x0) ≤ d(x, xn) + d(xn, x0)≤( λ n 1−λ + Pn−1 k=0λ k
)d(f(x0), x0)), para todo n. Luego
d(x, x0)≤
d(f(x0), x0) 1−λ < r ,
o sea x∈B(x0, r).
Veamos algunas aplicaciones.
1. Ecuaciones integrales.
Si K : [a, b] ×[a, b] → R es una funci´on n´ucleo se trata de encontrar para cada
g ∈C[a, b] y cada λ ∈R una funci´onf ∈C[a, b] tal que
f(t) =λ
Z b
a
K(t, s)f(s)ds+g(t) ∀t ∈[a, b] . (1) La ecuaci´on (1) es una ecuaci´on integral lineal no homog´enea de Fredholm.
Proposici´on 4.6 Si K : [a, b]×[a, b]→R es continua y |λ|<1/kKk∞(b−a) entonces
existe una ´unica funci´on f ∈C[a, b] que verifica (1).
(En el enunciado kKk∞ = supt,s∈[a,b]|K(t, s)|.)
Para probarlo, consideramos el espacio m´etrico C[a, b] con la m´etrica uniforme y la contracci´on T : C[a, b] → C[a, b], (T f)(t) = λRabK(t, s)f(s)ds+g(t): la elecci´on |λ| <
1/(b−a)kKk∞garantiza queT sea una contracci´on. La completitud deC[a, b] y el teorema
de la contracci´on terminan la tarea.
2. Ecuaciones funcionales.
Si X es un espacio m´etrico completo y ϕ : X×R → R es una funci´on continua tal que existe λ ∈ (0,1) que verifica |ϕ(x, t)−ϕ(x, s)| ≤ λ|t−s| ∀x ∈X, t, s ∈R entonces existe una ´unica funci´on continua u:X →R tal que u(x) = ϕ(x, u(x)) ∀x∈X.
Ac´a se aplica el teorema de la contracci´on al espacio m´etrico completo C∞(X) =
`∞(X)∩C(X) y a la contracci´on T : C∞(X) → C∞(X), (T u)(x) = ϕ(x, u(x)):
obser-var que |(T u)(x)−(T v)(x)| = |ϕ(x, u(x))−ϕ(x, v(x))| ≤ λ|u(x)−v(x)| de modo que
d(T u, T v) =kT u−T vk∞≤λku−vk∞ =λd(u, v) para todo u, v ∈C∞(X).
3. Ecuaciones diferenciales.
Consideremos el problema de valores iniciales y0 =f(x, y) y(x0) =y0 (2) donde f : G → R es continua, G = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d} = (a, b)× (c, d), (x0, y0)∈G y adem´as f es de Lipschitz en la segunda variable, i.e.,
|f(x, y1)−f(x, y2)| ≤M|y1−y2|.
Teorema 4.7 (de Picard) En las condiciones anteriores existe un δ > 0 tal que en el intervalo (x0−δ, x0+δ), el problema (2) tiene una ´unica soluci´on.
Demostraci´on. El problema (2) es equivalente a la ecuaci´on integral
ϕ(x) = y0+ Z x
x0
f(t, ϕ(t))dt. (3)
Como f es continua en G, podemos hallar un conjunto compacto G0 ⊂ G tal que f es acotada en G0 y (x0, y0) ∈G0. Es decir que |f(x, y)| ≤ K, si (x, y)∈ G0. M´as aun, existe un rect´angulo abierto, incluido en G0, que contiene a (x0, y0).
Tambi´en es posible hallar un n´umero δ > 0 que verifique que M δ < 1 y (x, y) ∈ G0
si |x−x0| ≤ δ y |y−y0| ≤ Kδ. Consideremos el espacio X = C[x0 −δ, x0 +δ] con la norma k k∞ y el subespacio m´etrico S de las funciones ϕ tales que |ϕ(x)−y0| ≤Kδ. El
subespacio S es cerrado y luego es completo ya que X es completo. Sea (T ϕ)(x) = y0 +
Rx
x0f(t, ϕ(t))dt, para ϕ ∈ S. Veamos que T(S) ⊆ S: dada ϕ ∈ S
entonces |T ϕ(x)−y0|=| Z x x0 f(t, ϕ(t))dt| ≤Kδ, ∀x∈[x0−δ, x0+δ]. Adem´as |T ϕ1(x)−T ϕ2(x)| ≤ Z x x0 |f(t, ϕ1(t))−f(t, ϕ2(t))|dt≤M δkϕ1−ϕ2k∞.
Como M δ <1, el operador T resulta una contracci´on. Entonces la ecuaci´on ϕ=T ϕ
tiene una ´unica soluci´on en S.
5.
Espacios m´
etricos compactos
Compacidad.
Un espacio m´etrico (X, d) es compacto si para todo cubrimiento de X por abiertos existe un subcubrimiento finito: en otros t´erminos para toda familia {Ui : i ∈ I} de abiertos de X tal que S
iUi = X existen i1, i2, . . . , in ∈ I tales que Sn
k=1Uik = X.
Diremos que X tiene lapropiedad de la intersecci´on finita si toda familia de cerrados de
X {Fi : i ∈ I} tal que para cada subconjunto finito {i1, i2, . . . , in} ⊂ I la intersecci´on Tn
k=1Fik no es vac´ıa, entonces la intersecci´on
T
i∈IFi no es vac´ıa.
Proposici´on 5.1 X es compacto si y s´olo si X tiene la propiedad de intersecci´on finita. Demostraci´on. Supongamos queX es compacto y sea{Fi :i∈I}una familia de cerrados de X tales que Tnk=1Fik es no vac´ıo, para toda sub-familia finita y supongamos que
T i∈IFi = ∅. Entonces X = ( T i∈IFi)c = S i∈IF c
i. Como los Fi son cerrados, {Fic : i ∈
I} es un cubrimiento por abiertos de X. Luego existe un subcubrimiento finito de X, {Fc
i, ...Ficn}, ya queX es compacto. Pero entoncesX =
Sn k=1F c ik y luego Tn k=1Fik =∅, lo que es absurdo.
Rec´ıprocamente, supongamos queX tiene la propiedad de la intersecci´on finita y sea {Gi, i ∈ I} un cubrimiento por abiertos de X. Supongamos que no existe un subcubri-miento finito. Entonces {Gc
i, i ∈ I} es una familia de cerrados tales que Tm
k=1Gcik 6= ∅
para toda subfamilia finita, pues en caso contrario, X =Snk=1Gik y {Gik : k = 1, ..., n}
ser´ıa un subcubrimiento finito. Luego, comoX tiene la propiedad de la intersecci´on finita, T i∈IG c i 6=∅, entonces S i∈IGi (X, y esto es absurdo.
Uno de los teoremas b´asicos del an´alisis matem´atico es el siguiente
Teorema 5.2 Heine-Borel-Lebesgue. Todo intervalo cerrado acotado de R es compacto. M´as generalmente si consideramos en Rn la m´etrica dp (1≤p≤+∞) entonces K ⊂Rn
es compacto si y s´olo si K es cerrado y acotado.
Obs´ervese que este enunciado es falso en general: si (X, d) es discreto entonces X es cerrado y acotado (la m´etrica discreta es acotada) pero K ⊂ X es compacto si y s´olo si
K es finito.
Un subconjunto A de un espacio m´etrico (X, d) es totalmente acotado si para todo
ε > 0 existe una cantidad finita de bolas abiertas de radio ε que cubren A; es decir si existen x1, . . . , xn ∈ X tales que A ⊂ Sni=1B(xi, ε). Al conjunto {x1, . . . , xn} se lo suele llamar una ε-red de A. Obs´ervese que A es totalmente acotado se para cada ε >0 existe una descomposici´on de A en una cantidad finita de subconjuntos de di´ametro menor que
ε.
Todo conjunto totalmente acotado es acotado: en efecto, sir = m´ax{d(xi, xk) :i, k = 1, . . . , n} entoncesA ⊂B(xi, r+ε) para cualquier i, de modo que δ(A)≤2(r+ε).
La rec´ıproca es falsa en general: un conjunto infinito con la m´etrica discreta es acotado pero no es totalmente acotado. M´as interesante es el siguiente ejemplo: consideremos el es-pacio normado`2Ncon la m´etrica inducidad2(x, y) = (
P∞ n=1|xn−yn|2) 1/2 y el subconjunto A=B(0,1) ={(xn)∈`2N: P∞ n=1|xn|
2 ≤1}. Claramente, A es un conjunto acotado pues
δ(A)≤2. Por otro lado, sienes el elemento de`2Ncon todas sus coordenadas nulas excepto la n-´esima, que es 1, entonces es claro que en ∈ A y que d2(en, em) = ken−emk2 =
√ 2. Por lo tanto, si 0 < ε < √2 cualquier ε-red de {en : n ∈ N} debe ser infinita: en efecto, cada bola de radio ε contiene a lo sumo un en.
Teorema 5.3 Si (X, d)es un espacio m´etrico, las siguientes propiedades son equivalentes 1. X es compacto;
2. X es totalmente acotado y completo;
3. todo subconjunto infinito de X admite un punto de acumulaci´on; 4. toda sucesi´on (xn) en X admite una subsucesi´on convergente.
Demostraci´on. 1 → 2 : Supongamos que X es compacto. Veamos que X es totalmente acotado. Dado ε > 0 la familia{B(x, ε) : x∈X} es un cubrimiento por abiertos de X y luego existe un subcubrimiento finito, i.e., existenx1, ..., xn∈Xtal queX⊂Sni=1B(xi, ε). Para ver que X es completo consideremos una familia {Fn : n ∈ N} de subconjuntos cerrados no vac´ıos de X, tales que δ(Fn)→n 0 y Fn ⊃Fn+1. Entonces si I ⊂ N es finito ∩i∈IFi =Fi0 6=∅, dondei0 = m´axI. Como X es compacto, aplicando la Proposici´on 5.1,
resulta T
nFn6=∅. Luego, por el Teorema 4.1,X es completo.
2 → 3 : Sea Y ⊂ X infinito. Sea ε = 1. Como X es totalmente acotado, existen
x1, ..., xn ∈ X tales que X ⊂ Sn
i=1B(xi,1). Luego existe al menos un k entre 1 y n tal que B(xk,1) contiene infinitos puntos de Y. De otro modo Y ser´ıa finito. Repetimos el razonamiento para ε2 = 12 y el conjunto infinito Y1 = Y ∩B(xk,1) y obtenemos un subconjunto infinito deY contenido en una bolaB(x0k,12)). En general, para εn= 1n existe un subconjunto infinito de Y contenido en una bola de radio n1.
Tomamosy1 ∈Y1, y2 ∈Y2− {y1}, ..., yn∈Yn− {y1, ..., yn−1}. Esto es posible ya que los conjuntos Yk son infinitos. Luego (yn)⊂Y es de Cauchy y como X es completo, yn →y. Adem´asy es un punto de acumulaci´on de Y, ya que yn6=ym si n6=m.
3 → 4 : Sea (xn) ⊂ X; si (xn) es un conjunto finito entonces alguno de los finitos valores se repite infinitas veces. Es decir que para todo n existe mn > n tal que xmn =c
donde ces uno de los finitos valores de la sucesi´on y la sucesi´on constante xmn →c.
Supongamos entonces que (xn)n∈N es infinito. Entonces (xn) tiene un punto de
acu-mulaci´onx. Es decir que parak ∈N, B∗(x,1k)∩(xk)6=∅dondeB∗(x,1k) =B(x,1k)− {x}. Sea n1 tal que xn1 ∈ B
∗(x,1). Observemos que d(x, x
n1) > 0. Sea n2 tal que
1 n2 <
d(x, xn1) yn2 > n1. Entonces existexn2 ∈B
∗(x, 1
n2). As´ı puedo construir una subsucesi´on
xnk →x.
4→1 : Veamos primero que X es totalmente acotado. Seaε >0 yx1 ∈X cualquiera. Si no existe x2 ∈ X tal que d(x1, x2) ≥ ε entonces X ⊆ B(x1, ε). Si no, considero el conjunto Aε = {x1, x2}. En general, sea xn ∈ X tal que d(xn, xk) ≥ ε,∀k = 1, ..., n−1. La sucesi´on (xn) debe ser finita pues en caso contrario no tendr´ıa ninguna subsucesi´on convergente y luego (xn) = {x1, ..., xn0} = Aε y X ⊆
Sn
totalmente acotado. Adem´as X es separable puesA =S
n∈NA1n es un conjunto denso en
X y es numerabe (lo probaremos m´as adelante).
Sea{Gi}i∈Iun cubrimiento por abiertos deX. DadoGi, seax∈Gi, comoGies abierto existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ Gi y existe y ∈ A tal que d(x, y) < 2n1 < 2ε. Por lo tanto,
B(y,2n1 ) ⊂ Gi. Para cada y ∈ A y n ∈ N elijo i tal que B(y,2n1 ) ⊂ Gi, esta subfamilia de{Gi}i∈I es numerable y es un cubrimiento deX. Se prueba, de manera similar, que en este caso puedo extraer un subcubrimiento finito de X.
En los cursos de topolog´ıa siXsatisface 3 se dice que satisface lapropiedad de Bolzano-Weierstrass y si X satisface 4 se dice que es secuencialmente compacto. El siguiente resultado ser´a utilizado con frecuencia en estas notas.
Proposici´on 5.4 Si f :X →Y es una funci´on continua yA⊂X es compacto entonces f(A) ⊂ Y es compacto. En particular, si f es biyectiva, continua y f−1 es tambi´en
continua, entonces X es compacto si y s´olo si Y es compacto.
Demostraci´on. En efecto, si {Vi : i ∈ I} es un cubrimiento abierto de f(A) entonces {f−1(V
i) :i∈I}es un cubrimiento abierto deA; comoAes compacto, existeni1, . . . , in ∈
I tales que Snk=1f−1(V
ik)⊃A y aplicando f a ambos miembro resulta
n [
k=1
Vik ⊃f(A).
(En todo el argumento anterior se utilizan propiedades conjuntistas de la imagen inversa, demostradas en el Ap´endice I).
Usando este resultado, sif :X →Y es continua y biyectiva y sif−1 :Y →X tambi´en es continua, entonces Y(=f(X)) es compacto siX lo es y rec´ıprocamente.
