TEMA 6 Inducción electromagnética

(1)

TEMA 6

Inducción electromagnética

6.1 Fem inducida y ley de Faraday.

6.2 Ley de Lenz.

6.3 Auto inductancia y inductancia mutua.

6.4 Energía magnética.

6.5 Transitorios en corriente continua: circuito RL

6.6 Oscilaciones en circuitos LC y RLC sin generador

(2)

6.1 Fem inducida y ley de Faraday (1831)

• Experimento a: al mover un circuito en un campo magnético circula una corriente por el circuito

• Experimento b: al mover el imán respecto del circuito también circula una corriente

• Experimento c: al variar la intensidad del campo magnético (usando un electroimán) también se genera una corriente.



(3)

Fem inducida por el movimiento (relativo)

de un circuito en un campo B

vBh

Bdl

v

E

b a fem







Fem = fuerza por unidad de carga necesaria para que las

cargas recorran el circuito. _{En este circuito la fuerza magnética empuja} las cargas del punto a al punto b.

B

v

q

F













B



Bxh

dA

n

B

m







ˆ







dt

v

dx





m _fem

E

Bvh

dt

d



_

_

_

_

En esta experiencia la fuerza electromotriz es de origen magnético. La corriente que se induce genera un campo B que se opone a la disminución del flujo magnético que atraviesa el circuito.

(4)

Fem inducida por un campo magnético variable

Un campo magnético variable induce un campo eléctrico (y por lo tanto una fuerza eléctrica que actúa sobre las cargas y produce una corriente).

(5)

Ley de Faraday

Cuando cambia el flujo magnético que atraviesa un circuito, se induce en el circuito un campo eléctrico que es no conservativo (E-V), que da lugar a una fem, que a su vez induce una corriente.

dt

d

E

_fem







m Forma integral de la ley de Faraday





















n

dA

t

B

dA

n

E

l

d

E

C

ˆ















B

n

dA

dt

d

l

d

E

C

ˆ



t

B

E















_{Forma diferencial} de la ley de Faraday

(6)

6.2 Ley de Lenz (1834)

• La fem y la corriente inducidas poseen dirección y sentido tal que tienden a

oponerse a la variación que las produce.

• Cuando se produce una variación del flujo magnético que atraviesa un circuito la corriente inducida genera un campo magnético cuyo flujo magnético compensa la variación del flujo externo.

(7)

Ejemplos de aplicación de la Ley de Lenz

Cuando circula una corriente el anillo salta.

http://www.youtube.com/watc h?v=Pl7KyVIJ1iE

(8)

Fem auto-inducida

• Cuando el circuito esta cerrado circula una corriente estacionaria, que genera un campo magnético.

• Hay por tanto un flujo de campo magnético que atraviesa la bobina.

• Cuando abrimos el interruptor la corriente varia rápidamente y la fem inducida en la bobina intenta mantener circulando la corriente (se opone al cambio)

• El campo eléctrico entre los bordes el interruptor es suficientemente grande para provocar la ruptura dieléctrica del aire.

• El aire conduce la corriente eléctrica en forma de chispa.

• La corriente que circula por un circuito que contiene una bobina varia en forma continua: no puede cambiar

(9)

Fem de movimiento: Ejemplo 1

• Determinar la carga total que circula por el circuito (que se puede medir con un integrador de corriente representado por la letra C) cuando la bobina gira 1800 alrededor del eje vertical.

dt

dQ

R

RI

E

_fem



dt

d

E

_fem







m







R

d

dQ



m

R

Q









m

NBA

dA

n

B

m







ˆ







• Al girar la normal cambia de sentido.

NBA

inicial m final m m









2 



R

NBA

Q



2



(10)

Fem de movimiento: Ejemplo 2

• Una varilla conductora desliza con velocidad constante a lo largo de dos conductores unidos por una resistencia. Determinar la fem inducida.







B

n

dA

m

ˆ





vdt

l

B

m





v

l

B

dt

d

E

_fem







m





(11)

Fem de movimiento: Ejemplo 3

• Una varilla conductora se mueve con velocidad constante en un campo magnético.

• La fuerza magnética hace que en los

extremos de la barra se acumulen cargas de signo opuesto.

• Estas cargas generan un campo eléctrico que, en equilibrio, hace una fuerza igual y opuesta al campo magnético.

m

• La diferencia de potencial entre los extremos de la barra es (si no circula corriente).

Bv

E



Bvl

V



(12)

Generador de ac

• Una bobina que gira con velocidad angular constante en un campo magnético crea una fem sinusoidal.

dt

d

E

_fem







m



m



NBA

cos



t

• La energía procede de una central hidroeléctrica o turbina de vapor que hace girar a la bobina.

• La energía se envía a un circuito externo mediante un contacto a un anillo deslizante

(13)

Corrientes de Foucault (1855)

En un trozo de conductor un campo magnético variable genera un corriente “inducida” que disipa energía.

)

(

t

I

Si sacamos el conductor

aparece una fuerza magnética que se opone al movimiento (al igual que en el ejemplo de la diapositiva 3).

Para evitar las

corrientes de Foucault:

Las corrientes de Foucault también pueden ser útiles. Por ejemplo, para

amortiguar oscilaciones y para frenar vagones de tren…

(14)

6.3 Auto inductancia

• El flujo magnético que atraviesa un circuito es proporcional a la corriente que circula por el circuito.

LI

m





L es la auto inductancia del circuito

• Unidad: Henry. 1 H = 1 Wb/A = 1 Tm2_/A

• Si el circuito es una bobina de longitud l y N vueltas (n=N/l)

NBA

m





B





₀

nI



_m





₀

_n

2

_Al

_I



_L





₀

_n

2

_Al

• La fem inducida es

dt

dI

L

dt

d

E

_fem







m





(15)

Inductancia mutua

• El flujo magnético que atraviesa el circuito 2 es proporcional a la corriente que circula por el circuito 1.

1 12 2 ,

M

I

m





• Y vice-versa. 2 21 1 ,

M

I

m





• Ejemplo: solenoide con N₁y N₂ vueltas.

1 1 1 0 1



n

I

si

r



r

B



 

2 1 1 2 2

N

B



r





 

2 1 2 1 0 12

n

l

r

M







• M₁₂ y M₂₁ son los coeficientes de inductancia mutua.

(16)

Inductancia mutua: formula de Newmann





_



















1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 C S S

l

d

A

da

n

A

da

n

B





_

_

2 2 2 0 2

4

_C

r

l

d

I

A







 





1 2 1 2 2 0 1

4

_{C C}

r

l

d

l

d

I











_{ }



1 2 1 2 0 12

4

_{C C}

r

l

d

l

d

M









 • La inductancia mutua depende solo de la geometría.

(17)

6.4 Energía magnética

• Se necesita hacer un cierto trabajo para que una corriente circule por un circuito.

• Además de la energía que se disipa en la resistencia por efecto Joule, hay que hacer trabajo contra la fem inducida que se opone a la variación de la corriente.

• Esta energía es conservativa y se recupera cuando la corriente se apaga.

I

dt

dI

L

dt

dQ

E

dt

dW

fem



















LI

m





dt

d

E

_fem







m Trabajo hecho por la batería

dt

dI

LI

dt

dW

dt

dU

_m

_

Variación de energía potencial magnética en la bobina

C

LI

U

_m



2



2

1

 Para un solenoide infinito:

L





0

n

2

Al

donde C es una constante arbitraria.

Al

B

n

B

Al

n

LI

U

_m 0 2 2 0 2 0 2

2

1

2

1 



_















nI

B





₀   0 2

2 

B

u

_m



Densidad de energía magnética.

(18)

6.5 Transitorios en un circuito RL

dt

dI

L

IR

E

_fem







R L t



fem

e

R

E

I



1 

( )





L

/

R

Constante de tiempo

(19)

x

dt

x

d

2 0 2 2







6.6 Oscilaciones en un circuito LC

0 



C

Q

dt

dI

L

dt

dQ

I



0

2 2





C

Q

dt

Q

d

L



Q

LC

dt

Q

d

1

2 2





Ecuación de un M.A.S. 

Q



Q

₀

cos





₀

t















Q





t







dt

dQ

I

₀ ₀

sin

₀

Condiciones iniciales Q=Q₀, I=0  =0

LC

1

0





(20)

Oscilaciones amortiguadas en un circuito RLC sin

generador

0 



RI

C

Q

dt

dI

L

0

2 2





C

Q

dt

dQ

R

dt

Q

d

L