PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA APLICADA A
LA OPTIMIZACIÓN
INVESTIGADOR: DR. RODOLFO GARCÍA FLORES
ESTUDIANTES: ABEL ANTONIO TORRES REYNA
JESÚS ALBERTO CASTILLO DE ANDA
AGENDA
AGENDA
Conceptos básicos de Investigación de
Conceptos básicos de Investigación de
Operaciones.
Operaciones.
Introducción a la Programación Lineal.
Introducción a la Programación Lineal.
Ejemplo práctico de un problema de
Ejemplo práctico de un problema de
Programación Lineal.
Programación Lineal.
Ejemplos Reales de Optimización.
Ejemplos Reales de Optimización.
DEFINICIÓN DE LA I.O.
DEFINICIÓN DE LA I.O.
La investigación de operaciones es la aplicación,
La investigación de operaciones es la aplicación,
por grupos interdisciplinarios , del método
por grupos interdisciplinarios , del método
científico o problemas relacionados con el
científico o problemas relacionados con el
control de las organizaciones o sistemas a fin de
control de las organizaciones o sistemas a fin de
que se produzcan soluciones que sirvan mejor a
que se produzcan soluciones que sirvan mejor a
los objetivos de toda la organización.
BENEFICIOS DE UN PROYECTO DE
BENEFICIOS DE UN PROYECTO DE
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1) Incrementa la posibilidad de tomar mejores
1) Incrementa la posibilidad de tomar mejores
decisiones.
decisiones.
2) mejora la coordinación entre las múltiples
2) mejora la coordinación entre las múltiples
componentes de la organización.
componentes de la organización.
3) Mejora el control del sistemas al constituir
3) Mejora el control del sistemas al constituir
procedimientos sistemáticos.
procedimientos sistemáticos.
4)Logra un mejor sistema al hacer que este opere con
4)Logra un mejor sistema al hacer que este opere con
costos mas bajos.
FASES DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN DE
FASES DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
OPERACIONES
1) Estudio de la organización.
1) Estudio de la organización.
2) Interpretación de la organización como un
2) Interpretación de la organización como un
sistema.
sistema.
3) Formulación de los problemas de la
3) Formulación de los problemas de la
organización.
organización.
4) Construcción del modelo.
4) Construcción del modelo.
5) Derivación de soluciones del modelo.
5) Derivación de soluciones del modelo.
6) Prueba del modelo y sus soluciones.
6) Prueba del modelo y sus soluciones.
7) Diseño de controles asociados a las
7) Diseño de controles asociados a las
soluciones.
soluciones.
TIPOS DE PROBLEMAS EN LA INVESTIGACIÓN DE
TIPOS DE PROBLEMAS EN LA INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
OPERACIONES
Deterministicos
Deterministicos
Estocásticos
Estocásticos
MODELOS
MODELOS
Icónicos
Icónicos
Analógicos
Analógicos
Simbólico
Simbólico
¿
¿
Qué es la programación lineal
Qué es la programación lineal
?
?
La programación lineal es una herramienta
La programación lineal es una herramienta
para la solución de problemas de
para la solución de problemas de
optimización en infinidad de aplicaciones
optimización en infinidad de aplicaciones
de la industria, la economía, la estrategia
de la industria, la economía, la estrategia
militar, etc. se presentan situaciones en
militar, etc. se presentan situaciones en
las que se exige maximizar o minimizar
las que se exige maximizar o minimizar
algunas funciones que se encuentran
algunas funciones que se encuentran
sujetas a determinadas limitaciones, que
sujetas a determinadas limitaciones, que
llamaremos restricciones.
Un problema de programación lineal en su forma
Un problema de programación lineal en su forma
estándar tiene la siguiente formulación:
estándar tiene la siguiente formulación:
Max Z = C
Max Z = C
11X
X
11+ C
+ C
22X
X
22+…+ Cn Xn
+…+ Cn Xn
Función Objetivo
Función Objetivo
Sujeto a:
Sujeto a:
a
a
1111X
X
11+ a
+ a
1212X
X
22+…+ a
+…+ a
1n1nX
X
nn<= b
<= b
11Restricciones a
Restricciones a
2121X
X
11+ a
+ a
2222X
X
22+…+ a
+…+ a
2n2nX
X
nn<= b
<= b
22Funcionales a
Funcionales a
m1m1X
X
11+ a
+ a
m2m2X
X
22+…+ a
+…+ a
mnmnX
X
nn<= b
<= b
mmx
x
ii>= 0; i=1,2,…,n restricción de no negatividad
>= 0; i=1,2,…,n restricción de no negatividad
x
Determinación
Determinación
de la
de la
regón
regón
factible
factible
La solución de un problema de programación lineal, en el supuest
La solución de un problema de programación lineal, en el supuest
o
o
de que exista, debe estar en la región determinada por las disti
de que exista, debe estar en la región determinada por las disti
ntas
ntas
desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede
desigualdades. Esta recibe el nombre de región factible, y puede
estar o no acotada.
estar o no acotada.
Región factible acotada Región factible no acotada
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las
Ejemplo
La corporación Telfa fabrica mesas y sillas,
La corporación Telfa fabrica mesas y sillas,
una mesa necesita 1 hora de trabajo y 9
una mesa necesita 1 hora de trabajo y 9
m
m
2
2
de madera, y una silla necesita 1 hora
de madera, y una silla necesita 1 hora
de trabajo y 5 m
de trabajo y 5 m
2
2
. Se tienen disponibles 6
. Se tienen disponibles 6
horas de trabajo y 45 m
horas de trabajo y 45 m
2
2
de madera, cada
de madera, cada
mesa produce $8 de ganancia y cada silla
mesa produce $8 de ganancia y cada silla
$5 de ganancia.
$5 de ganancia.
formular el problema de programación
formular el problema de programación
lineal para maximizar la ganancia de Telfa.
Planteamiento con análisis
Planteamiento con análisis
dimensional
dimensional
Variables de decisión:
Variables de decisión:
x
x
11= número de mesas x
= número de mesas x
22= número de sillas
= número de sillas
Función objetivo:
Función objetivo:
Max z = $ 8/mesa (x
Max z = $ 8/mesa (x
11mesa) + $ 5/silla (x
mesa) + $ 5/silla (x
22silla)
silla)
Restricciones:
Restricciones:
9m
9m
22/mesa (x
/mesa (x
11mesa) + 5m
mesa) + 5m
22/silla (x
/silla (x
22silla) <= 45m
silla) <= 45m
221hr/mesa (x
Max z = 8x
Max z = 8x
11+ 5x
+ 5x
22Sujeto a:
Sujeto a:
9x
9x
11+ 5x
+ 5x
22<= 45
<= 45
x
x
1 1+ x
+ x
22<= 6
<= 6
x
x
11, x
, x
22>= 0
>= 0
Resultados por el método gráfico:
Resultados por el método gráfico:
X
X
11= 3.75 mesas
= 3.75 mesas
X
X
22= 2.25 sillas
= 2.25 sillas
Z = $ 41.25
Z = $ 41.25
Resultados por el método simplex:
Resultados por el método simplex:
X
X
11= 3.75 mesas
= 3.75 mesas
X
X
22= 2.25 sillas
= 2.25 sillas
Z = $ 41.25
Z = $ 41.25
Resultados por el método de los cortes:
Resultados por el método de los cortes:
X
Cuando un problema de PL es resuelto
Cuando un problema de PL es resuelto
puede darse uno de los siguientes casos:
puede darse uno de los siguientes casos:
El problema de PL tiene solución única.
El problema de PL tiene solución única.
El problema de PL tiene mas de una
El problema de PL tiene mas de una
solución optima, este es el caso de otras
solución optima, este es el caso de otras
soluciones optimas alternativas.
soluciones optimas alternativas.
El problema de PL no tiene solución
El problema de PL no tiene solución
factible.
factible.
El problema de PL es ilimitado. Esto
El problema de PL es ilimitado. Esto
significa ( que en un problema de
significa ( que en un problema de
maximizar) hay puntos en la región
maximizar) hay puntos en la región
factible con grandes valores arbitrarios de
Ejemplos de Programación Matemática
Ejemplos de Programación Matemática
Aplicada a la Optimización
Aplicada a la Optimización
A continuación se hablará acerca de las técnicas
A continuación se hablará acerca de las técnicas
de optimización, que han sido desarrolladas con
de optimización, que han sido desarrolladas con
el objetivo de ayudar en la resolución de muchos
el objetivo de ayudar en la resolución de muchos
tipos de problemas. Hoy en día las empresas
tipos de problemas. Hoy en día las empresas
buscan ofrecer un mejor servicio al cliente ya
buscan ofrecer un mejor servicio al cliente ya
que existe mucha competencia, por lo cual
que existe mucha competencia, por lo cual
algunas de ellas recurren frecuentemente a las
algunas de ellas recurren frecuentemente a las
técnicas de la Investigación de Operaciones
técnicas de la Investigación de Operaciones
enfocadas principalmente a la programación
enfocadas principalmente a la programación
matemática aplicada a la optimización.
Los ingenios de azúcar australianos optimizan listas de la ma
Los ingenios de azúcar australianos optimizan listas de la ma
quina
quina
segadora para mejorar la producción.
segadora para mejorar la producción.
Higgins
Higgins
, 2002.
, 2002.
Programación Lineal de Múltiples Objetivos para la Planeación
Programación Lineal de Múltiples Objetivos para la Planeación
ambiental en una granja.
ambiental en una granja.
Z Fu
Z Fu
, 2002
, 2002
.
.
Análisis de la cadena Proveedora de la Volkswagen de América.
Análisis de la cadena Proveedora de la Volkswagen de América.
Karabakal
Karabakal
, et al,
, et al,
2000.
2000.
Maquinas inteligentes: una estrategia para la competitividad de
Maquinas inteligentes: una estrategia para la competitividad de
la
la
fabricación en los Estados Unidos.
fabricación en los Estados Unidos.
Conley
Conley
,
,
2004
2004
.
.
El problema de la ruta de un autobús escolar.
El problema de la ruta de un autobús escolar.
Annetts,
Annetts,
Audsley
Audsley
,
,
2002.
2002.
Asignación simultanea de locomotoras y de vagones a los trenes d
Asignación simultanea de locomotoras y de vagones a los trenes d
e
e
pasajeros.
pasajeros.
Cordeau
Cordeau
,
,
et al,
et al,
2001
2001
.
.
La necesidad de la velocidad.
La necesidad de la velocidad.
Williams
Williams
,
,
1999.
1999.
Conclusiones
Conclusiones
Es muy importante la programación matemática aplicada a la
Es muy importante la programación matemática aplicada a la
optimización dentro de las organizaciones, ya que muchas de
optimización dentro de las organizaciones, ya que muchas de
ellas han sido beneficiadas con las técnicas de optimización.
ellas han sido beneficiadas con las técnicas de optimización.
Como es el caso de la empresa UPS, los autores (Armacost, et
Como es el caso de la empresa UPS, los autores (Armacost, et
al,
al,
2004)
2004)
afirman que entre los años 2000 y 2002 UPS ha
afirman que entre los años 2000 y 2002 UPS ha
ahorrado poco más de 87 millones de dólares; y que en un
ahorrado poco más de 87 millones de dólares; y que en un
futuro se espera que este ahorro ascienda a cientos de
futuro se espera que este ahorro ascienda a cientos de
millones de dólares. Así en los diferentes sectores económicos
millones de dólares. Así en los diferentes sectores económicos
de una nación, la aplicación de técnicas de Investigación de
de una nación, la aplicación de técnicas de Investigación de
Operaciones enfocadas a la optimización viene a dar mejores
Operaciones enfocadas a la optimización viene a dar mejores
resultados en los manejos de sus recursos (materia prima,
resultados en los manejos de sus recursos (materia prima,
capital, mano de obra, maquinaria, tiempo, secuenciación y
capital, mano de obra, maquinaria, tiempo, secuenciación y
asignación, etc.).
asignación, etc.).
El objetivo de una empresa es siempre llegar a tener éxito a
El objetivo de una empresa es siempre llegar a tener éxito a
l
l
menor costo posible y ser altamente competitiva, para ello
menor costo posible y ser altamente competitiva, para ello
necesita actualizarse e invertir en estrategias como las
necesita actualizarse e invertir en estrategias como las
técnicas que ofrece la Investigación de Operaciones.
técnicas que ofrece la Investigación de Operaciones.
Referencias
Referencias
[1] Andrew J. Higgins, Los ingenios de azúcar australianos optimizan lista de la maquina segadora para mejorar la producción,
Interfaces. Linthicum: May/Jun 2002 Tomo 32, No. 3, pg. 15, 12 pgs. [2] LYO Li, Z Fu Programación Lineal de Múltiples Objetivos para la
Planeación ambiental en una granja. The journal of Operational Research Society. Oxford: Mayo 2002 Tomo 53, No. 5; pg. 522. [3] Nejat Karabakal, Ali Gunal, Warren Ritchie, Análisis de la cadena
Proveedora en Volkswagen de América. Interfaces. Linthicum: Jul/Aug 2000 Tomo 30, No. 4; pg. 46.
[4] Gray N Conley Maquinas inteligentes: una estrategia para la Competitividad de la fabricación en los Estados Unidos Manufacturing Engineering. Dearbom: May 2004 Tomo 132, No. 5; pg. 192, 1 pgs.
[5] J E Annetts, E Audsley, El problema de la ruta de un autobús escolar: caso de estudio. The journal of Operational Research Society. Oxford: Sep 2002 Tomo 53, No. 9 pg. 9, 933 pgs.
[6] Jean - Francois Cordeau, Francois Soumis, Jacques Desrosiers, Asignación simultanea de locomotoras y de vagones a los trenes de pasajeros. Operations Research.
Linthicum: Jul/Aug 2001. Tomo 49, No. 4, pg. 531, 20 pgs. [7] Al Williams, La necesidad de la velocidad. Web Techniques.
San Francisco: Dec 1999 Tomo 4, No. 1 pg. 38, 4 pg.
[8] Andrew P. Armacost, Cinthia Barnhart, Keith A. Ware, Alysia M.
Wilson, UPS optimiza su red aérea. Interfaces. Linthicum: Jan/Feb 2004 Tomo 34, No. 1 pg. 1, 15, 11 pgs.
