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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: Ing. Sergio Carlos Crail Corzas

M.I. Mayverena Jurado Pineda

25 de abril de 2016 Semestre 2016-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos del el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2 horas.

1. Determinar el valor medio de la función

f

cuya gráfica se muestra en la figura y calcular el valor de c 

0, 5

tal que se cumpla el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral.

15 puntos

2. Calcular, si existe:

0

x x

x

lím

e x

 

15 puntos

(2)

2EE16-2 3. Efectuar las integrales:

4

2

3 2

x x

a ) d x b ) x d x

x x

e

e  

 

20 puntos

4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de

x

2

   y 1 0

y x    y 1 0

. Hacer la representación gráfica de la región.

15 puntos

5. Calcular

 

0 2

3 2

,

f

x y

 

para

f x , y   y e

co s x

x e

s en y

15 puntos

6. Obtener la ecuación del plano tangente al elipsoide de ecuación

 

2

2

1

2

4 1

x yz

  

en el punto

A0 1 1 , ,

.

20 puntos

(3)

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN EXTRAORDINARIO

25 de abril de 2016 Semestre 2016-2

1. Sea el valor medio

   

5

0

5

f x dx f c

 

de la interpretación geométrica de la integral

  2

f x dx  2 2

     

5

0

2 2 6

6 Sea 1 para el intervalo 1,3 5

6 11

1 ó 2.2

5 5

f c f x x

c c c

 

   

     

15 Puntos 2. Al evaluar queda

 

1

0

lim

x x

1

x

e x

 

Entonces si

y e

x

x

1x

(4)

S2EE16-2

 

 

 

0 0

0 0

0 0

2 2

0 0

al aplicar L'Hopital y sabiendo que

ln ln

ln 0

lim ln lim

0

ln lim lim ln

ln lim lim 1 2

lim lim

x

x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

x

y x

x

y x

y

x

y x

e

e

e e

e e e

  

  

  

 

 

    

 

  

    

15 Puntos

3. a) Por cambio de variable:

2

2

2 2

Al sustituir:

2 2

2

2

2 2 1

2 2

4 4

2

x x

x

x

si u u

u du dx dx u du dx du

u u

u du

u du u

ang tan C

u u

I

I ang tan C

e e

e

e

 

     

 

   

          

 

 

10 Puntos

(5)

S2EE16-2 b) Por fracciones parciales:

  

  

   

   

 

2

2

Por lo que

Sea 3 2 1 2

1 2 1 2

2 1

2 1

2 1

2

1 2

ln 1 2 ln 2

1 2

ln 2

1

x x

x x

x x

x A B

x x x x

x A x B x

si x si x

B A

B

I dx x x c

x x

I x C

x

  

 

  

   

   

   

      

  

             

  

10 Puntos 4. Si trazamos la gráfica de ambas curvas entonces el área sería

   

1

2

0 1 1

2 3

2

0 0

2

1 1

2 3

1 1 3 2 1

2 3 6 6 6

A x x dx

x x

A x x dx

A u

 

     

  

      

    

15 Puntos

A

(6)

5. Si

 

2

3

2 2

3 2

0 2

cos x sen y

cos x sen y

cos x sen y

sen y sen y

,

f x , y y x

f y sen x

x

f sen x cos y

y x

f cos y sen y

y x f y x

e e

e e

e e

e e

e

 

   

    

 

  

 

   

 

15 Puntos 6. Sea

 

 

     

2

2 2

Por lo que el plano tiene por ecuación:

1 1 0

4

2 0

1 1 0

2

2 2

0 0 1 0 1 2 0

2 2 0 1

P

P

P

F x , y ,z x y z

F F

x a

x x

F F

y b

y y

F F

z c

z x

x y z

z z

     

     

 

      

 

     

 

     

   

20 Puntos

Figure

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