2111 1001   A B

(1)

INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas.

Calificación total máxima: 10 puntos.

Tiempo: Hora y media.

OPCIÓN A

Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.

Dada la función:

1 2

2 2



 x

x _{, se pide:}

a) [0,75 puntos] Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x).

b) [0,75 puntos] Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f(x).

c) [0,75 puntos] Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f(x).

d) [0,75 puntos] Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas y = x + 2, x = 1.

Dadas las rectas:

1 4 3

1

2 

 

 

 x y z

r y

4 1 1

z y

s x   , se pide:

a) [2 puntos] Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s.

b) [1 punto] Calcular la mínima distancia entre las rectas r y s.

Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:

 

 





















0 4

0 2 2

0 kz y x

z y x

z ky x

, se pide:

a) [1 punto] Determinar para qué valores del parámetro k el sistema tiene soluciones distintas de x = y = z = 0.

b) [1 punto] Resolverlo para el caso k = 3.

Dadas las matrices: 

 





 

2 1

1

A 1 y 

 



  1 0

0

B 1 , se pide:

a) [1 punto] Hallar dos constantes a; b, tales que A² = aA + bI:

b) [1 punto] Sin calcular explícitamente A³ y A⁴, y utilizando sólo la expresión anterior, obtener la matriz A⁵.

(2)

OPCIÓN B

Dada la función:

 

 

 







 

0 si

0 2 si

ln x k x

x x x

xf

^x , donde ln x significa logaritmo neperiano de x, se pide:

a) [1 punto] Determinar el valor de k para que la función sea continua en R.

b) [1 punto] Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

c) [1 punto] Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1.

a) Estudiamos la continuidad de

 

 

 







 

0 2 0

ln x si k x

x x si x

xf

^x ^{en x = 0.}

 

0 k;

f  x k k x_x x k

x

x     



 

 0 0

2 lim ln

;

lim0 0

b) Para k = 0, tenemos

 

 

 





 

0 2 0

ln x si x

x x si x

xf

^x

Obviamente tendremos en punto de corte en x = 0, y = 0, ya que f(0) = 0.

Queda ver si para x > 0, hay otro punto de corte:

1 0

ln 2 0

lnx   x x x x

x , luego el otro punto de corte es (1, 0)

c) La ecuación de la recta tangente a f(x) en x = 1, tendrá por pendiente la derivada de la función f(x) en ese punto.

Hacemos la derivada de la función para x > 0:

   

x x

x x x

x x x x x x

x x x x

x x

y x

2

ln 2 1 ln

ln 2

ln 2 ln 2 ln

2 2

ln ' 2 ' ln

' 2 ₂

2 1

2



















 

 





(3)

Por lo tanto m = f’(1) =

2 1

La ordenada en el origen es: f(1) = 0 2

1 ln 1

1 

La ecuación de la recta tangente en x = 1, será y  xn 2 1

Si pasa por el punto (1, 0), entonces:

2 1 2

0 1nn

2 1 21 

 x y

Dado el sistema de ecuaciones:

 

 



















 2

2 2 z x

z ax

a z ay x

, se pide:

a) [2 puntos] Discutirlo según los valores del parámetro a.

b) [1 punto] Resolverlo en el caso a = 0.

a) La matriz ampliada es M* =



















2 1 0 1

2 2 0

1 1

a

a a

 ² ⁰ ⁰^, ²

0 2 1

0 1

2 0

1 1

2

2        1  







 a a a a a a a

a M

 Si ^a ^⁰ ^y ^a ^²^ ^M ^⁰ ^ rg(M) = rg(M*) = 3. El sistema es compatible determinado.

 Si a0 , sustituimos el valor en M* y calculamos el rango a partir de uno de los menores:

M*= 



















 2 1 0 1

2 2 0 0

0 1 0 1

rg(M*) = 2, ya que la segunda fila más la primera dan lugar a la tercera.

rg (M) = 2, ya que el menor ⁰ 2 0

1

1  

rg (M) = rg (M*) = 2, menor que el número de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado.

 Si a2, tenemos M*=



















2 1 0 1

2 2 0 2

2 1 2 1

rg (M) = 2, ya que el menor ⁰ 2 2

1

1  

(4)

Calculamos los menores de M*: ⁴ ⁰ 1

0 2

2 0 2

1 2 2









, por lo tanto el rango de M* es 3.

rg(M) ≠ rg (M*), por lo que el sistema será incompatible.

b) Para a = 0 el sistema queda:

 





 

 

 









 



 









1 1 21 1

01 2 22

0 z x x z x

zx z

zx

La solución será el conjunto de soluciones siguientes:

 

 















1

1 z

y

x

(5)

Dadas las rectas:

1 1 2

1



 

 

 y z

x

r y

 









 

2 2

3 y x

z

s x

^{, se pide:}

a) [1 punto] Hallar la ecuación del plano  determinado por r y s.

b) [1 punto] Hallar la distancia desde el punto A(0, 1, –1) a la recta s.

a) La recta r tiene como vector director v_r 



1, 2, 1



y un punto de la recta será Pr = (0, 1, –1) Para hallar el vector director de s y un punto, pasamos la ecuación a paramétricas:

 

 













 

 



 

3 2 2 2 2

3 z y x yx

s zx

^^v^^s ^

^

¹^, ²^,^¹

^

^{y P}^s = (0, –2, 3)

Estudiamos la posición relativa de las dos rectas. Para ello tomamos un vector que vaya de una recta a otra:

⁰^, ³^, ⁴

s 

rP P

rg 2

4 3 0

1 2 1



















, por lo que las rectas son paralelas, pero no coincidentes, ya que Pr no pertenece a

la recta s.

Con los vectores P_rP_s 0, 3, 4 y v_r 



1, 2, 1



, así como uno de los puntos de las rectas, Pr = (0, 1, –1), por ejemplo, se escribe la ecuación del plano:

0 1 3 4 5 1 1 4

1 2

3 1 0

















 x y z

z y x

b) Para hallar la distancia entre el punto A(0, 1, – 1) y la recta s: d(A, s) =

s s s

v A P v



 

Dados Ps(0, –2, 3) y A(0, 1, –1), P_sA= (0, 3, –4)



6,4,2

 

3,2,1



4 2 0

1 2

1    







k j i A P v_s _s



d (A, s) = _u

v A P v

s s s

3 7 6 14 1 4 1

1 4

9  



 





(6)

Sea  el plano que contiene a los puntos P = (1, 0, 0), Q = (0, 2, 0) y R = (0, 0, 3). Se pide:

a [1 punto] Hallar el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos P, Q y R.

b [1 punto] Calcular las coordenadas del punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano 

a) Los puntos que determinan el tetraedro son: P = (1, 0, 0), Q = (0, 2, 0), R = (0, 0, 3) y O(0, 0, 0) El volumen de un tetraedro es:

Altura 3

1

base 

 A

V

La altura es la distancia entre O y R, es decir, 3 unidades.

El área de la base es al área del triángulo rectángulo formado por

los puntos P, Q y O.

1 2

2

2altura OP OQ u

Abase base  

 



Así, 1 3 1 ³

3 1 3

1A Altura u

V  _base     

Otra manera de hallar el volumen, es mediante la expresión V M 6

 1 , siendo M la matriz formada por tres

vectores del tetraedro. ¹

3 0 0

0 2 0

0 0 1 6

1 



V u³

b) Primero calculamos la recta r que pasa por el punto O y es perpendicular al plano .

El vector normal del plano vendrá determinado por el producto vectorial de dos vectores del mismo:

1, 2,0



v  PQ y u  PR 1,0,3

6,3, 2

3 0 1

0 2

1 



 

k j i n



 . El plano es de la forma : 6x + 3y +2z + D = 0. Imponiendo que pase por

el punto (1, 0, 0) obtenemos D = –6, por lo tanto : 6x + 3y +2z – 6 = 0

El vector director de la recta será el vector normal del plano: v_r n_ (6,3,2) .

Puesto que la recta pasa por el origen:

 

 













 2

3 6 :

z y x r

El punto A es el punto de intersección de la recta con el plano, y es equidistante a O y O’.

Sustituyendo los valores de la recta en el plano obtenemos: 36 + 9 +4 = 6

49

 6





Luego el punto de intersección es A = 



 





49 , 12 49 , 18 49 36

Puesto que A es el punto medio entre O y O’, tenemos:

A = (O + O’) / 2; (36/49, 18/49, 12/49) =  

 

  12_ 18, 36, )

, , ( 0 , 0 , 0

' x y z

O

X

Y Z

P

Q R

O

(7)

Igualando por coordenadas:     49 , 24 49 , 36 49

72 y z

x O’= 



 





49 , 24 49 , 36 49 72

(8)