Series Cronológicas o Temporales

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Series Cronol´ ogicas o Temporales

Manuel Ruiz Mar´ın

Universidad Polit´ecnica de Cartagena

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´Indice del Tema

6.1. Introducci´on.

6.1.1. Descripción numérica 6.1.2. Representación gráfica.

6.2. Componentes de una serie en el tiempo.

6.3. Tipos de esquemas.

6.3.1 Determinaci´on del tipo de esquema.

6.4. An´alisis de la tendencia.

6.4.1. M´etodo del ajuste a una funci´on.

6.4.2. M´etodo de las medias m´oviles.

6.5. An´alisis de la estacionalidad.

6.5.1. Método de la razón (o diferencia) a la media móvil.

6.5.2. M´etodo de las relaciones de las medias mensuales respecto a la tendencia.

6.5.3. Desestacionalizaci´on.

6.6. Predicci´on.

(3)

¿Qu´e Necesitamos Saber?

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Qu´ e Necesitamos Saber

¿Qu´e Necesitamos Saber?

1 Representar gr´aficamente una variable bidimensional.

2 Cálculo de medidas de posición y dispersión.

3 Regresion y correlaci´on.

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¿Qu´e Necesitamos Saber?

1 Representar gr´aficamente una variable bidimensional.

2 Cálculo de medidas de posición y dispersión.

3 Regresion y correlaci´on.

(6)

Introducci´ on

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Tema 6: Series Cronol´ogicas o Temporales.

Introducci´ on

Definici´on

LLamamosserie temporala una sucesi´on de observaciones cuantitativas ordenadas en el tiempo.

Construir un modelo descriptivo de la historia del fenomeno. Poder predecir valores futuros.

Premisas

Supondremos que no hay cambios estructurales.

Las observaciones est´an tomadas en intervalos de tiempo de igual longitud.

Analizaremos desde un punto de vista descriptivo.

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Introducci´ on

Definici´on

¿Porqu´e Es Interesante su Estudio?

Permite analizar la evoluci´on en el tiempo de una variable para:

Construir un modelo descriptivo de la historia del fenomeno.

Poder predecir valores futuros.

Premisas

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Definici´on

Premisas

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Introducci´ on

Definici´on

Premisas

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Notaci´on

t denota el a˜no.

i denota la estaci´on (periodo inferior al a˜no).

yit valor de la serie en el a˜no t, estaci´on i .

A˜nos \ Estaciones 1 2 . . . s

t1 y1t1 y2t1 . . . yst₁

t2 y1t₂ y2t₂ . . . yst₂

.. .

.. . tn y1tn y2tn . . . yst_n

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Introducci´ on

Notaci´on

t denota el a˜no.

i denota la estaci´on (periodo inferior al a˜no).

yit valor de la serie en el a˜no t, estaci´on i .

A˜nos \ Estaciones 1 2 . . . s

t1 y1t1 y2t1 . . . yst₁

t2 y1t₂ y2t₂ . . . yst₂

.. .

.. . tn y1tn y2tn . . . yst_n

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Representaci´ on Gr´ afica

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Introducci´ on

Representaci´on Gr´afica

(15)

Representaci´on Gr´afica

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Componentes de Una Serie

Temporal

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Componentes de Una Serie Temporal

Tendencia, T_it:Movimiento a largo plazo de la serie.

Variaciones estacionales, E_it:Oscilaciones que se producen de manera reconocible en los diferentes a˜nos, con un periodo inferior al a˜no.

Variaciones c´ıclicas, Cit:Oscilaciones que se producen con un periodo superior al a˜no

Variaciones residuales, Rit:Movimientos que no presentan un carácter periódico originados por fenómenos casuales y no permanentes (huelgas, terremotos, una guerra...)

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Componentes de Una Serie Temporal

Tendencia, T_it:Movimiento a largo plazo de la serie.

Variaciones estacionales, E_it:Oscilaciones que se producen de manera reconocible en los diferentes a˜nos, con un periodo inferior al a˜no.

Variaciones c´ıclicas, Cit:Oscilaciones que se producen con un periodo superior al a˜no

Variaciones residuales, Rit:Movimientos que no presentan un carácter periódico originados por fenómenos casuales y no permanentes (huelgas, terremotos, una guerra...)

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Tipos de Esquemas

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Tipos de Esquemas

¿C´omo combinar T_it, E_it, C_it y R_it para formar la serie Y_it?

Esquema aditivo:

Y_it = T_it+ C_it+ E_it+ R_it Esquema multiplicativo:

Yit = TitCitEitRit

Esquema multiplicativo mixto:

Y_it = T_itC_itE_it+ R_it

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Tipos de Esquemas

¿C´omo combinar T_it, E_it, C_it y R_it para formar la serie Y_it?

Esquema aditivo:

Y_it = T_it+ C_it+ E_it+ R_it Esquema multiplicativo:

Yit = TitCitEitRit

Esquema multiplicativo mixto:

Y_it = T_itC_itE_it+ R_it

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Determinaci´ on del Tipo de Esquema

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Determinaci´on del Tipo de Esquema

Se hacengrupos de q observaciones consecutivas(q de manera que entren a˜nos enteros para eliminar Eit).

Se calcula lamedia (x )y ladesviaci´on t´ıpica (s) para cada grupo.

Si s no depende de x entonces R_it entra aditivamente en el modelo (izquierda).

Si s aumenta al aumentar x entonces R_it entra multiplicando en el modelo (derecha).

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Tipos de Esquemas

Se hacengrupos de q observaciones consecutivas(q de manera que entren a˜nos enteros para eliminar Eit).

Se calcula lamedia (x )y ladesviaci´on t´ıpica (s) para cada grupo.

Si s no depende de x entonces R_it entra aditivamente en el modelo (izquierda).

Si s aumenta al aumentar x entonces R_it entra multiplicando en el modelo (derecha).

(25)

Si las oscilaci´ones estacionalestienden a mantenerse

constantes (izquierda) entoncesCit entra sumando al modelo.

Si las oscilaciones estacionalestienden a crecer cuando la variable toma valores mayores entonces Cit entra en el modelo multiplicando.

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Tipos de Esquemas

Si las oscilaci´ones estacionalestienden a mantenerse

constantes (izquierda) entoncesCit entra sumando al modelo.

Si las oscilaciones estacionalestienden a crecer cuando la variable toma valores mayores entonces Cit entra en el modelo multiplicando.

(27)

Variabilidad de las diferencias y cocientes estacionales.

Construimos las variables

Dit = Yit− Y_{i −1t} Kit = _Y^Y^it

i −1t

Obtenemos x_D, s_D, x_K y s_K y calculamos V_D = _x^s^D

D y V_K = _x^s^K

K. Si V_D < V_K el esquema es aditivo.

Si V_K < V_D el esquema es multiplicativo.

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Tipos de Esquemas

Variabilidad de las diferencias y cocientes estacionales.

Construimos las variables

Dit = Yit− Y_{i −1t} Kit = _Y^Y^it

i −1t

Obtenemos x_D, s_D, x_K y s_K y calculamos V_D = _x^s^D

D y V_K = _x^s^K

K. Si V_D < V_K el esquema es aditivo.

Si V_K < V_D el esquema es multiplicativo.

(29)

Tipos de Esquemas Obs´ervese que si

Y_it= T_itE_itC_itR_it tenemos que

ln Y_it = ln T_it+ ln E_it+ ln C_it+ ln R_it. Multiplicativo ⇒ Aditivo (tomando ln)

Luego s´olo consideraremos los esquemas:

Y_it = T_it+ E_it+ C_it+ R_it Y_it = T_itE_itC_it+ R_it

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Tipos de Esquemas

Tipos de Esquemas Obs´ervese que si

Y_it= T_itE_itC_itR_it tenemos que

ln Y_it = ln T_it+ ln E_it+ ln C_it+ ln R_it. Multiplicativo ⇒ Aditivo (tomando ln)

Luego s´olo consideraremos los esquemas:

Y_it = T_it+ E_it+ C_it+ R_it Y_it = T_itE_itC_it+ R_it

(31)

Objetivo

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Objetivo

Una vez determinado el tipo de esquema vamos a estudiar:

Procedimientos para aislar T_it y E_it.

No estudiaremos Cit por la complejidad que supone.

(33)

Objetivo

Una vez determinado el tipo de esquema vamos a estudiar:

Procedimientos para aislar T_it y E_it.

No estudiaremos Cit por la complejidad que supone.

(34)

An´ alisis de la Tendencia

(35)

M´etodo del Ajuste a Una Funci´ on

(36)

An´ alisis de la Tendencia

M´etodo del Ajuste a Una Funci´on

La idea consiste en ajustar una función que relacione la variable en función del tiempo. Esta función debe satisfacer:

Sea sencilla.

Recoja satisfactoriamente la marcha general del fen´omeno.

M´etodo del Ajuste a Una Funci´on Tenemos que determinar:

La forma de la funci´on.

Valores de los par´ametros que determinan la funci´on.

(37)

Sea sencilla.

(38)

An´ alisis de la Tendencia

Sea sencilla.

(39)

Con objeto de que E_it no desvirtue la estimaci´on de T_it, no utilizaremos los datos originales Yit para el c´alculo del ajuste.

Soluci´on

Consideraremos para el ajuste las medias anuales

Y·t =

m

P

i =1

Y_it m dondem es el n´umero de estaciones.

(40)

An´ alisis de la Tendencia

Con objeto de que E_it no desvirtue la estimaci´on de T_it, no utilizaremos los datos originales Yit para el c´alculo del ajuste.

Soluci´on

Consideraremos para el ajuste las medias anuales

Y·t =

m

P

i =1

Y_it m dondem es el n´umero de estaciones.

(41)

Resumiendo

Para la variable bidimensional (Y·t, t) calculamos el mejor ajuste posible (v´ease Tema 5).

Ejemplo:Si suponemos tendencia lineal

Y·t= a + bt

tenemos que

a = Y·t−^S^{Y ·t t}

s_t² t b = ^S^{Y ·t t}_s2 t

Una vez calculados los parámetros podemos obtener la tendencia sin más que sustituirlos en la relación obtenida.

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An´ alisis de la Tendencia

Resumiendo

Para la variable bidimensional (Y·t, t) calculamos el mejor ajuste posible (v´ease Tema 5).

Ejemplo:Si suponemos tendencia lineal

Y·t= a + bt

tenemos que

a = Y·t−^S^{Y ·t t}

s_t² t b = ^S^{Y ·t t}_s2 t

Una vez calculados los parámetros podemos obtener la tendencia sin más que sustituirlos en la relación obtenida.

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An´ alisis de la Tendencia

Si la serie presenta una ruptura brusca en el sentido de que podemos distinguir dos partes diferenciadas puede ser aconsejable ajustar diferentes funciones para cada conjunto de datos con tendencia homog´enea.

determinaci´on R²).

M´etodo del Ajuste a Una Funci´on. Inconvenientes Exige una forma funcional para la tendencia.

(44)

An´ alisis de la Tendencia

M´etodo del Ajuste a Una Funci´on. Ventajas

Existen medidas de bondad para el ajuste (coeficiente de determinaci´on R²).

(45)

(46)

An´ alisis de la Tendencia

(47)

M´etodo de las Medias M´ oviles

(48)

An´ alisis de la Tendencia

M´etodo de las Medias M´oviles

Éste método se basa en el suavizado de la serie a partir del cálculo reiterativo de valores medios.

Se forman grupos de h observaciones y se calcula su media.

El primer grupo o forman las primeras p observaciones.

Los siguientes grupos se forman excluyendo en el grupo anterior la primera observaci´on e incluyendo la posterior a la

´ ultima.

Se continua el proceso hasta que no se puedan hacer m´as grupos.

Las medias obtenidas se llamanmedias m´oviles de amplitud p.

(49)

Éste método se basa en el suavizado de la serie a partir del cálculo reiterativo de valores medios.

Se forman grupos de h observaciones y se calcula su media.

El primer grupo o forman las primeras p observaciones.

Los siguientes grupos se forman excluyendo en el grupo anterior la primera observaci´on e incluyendo la posterior a la

´ ultima.

Se continua el proceso hasta que no se puedan hacer m´as grupos.

Las medias obtenidas se llamanmedias m´oviles de amplitud p.

(50)

An´ alisis de la Tendencia

M´as concretamente las medias moviles son la sucesi´on de valores:

Si p es impar:

yp+1 2

=^y¹^+y²^+···+y_p ^p yp+3

2

=^y²^+y³^+···+y_p ^p+1 yp+5

2

=^y³^+y⁵^+···+y_p ^p+2 ..

.

(51)

M´as concretamente las medias moviles son la sucesi´on de valores:

Si p es impar:

yp+1 2

=^y¹^+y²^+···+y_p ^p yp+3

2

=^y²^+y³^+···+y_p ^p+1 yp+5

2

=^y³^+y⁵^+···+y_p ^p+2 ..

.

(52)

An´ alisis de la Tendencia

Si p es par:la serie ^p+1₂ ,^p+3₂ ,^p+5₂ no son enteros y por tanto la serie no est´a centrada. Para centrarlas:

yp+2 2

=

y_p+1 2

+y_p+3 2 2

yp+4 2

=

y_p+3 2

+y_p+5 2 2

yp+6 2

=

y_p+5 2

+y_p+7 2 2

.. .

(53)

Si p es par:la serie ^p+1₂ ,^p+3₂ ,^p+5₂ no son enteros y por tanto la serie no est´a centrada. Para centrarlas:

yp+2 2

=

y_p+1 2

+y_p+3 2 2

yp+4 2

=

y_p+3 2

+y_p+5 2 2

yp+6 2

=

y_p+5 2

+y_p+7 2 2

.. .

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An´ alisis de la Tendencia

Medias M´oviles. P´erdida de Observaciones

Al sustituir los valores de la serie original por sus medias m´oviles se pierden observacionesal principio y al final de la serie.

Si p es imparse pierden ^p−1₂ al principio y al final.

Si p es parse pierden ^p₂ al principio y al final.

M´etodo de las Medias M´oviles. Tendencia

Una vez obtenidas las medias m´oviles, la tendencia ser´a la linea quebrada que las una.

(55)

(56)

An´ alisis de la Tendencia

(57)

Medias M´oviles. Elecci´on de la Amplitud p

Ladeterminacióndel valorde p tiene especial interés, ya que de su correcta eleccióndepende que elpromedio de lasyit sereduzca al promedio en T_ik.

Luegotomaremoscomo valor de p el periodo de las oscilaciones m´as importantes en la serie, con objeto de que desaparezcan las variaciones c´ıclicas y la componente estacional.

(58)

An´ alisis de la Tendencia

Medias M´oviles. Elecci´on de la Amplitud p

Ladeterminacióndel valorde p tiene especial interés, ya que de su correcta eleccióndepende que elpromedio de lasyit sereduzca al promedio en T_ik.

Luegotomaremoscomo valor de p el periodo de las oscilaciones m´as importantes en la serie, con objeto de que desaparezcan las variaciones c´ıclicas y la componente estacional.

(59)

An´ alisis de la Tendencia

Medias M´oviles. Ventajas Sencillez.

No exige ninguna forma funcional para la tendencia.

No existe una medida de fiabilidad. P´erdida de informaci´on.

(60)

An´ alisis de la Tendencia

Medias Móviles. Inconvenientes Elección del parámetro p.

No existe una medida de fiabilidad.

P´erdida de informaci´on.

(61)

Medias Móviles. Inconvenientes Elección del parámetro p.

No existe una medida de fiabilidad.

P´erdida de informaci´on.

(62)

An´ alisis de la Estacionalidad

(63)

An´ alisis de la Estacionalidad

Variaciones Estacionales

Son aquellas oscilaciones en la serie de periodo inferior al a˜no y se deden a cualquier factor generador de una periodicidad regular

Método de la razón (o diferencia) a la media móvil. Método de las relaciones de las medias mensuales respecto a la tendencia.

(64)

An´ alisis de la Estacionalidad

Variaciones Estacionales. M´etodos

Se estudiarán dos métodos para el cálculo de E_it:

Método de la razón (o diferencia) a la media móvil.

M´etodo de las relaciones de las medias mensuales respecto a la tendencia.

(65)

Variaciones Estacionales. M´etodos

Se estudiarán dos métodos para el cálculo de E_it:

Método de la razón (o diferencia) a la media móvil.

M´etodo de las relaciones de las medias mensuales respecto a la tendencia.

(66)

M´etodo de la Raz´ on (o Diferencia)

a la Media M´ ovil

(67)

Método de la Razón (o Diferencia) a la Media Móvil El método consta de los siguientes pasos:

Calculamos la tabla de medias m´oviles mm_it. Si el esquema es aditivo:

Calculamoseit= yit− mmit

Luego el valor de la componente estacional para el mes k-´esimo es:

Ek·= 1 N − 1

N

X

t=1

ekt.

Si el esquema es multiplicativo:

Calculamoseit=_mm^y^it

Luego el valor de la componente estacional para el mesit

k-´esimo es:

Ek·= 1 N − 1

N

X

t=1

ekt= 1 N − 1

N

X

t=1

ykt

mmkt

.

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An´ alisis de la Estacionalidad

Método de la Razón (o Diferencia) a la Media Móvil El método consta de los siguientes pasos:

Calculamos la tabla de medias m´oviles mm_it. Si el esquema es aditivo:

Calculamoseit= yit− mmit

Luego el valor de la componente estacional para el mes k-´esimo es:

Ek·= 1 N − 1

N

X

t=1

ekt.

Calculamoseit=_mm^y^it

Luego el valor de la componente estacional para el mesit

k-´esimo es:

Ek·= 1 N − 1

N

X

t=1

ekt= 1 N − 1

N

X

t=1

ykt

mmkt

.

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M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales

Respecto T _it

(70)

An´ alisis de la Estacionalidad

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales Respecto T_it El m´etodo consta de los siguientes pasos:

Calcular la recta de regresi´on

Y·t = a + bt

C´alculo de las medias menasuales

Y_{i ·}= 1 N

N

X

t=1

Y_it

donde N es el n´umero total de a˜nos considerados.

(71)

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales Respecto T_it El m´etodo consta de los siguientes pasos:

Calcular la recta de regresi´on

Y·t = a + bt

C´alculo de las medias menasuales

Y_{i ·}= 1 N

N

X

t=1

Y_it

donde N es el n´umero total de a˜nos considerados.

(72)

An´ alisis de la Estacionalidad

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales Respecto T_it Aislamos la componente estacional debida al paso del tiempo

Yb·t = Y·t−b(t − 1) m Calculamos la media global corregida

Y =b Yb·t

m Obtenemos la componente estacional:

(73)

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales Respecto T_it Aislamos la componente estacional debida al paso del tiempo

Yb·t = Y·t−b(t − 1) m Calculamos la media global corregida

Y =b Yb·t

m Obtenemos la componente estacional:

(74)

An´ alisis de la Estacionalidad

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales Respecto Tit

Obtenemos la componente estacional:

Si el esquema es aditivo:

Eit= bY_·t− bY si el esquema es multiplicativo

Eit= Yb_·t Yb

(75)

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales Respecto Tit

Obtenemos la componente estacional:

Eit= bY_·t− bY si el esquema es multiplicativo

Eit= Yb_·t Yb

(76)

Desestacionalizaci´ on

(77)

Desestacionalizaci´on

Consiste en eliminar las oscilaciones de la serie puramente estacionales.

Para ello una vez calculada E_it se elimina en Y_it tal y como sigue:

Yit− E_it

Yit

E_it

(78)

An´ alisis de la Estacionalidad

Desestacionalizaci´on

Consiste en eliminar las oscilaciones de la serie puramente estacionales.

Para ello una vez calculada E_it se elimina en Y_it tal y como sigue:

Yit− E_it

Yit

E_it

(79)

Predicci´ on

(80)

Predicci´ on

Predicci´on

Laspredicciones eY_it se har´an de acuerdo al tipo de esquema y de las componentes Tit y Eit calculadas, ya que supondremos que P R_it = 0 y que las variaciones c´ıclicas C_it est´an incluidas en la tendencia T_it.

Yeit = Tit+ Eit

SI el esquema es multiplicativo:

Ye_it = T_itE_it

(81)

Predicci´on

Laspredicciones eY_it se har´an de acuerdo al tipo de esquema y de las componentes Tit y Eit calculadas, ya que supondremos que P R_it = 0 y que las variaciones c´ıclicas C_it est´an incluidas en la tendencia T_it.

Yeit = Tit+ Eit

SI el esquema es multiplicativo:

Ye_it = T_itE_it

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Bibliograf´ıa

Bobliograf´ıa

GARCÍA C ÓRDOBA J. A. , L ÓPEZ HERNÁNDEZ F. A., PALACIOS

SÁNCHEZ MâA. y RUIZ MARÍN, M. (2000), Introducci´´ on a la Estad´ıstica para la Empresa. Horacio Escarabajal Editores, pp 125–152.

MARTÍN PLIEGO L ÓPEZ, F.J. (2004), Introdución a la Estad´ıstica Económica Y Empresarial. Ed. Prentice Hall. pp. 449–509.

MONTIEL A.M., RIUS F. y BAR ÓN F.J., (1997), Elementos Básicos De Estad´ıstica Económica Y Empresarial. Ed. Prentice Hall. pp. 219–264.

SANZ J.A.; BEDATE, A.; RIVAS, A. y GONZ ´ALEZ, J., (1996), Problemas De Estad´ıstica Descriptiva Empresarial. Ed. Ariel Econom´ıa., pp. 285–358.

Series Cronológicas o Temporales

Series Cronol´ ogicas o Temporales

¿Qu´e Necesitamos Saber?

Qu´ e Necesitamos Saber

Introducci´ on

Introducci´ on

Introducci´ on

Introducci´ on

Introducci´ on

Representaci´ on Gr´ afica

Introducci´ on

Componentes de Una Serie

Temporal

Componentes de Una Serie Temporal

Tipos de Esquemas

Tipos de Esquemas

Determinaci´ on del Tipo de Esquema

Tipos de Esquemas

Tipos de Esquemas

Tipos de Esquemas

Tipos de Esquemas

Objetivo

Objetivo

An´ alisis de la Tendencia

M´etodo del Ajuste a Una Funci´ on

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

M´etodo de las Medias M´ oviles

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Tendencia

An´ alisis de la Estacionalidad

An´ alisis de la Estacionalidad

An´ alisis de la Estacionalidad

M´etodo de la Raz´ on (o Diferencia)

a la Media M´ ovil

An´ alisis de la Estacionalidad

M´etodo de las Relaciones de las Medias Mensuales

Respecto T it

An´ alisis de la Estacionalidad

An´ alisis de la Estacionalidad

An´ alisis de la Estacionalidad

Desestacionalizaci´ on

An´ alisis de la Estacionalidad

Predicci´ on

Predicci´ on

Bibliograf´ıa

Respecto T _it