Integraci´on sobre productos de espacios Problemas para examen

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Integraci´

on sobre productos de espacios

Problemas para examen

´

Algebra y σ-´

algebra generada por una semi´

algebra

1. Escriba las definiciones de semianillo y semi´algebra de conjuntos. 2. Escriba las definiciones de anillo y ´algebra de conjuntos.

3. Descripción del álgebra generada por una semiálgebra. Sea S ⊆ 2X _una

se-miálgebra sobre X. Denotemos A al conjunto de todos los subconjuntos de X que se pueden representar como uniones finitas disjuntas de conjuntos pertenecientes a S. De-muestre que A es un álgebra de conjuntos. Demuestre que A es el álgebra m´ınima que contiene aS.

4. Escriba la definici´on de clase mon´otona.

5. Cada σ-álgebra es un álgebra y una clase monótona. Explique por qué cada σ-álgebra es un álgebra y una clase monótona.

6. Álgebra + clase monótona = sigma-álgebra. Demuestre que si F es un álgebra sobre X y al mismo tiempo una clase monótona, entonces F es una σ-álgebra.

7. Intersección de clases monótonas es una clase monótona. Sea Φ un conjunto de clases monótonas sobre X. Sea M := ∩Φ. Demuestre que M también es una clase monótona.

8. La clase monótona generada por una colección de conjuntos. Sea C una co-lección de conjuntos sobre X, esto es,C ⊆ 2X_{. Definimos la clase mon´}_{otona generada por}

C, como la intersección de todas las clases monótonas sobre X que contienen a C. Por el Ejercicio7, esta intersección es una clase monótona. Obviamente es la más pequeña entre todas las clases monótonas que contienen aC.

9. Teorema sobre la clase mon´otona generada por un ´algebra de conjuntos. Sea A ⊆ 2X _{un ´}_{algebra de conjuntos sobre X y sea M la clase mon´}_{otona m´ınima que}

contiene aE. Demuestre que M es una σ-´algebra. I. Para cada P ⊆ X, definimos

Ω(P ) := {Q ⊆ X : P ∪ Q ∈ M, P \ Q ∈ M, Q \ P ∈ M}. Demuestre que Ω(P ) es una clase mon´otona.

II. Usando el resultado de I demuestre M es un anillo (esta parte es una secuencia de pasos l´ogicos usando el resultado del inciso I y la definici´on de M).

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III. Muestre que M es un ´algebra y una σ-´algebra.

10. La sigma-álgebra generada por un álgebra de conjuntos es lo mismo que la clase monótona generada por esta álgebra. En la situación del Problema9, muestre que M es la σ-álgebra generada por A.

11. Descripción de la σ-álgebra generada por una semiálgebra. Sea S ⊆ 2X una semiálgebra sobre X, seaE el álgebra generada por S y sea M la clase monótona m´ınima que contiene a E. Demuestre que M es la σ-álgebra generada por S.

Producto de σ-´

algebras

12. Proposici´on (producto de semianillos). Sea F un semianillo sobre X y sea G un semianillo sobre Y . Demuestre que la siguiente colecci´on de conjuntos es un semianillo:

S := {A × B : A ∈F, B ∈ G}.

En particular, si F y G son semiálgebras, entonces S también es una semiálgebra.

13. Corolario: los “rect´angulos medibles” forman una semi´algebra. Sean (X,F), (Y,G) espacios medibles. Sea

S := A × B : A ∈F, B ∈ G .

Entonces S es una semi´algebra sobre X × Y . Notemos que S no necesariamente es σ-´

algebra.

14. Notación (producto de σ-álgebras). Sean (X,F) y (Y, G) espacios medibles. Denotamos por F ⊗ G la σ-álgebra generada por el semianillo

{A × B : A ∈ F, B ∈ G}.

Como corolarios de lo anterior se obtienen las siguientes afirmaciones.

15. Conjuntos elementales forman un ´algebra de conjuntos. Sean (X,F), (Y, G) espacios medibles, y sea

S := {A × B : A ∈F, B ∈ G}.

Denotemos por E a la colección de todos los subconjuntos de X × Y que se pueden representar como uniones finitas disjuntas de elementos deS. Entonces E es el álgebra de conjuntos generada por la semiálgebraS.

16. El producto de σ-álgebras es la clase monótona más pequeña que contiene a todos los conjuntos elementales. Sean (X,F), (Y, G) espacios medibles. Definimos S y E como en el problema anterior. Entonces F ⊗ G es la clase monótona más pequeña que contiene a E.

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17. Notaci´on (secciones de conjuntos). Sea C ⊂ X × Y . Para todo x en X pongamos Cx := {y ∈ Y : (x, y) ∈ C},

y para todo y en Y pongamos

Cy := {x ∈ X : (x, y) ∈ C}.

18. Secciones de conjuntos como preim´agenes. Sean X, Y algunos conjuntos y sea x ∈ X. Sea Jx: Y → X × Y la siguiente funci´on:

∀y ∈ Y Jx(y) := (x, y).

Muestre que para todo C ⊂ X × Y ,

Cx = Jx−1[C].

19. Secciones de conjuntos en t´erminos de proyecciones. Sea X, Y algunos con-juntos. Definimos π1: X × Y → X y π2: X × Y → Y de la siguiente manera:

π1(x, y) := x, π2(x, y) := y.

Dados E ⊂ X × Y , a ∈ X, b ∈ Y , exprese Ea y Eb en t´erminos de π1, π2, E, a, b.

20. Algunas propiedades de secciones de conjuntos. Sean X, Y algunos conjuntos, a ∈ X.

I. Sean C1, C2 ⊆ X × Y tales que C1∩ C2 = ∅. Demuestre que (C1)a∩ (C2)a= ∅.

II. Supongamos que (Ck)∞k=1 es una sucesi´on de subconjuntos de X × Y y D =

S∞ k=1Ck. Demuestre que Da= ∞ [ k=1 (Ck)a.

21. Demuestre propiedades de secciones, similares a las propiedades del Problema 20, para las secciones de la forma Cb_{, b ∈ Y .}

22. Las secciones de conjuntos medibles son medibles. Sean (X,F), (Y, G) espacios medibles.

Sea a ∈ X. Muestre que para cada C en F ⊗ G, Ca ∈ G. Sugerencia: considere la

colecci´on de conjuntos

Ω := {C ∈F ⊗ G: Ca ∈G},

muestre queS ⊂ Ω y Ω es una σ-´algebra. Concluya que Ω = F ⊗ G. Sea b ∈ Y . Muestre que para cada C en F ⊗ G, Cb ∈F.

23. Secciones de una funci´on medible son medibles. Sea f ∈M(X × Y, F ⊗ G, C) y sea y ∈ Y . Definamos fy_{: X → C mediante la f´ormula}

fy(x) := f (x, y). Demuestre que fy _∈M(X, F, C).

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Producto de medidas

La siguiente teor´ıa se puede desarrollar para medidas σ-finitas, pero en el examen ser´a suficiente restringirse a medidas finitas.

Es c´omodo definir el producto de medidas a trav´es de integrales. La idea es medir las secciones (“a lo largo o lo ancho”) y luego integrar.

24. Medibilidad de la funci´on que se define por medio de “medidas de secciones verticales”. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas. Para todo C en F ⊗ G definamos ϕC: X → [0, +∞] mediante la regla

ϕC(x) := ν(Cx).

Demuestre que para todo C en F ⊗ G la funci´on ϕC es F-medible, es decir, ϕC ∈

M(X, F, [0, +∞]).

Sugerencia: considere la colecci´on

Ω := {C ∈F ⊗ G: ϕC ∈M(X, F, [0, +∞])}.

Demuestre que S ⊂ Ω y que Ω es una σ-´algebra.

25. Definici´on del producto de medidas. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas. Definimos µ × ν :F ⊗ G → [0, +∞] como

(µ × ν)(C) := Z

X

ϕCdµ.

Demuestre que µ × ν es una medida.

26. La medida de un rect´angulo medible. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas, y sean A ∈F, B ∈ G, C := A × B. Demuestre que

Z

X

ϕCdµ = µ(A)ν(B),

esto es, (µ × ν)(A × B) = µ(A)ν(B).

En vez de medir las secciones verticales, podemos medir las secciones horizontales. De-mostremos que esto da el mismo resultado.

27. Medibilidad de la funci´on que se define por medio de “medidas de secciones horizontales”. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas. Para todo C enF ⊗ G definamos ψC: Y → [0, +∞] mediante la regla

ψC(y) := µ(Cy).

Demuestre que para todo C en F ⊗ G la funci´on ψC es G-medible, es decir, ϕC ∈

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28. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas, y sean A ∈F, B ∈ G, C := A × B. Demuestre que

Z

Y

ψCdν = µ(A)ν(B),

29. Teorema sobre el producto de medidas: medir “a lo largo” y “a lo ancho” da el mismo resultado. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas. Para todo C ∈F ⊗ G definamos las funciones ϕC y y ψC como en los

Problemas 24y 27. Demuestre que para todo C en F ⊗ G, Z X ϕCdµ = Z Y ψCdν.

Sugerencia: considere la colecci´on Ω :=    C ∈F ⊗ G: Z X ϕCdµ = Z Y ψCdν    ,

demuestre que S ⊆ Ω (revise los problemas anteriores) y que Ω es una σ-´algebra. 30. Otra f´ormula para el producto de medidas. Debido al Teorema 29,

(µ × ν)(C) = Z

Y

ψCdν.

31. Contraejemplo. Construya algunos espacios de medida (X,F, µ), (Y, G, ν) y alg´un conjunto C ∈F ⊗ G tales que

Z X ϕCdµ 6= Z Y ψCdν.

Teoremas de Tonelli y Fubini

32. Teorema de Tonelli. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas. Para toda funci´on f en M(X × Y, F ⊗ G, [0, +∞]) definamos las funciones ϕf: X → [0, +∞] y ψf: Y → [0, +∞] de la siguiente manera:

∀x ∈ X ϕf(x) := Z Y fxdν = Z Y f (x, y) dν(y), ∀y ∈ Y ψf(y) := Z X fydν = Z X f (x, y) dµ(x).

Demuestre que para toda f en M(X × Y, F ⊗ G, µ × ν) Z X ϕfdµ = Z X×Y f d(µ × ν) = Z Y ψfdν.

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33. Teorema de Fubini. Sean (X,F, µ) e (Y, G, ν) espacios de medida, donde µ y ν son medidas σ-finitas. Sea f ∈ L1_{(X × Y,}_{F ⊗ G, µ × ν, R). Demuestre que f}

x ∈ L1(Y,G, ν, R)

para casi todos x ∈ X y se cumple la f´ormula: Z X×Y f d(µ × ν) = Z X   Z Y f (x, y) dν(y)  dµ(x).

El teorema de Fubini tambi´en se cumple para funciones complejas.

34. Contraejemplo. Consideremos el intervalo X = Y = (0, 1) con la medida de Lebes-gue µ definida en la σ-álgebra de Lebesgue F. Dé un ejemplo de una función f de clase M(X × X, F ⊗ F, R) tal que Z X   Z Y f (x, y) dν(y)   dµ(x) 6= Z Y   Z X f (x, y) dµ(x)   dν(y).

35. Muestre con ejemplos que las hip´otesis del teorema de Fubini no se pueden omitir.

Ejemplo de aplicaci´

on del teorema de Fubini

36. Aplique la f´ormula 1 x = +∞ Z 0 e−xtdt

y el teorema de Fubini para demostrar que

lim A→+∞ A Z 0 sen(x) x dx = π 2.