Guía 73: Crecimiento en situaciones cuadráticas

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CH-FyA-048

9

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Guía

73 Meta 25

GRADO

8 GUÍA DEL ESTUDIANTE

CRECIMIENTOS EN

(3)

Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 73

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA

www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

(4)

Guía

73

GRADO 8

CRECIMIENTOS EN SITUACIONES

CUADRÁTICAS Y EXPONENCIALES

GRADO 8 - META 25 - PENSAMIENTOS NUMÉRICO - VARIACIONAL

Guía 73 (Duración 13 h) ACTIVIDAD 1 • Crecimiento cuadrático • Expresiones cuadráticas y su representación visual ACTIVIDAD 2

• Multiplicación repetida, crecimiento exponencial y notación exponencial. • Notación científica (para valores mayores que 1).

Guía 74 (Duración 13 h)

• Desarrollo de expresiones cuadráticas

• Trinomio cuadrado perfecto • Raíces de expresiones en una variable

• Factorización de expresiones cuadráticas

• Trinomio cuadrado perfecto (factorización)

• Diferencia de cuadrados

Guía 75 (Duración 13 h)

• Ecuaciones del tipo ax + b = c. • Ecuaciones del tipo (x/a) + b = c. • Ecuaciones y propiedad distributiva. • Ecuaciones del tipo ax + b = cx + d. • Función lineal y = mx.

• Función lineal y = mx + b. • Gráficas y pendiente.

META DE APRENDIZAJE N. 25

Expreso utilizando las propiedades de notación científica medidas astronómicas y atómicas, y razono sobre algunos errores al medirlas utilizando números reales. Analizo estrategias para factorizar o expandir expresiones

algebraicas calculando áreas y longitudes al armar rectángulos, dibujando, recortando y reorganizando áreas.

Describo e interpreto el tipo de cambio lineal en contextos de proporcionalidad, identificando la razón de semejanza o el factor de proporción en situaciones de medición, el crecimiento poblacional de bacterias o virus (función

exponencial) y el movimiento parabólico o caída libre (función cuadrática) mediante software o applets, y de esta forma explico más a fondo muchos fenómenos de mi entorno.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 73:

● ¿Qué tipo de crecimientos conozco, cómo se comparan, y cómo los puedo visualizar usando matemáticas?

● ¿Cómo puedo describir y representar el crecimiento del área de un cuadrado, si su lado va creciendo de 1

unidad en 1 unidad?

● ¿Qué tan rápido crece una cantidad si cada vez voy multiplicando por el mismo valor? ¿Cómo puedo

representarlo con una expresión matemática?

● ¿Cómo puedo abreviar la gran cantidad de ceros que usamos para representar cantidades muy grandes como

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 73:

● Identifico el crecimiento cuadrático en una secuencia dada.

● Comparo el crecimiento cuadrático con el crecimiento lineal usando tablas numéricas.

● Represento expresiones cuadráticas utilizando modelos de áreas que incluyen rectángulos. ● Represento situaciones de multiplicación repetida por el mismo número, utilizando notación exponencial (base

y exponente), con y sin variables.

● Resuelvo problemas de crecimiento exponencial con la ayuda de la notación exponencial y diagramas de flechas para representar secuencias.

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Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar.

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2 ACTIVIDAD 1: SITUACIONES CUADRÁTICAS

Aprendamos sobre el crecimiento cuadrático y las expresiones cuadráticas: cómo calcularlas,

cómo representarlas gráficamente y cómo resolver problemas usándolas.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

La raíz cuadrada de un número b es el número no negativo a tal que a × a = b. Decimos: 𝑎 = √𝑏. Las raíces cuadradas nos sirven para expresar soluciones a ecuaciones de la forma 𝑥2 _{= 𝑝, como por}

ejemplo 𝑥2 ₌_25.

Esta tabla nos da algunas raíces cuadradas. Por definición, una raíz cuadrada es mayor o igual a 0.

x

0 1 2 3 4 5 −10 ₁₀₀₀₀

√𝑥

0 1 ≈ 1,41 ≈ 1,73 2 ≈ 2,23 No existe en los

números reales

100 Recuerda que:

● Los números negativos NO tienen una raíz cuadrada, o por lo menos esta NO es un número real. Por ejemplo, no existe un número real a tal que 𝑎2 _{= −}_9.

● Si b es un número real positivo, entonces la ecuación 𝑥2 _{= 𝑏 tiene dos soluciones: 𝑥 = √𝑏 y}

además 𝑥 = −√𝑏.

Por ejemplo, si sabemos que 𝑥2 ₌_{4 , entonces 𝑥 = √4 o 𝑥 = −√4. Es decir, x = 2 o x = −2.}

Por ejemplo, si sabemos que 𝑥2 = 2 , entonces 𝑥 = √2 o 𝑥 = −√2. ● Elevar al cuadrado cumple con las siguientes reglas:

i) un cuadrado siempre es mayor o igual que cero.

ii)

(𝑝𝑞)

2

= 𝑝

2

𝑞

2. Por ejemplo:

(

2 • 7)

2

= ((

2)(7))((2)(7)) = 4 • 49

;

(

5𝑥)

2

=

25 •

𝑥

2.

PRACTICA i) Resuelve las siguientes ecuaciones,

hallando todos los valores reales de x. Si no hay soluciones, indícalo.

a) 1 + 2x • 2x = 145.

ii) Un rectángulo está compuesto de 24 cuadrados iguales;

cada cuadrado mide 5 cm x 5 cm.

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GUÍA 73

GRADO 8 ACTIVIDAD

2

b) 𝑥2_{= −}_0,0009 c) (1 + 𝑥)2₌₄ d) 3𝑥2_•_3𝑥2₌₂₂₅

b) En la situación, encuentra una expresión para el perímetro del rectángulo, así como para su área. c) Intenta cambiar la situación de a) para que cambie

parte de la respuesta en b. ¿Cambia el perímetro? ¿Cambia el área? Justifica.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

B) Conceptos

Exploración: Caída libre

Antes de comenzar discute en clase: ¿qué significa la caída libre? ¿Cómo va cambiando la

posición de una pelota al ser lanzada en caída libre? ¿Es proporcional al tiempo?

Al soltar un balón de baloncesto desde 200 metros de alto, el balón experimenta caída libre: Sea x el tiempo en segundos, medido con un cronómetro, desde que lanzamos el balón.

Sea Y la altura de la pelota, en metros, según el tiempo transcurrido. Hay una relación entre x y Y. Por ejemplo, cuando x = 0 (el comienzo), Y = 200 (el tope; la pelota no ha comenzado a bajar). Un segundo después, cuando X = 1, medimos Y = 195.

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Al medir las distintas posiciones según el tiempo, obtenemos la siguiente tabla que relaciona a las variables x y Y, así como el desplazamiento vertical D:

x (tiempo) 0 1 2 3 4 5 6

Y (altura) 200 195 180 155 120 75 20

D

(desplazamiento)

0 5 20 45 80 125 180

Antes de continuar, ¿dirías que D es proporcional a X? Si sí, cuál es la constante de

proporcionalidad? Si no, cómo describirías el cambio en D según el cambio en X?

El crecimiento de D NO es proporcional a x. El primer segundo, D aumentó 5, pero del segundo 1 al 2 aumentó 15, mucho más, y así cada vez más rápido. Si

graficamos en el plano, esto es lo que encontramos: El eje horizontal es para x.

El eje vertical es para D.

Como podemos ver, la curva NO es una línea recta, porque no hay una relación de proporción lineal entre x y D. Recordemos los valores de D en la tabla:

0, 5, 20, 45, 80, 125, 180. Intentemos buscar un patrón.

La primera observación es que todos los valores son múltiplos de 5, así que podemos factorizar, y nos queda: Valores de D: 5 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36)

Ahora reconocemos estos números como cuadrados

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

El patrón es entonces 5 multiplicado por un número al cuadrado: D = 5x2.

Entonces D es proporcional al cuadrado de x, con un factor de proporcionalidad de 5.

Esta fórmula la llamamos cuadrática (viene de cuadrado) porque la variable x se eleva al cuadrado.

Usando esto podemos predecir el desplazamiento D después de 3.5 segundos: x = 3.5, entonces D = 5(3.5)2 = 63 metros.

También podemos estimar el tiempo necesario para desplazarse exactamente 100 metros: tenemos que encontrar el valor de x que hace que D valga 100: Planteamos: 100 = 5x2. Entonces dividimos entre 5:

20 = 𝑥2_{y finalmente sacamos la raíz cuadrada: √20 = 𝑥. Como 16 < 20 < 25, x está entre 4 y 5. Más}

precisamente, x = 4,472 segundos aproximadamente (verifica en la gráfica arriba).

Responde:

a) En qué rango de tiempo es mayor el desplazamiento: ¿Entre x=5 y x=6, o entre x=6 y x=7? ¿O son

iguales los desplazamientos?

b) Camilo dice que la ecuación que dedujimos antes puede escribirse también como D = (5X)2. ¿Estás de

acuerdo con Camilo?

c) Encuentra una fórmula cuadrática que relacione Y (la altura) con x (la posición).

La expresión cuadrática anterior, 5x2, (donde x es una variable) la podemos representar así:

También podemos expresarla así:

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Por ejemplo, si x vale 3, entonces la expresión vale la siguiente suma de áreas de los 4 rectángulos: 12 + 20 + 20 + 20 = 12 + 60 = 72.

Finalmente, consideremos la expresión cuadrática 4a2 + 6a + 1. La variable es la letra a. Podemos

representar la expresión como la suma de 4 cuadrados, un rectángulo y otro rectángulo “constante”, así:

Como vemos, si unimos las primeras 5 figuras para formar un único rectángulo, entonces la expresión es equivalente al área siguiente: a•(4a + 6) + 1. Es decir: 4a2 + 6a + 1 = (4a + 6)a + 1•1.

Mini-explicación: Expresiones cuadráticas

Expresiones cuadráticas (polinomios de grado 2)

Una expresión cuadrática (en una variable x) es una expresión en donde al menos uno de sus términos consiste en la variable x elevada al cuadrado, o un término lineal de la variable (ax+b) multiplicado por otro término lineal. El resto de términos deben ser lineales, incluyendo números.

Una expresión cuadrática también se llama un POLINOMIO DE GRADO 2.

Algunos ejemplos de expresiones cuadráticas:

● 𝑥2_{: expresión del área de un cuadrado de lado x. Es}

la cuadrática más famosa.

● 𝑥2₊_{1: esta cuadrática siempre toma valores}

positivos (¿puedes pensar por qué?) ● 6𝑥2_{− 𝑥 −}₇

No ejemplos:

● 𝑥3_{no es cuadrática, sino}

cúbica.

● 4x + 2: no es cuadrática, tan solo es lineal.

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GUÍA 73

2

● (5𝑥)2_{: equivalente a 25𝑥}2 ● (𝑥 + 1) 𝑥 ● (4𝑥 + 1) (5𝑥 − 9)

● 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐: si desarrollamos cualquier cuadrática,}

llegaremos a esta expresión, con a distinto de 0.

● (𝑥 + 1)𝑥2_{no es}

cuadrática, sino cúbica. ● 10𝑥_{no es cuadrática,}

sino exponencial.

Representación gráfica

Toda expresión cuadrática puede representarse usando uno o varios rectángulos; las dimensiones (largo y ancho) de los rectángulos deben ser números, la variable, o una expresión lineal de la variable (ax+b). El área total combinada es igual al valor de la expresión. Algunos rectángulos pueden tener área “negativa”, es decir, restamos su área. Ejemplo:

5 + (𝑥 + 1)(𝑥 + 5) − 𝑥2_:

Combinando figuras

Podemos transformar una cuadrática en otra equivalente si unimos dos o más rectángulos. Por ejemplo, la expresión (x+2)x + 3x(x+1) es igual a x(4x+3), como vemos:

Paso 1: Ejemplo: Construyendo una caja

Queremos construir una caja para guardar alimentos. El ancho lo podemos elegir, pero el largo debe ser el triple del ancho. Además, queremos que la altura sea exactamente de 60 cm.

a) ¿Qué expresión algebraica representa el volumen de la caja esta situación? Algebraicamente hablando: ¿La expresión es lineal, cuadrática o cúbica?

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

c) Si ahora requerimos que la altura de la caja no sea 60 cm sino la suma del largo y ancho, ¿qué expresión algebraica nos queda? ¿De qué tipo es?

Solución: Usamos la letra x para el ancho de la caja en cm. Entonces el largo es 3x (el triple de x).

Además la altura es una constante y en este caso vale 60.

a) Tenemos que el volumen es: V = (x cm)(3x cm)(60 cm). Multiplicando constantes por un lado y variables por otro lado: V = (3)(60)(x)(x) = 180 x2 (en cm3). Esta es una expresión cuadrática (pues x está elevado al cuadrado). Las dimensiones son cúbicas (metros cúbicos), pero en el álgebra tenemos una expresión cuadrática, pues solo 2 dimensiones de las 3 son variables lineales. b) Escribimos esta ecuación: 180 x2 = 90000. Así: 𝑥2 ₌90000

180 = 9000

18 =500. Así, x vale

aproximadamente raíz de 500, es decir, 22,3 cm. Es positivo, porque x > 0 (es una medida de ancho).

c) Volumen: V = (x)(3x)(x+3x) = (x)(3x)(4x) = (1)(3)(4)(x)(x)(x) = 12x3. Esta expresión es una cúbica, pues la variable x está elevada a la 3.

Paso 2A: Completa este ejemplo: ¿Cuántos asistentes?

A un evento social asistió mucha gente: A las 7pm llegaron los primeros 12. Después llegaron muchos buses: en cada bus había tantas personas como buses en total. Finalmente, se retiraron 2 personas de cada bus, ya que ellos no eran asistentes, sino solo eran el conductor y un ayudante.

a. ¿Cuál es una expresión algebraica que de el valor del total de asistentes? ¿Cuál es la variable? ¿La expresión es cuadrática o no? Justifica.

b. ¿Qué se necesitaría para tener al menos 405 asistentes?

Para ayudarte con la solución, nos preguntamos: ¿cuál es la cantidad desconocida fundamental? Y descubrimos que es x = # de buses. Con saber x, podremos conocer el # total de asistentes. Ahora, completa esta tabla cuya suma es el # total de asistentes:

Cantidad Primeros invitados Los que llegaron en buses Los que se fueron

Expresión 12

?

2x

¿Depende de x? NO

_?

SÍ

Signo

₊

?

Usando la tabla, construye la expresión, represéntala gráficamente y responde las preguntas.

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Consideremos la ecuación 𝑥2 ₌_{4. Esta ecuación tiene 2}

soluciones, y ambas son números racionales: +2 y −2. Esto lo sabemos pues al elevar al cuadrado, obtenemos 4. La ecuación

𝑥

2

=

9₄también tiene 2 soluciones:

𝑥 =

3₂y

𝑥 = −

3₂. Ahora preguntémonos: cuáles son las soluciones de

𝑥

2

=

2

?

Usando una calculadora, puedes adivinar que son aproximadamente 1,41 y −1,41. Con más precisión: 1,414 (y su opuesto, −1,414). La pregunta que surge: ¿es la respuesta exacta positiva un número racional? ¿Podemos expresarlo como una fracción de números enteros?

La respuesta es que NO! El número 𝑥 = √2 existe, pero NO es racional. Veamos por qué: Camila apuesta lo contrario y afirma que ella ha podido encontrar el valor de

𝑥 =

𝑎

𝑏, reduciendo al máximo

la fracción (es decir, simplificada ya). Entonces

𝑥 =

𝑎

𝑏

,

donde a y b son naturales, la fracción ya está simplificada, y

𝑥

2

_{= (}

𝑎

𝑏

)

2

₌

₂

_.

Vamos a mostrar que Camila cometió un error: para ello usaremos las paridades (pares vs impares): Por álgebra, propiedades de exponentes tenemos:

(

𝑎

𝑏

)

2

₌

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

=

𝑎2 𝑏2

.

Entonces 𝑎2 𝑏2

=

2,

luego

𝑎

2

₌

_2𝑏

2_.

Recordemos que a y b son enteros. Entonces a2_{es par (pues es dos por un entero), luego a es par (pues si}

fuera impar, entonces a2 sería impar, porque “impar al cuadrado da impar”).

Pero si a es par, entonces a = 2k (k entero). Entonces:

𝑎

2

= (

2𝑘)

2

=

4𝑘

2

=

2𝑏

2. Simplificando,

2𝑘

2

_{= 𝑏}

2_{. Entonces b}2_{es par, entonces b es también par.}

En conclusión: a y b son pares ambos: ¡pero esto es mentira, porque Camila ya simplificó la fracción! ¡En conclusión, no le podemos creer a Camila! Esto en matemáticas lo llamamos una CONTRADICCIÓN. Así que x = raíz de 2 existe y es muy cercano a fracciones de enteros (como 14₁₀, ₁₀₀141, etc), pero el valor exacto de x NO es una fracción entera! Así que es un número irracional.

Ahora intenta:

a) Soluciona las siguientes ecuaciones: i) 𝑥2₌_{400; ii) 𝑥}2 ₌ 16

100; iii) (𝑥2)2 =64. Recuerda dar tanto la

(14)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

b) Convéncete de que el número 𝑥 = √8 NO es racional, siguiendo los pasos anteriores. Intenta aproximar su valor a un número racional con al menos 5 decimales.

c) ¿Crees que hay alguna solución real (es decir, un número real) a la ecuación 𝑥2 _{= −}_{9? Explica.}

d) Ordena las siguientes raíces, ubícalas en la recta real, y dí cuáles son irracionales: √0, √2, √25

36, √7, √0,16.

Mini-explicación: Números irracionales y raíces cuadradas

Números irracionales

y raíces cuadradas

Si tenemos la ecuación 𝑥2 _{= 𝑎, en donde a es un número real, puede ocurrir lo siguiente:}

Si a = 0:

La ecuación 𝑥2 ₌_{0 solo tiene una solución: x=0. Es una solución racional, porque 0 = 0/1 es}

un número racional.

Si a > 0:

La ecuación 𝑥2 _{= 𝑎, con a > 0, siempre tiene 2 números solución: 𝑥 = √𝑎 y 𝑥 = −√𝑎 . En}

ocasiones las soluciones son ambas números racionales, como por ejemplo cuando a es un cuadrado perfecto, o si es una fracción de cuadrados perfectos:

● Si a = 25, entonces 𝑥2 ₌_{25 tendrá 5 y −5 como soluciones (ambas}

racionales).

● Si a = 1, entonces 𝑥2 ₌_{1 tendrá 1 y −1 como soluciones (ambas}

racionales).

● Si a = ₄1, entonces

𝑥

2

=

₄1 tendrá ₂1 y −1

2 como soluciones (ambas racionales).

Sin embargo, en muchos otros casos, las soluciones serán números IRRACIONALES, es decir, no son racionales (tienen infinitos decimales que no se repiten):

● Si a = 2, entonces 𝑥2₌_{2 tendrá √2 y −√2 como soluciones (ambas irracionales).}

Podemos aproximar a √2 con racionales así:

1,4, o mejor, 1,41, o mejor, 1,414213, etc. Pero el valor exacto será irracional. ● Si a = 3/4, entonces

𝑥

2

=

3₄ tendrá √3₄ y −√3₄ como soluciones (ambas

irracionales).

Si a < 0: La ecuación 𝑥2_{= 𝑎 no tiene soluciones que sean números reales, cuando a < 0.}

Sin embargo existe una rama muy interesante de las matemáticas llamada NÚMEROS COMPLEJOS en donde existen “números imaginarios”!

Ejemplo: Ningún número real x cumple que 𝑥2_{= −}_{10, porque 𝑥}2 _≥_{0 (si x es un real).}

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Signo de a Soluciones de la ecuación 𝒙𝟐 _{= 𝒂}

0

Solo 1 (0), racional.

+

2 soluciones opuestas. A veces racionales, a veces irracionales.

−

No hay soluciones en la recta real. Pero sí en los llamados “complejos”.

Paso 3A: Por turnos: Dibujemos expresiones cuadráticas

Reúnete con otro estudiante. Por turnos:

● uno de ustedes dibuja una colección de rectángulos o figuras similares con signos, etiquetando lados (usando una sola variable y números)

● La otra persona debe escribir 2 expresiones equivalentes, ambas correspondientes al área (con signos) del dibujo.

Paso 3B: Tu turno: Evaluemos expresiones cuadráticas

1) Para cada uno de los dibujos que representan expresiones cuadráticas:

i) Escribe la expresión cuadrática que corresponde, junto con otra que sea igual. Justifica cómo sabes que son iguales, en términos de la imagen.

ii) Evalúa la expresión que escribiste (ambas) en el valor de la variable que se da.

El problema a) está ya hecho. a)

Evaluar en x = 2₃.

Solución: La expresión es (2x)(x) + (x)(x) − (x)(x/2). Si removemos la mitad del segundo rectángulo ((x)(x)), y agregamos lo que queda al primero entonces nos queda un rectángulo

de dimensiones x y

(2+ 1/2)x, luego la expresión es igual a (x)((5/2)x) = (5/2)x2.

(16)

GUÍA 73

2

b) Evaluar en x =

1 +

2₅. c) Evaluar en x = ₃1.

2) Considera la siguiente expresión cuadrática con variable p:

𝐸 = (

1 + 𝑝)(2 + 𝑝).

Encuentra varios valores de p para hacer la expresión E tan cercana a 7,2 como puedas. Mide tu error cada vez (es decir, la distancia a 7,2). ¡Utiliza tu creatividad, y sobre todo tu persistencia!

C) Resuelve y practica

1) Para cada uno de los siguientes

crecimientos, determina si aumenta de forma lineal (es decir, el mismo valor cada vez) o si aumenta de forma cuadrática.

i) 3, 6, 9, 12, … ii) 3 2, 5, 17 2, 12, 31 2, 17, … iii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … iv) 0, 2, 8, 18, 32, 50, … v) 5, 10, 17, 26, 37, ...

2) Si x = 3, encuentra el área y el perímetro de

la siguiente figura:

4) Para cada una de las siguientes expresiones

cuadráticas con variable a, encuentra todos los valores de a que hacen que la expresión valga 1: a) (𝑎 + 1)2

b) 𝑎2₋₈

c) 4𝑎2

d) 4₉

𝑎

2

e) (2𝑎2₋_{4𝑎) + 1}

5) Evalúa cada una de las siguientes expresiones en el

valor dado de la variable:

a) Expresión: 3y + 3. Valor: y = −2/5. b) Expresión: (𝜃 + 1)2_{− 𝜃 +}_{1. Valor: 𝜃}

_{= −}

1

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Ahora hazlo si x = a+1. Tus respuestas deben ser expresiones con la variable a.

3) Representa las siguientes expresiones

cuadráticas usando uno o más rectángulos, y ten en cuenta los signos:

(18)

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GUÍA 73

2 E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪

No entiendo los conceptos

(TODAVÍA)

⚫⚫⚪

Voy bien pero quiero más práctica ⚫⚫⚫ Comprendí muy bien el tema Identifico el crecimiento cuadrático en una secuencia dada. Comparo el crecimiento cuadrático con el crecimiento lineal usando tablas numéricas. Represento expresiones cuadráticas utilizando modelos de áreas que incluyen rectángulos.

ii) Preguntas de comprensión

1) La expresión 3𝑥2₋_{40𝑥 + 12𝑥...} [ ] es cuadrática. [ ] no es cuadrática. 2) La expresión (1 + 𝑥2)(2 + 4𝑥2)... [ ] es cuadrática. [ ] no es cuadrática.

3) Considera esta secuencia:

0, 2,8, 18, 32, 50, 72, 98, 128, . ..

¿Cuál es la expresión cuadrática correspondiente?

[ ] (2𝑥)2_.

[ ] 2(𝑥)(𝑥).

4) ¿Verdadero o falso? Si elevamos una

expresión lineal al cuadrado, obtenemos una expresión cuadrática.

[ ] Verdadero. [ ] Falso.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema

Considera esta expresión cuadrática con variable y: 𝑦 + 2𝑦2_{+ (1 + 𝑦)(𝑦) + 2𝑦}2_{+ 𝑦}

a) Representa la expresión cuadrática usando rectángulos.

b) Encuentra 4 expresiones equivalentes a la expresión original. Evalúa todas en y = 0, verificando que

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2 ACTIVIDAD 2: MULTIPLICANDO MUCHAS VECES

Utilicemos las propiedades de la multiplicación para expresar de forma abreviada la

multiplicación repetida, usando la notación exponencial, y descubramos sus patrones básicos.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Un diagrama de operaciones nos dice qué hacerle a un número para obtener otro número, mediante una serie de pasos ordenados. Las cajas son los distintos valores del número y las flechas nos dan las acciones a realizarle a cada número.

Por ejemplo, veamos cómo representar “sumarle 5” a un número d:

Podemos iterar la acción de sumar 5, así:

Esto lo podríamos expresar de forma más corta así: “a d le sumamos 5 cuatro veces”. En símbolos: “d + 5 + 5 + 5 + 5 = d + 4(5)”.

PRACTICA i) Supongamos que a un número x le sumamos 17 un

total de 8 veces y luego le restamos 13 un total de 9 veces. ¿Qué número resulta? (tu respuesta debe estar en términos de x).

ii) Haz un diagrama de flechas para representar el

valor (10)(10)(10)(10), a partir de un valor inicial de 10. Puedes usar el número de flechas que quieras.

iii) Descompón al número 360 en sus factores

primos y elabora un diagrama de flechas en donde comiences con 2 y vayas multiplicando poco a poco hasta llegar a 360, usando los factores primos.

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GUÍA 73

2 B) Conceptos

Exploremos: La mejor inversión

Antes de comenzar, discute en clase: ¿Qué es mejor: duplicar una cantidad de dinero 3 veces,

o multiplicarla una sola vez por 6? ¿O ambas son iguales?

El juego Monopolio Mágico es una combinación del popular juego de inversiones Monopolio, con el tema de la magia y la fantasía. En este juego hay acciones de valores de distintas compañías en las que queremos invertir, y nuestras acciones pueden cambiar por medio de la magia…

Recuerda que una acción es similar a un billete, y

representa cierto valor económico. Las acciones se pueden vender por dinero en cualquier momento.

Supongamos que tenemos 1 sola acción de la compañía Magos de Paz, una cooperativa que busca la paz mundial. El hechizo que tenemos consiste en duplicar el número de acciones cada mes. Experimentemos:

El número de flechas (---> > ) indica el número de veces que duplicamos la cantidad.

¡Wow! Solo con hacer la magia 4 veces, pasamos de 1 acción a 16 acciones. Es un cambio muy rápido.

Responde:

a) Arrancando con 1 acción y haciendo la magia 5 veces, ¿con cuántas acciones quedaríamos? Ilustra esto

con un diagrama de flechas similar al de arriba.

b) Arrancando con 1 acción, ¿cuántas veces debes hacer la magia para llegar a 128 acciones? ¿Y a más de

1 000 acciones?

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GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

d) Sabemos que si tenemos 1 acción y la duplicamos 4 veces, obtenemos 16 acciones. ¿Qué pasaría si

hubiéramos arrancado con 5 acciones, haciendo la magia de duplicación 4 veces? ¿Con cuántas acciones quedaríamos? ¿Y si hubiéramos iniciado con 100 acciones?

Seguimos jugando al Monopolio mágico. Usemos una magia para multiplicar el número de acciones por 3. Nuestro punto “cero” (de partida) va a ser 1 (1 acción). Si hacemos la magia 0 veces, quedamos con 1 acción, pues es como no hacer nada.

Si hacemos la magia 1 sola vez, entonces como 1 x 3 = 3, obtenemos 3. Y si seguimos:

¡Esto crece muy rápido! ¿Cómo podríamos describir al último valor en el experimento? Es decir, al número 243. Hay varias opciones:

● 243 es el resultado de hacer la magia “triplicación” 5 veces (pues hay 5 flechas), partiendo de 1. ● 243 es el resultado de triplicar al 1 un total de 5 veces.

● 245 es igual a 3 x 3 x 3 x 3 x 3 (es decir, 3 multiplicado por sí mismo 5 veces).

Todas estas formas son válidas, pero largas. La clave en ellas es el número 3 (la base de la magia, es decir el factor de multiplicación del crecimiento) y el 5 (nos dice o expone cuántas veces hacemos la magia). En matemáticas definimos esta operación así: BASE = 3 ; EXPONENTE = 5, y decimos:

3

5

=

3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.

En general, para una magia de multiplicar por cierto valor a, y si hacemos la magia n veces (siempre arrancando de 1 acción), el total de acciones será:

𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝑎

𝑛

.

(a elevado a la n: a multiplicado por sí mismo n veces).

El resultado se llama una POTENCIA base a y EXPONENTE n. En particular, definimos a0 como 1: es comenzar con 1 y

multiplicar por a un total de 0 veces, así que obtenemos 1. Finalmente, supongamos que tenemos una magia muy poderosa de multiplicación por 4. ¿Cómo interpretaríamos el valor

4

5? La base es 4, el exponente es 5. Así que es hacer la magia 5 veces:

(23)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

La magia del “x4” es muy poderosa: solo haciéndola 10 veces llegamos a 1024 acciones. Usando la magia del “x2”, ¿cuántas veces necesitaríamos usarla para llegar a 1 024?

La respuesta es que dado que “duplicar y duplicar” es lo mismo que “cuadruplicar”, entonces la magia de “x2” debería hacerse 10 veces. En ecuaciones y usando que 2x2 = 4:

1024 = 4

5

=

4 × 4 × 4 × 4 × 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2)

=

2

10

.

Dado que

2

5

=

32,

también podemos expresar a 1024 como

32

2.

(24)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2 Mini-explicación: Notación exponencial

Notación exponencial

Base Exponente

Potencia

Si sumamos un número b n veces, obtenemos b + b + b + ••• + b, que es lo mismo que b•n. Así, multiplicar por n es lo mismo que sumar y sumar y sumar el mismo número.

¿Qué pasa si ahora multiplicamos un mismo número b por sí mismo n veces? Entonces obtenemos lo que llamamos “b elevado a la n” (notación exponencial).

Definimos: bn = b × b × b × ••• × b (n veces). (acá, n=0,1,2,... es un entero no negativo). b es la base, n es el exponente y bn es la potencia (una potencia de la base b).

Tenemos: b0 = 1 por definición. Además podemos relacionar potencias de la misma base de forma sencilla: bn+1 = b × bn.

Ejemplos:

● 30 = 1; 31 = 3; 32 = 3 × 3 = 9; La exponenciación NO es conmutativa porque 23 = 2 × 2 × 2 = 8; En general, no podemos intercambiar la base y exponente. ● 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 1000.

● 82 = 8 x 8 = (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 24; 82 = 8 x 8 = 4 x 4 x 4 = 43.

● (1,5)

3

₌

_{1,5 × 1,5 × 1,5 = 3,375.}

Multiplicar potencias con la misma base es fácil. Veamos cómo: ● 32 • 34 = (3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3) = 32 + 4 = 36

● _a5 _{• a}6 _{= (a x a x a x a x a) x (a x a x a x a x a x a) = a}5+6 _{= a}11

● Si no tenemos la misma base, a veces es posible hacer que la tengan.

Ej:

4

5

•

2

9

= (

2 • 2)

5

•

2

9

=

2

10

•

2

9

=

2

10+9

=

2

19

.

Paso 1A: Ejemplo: Colonias de hormigas

En su libro de ciencia ficción, el autor Capuchette Milez imaginó esta situación:

(25)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

hormigueros. En cada hormiguero viven 6 familias y cada familia tiene 6 hormigas. Cada hormiga tiene 6 antenas y cada antena tiene 6 receptores celulares. Cada receptor celular mide 0,01 mm de largo.

a) ¿Cuántos receptores hay en total? Exprésalo en notación exponencial. b) ¿Cuántas hormigas hay por cada estado?

c) Si pusieras TODOS los receptores celulares de TODAS las hormigas en fila, ¿cuántos metros mediría? Solución: Recordemos la jerarquía en orden de general a particular:

Colonia > Continentes > Estados > Pueblos > Hormigueros > Familias > Hormigas > Antenas > Receptores. La relación entre cada elemento y el siguiente es “6x”. Esto lo podemos expresar exponencialmente, así:

a) Como vemos, hay

6

8receptores. Este es un número gigante:

6

8

=

6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6

. Como 6 = 2 × 3, entonces

6

8

=

2

8

×

3

8

=

256 × 6561 = 1′679 616

. Otra forma de calcular este

valor es:

6

8

=

6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = (6 × 6 × 6 × 6)

2

= (

36

2

)

2

= (

1296)

2

=

1′679 616.

b) Como hay

6

2estados y

6

6hormigas, y cada estado tiene igual número de hormigas (por la descripción del problema vemos que los estados tienen las mismas cantidades de “todo”), entonces podemos dividir para encontrar las hormigas por estado. Dividimos el total de hormigas entre total de estados:

66 62

=

6 × 6 × 6 × 6 × 6 ×6

6 × 6

=

6 × 6 × 6 × 6 = 6

4

=

1 296

.

Otra forma es centrarnos en la relación multiplicativa entre estados y hormigas:

(26)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

c) Usando a tenemos que la fila de receptores en mm es de

1′679 616 × 0,01 = 16 796,16

mm. Al dividir entre 10 el número correcto de veces para cambiar la medida de mm a m (3 veces), obtenemos alrededor de 16,8 metros.

Paso 1B: Ejemplo: Duplicación de bacterias

Inicialmente hay 5 bacterias. Cada minuto, el número de bacterias se duplica. ¿Cuántos millones de bacterias hay aproximadamente, después de 20 minutos?

Solución: Lo primero es que podríamos pensar que la respuesta es simplemente 105

(5 + 20 • 5), pero este no es el caso pues el crecimiento NO es lineal. Es mucho más rápido, dado que cada minuto no se agregan 5 bacterias, sino que la cantidad previa se DUPLICA.

El diagrama de flechas es el siguiente. Tenemos 20 flechas y 21 casillas:

Así, la secuencia es: 5, 5•2, 5•2•2, …, y el valor final será Y =

5 • 2

20.

Calculemos primero

2

20: esto es lo mismo que multiplicar 2 por sí mismo 20 veces. Entonces podríamos primero calcular

2

10, y luego multiplicar este valor por sí mismo (dado que

2

20

=

2

10

•

2

10

)

. Ahora, como

2

5

=

32

, entonces

2

10

=

32 • 32 = 1024.

Así,

2

20

=

1 024 • 1 024 = 1′048 576,

que es aproximadamente 1,5 millones. Entonces Y es cerca de 5 veces esto, es decir, hay cerca de 7,5

millones de bacterias. ¡Una cantidad enorme!

Paso 2A: Completa este ejemplo: Las potencias de 10

El caso de notación exponencial en que la base es igual a 10 es importante. Las potencias de 10 son: 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, etc.

Cantidad En notación exponencial

Número de 0’s después del 1 Como multiplicación repetida

(27)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Lo bueno de usar las potencias de 10 es que, usando la llamada notación científica, podemos expresar distintos números con ayuda de una potencia de 10 bien elegida.

Ej: Para expresar a 270 en notación científica, buscamos la máxima potencia de 10 menor o igual a 270, en este caso 100 (es decir, 102), y escribimos: 270 = 2,7 x 102. El orden de magnitud es 2 y nos ayuda a saber qué tan grande es 270: está entre 100 y 1000 (más cercano a 100).

Completa la siguiente tabla para convertir estos números a notación científica:

Número K Potencia que usamos Notación científica

80000

_{10000 = 10}

4

_{𝑘 =}

_{8 • 10}

4

3200

_?

_{𝑘 =}

_{3,2 • 10}

3

90100

_{10000 = 10}

4

_?

564000

_?

Mini-explicación: Notación científica

Notación

científica La notación científica es una forma de usar las potencias de 10 para escribir números muy _{grandes o muy pequeños con ayuda de notación exponencial. Vamos a considerar en esta} explicación el caso de números muy grandes, como pesos de animales en gramos, distancias entre planetas, etc.

Si tenemos un número K muy grande, entonces vamos a buscar dos partes:

a) La potencia más grande menor o igual a K: esta la escribimos en notación exponencial como 10n;

b) Un número c tal que K = c 10n; ese número en muchos casos tiene una parte decimal. Este número, como verás, siempre será menor que 10.

Así, la notación exponencial se ve así: c • 10n; Ejemplos:

● 10000 = 1 • 10

4. Acá c = 1, es un caso en donde la notación científica nos da una pura potencia de 10.

●

28000 = 2,8 • 10

4. Acá c = 1,8.

(28)

GUÍA 73

2

●

20 020 = 2,002 • 10

4

.

● 23 000,12 =

2,30012 • 10

4

.

El ORDEN DE MAGNITUD de un número es el n en su expresión en notación científica, y nos da una idea de la escala del número en términos de las potencias de 10. Esta escala es exponencial, pues crece de x10 en x10.

Ejemplo: El número 484’000 677 es de orden de magnitud 8. Es decir, es “comparable” con el número 108 = 100’000 000.

Ejemplo: Si buscamos números de orden de magnitud 2, entonces pensamos en números del 100 al 1000, sin incluir al 1000: 100, 234, 543,667, 800, etc.

Paso 2B: Completa este ejemplo: Órdenes de magnitud de cantidades

(29)

GUÍA 73

2

Cantidad Mi estimación de orden de magnitud Orden de magnitud real

¿Qué tan buena fue mi estimación?

Masa de un adulto en g 7 _{5 (10}5₎ _{No tan buena, me pasé por mucho.}

Masa del sol en g

?

Masa de una hormiga en g

?

Radio de la tierra en m

_?

Masa de una pirámide

?

Distancia del sol a la tierra

?

Volumen de la tierra en m3

?

Número de segundos que han

pasado desde que nací

?

(30)

GUÍA 73

GRADO 8

ACTIVIDAD

2

Toma una hoja (cuadriculada ayudaría, pero no es necesario) y córtala de forma que te quede una hoja cuadrada.

Vamos a dividir en 4 de forma iterada. Recuerda que iterada significa repetida, haciendo el mismo proceso varias veces.

PASO 1: Divide la hoja en 4 cuadrados iguales (usando regla y marcador).

PASO 2: Aplica el mismo proceso a cada región del paso anterior. Es decir, divide cada región en 4 cuadrados iguales.

PASO 3: Aplica el mismo proceso a cada región del paso anterior. PASO 4: Aplica el mismo proceso a cada región del paso anterior.

Júntate con otro estudiante. Entre ambos comparen sus dibujos y decidan si ambos están correctos. Ahora calculen el número de regiones finales del dibujo y expresen esta cantidad usando notación científica. Intenten varias expresiones, cambiando de base. [Ayuda: una forma fácil es usar base 4, pero intenten buscar otras bases también]

Júntense con otra pareja y compartan sus dibujos y soluciones. Ahora resuelvan el siguiente problema: Si 16 estudiantes unieran sus dibujos para formar un gran dibujo, ¿cuántas regiones finales tendría?

Expresen de nuevo la respuesta usando notación exponencial, en tantas bases como puedan.

C) Resuelve y practica

1) Calcula el valor de cada expresión, y

ordénalas en orden ascendente:

a) 24+24+24+24.

b) (100)2_.

c) 58• 5.

d) El resultado de multiplicar a 5 por sí mismo un total

de 4 veces, y luego elevar todo a la 3.

e) Arrancar con una cantidad y, dividirla entre 4, luego

dividirla entre 4 y finalmente dividirla entre 2.

(31)

GUÍA 73

2

d)

(

2₃

)

3.

2) Para cada expresión, haz un diagrama de

flechas que sirva para llegar a ella, utilizando multiplicación. (Hay varias respuestas

posibles.)

a) 5 • 23.

b) (0,7)6_.

c) (23)4.

3) Expresa cada valor utilizando notación

exponencial, para que queden de la forma

𝑎

𝑏

,

de la forma

𝑘 • 𝑎

𝑏o e la forma

𝑎

𝑏𝑐

𝑑

. ¡Es posible que hayan varias formas de

expresar el valor!

a) 3125.

b) Diez millones de pesos.

c) El resultado de multiplicar a 13 por sí

mismo un total de 5 veces.

a) Si a las 6pm había 64’000000 de bacterias, ¿a qué horas había la mitad de esa cantidad?

b) Si a las 6pm había 64’000000 de bacterias, ¿cuántas horas antes había aproximadamente 70000 bacterias?

5) PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

Tema: Notación exponencial

Mira los videos y responde las preguntas

(32)

(33)

GUÍA 73

2 E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ No entiendo los conceptos (TODAVÍA) ⚫⚫⚪ Voy bien pero quiero más práctica ⚫⚫⚫ Comprendí muy bien el tema Represento situaciones de multiplicación repetida por el mismo

número, utilizando notación exponencial

(base y exponente), con y sin variables. Resuelvo problemas de crecimiento exponencial con la ayuda de la notación exponencial y diagramas de flechas para representar secuencias. Utilizo la notación científica para describir, comparar e interpretar órdenes de magnitud.

ii) Preguntas de comprensión

1) Si a > 0 y n es un entero positivo,

entonces...

[ ] an es siempre positivo.

[ ] an puede ser a veces negativo.

2) Si a > 0 y n es un entero positivo,

entonces...

[ ] an es siempre mayor que 1.

[ ] an puede ser a veces menor que 1.

3) ¿Verdadero o falso?

(𝑥

4

)

3

= 𝑥

7

4) ¿Verdadero o falso?

Si una vara de longitud inicial 20 cm se duplica cada hora, entonces después de 3 horas medirá 80 cm.

(Verifica las respuestas con tu profesor)

iii) Resuelvo un problema