Sobre los ceros reales de funciones enteras

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´IA

FACULTAD DE CIENCIAS

SECCI ´ON DE POSGRADO Y SEGUNDA ESPECIALIZACI ´ON PROFESIONAL

SOBRE LOS CEROS REALES DE FUNCIONES ENTERAS

TESIS PARA OPTAR EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON MENCI ´ON

EN MATEM ´ATICA APLICADA

ELABORADO POR:

CARLOS ANDR ´ES CHIRRE CH ´AVEZ

ASESOR:

DR. OSWALDO JOS É VEL ÁSQUEZ CASTA Ñ ÓN

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AGRADECIMIENTOS

Gracias a Dios, el creador de todas las cosas, por permitirme avanzar en mis sueños y alcanzarlos. Por enseñarme que siempre está all´ı para ayudarnos.

Gracias a mis padres Andr´es Chirre y Celia Ch´avez, por apoyarme incondicionalmente de diferentes maneras durante toda mi vida. Son mi motivo para continuar en mis estudios y alcanzar todos mis objetivos, para que ellos se sientan orgullosos de m´ı. Igualmente a mis hermanos y familia en general, por estar siempre atentos a mi persona.

Gracias a mi asesor Oswaldo Velásquez por la confianza depositada en m´ı para poder trabajar juntos desde la universidad hasta mis estudios de posgrado. Por la dirección en mi trabajo y por motivarme a realizar estudios más avanzados en las apasionantes áreas de la teor´ıa de números y el análisis com-plejo.

Gracias a los profesores Emanuel Carneiro y Julio Alc´antara por ser jurados en mi defensa de la tesis de maestr´ıa, y por motivar a los j´ovenes estudiantes a alcanzar sus metas.

Gracias al Instituto de Matemáticas y Ciencias Afines (IMCA), por aceptarme desde el2009como estudiante, y brindarme los conocimientos necesarios para desarrollarme como matemático. Al pro-fesor Félix Escalante, director del IMCA, por apoyar siempre a los estudiantes que desean alcanzar sus objetivos. De igual manera agradecer a los docente del IMCA, por la orientación y dirección en cada materia dictada. En particular agradecer al profesor Johel Beltrán, por apoyarme en el área pro-babil´ıstica necesaria para el trabajo, más aún, por dictar un curso para poder aprender los conceptos necesarios para concluir el trabajo.

Gracias a mis docentes de la facultad de Ciencias de la UNI, por brindarme los primeros conocimien-tos en la carrera de matem´aticas y orientaci´on en las diferentes materias dictadas.

Gracias a David A. Cardon, por la publicación de art´ıculos sobre temas que realmente me interesan, y por la comunicación por correo electrónico.

Gracias a mis amigos de la facultad de Ciencias, pues junto con ellos hemos pasado muchas expe-riencias que nos ayudaron a madurar como estudiantes y como personas.

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´Indice general

1. Introducci´on 9

2. Ceros reales de funciones enteras y la factorizaci´on de Hadamard:

P´olya y Cardon 19

2.1. Funciones de g´enero0o1y el teorema de P´olya . . . 20

2.1.1. El teorema de Hadamard . . . 20

2.1.2. Teorema de P´olya y su generalizaci´on . . . 23

2.1.3. Consecuencias del teorema de P´olya: caso finito . . . 27

2.1.4. Consecuencia del teorema de P´olya: caso infinito . . . 28

2.2. Suma de funciones enteras que tienen solo ceros reales . . . 41

2.2.1. Estudios de los ceros de la funci´onHn. . . 41

2.2.2. Estudio de los ceros de los polinomios de recurrencia . . . 42

2.2.3. Estudio de los ceros de la funci´onHn, caso particular . . . 47

2.2.4. Estudio de ceros de la funci´onHn, caso general . . . 49

2.2.5. Suma de funciones exponenciales teniendo solo ceros reales . . . 51

2.3. Teorema de los ceros de la transformada de Fourier . . . 53

2.3.1. Probabilidades en un estudio particular . . . 54

2.3.2. El resultado de Pinelis vs. el teorema de Hoeffding . . . 60

2.3.3. El estudio particular de probabilidades y la transformada de Fourier . . . 65

2.3.4. Prueba del teorema . . . 68

3. Ceros reales de funciones enteras y el principio del argumento: Haseo Ki y Velásquez 78 3.1. Sobre el número de ceros de una función entera fuera de una recta vertical . . . 80

3.1.1. Preliminares . . . 80

3.1.2. Los ceros sobre la recta cr´ıtica . . . 80

3.1.3. Resultado principal . . . 82

3.2. El teorema sobre los ceros de la funci´onΞF(s) . . . 88

(5)

3.3.1. Preliminares . . . 90

3.3.2. Comportamiento asint´otico de las funcionesΞF(s)yWF(s) . . . 93

3.4. Estudio de la funci´onψF(s) . . . 103

3.4.1. La funci´onψF(s)como polinomio de Dirichlet . . . 103

3.4.2. La funciónψF(s)como función casi-periódica . . . 106

3.5. Prueba del teorema . . . 109

4. Conclusiones 112 A. PROBABILIDADES 116 A.1. Teor´ıa de probabilidades . . . 116

A.2. Sobre teor´ıa de la medida . . . 120

A.3. Continuaci´on de la teor´ıa de probabilidades I . . . 124

A.4. La integral de Riemann-Stieltjes . . . 135

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NOTACIONES

Las letrasN,Z,RyCson el conjunto de n´umeros naturales, enteros, reales y complejos respec-tivamente.

Un número complejo será denotado porsoz. Además será escrito de la formas=σ+iτ, donde<s representa la parte real desy=srepresenta la parte imaginaria des.

Por abuso de notación, para un número reala, escribiremosσ > acomo el semiplano{s∈C:<s > a}. Del mismo modo se indicará en los casosσ ≤a, σ < a, σ≥a.

La conjugada de un n´umero complejos=σ+iτser´a denotado pors=σ−iτ.

Para las funcionesf :C→ Cyg :C→ R, la notaci´onf =O(g)denota que existeC > 0tal que |f(s)| ≤C.g(s)paras∈_Ccon|s|suficientemente grande, es decir, para|s|> r0, conr0un n´umero muy grande.

Para una funciónh(s)definiremos las funcionesf+(s) = h(s) +h(−s)yf−(s) =h(s)−h(−s). En virtud que las propiedades que se demostrarán lo comparten ambas funciones, por un abuso de notación denotaremos a ambas funciones comof(s), entendiendo que puede el resultado vale para ambas funciones, salvo se indique lo contrario.

La función máximo entero se denotará por[[x]], que es el mayor número entero menor o igual ax, es decir,[[x]]≤x <[[x]] + 1, donde[[x]]∈_Z.

La abreviaci´on c.t.p. significa: en casi todo punto.

Considerando la sucesi´on de conjuntos{E_n}_n∈_Ny el conjuntoB, escribimosEn ↑ B para denotar

E1⊂E2⊂ · · ·En⊂ · · · ⊂B.

Considerando la sucesi´on de funciones{fn}n∈_Ny la funci´onf, definidas enD, escribimosfn ↑ f

(7)

SOBRE LOS CEROS REALES DE FUNCIONES ENTERAS

Tema. En el primer cap´ıtulo mostraremos que ciertas sumas de productos de funciones enteras de la clase de Hermite-Biehler con funciones enteras de género0 o 1, tienen solo ceros reales. Como aplicaciones de este teorema, construimos sumas de funciones exponenciales que solo poseen ceros reales. Además, en este cap´ıtulo consideramos una función entera realf(z)de orden menor que2que solo posee ceros reales y clasificaremos ciertas funciones de distribuciónF, tal que la transformada de Fourier

H(z) =

Z +∞

−∞

f(it)eiztdF(t)

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ABOUT THE REAL ZEROS OF ENTIRE FUNCTIONS

ABSTRACT. In the first chapter we show that certain sums of products of Hermite-Biehler entire functions with entire functions of genus0or1, have only real zeros. As applications of this theorem, we construct sums of exponential functions having only real zeros. Also, in this chapter we consider a real entiref(z) of order less than 2 with only real zeros. Then we classify certain distribution functions F such that the Fourier transform

H(z) =

Z +∞

−∞

f(it)eiztdF(t)

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Cap´ıtulo 1

Introducci´on

Una de las teor´ıas más importantes del análisis complejo es la teor´ıa de funciones enteras. Entre los resultados más importantes se destaca el teorema de factorización de Hadamard en1890, que demostró que una clase de funciones, llamadas funciones enteras de orden finito, tienen un compor-tamiento similar a los polinomios. Las funciones enteras de orden finito son aquellas que tienen una cota de la forma

|f(z)|< erk,

para algúnk > 0, donde |z| = r, conr suficientemente grande. Definamos el orden de la función enteraf(z)(denotado porρ) como el ´ınfimo de todos los valoresk >0que cumplen esta desigualdad asintótica. Gracias al teorema de factorización de Hadamard, las funciones enteras de orden finitoρ pueden ser factorizadas, en el sentido que pueden ser escritas de la forma

f(z) =zmeP(z) +∞

Y

n=1 Eκ

z an

,

donde P es un polinomio de grado q ≤ ρ, m es la multiplicidad de z = 0 como cero de f y κ es el orden de la sucesi´on{a_n}_n∈_N, conformada por los ceros de f(z). Los factoresEκ(z) son

los polinomios de Weierstrass. Se define el género de la funciónf(z), denotado por g, comog = máx{κ, q}. Una relación importante entre el orden de una función entera y el género es

[[ρ]]−1≤g≤[[ρ]]≤ρ.

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si es que se cumple resultados análogos como el orden de una función. Laguerre fue uno de los matemáticos interesados en este tema y mostró que en el caso que la función tiene un número finito de ra´ıces imaginarias, el género se preserva bajo diferenciación. Con respecto a la adición, se pierde la propiedad que tiene el orden. Lindelöf demostró en [32, p. 77] que si definimos la función

f(z) = +∞

Y

n=1

1− z n(logn)32

,

que es de género0, entonces la funciónG(z) =f(z) +f(−z)es de género1. Este ejemplo muestra que el género no hereda la propiedad que tiene el orden, respecto a la adición. La razón principal del aumento de género en este caso es el comportamiento de los ceros de la funciónG(z). Por ello, me concentraré en estudiar los ceros de sumas particulares de funciones, cuando son de la forma G(z) =f(z−ia) +f(z+ia), cona >0. El interés por estudiar estas sumas se da en virtud que el resultado dará una función cuyos ceros tienen un comportamiento muy particular. Esto fue analizado por Pólya, y en su interés por estudiar los ceros de la función zeta de Riemann obtuvo el siguiente resultado.

Proposición 1.0.1(Pólya-1926). Seana >0,b∈Ryf(z)una función entera de género0o1, real sobre la recta real, que posee por lo menos un cero y todos sus ceros son reales. Entonces la función

G(z) =f(z−ia)e−ib+f(z+ia)eib

solo tiene ceros reales.

Tanto Laguerre como Pólya fueron matemáticos interesados en resultados respecto a funciones de género0o1. Un subconjunto muy especial de las funciones de orden finito, son las funciones de la clase de Laguerre-Pólya. Una funciónf(z)es de la clase de Laguerre-Pólya(LP) si su factorización de Hadamard es de la forma

czmeδz2+αz

p

Y

n=1

1− z an

eanz _,

dondeα, c ∈ _R,c 6= 0,δ ≤ 0,m ≥ 0la multiplicidad del ceroz = 0,p ∈ _N∪ {0}op = +∞y {an}pn=1son los ceros reales no nulos, que cumplen

p

X

n=1

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dada por P´olya. En el caso que la funci´onf(z)solo posea una cantidad finita de ceros demostraron el siguiente teorema

Teorema 1.0.1. Seana > 0y b ∈ _R. Sif(z) es una función entera de género0o1, real sobre la recta real, que posee una cantidad finita de ceros y tiene por lo menosp≥1ceros, repetidos según multiplicidad, entonces la función

es también una función entera de género 0 o 1, real sobre la recta real, que tiene por lo menos p−1ceros (contando multiplicidades) y todos son reales. En particular si f(z) ∈ LP∗ entonces G(z)∈ LP∗.

En el caso que la funci´onf(z)posea infinitos ceros mostraron el siguiente teorema

Teorema 1.0.2. . Seana > 0yb∈ _R. Sif(z)es una función entera de género0o1, real sobre la recta real y posee una cantidad infinita de ceros. Entonces la función

es también una función entera género0o1, real sobre la recta real, que posee infinitos ceros y todos son reales.

Cuando analicé este resultado, pude comprender todas las conclusiones, salvo el hecho queG(z) sea una función de género 0 o 1. De hecho, Cardon se basó en el hecho que la función G(z) es de género0o1para afirmar la infinitud de sus ceros. Por ende, me puse a investigar más acerca del género de la suma, y encontré el resultado ya mencionado de Lindelöf. Además, revisando los trabajos de Boutroux [11, p. 140] (quien tuvo comunicación con Lindelöf sobre estos temas) menciona que es complicado determinar el género de la suma de dos funciones. En última instancia decid´ı enviarle un correo electrónico a Cardon para que me comente acerca de su resultado. Sin embargo, él me comentó que no se hab´ıa percatado de ese detalle en la prueba, y que él tampoco pod´ıa afirmar acerca del género de esta suma. A partir de ese momento decid´ı encontrar información acerca del género, lo cual me hizo llegar al siguiente resultado.

Proposición 1.0.2. Seana >0yb∈_R. Sif(z)es una función entera de género0o1, real sobre la recta real, que posee infinitos ceros y todos son reales, entonces la función

es una funci´on enLP.

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Teorema 1.0.3. Seana >0yb∈_R. Sif(z)∈ LP∗y tiene infinitos ceros, entonces la funci´on

es tambi´en una funci´on enLP∗ que posee infinitos ceros.

En virtud de esto, pese a la omisión de Cardon, sus resultados en el art´ıculo [1] se pueden aplicar para funciones enLP∗. Continuando con el análisis del art´ıculo, Cardon menciona las funciones de la clase de Hermite-Biehler. Decimos que la función enteraw(z)pertenece a la clase Hermite-Biehler si satisface las siguientes propiedades.

1. Todos los ceros dew(z)est´an enH. 2. Denotandow∗(z) =w(z), se tiene que

w(z) w∗_(z)

<1 para todo z∈_H,

dondeHes el semiplano superior. Una propiedad importante de estas funciones es que la función w(z) +w∗(z)posee ceros reales. Como lo mencioné antes, el objetivo era mostrar que esta propiedad de poseer ceros reales se hereda para sumas y productos complejos, que se dará entre funciones en LP∗con funciones de la clase de Hermite-Biehler. El teorema principal del art´ıculo [1] es el siguiente.

Teorema 1.0.4(Adams, Cardon-2007). Sif(z)∈ LP∗y{w_n(z)} ⊂ HB, entonces la funci´onHn(z)

definida por las siguientes recurrencias,

H0(s, z) =f(s)

Hn(s, z) =Hn−1(s−ian, z)wn∗(z) +Hn−1(s+ian, z)wn(z) paran≥1,

solo posee ceros reales.

Una aplicaci´on importante de este teorema ser´a obtener sumas de funciones exponenciales que solo poseen ceros reales

Corolario 1.0.1(Cardon-2004). Suponga quef(z)∈ LP∗. Seana1, ..., an, b1, ..., bnn´umeros reales

positivos. Definamos la suma exponencial

hn(z) =

X

f(±ia₁± · · · ±ian)eiz(±b1±···±bn)

obtenida sobre la suma de todas las combinaciones de signo, usando la misma combinaci´on para el

argumento de G(z) como en el exponente. Entonceshn(z)∈ LP∗.

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dada con la medida de Lebesgue, sino con una medida que será el l´ımite de funciones de distribución asociadas a una sucesión de variables aleatorias independientes.

Teorema 1.0.5. Seaf(z) una función entera real de orden< 2 que solo tiene ceros reales. Sean {a_n}_n∈_Nuna sucesión decreciente de números reales positivos,{Xn}n∈_Nuna sucesión de variables

aleatorias independientes que solo toma los valores±1con igual probabilidad, y seaFnla funci´on

distribuci´on de la suma normalizada

Yn=

a1X1+· · ·+anXn

sn

,

dondes2_n = a2₁+· · ·+a2_n. Las funcionesFn convergen puntualmente a la distribuci´on continua

F = l´ım

n→+∞Fn. SeaH la transformada de Fourier det 7→ f(it) con respecto a la medidadF, es

decir

H(z) =

Z +∞

−∞

f(it)eiztdF.

EntoncesH(z)es una funci´on entera real de orden≤ 2. Si H 6≡ 0, entoncesH solo posee ceros reales.

Este teorema muestra la estrecha relación entre la teor´ıa de probabilidades y la teor´ıa de funciones enteras. Este resultado es motivado con la equivalencia de los ceros reales de cierta transformada de Fourier y la hipótesis de Riemann. En primera instancia me interesé en estudiar la parte probabil´ıstica para comprender la medida que se estaba presentando. Uno de los resultados que usó Cardon en su trabajo fue un corolario dado por Pinelis [34].

Corolario 1.0.2(Pinelis). Consideremos las variables aleatorias independientesη1, η2, ..., ηn tales

queE(ηj) = 0 y |ηj| ≤ 1 c.t.p, para1 ≤ j ≤ n. Si consideramos la variable aleatoria ξ1 con

distribuci´on normal est´andar, y{x_j}n

j=1⊂Rcon

n

X

j=1

x2_j = 1, entonces parau≥0se cumple que

P(η1x1+η2x2+· · ·+ηnxn≥u)<

2e3

9 P(ξ1≥u).

Este corolario se adapta a nuestras hipótesis respecto a las variables aleatorias que tenemos, y permite encontrar una acotación que se necesitará en el trabajo. Usando este corolario se encuentra esta acotación

1−Fn(u)< β

Z +∞

u

e−t 2 2 dt,

dondeβ= 2e3

9√2π. Realizando un c´alculo se llega a que parau≥2β

1−Fn(u)< e−

u2

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Cardon solo necesitó esta relación para poder realizar acotaciones que permitieron concluir su trabajo. Sin embargo, daré otra demostración de esta acotación para no recurrir al resultado dado por Pinelis. Para ello usaré un teorema dado por Wassily Hoeffding [23, p. 6] cuya demostración es mucho más sencilla que el corolario de Pinelis.

Teorema 1.0.6(Wassily-1962). SiX1, X2, ..., Xnson variables aleatorias independientes tales que

bj ≤Xj ≤cj para todoj∈ {1,2, ..., n}, entonces parat >0se cumple

P(X−µ≥t)≤e

− 2n2t2

(c1−b1)2+(c2−b2)2+···+(cn−bn)2_,

dondeX= X1+X2+···+Xn

n yµ=E(X).

Aplicando este resultado a nuestro estudio particular de probabilidades se obtiene la acotación que se necesita. Finalmente, para obtener el resultado de David A. Cardon, usaremos la relación importante entre la transformada de Fourier con la suma de funciones exponenciales con ceros reales, que está dada en este corolario.

Corolario 1.0.3. Con las notaciones del teorema 1.0.5, la funci´on definida por

Hn(z) = 2−n

X

f

_±ia

1± · · · ±ian

sn

eiz

±a₁±···±an

sn ₌

Z +∞

−∞

f(it)eiztdFn

est´a enLP∗.

En el segundo cap´ıtulo de la tesis, mi objetivo también será estudiar el conjunto de ceros de la suma de dos funciones. Sin embargo, para ello no usaré el punto de vista de la factorización de Hadamard, sino el principio del argumento. El resultado principal de esta sección será la prueba de un teorema, enunciado y demostrado por Haseo Ki. SeaF un conjunto finito de números complejos a0, a1, ..., anno todos nulos. Definamos

ΞF(s) =

Z +∞

−∞

φF(t)eistdt,

donde

φF(t) =e−2πcosht n

X

m=0

ame−2πme

t

! _n X

m=0

ame−2πme

−t

!

.

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Teorema 1.0.7(Ki-2008). ParaΞF(s)se cumple que

N(T,ΞF) =

T π log

T

eπ +O(logT), N(T,ΞF)−N1(T,ΞF) =O(T),

dondeN(T,ΞF) denota el n´umero de ceros de ΞF tal que 1 ≤ <s ≤ T y N1(T,ΞF) denota el

n´umero de ceros simples deΞF(s), con 1 ≤ <s ≤ T y =s = 0. En el semiplano izquierdo se

mantiene la misma propiedad.

Este teorema dado por Ki permite describir el comportamiento de los ceros en bandas verticales. Adem´a, tambi´en demuestra otro teorema con respecto al comportamiento de los ceros en bandas horizontales. Para ello, definamos

ψF(s) =π−s n

X

m=0

am(2m+ 1)−s,

y seak≥0entero tal que

P(1) =P0(1) =...=P(k−1)(1) = 0, P(k)(1)6= 0,

dondeP(y) =

n

X

m=0 amym.

Teorema 1.0.8(Ki-2008). Sean0 < δ < ∆∗ < ∆∗∗ tres n´umeros reales positivos. Si la funci´on

ψF(is−k) tiene una cantidad finita de ceros en la banda−∆∗ < =s < ∆∗∗, entonces todos los

ceros deΞF(s), salvo una cantidad finita, que est´an en la banda|=s| ≤δ son reales. En particular,

todos los ceros deΞF(s), salvo una cantidad finita, son reales siψF(is−k)tiene una cantidad finita

de ceros en=s <∆∗∗.

Es interesante notar este comportamiento de los ceros deΞF(s)con una condici´on suficiente: la

cantidad finita de los ceros de la funci´onψF(is−k). De hecho, la relaci´on predominante entre la

funci´onΞF(s)y la funci´onψF(is−k)es dada por

ΞF(s) =

+∞

X

m=k

bmψ(is−m)Γ(is−m) +

+∞

X

m=k

bmψ(−is−m)Γ(−is−m).

Para la demostración de este teorema, Haseo Ki se basa en la factorización de Hadamard. Más aún, la funciónΞF(s)es una función entera de orden menor que2. En esta sección del trabajo, daré otra

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hecho, la aplicación de sus resultados proporciona información sobre el comportamiento asintótico de los ceros de ciertas funciones estudiadas en teor´ıa de números. Su motivación fue usar el método de Taylor, quien realizaba trabajos con el objetivo de obtener resultados afines a la hipótesis de Riemann. Velásquez enunció el siguiente resultado.

Teorema 1.0.9(Velásquez-2008). Seana∈_R,h(s)una función meromorfa en_C, real sobre la recta real, con un número finito de polos en C, con un número finito de ceros en el semiplano σ > a, holomorfa y no nula sobre la recta cr´ıticaσ =a. Definamos la función

f(s) =f±=h(s)±h(2a−s).

Supongamos que la funci´on

F(s) = h(2a−s) h(s) satisface

1. Para cadaη >0existeσ0=σ0(η)> atal que|F(s)|< ηparaσ≥σ0, τ ∈R.

2. Para todo ε > 0 y σ0 > aexiste una sucesi´on {Tn}n∈_N de modo que l´ım

n→+∞Tn = +∞ y

|F(s)|< eε|s|paraa≤σ ≤σ0,|τ|=Tn,n≥1.

Entonces

N(T)−N0(T)≤N(T)−N00(T)≤u±−nf,σ>a−

nf,a

2 +Pf,σ>a+Nh,σ>a−Ph,σ>a, paraT > 0, dondeN(T) es el número de ceros def(s) con 0 < τ < T,N0(T)(N₀0(T))es el número de ceros def(s)en la rectaσ =ay0< τ < T contando(sin contar) multiplicidad,u+= 1₂, u−= 1,nf,0 = 0(caso+) ónf,0 ≥1es impar (caso−),nf,σ>aes el número de ceros reales def(s)

tal queσ > a,nf,aes la m´ultiplicidad des =acomo ceros def(s),Pf,σ>a(Ph,σ>a) es el n´umero

de polos de la funci´onf(s)(h(s))tal queσ > ay Nh,σ>a es el n´umero de ceros de h(s)(reales o

complejos) conσ > a. En particular todos los ceros def(s), salvo un número finito, se encuentran sobre la rectaσ= 0y son simples. Es más, el lado izquierdo de la desigualdad anterior es un número positivo par.

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ausencia de la simetr´ıa real, Velásquez también demuestra teoremas que son generalizaciones de los casos anteriores. Modificaré un poco la versión general en bandas, y la adaptaré a nuestro análisis de funciones enteras. Denotamos la funciónh(s) =h(s).

Teorema 1.0.10. Seah(s)una funci´on entera que no se anula en las rectaσ = 0yσ =σ0, donde σ0 >0, yh(s)solo posee una cantidad finita de ceros en la banda0≤σ≤σ0. Definamos la funci´on entera

f(s) =h(s)±h(−s). Supongamos que la funci´on

F(s) = h(−s) h(s) satisface

1. F(s)6=±1sobre la rectaσ =σ0, y|F(s)|<1paraσ =σ0,|τ| ≥τ0. 2. Para todoε >0existe una sucesi´on{T_n}_n∈_Ntal que l´ım

n→+∞Tn= +∞y|F(s)|< e

ε|s|_donde

0≤σ ≤σ0yτ =±Tn,n≥1.

Entonces

N(T, σ0)−N₀0(T)≤2Nh,0<σ<σ0 + 2,

dondeN(T, σ0) denota los ceros def(s)tales que−σ0 < σ < σ0 y−T < τ < T. En particular todos los ceros def(s)que est´an en la banda−σ0 ≤σ≤σ0, salvo un n´umero finito, se encuentran sobre la rectaσ = 0y son simples.

Para poder aplicar este teorema a la funci´onΞF(s), podemos escribir tal funci´on de la siguiente

manera.

ΞF(s) =WF

s− i 2

+WF

s+ i 2

, donde

WF(s) =

Z +∞

−∞

ˆ

φF(t)eistdt,

ˆ φF(t) =

e−2πcosht e2t +e

−t

2

n

X

m=0

ame−2πme

t

! _n X

m=0

ame−2πme

−t

!

.

De esta manera obtenemos que la funci´onΞF(s) es expresada como suma de dos funciones. Para

poder expresarla tal como lo pide el teorema 1.0.10, lo que haremos ser´a una rotaci´on. Definiendo las funciones enterasC(s) = ΞF(−is)yh(s) =WF

−is− i 2

, entonces la relaci´on anterior se puede escribir de la forma

C(s) =h(s) +h(−s).

Por lo tanto, para probar nuestro resultado acerca del comportamiento de los ceros de la funci´onΞF(s)

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de sus ceros en bandas verticales, y de esta manera podré usar el teorema 1.0.10. Por lo tanto, el teorema que probaré será el siguiente.

Teorema 1.0.11. Sean0< δ <∆∗<∆∗∗tres n´umeros reales positivos. Si la funci´onψF(s−k)no

posee ceros en la banda−∆∗∗ < <s < ∆∗, entonces todos los ceros deC(s), salvo una cantidad

finita, que están en|<s| ≤ δestán en la recta<s= 0. En particular, todos los ceros deC(s), salvo una cantidad finita, están en la recta<s= 0, siψF(s−k)no posee ceros en<s >−∆∗∗.

Para ello, nos basaremos en resultados asintóticos de dados por Haseo Ki. La técnica que usó fue la de Bruijn [18, p. 210]. En base a ello, logró obtener los comportamiento asintóticos de las funciones ΞF(s)yWF(s).

Teorema 1.0.12(Haseo Ki-2008).

1. Paraε >0, la funci´onΞF(s)tiene un comportamiento asint´otico dado por

ΞF(s) = Γ(is−k)

bkψF(is−k) +O |s|−2ε

,

de manera uniforme en el semiplano=s≤ −ε.

2. Paraε >0, la funci´onWF(s)tiene un comportamiento asint´otico dado por

WF(s) = Γ

is−k−1 2

bkψ

is−k− 1 2

+O |s|−2ε

,

de manera uniforme en el semiplano=s≤ −ε.

Los coeficientesbmson definidos de manera que:

e−πe−t

n

X

m=0

ame−2πme

−t

=

∞

X

m=k

bme−mt,

dondebk6= 0.

(19)

Cap´ıtulo 2

Ceros reales de funciones enteras y la

factorizaci´on de Hadamard:

P´olya y Cardon

(20)

2.1. Funciones de g´enero

0 o

1 y el teorema de P´olya

2.1.1. El teorema de Hadamard

Consideremos{an}n∈Nuna sucesión de números complejos no nulos, creciente en módulo tal

que l´ım

n→+∞|an|= +∞.

Definici´on 2.1.1. Definamos elexponente de convergencia de la sucesi´on{an}n∈N, denotado por

λ0, como el ´ınfimo de los n´umeros realesλ >0para los cuales es convergente la serie +∞

X

n=1 1 |an|λ

.

Definici´on 2.1.2. Definamos elorden de la sucesi´on{a_n}_n∈_N, denotado porκ, como el mayor

n´ume-ro enten´ume-ro no negativo tal que es divergente la serie

+∞

X

n=1 1 |a_n|κ.

Observaci´on 2.1.1. El exponente de convergencia de una sucesi´on es finito, si y solo si, el orden de

la sucesi´on lo es. Adem´as se tiene la desigualdad

κ≤[[λ0]]≤λ0 ≤κ+ 1.

Teorema 2.1.1(Hadamard-1890). Seaf(z) una funci´on entera de orden finito ρ. Sea{a_n}_n∈_N la

sucesión de sus ceros no nulos, repetidos según multiplicidad y ordenados de modo que la sucesión

de los m´odulos es creciente. Entoncesf(z)puede expresarse de la forma

f(z) =zmeP(z) +∞

Y

n=1 Eκ

z an

,

dondeP es un polinomio de gradoq ≤ρ,mes la multiplicidad dez = 0como cero def yκes el orden de la sucesi´on{an}n∈N.

Demostración. Para la prueba ver [29, p. 26]. La idea es usar la fórmula de Jensen de un logaritmo holomorfo, derivar y usar un resultado de Hadamard que dice que el exponente de convergencia de los ceros de la función no excede el orden de la función.

(21)

Teorema 2.1.2(Borel). Seaf(z)una funci´on entera que admite la factorizaci´on siguiente

f(z) =zmeP(z) +∞

Y

n=1 Eκ

z an

,

dondePes un polinomio de gradoq,κes el orden de la sucesi´on{an}n∈Nde los ceros no nulos de la

funciónf(que suponemos finito),mla multiplicidad dez = 0como cero def. Siλ0 es el exponente de convergencia de la sucesión de ceros, entoncesf es orden finitoρ= máx{q, λ0}.

Demostraci´on. Para la prueba de este teorema ver [25, p. 289]

Definición 2.1.3. Con las hipótesis del teorema 2.1.1 definamos elgénero de la funciónf como

g= m´ax{κ, q}.

Adem´as se cumple que

[[ρ]]−1≤g≤[[ρ]]≤ρ.

Observación 2.1.2. Sif(z)es una función entera de género0o1, su factorización de Hadamard es de la forma

f(z) =zmeαz+β

p

Y

n=1

1− z an

eanz _,

dondeα, β∈_C,p∈_N∪ {0}op= +∞,{a_n}p_n₌₁son los ceros no nulos de la funci´onf, repetidos seg´un multiplicidad ymla multiplicidad dez= 0como cero def.

Definici´on 2.1.4. Una funci´on enteraf es real, si para todoz∈_Rse tiene quef(z)∈_R.

Observación 2.1.3. Sif(z)es una función entera real de género0o1, que posee solo ceros reales, entonces su factorización de Hadamard es de la forma

f(z) =czmeαz

p

Y

n=1

1− z an

eanz _,

dondeα, c∈_R,c6= 0,p∈_N∪ {0}op= +∞,{a_n}p_n₌₁ son los ceros no nulos de la funci´onf(z), repetidos seg´un multiplicidad,mla multiplicidad dez= 0como cero def(z).

Demostración. Comof(z)es una función expresada de la forma dada en la observación 2.1.2, en-tonces para todoz∈Rque no es un cero def(z)cumple queeαz+β ∈R. En virtud que el conjunto de ceros de la funciónf(z)es un conjunto aislado y que el l´ımite de una sucesión de números reales es un número real, se tiene que para todoz∈_Rse cumple queeαz+β ∈_R. En particular paraz= 0 se tiene quec = eβ _∈

(22)

c´alculo tenemos

l´ım

n→+∞

eαn1 −e0

1

n−0

=α∈_R.

Ejemplo 2.1.1. Dado α ∈ h1,2i, consideremos la sucesi´on {n(logn)α}_n∈_N, cuyo exponente de

convergencia es λ0 = 1 y su orden es κ = 0. Podemos definir la funci´on entera real f(z) cuya factorizaci´on de Hadamard es

f(z) = +∞

Y

n=2

1− z n(logn)α

.

Por el teorema de Borel, la funci´onf(z)es de g´enero0y de orden1.

La noción de género dada en la definición 2.1.3 nos lleva naturalmente a preguntarnos si el género se conserva bajo la diferenciación o la adición. Más preciso, si las siguientes proposiciones son ciertas en todos los casos.

1. La derivada de una función entera de géneroges de génerog.

2. La suma de dos funciones enteras de g´eneroges de g´enero menor o igual queg.

Laguerre demostró el primero de estos teoremas, asumiendo que la función admite un número finito de ra´ıces imaginarias. Analizaremos este resultado en una sección posterior. En cuanto al segundo teorema, los resultados de Hadamard mostraron que es posible afirmar ello en la gran mayor´ıa de casos, pero existen excepciones a este teorema. Por ejemplo, existen funciones de género0 cuya suma puede originar una función de género1.

Observaci´on 2.1.4. Del ejemplo 2.1.1, podemos considerar la funci´on

f(z) = +∞

Y

n=2

1− z n(logn)3/2

de género0y orden1. Lindelöf demostró en [32, p. 77] que la función

G(z) =f(z) +f(−z) (2.1)

es una función de género1, pues los ceros de la funciónGson de ordenκG = 1; mientras que las

(23)

orden1. De la igualdad(2.1)se tiene que

H(z) =G(z2) =f(z2) +f(−z2) =F1(z) +F2(z).

Los ceros de la funciónG(z)tiene ordenκG = 1, entonces es fácil ver que los ceros de la función

H(z)tiene ordenκH ≥2, sin embargo como las funcionesF1(z)yF2(z)son de orden a lo m´as2la

funciónH(z)es de orden a lo más2. Por lo tanto la funciónH(z)es de género2. Entonces se tiene queF1(z)yF2(z)son funciones de género1cuya suma es una función de género2.

Definición 2.1.5. La clase de funciones deLaguerre-Pólya, denotado porLP, consiste de todas las funciones enteras reales que tienen solo ceros reales y su factorización de Hadamard es de la forma

czmeδz2+αz

p

Y

n=1

1− z an

eanz _,

dondeα, c ∈ R,c 6= 0,δ ≤ 0,m ≥ 0la multiplicidad del ceroz = 0,p ∈ N∪ {0}op = +∞y {a_n}p_n₌₁son los ceros reales no nulos, que cumplen

p

X

n=1

a−_n2<∞.

Observaci´on 2.1.5.

1. Si f(z) es una función en LP, en cuya factorización de Hadamard se tiene que δ = 0, la función entera real es de género0o1.

2. Denotemos porLP∗ el subconjunto de funcionesLP cuyo orden es menor que2. Es decir, en su representaci´on de Hadamard las funciones cumplen queδ = 0y son de g´enero0o 1, de orden menor que2.

2.1.2. Teorema de P´olya y su generalizaci´on Denotemos el semiplano

H={z∈C:=(z)>0}.

Definici´on 2.1.6. Se dice que una funci´on enteraw(z)pertenece a la claseHermite-Biehler, deno-tada porHB, si satisface las siguientes condiciones.

1. Todos los ceros dew(z)est´an enH. 2. Denotandow∗(z) =w(z), se tiene que

w(z) w∗(z)

(24)

Ejemplo 2.1.2. Dadob >0, la funci´on enteraw(z)definida porw(z) =eibzpertenece a la clase de Hermite-Biehler.

Sabemos quew(z)no posee ceros, luego se satisface la primera condici´on de la definici´on 2.1.6. Se tiene quew∗(z) =eibz ₌_e−ibz_{. Entonces para}_z_∈

Lema 2.1.1. Siw(z)es una funci´on entera tal que paraz∈_Hse tiene que

|w(z)|<|w∗(z)|,

entonces todos los ceros de la funci´onw(z) +w∗(z)son reales. En particular una funci´on de clase Hermite-Biehler cumple esta propiedad.

Demostraci´on. Dado z0 ∈ _Ctal que w(z0) +w∗(z0) = 0. Esto implica que|w(z0)| = |w∗(z0)|. Tenemos los siguientes casos.

1. Siz0∈H, entonces cumple|w(z0)|<|w∗(z0)|, lo que nos da una contradicci´on.

lo que nos da tambi´en una contradicci´on. Por lo tantoz0∈R.

En1926, Pólya estaba tratando de entender los ceros de la función zeta de Riemann. En su trabajo [35, p. 316] incluye la siguiente observación:

Proposición 2.1.1(Pólya-Hilfssatz II). Seana >0yf(z)una función entera real de género0o1, que posee por lo menos un cero y todos sus ceros son reales. Entonces la función

G(z) =f(z−ia) +f(z+ia)

(25)

Vamos a generalizar este resultado para funciones de la clase de Laguerre-P´olya.

Proposición 2.1.2. Sean a > 0 y b ∈ _R. Si la funciónf(z) ∈ LP posee por lo menos un cero, entonces la función

G(z) =f(z−ia)e−ib+f(z+ia)eib solo tiene ceros reales.

Demostraci´on. Definamos la funci´on

w(z) =f(z−ia)e−ib.

Luego se tiene que

w∗(z) =w(z) =f(z−ia)e−ib₌_f_(z₊_ia)eib_,

puesf(z)es una funci´on entera real. Veamos que paraz∈_Hse tiene

|z−ia|<|z+ia|. (2.2)

Escribamosz=x+iy, cony >0. Luego se cumple que

|z−ia|2 =|x+iy−ia|2 =|x+i(y−a)|2 =x2+ (y−a)2 < x2+ (y+a)2=|x+i(y+a)|2=|x+iy+ia|2 =|z+ia|2_,

donde la ´unica desigualdad se da en virtud quea, y >0. Considerando quef(z)es de la forma

(26)

donde la ´ultima desigualdad se da en virtud queδay≤0. Por lo tanto se tiene que

Por lo tanto, de las desigualdades probadas, paraz∈_Hse cumple

|f(z−ia)|=

donde la ´ultima desigualdad se da en virtud quef(z)posee al menos un cero, es decir, se cumple algunas de las desigualdades estrictas (2.2), (2.3). Esto implica que

|w(z)|=f(z−ia)e−ib

paraz∈_H. Finalmente por el lema 2.1.1 concluimos que la funci´on G(z) =f(z−ia)e−ib+f(z+ia)eib.

solo tiene ceros reales.

Observación 2.1.6. Dadosa >0,b∈Ryf(z)una función entera real, entonces la función

es una funci´on entera real.

Es f´acil ver esto, pues paraz∈_Rse tiene

G(z) =f(z−ia)e−ib₊_f(z₊_ia)eib₌_f(z₋_ia)eib₊_f_(z₊_ia)eib

=f z−iaeib+f z+iae−ib=f(z+ia)eib+f(z−ia)e−ib =f(z+ia)eib+f(z−ia)e−ib=G(z).

(27)

2.1.3. Consecuencias del teorema de P´olya: caso finito

En esta sección, para una función entera realf(z)de género0o1que posee una cantidad finita de cerosp ≥ 1y todos sus ceros son reales, analizaremos la funciónG(z)dada en la proposición 2.1.2. Estudiaremos su género y demostraremos que la cantidad de ceros deG(z)también es finita.

Teorema 2.1.3. Seana >0yb∈_R. Sif(z)es una función entera real de género0o1, que posee una cantidad finita de ceros y tiene por lo menosp≥1ceros, repetidos según multiplicidad, entonces la función

es también una función entera real de género0 o1 que tiene por lo menosp−1ceros (contando multiplicidades) y todos son reales. En particular sif(z)∈ LP∗entoncesG(z)∈ LP∗.

Demostración. Por la observación 2.1.6 y la proposición 2.1.2 se tiene que G(z) es una función entera real que solo posee ceros reales. Supongamos quef(z)poseelceros, dondel≥p. En virtud quef(z)es de la forma

f(z) =czmeβz

l−m

Y

n=1

1− z an

,

tambi´en se puede expresar de la forma

f(z) =eβz(clzl+cl−1zl−1+· · ·+c1z+c0), (2.4)

dondecl6= 0,β∈Ry{cj}lj=1⊂R,l≥1. Reemplazando (2.4) en la funci´onG, tenemos que G(z) =eβ(z−ia)(cl(z−ia)l+cl−1(z−ia)l−1+· · ·+c1(z−ia) +c0)e−ib

+eβ(z+ia)(cl(z+ia)l+cl−1(z+ia)l−1+· · ·+c1(z+ia) +c0)eib =eβze−i(βa+b)(clzl+lclzl−1(−ia) +cl−1zl−1+· · ·+c0)

+eβzei(βa+b)(clzl+lclzl−1(ia) +cl−1zl−1+· · ·+c0)

=eβz(dlzl+dl−1zl−1+· · ·+d1z+d0), (2.5) donde

dl =cl

e−i(βa+b)+ei(βa+b)

= 2clcos (βa+b), (2.6)

y adem´as

dl−1 =lcl(ia)

−e−i(βa+b)+ei(βa+b)

+cl−1

e−i(βa+b)+ei(βa+b)

(28)

Usando (2.6) tenemos que sicos(βa+b) 6= 0entoncesdl 6= 0, luegoG(z) poseelceros contando

multiplicidades. Sicos(βa+b) = 0entoncesdl= 0, pero por (2.7) se tiene quedl−16= 0, lo cual im-plica queG(z)poseel−1ceros contando multiplicidades. Por lo tanto, ordenando convenientemente los t´erminos deG(z)en (2.5) se tiene que

G(z) =c0eβ

0

z_zm0 k−m0

Y

n=1

1− z bn

,

dondem0 ≥ 0 c0, β0 ∈ _R, c0 6= 0, {b_n}k−m

0

n=1 ⊂ R yk = l o k = l −1. Como l ≥ p, se tiene quek ≥ p−1. Concluimos queG(z)es una función entera real es de género 0o1 y tiene por lo menosp−1 ceros. En particular, sif(z) ∈ LP∗ se tiene que la funciónf(z) es de orden menor que2, luego las funcionesf(z−ia)e−ibyf(z+ia)eibtambién son funciones de órdenes menores que2, lo que implica que la funciónG(z)también es de orden menor que2. Por lo tanto la función G(z)∈ LP∗.

2.1.4. Consecuencia del teorema de P´olya: caso infinito

Análogamente a la sección anterior, para una función entera realf(z)de género0o1que posee infinitos ceros y todos sus ceros son reales, analizaremos la funciónG(z) dada en la proposición 2.1.2. En este caso, cuando la funciónf(z)es de género0o1, no podemos asegurar que la función G(z)será de género0o1. Analicemos por casos dependiendo del género de la funciónf(z).

1. Sif(z)es de género0entonces es a lo más de orden1, luego las funcionesf(z−ia)e−iby f(z+ia)eibson a lo más de orden1. Por lo tanto, la funciónG(z)es a lo más de orden1, lo que implica que es de género0o1.

2. Sif(z)es de género1entonces es a lo más de orden2, luego las funcionesf(z−ia)e−iby f(z+ia)eibson a lo más de orden2. Esto implica que posiblemente el orden de la funciónG(z) es2. Además, como la funciónf(z)es de género1, las funcionesf(z−ia)e−ibyf(z+ia)eib también son de género1. Sin embargo, no podemos garantizar que la funciónG(z)es de género 0o1. Recordemos que el género no necesariamente se preserva bajo la adición, como se puede observar en el ejemplo 2.1.4.

En el caso que la función f(z) posee infinitos ceros, se requiere tener unos resultados previos para poder analizar el género de la funciónG(z)y también la infinitud de sus ceros.

Teorema de Laguerre

(29)

imaginarias. Estudiaremos este teorema para nuestro caso, donde la funci´onf(z) entera real es de g´enero0o1y que solo posee ceros reales.

Teorema 2.1.4(Laguerre). Sif(z) es una función entera real de género0 ó1, que posee infinitos ceros y todos son reales, entoncesf0(z)también posee infinitos ceros y todos son reales. Mas aún, los ceros def0(z)están separados entre s´ı por los ceros def(z). Además la funciónf0(z)posee el mismo género que la funciónf(z).

Demostraci´on. Comof(z)es de la forma

f(z) =czmeαz

derivando logar´ıtmicamente se tiene que f0(z)

paraz ∈ _C, exceptuando los ceros def(z). Escribiendoz =x+iy, y tomando la parte imaginaria en (2.8) se tiene lo tanto todos los ceros def0(z)son reales. Derivando la igualdad (2.8) se tiene que

Dadosβ, θceros distintos y consecutivos def(z), definamos la funci´ong:hβ, θi →_Rde la forma

g(t) = f

0_(t)

f(t).

Usando la relaci´on (2.10) tenemos queg0(t) < 0 para todo t ∈ hβ, θi. Entonces la funci´on g es estrictamente decreciente. Comoz=βes un cero def, se tiene que existeh∈ O(_C)tal que

(30)

dondeh(β)6= 0yk∈_N. Derivando logar´ıtmicamente, se tiene para cadat∈ hβ, θi

g(t) = f

0_(t)

f(t) = k t−β +

h0(t)

h(t). (2.11)

Por lo tanto l´ım

t→β+g(t) = +∞. Haciendo el mismo an´alisis para el cero def(z),z = θ, se cumple que l´ım

t→θ−g(t) = −∞. Por la continuidad de la funci´ong, usando el teorema del valor intermedio

se tiene que existeξ ∈ hβ, θital que g(ξ) = 0, lo que implica quef0(ξ) = 0. Por lo tanto, en el intervalohβ, θi existe un cero de f0(z) y en virtud queg es estrictamente decreciente es el único cero def0(z)en dicho intervalo. Además, si la multiplicidad del cero def(z)es mayor o igual que 2, entonces es también un cero de f0(z). De esta manera, en virtud quef(z) posee infinitos ceros entoncesf0(z)también posee infinitos ceros. Como la sucesión de ceros def(z) no es acotado, se tiene que la distribución de los ceros def0(z)solo presenta3casos.

1. Si el conjunto de ceros def(z) no posee ni m´ınimo ni máximo, entonces entre cada par de ceros distintos consecutivos de la sucesión existe un único cero def0(z).

2. Si el conjunto de ceros de f(z) solo posee m´ınimo, llamemos a1, posiblemente existan ce-ros menores quea1, pero en virtud que la funcióngse puede definir enh−∞, a1iy tiene la propiedad que es estrictamente decreciente, a lo másf0(z)puede tener un cero enh−∞, a1i. 3. Si el conjunto de ceros def(z)solo posee máximo, el análisis es parecido al caso anterior. Para ver la prueba que el género de la funciónf0(z)es el mismo género de la funciónf(z), ver [10, p. 37].

Resultados del caso infinito

Lema 2.1.2. SiG(z) es una funci´on entera real de g´enero0 o 1 que solo posee ceros reales, las siguientes proposiciones son equivalentes.

1. G(z)posee infinitos ceros.

2. Para cadak∈_Nse cumple: l´ım

t→+∞

|G(it)|2

tk = +∞

Demostraci´on. Supongamos queG(z)posee infinitos ceros. Recordando queG(z)es de la forma

G(z) =czmeαz +∞

Y

n=1

1− z an

eanz _,

entonces parat >0es f´acil ver que

|G(it)|2 =c2t2m +∞

Y

n=1

1 + t 2 an2

(31)

Dadok∈_N, para cadam > kdefinamos las funciones

que no es acotada. Supongamos que dicha funci´on es acotada, entonces existeM >0tal que |P(t)|< M parat >0.

pero se tiene que

M + 1 =|Pk+1(

√

M|ak+1|)| ≤ |P( √

M|ak+1|)|< M,

lo que nos da una contradicci´on. Por lo tanto la funci´onP es creciente y no acotada, lo que implica que

Ahora analicemos lo pedido

|G(it)|2

Como el grado del polinomio de coeficientes positivos del numerador es mayor que el grado del polinomio m´onico del denominador, se tiene que

(32)

Finalmente, haciendot→+∞en (2.13) y usando los l´ımites (2.12) y (2.14) obtenemos

l´ım

t→+∞

|G(it)|2

tk = +∞.

Veamos el rec´ıproco por contradicci´on. Si suponemos queG(z) tiene solo una cantidad finita de ceros, entonces para cadat∈_Rse tiene

|G(it)|2 =c2t2m

p

Y

n=1

1 + t 2 an2

,

donde p ∈ _N ´o p = 0. Entonces |G(it)|2 _{es un polinomio de variable} _t _{de grado} _2p _{+ 2m. Si} consideramosk= 2p+ 2m+ 1es f´acil ver que

l´ım

t→+∞

|G(it)|2 tk = 0,

lo que nos da una contradicci´on. Por lo tantoG(z)posee infinitos ceros.

Lema 2.1.3. Seana >0yb∈_R. Sif(z)es una función entera real de género0o1, que posee tiene infinitos ceros y todos sus ceros son reales, entonces para cadak∈_Nla función

cumple con la siguiente propiedad:

l´ım

T→+∞

|G(iT)|2

Tk = +∞.

Demostración. Primero supongamos quef(0)6= 0. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que f(0) = 1. En virtud que la funciónf(z)es de género0o1, se expresa de la forma

f(z) =eαz +∞

Y

n=1

1− z an

eanz _.

Por la convergencia de la serie +∞

X

n=1 1 |an|2

y por el teorema 23.5 en [42, p. 93] podemos definir la funci´on entera

g(z) = +∞

Y

n=1

1− z 2 a2

n

(2.15)

(33)

{bn}n∈Ntiene orden0. Análogo a la definición deg(z), definamos la función entera

lo que implica la siguiente relaci´on

g(it) =h(−t2). (2.17)

En virtud del orden de la sucesión{bn}n∈N, la función h(z) es de género 0 y por el teorema de

Laguerre la función h0(z) también es de género 0. Denotemos los ceros de h0(z) por la sucesión {c_n}_n∈N. En virtud de la distribución de los ceros deh

0_(z)_{dada en el teorema de Laguerre se tiene}

quecn > 0 y el orden de la sucesi´on{cn}n∈N es0. Note que podr´ıa darse el caso que alg´un cero

deh0(z) menor que0. Los cálculos correspondientes a este caso son análogos a los que haremos a continuación, pues a lo más se aumentará solo un cero que sea menor que0. Ademá se mostrará que h0(z)no posee az= 0como cero. Sabemos queh0(z)es de la forma

Es f´acil ver queh(0) = 1, y derivando logar´ıtmicamente la expresi´on (2.16) se tiene que h0(z)

Reemplazandoz= 0se tiene queC=h0(0)<0. Derivando la relaci´on (2.17) obtenemos

ig0(it) =h0(−t2)(−2t) =−2Ct

Ahora definamos las funcionesα, β:h0,+∞i →_Rde la siguiente manera.

(34)

queα0 es una función creciente en h0,+∞i Es fácil ver que se tiene la relación α2(t) = g(it). Derivando esta expresión y despejandoα0 se tiene que

α0(t) = β(t)

2α(t). (2.19)

En virtud que las funcionesαyβ son diferenciables se tiene queα0es diferenciable y positiva, luego αes creciente. Derivando la expresi´on anterior se tiene

α00(t) = 2β

0_(t)α(t)₋_2α0_(t)β(t)

4α2_(t) .

Es decir, para demostrar queα0 es creciente o equivalentementeα00(t) > 0para todot∈ h0,+∞i, debemos probar queβ0(t)α(t)> α0(t)β(t), que es equivalente a probar que

(lnβ(t))0 = β

Usando las definiciones de las funcionesαyβ, y tomando logaritmo se tiene que

1. lnβ(t) = lnD+ lnt+ Derivando estas expresiones obtenemos

1. (lnβ(t))0 = 1

(35)

Por lo tanto, se tiene que

(lnβ(t))0−(lnα(t))0 >0.

De esta manera, hemos probado queα0es una funci´on creciente enh0,+∞i. Para cadat > a, por el teorema del valor medio existeθt∈ h−a, aital que

α(t+a)−α(t−a) = 2aα0(t+θt)≥2aα0(t−a).

Por la relaci´on (2.19), se tiene que

α(t+a)−α(t−a)≥2aα0(t+θt)≥2aα0(t−a) = 2a En virtud quef(z)tiene infinito ceros, por el lema 2.1.2 se tiene para cadak∈_N

l´ım

t→+∞

|f(it)|2

t2k = +∞,

lo que implica que

l´ım

En virtud que el l´ımite al infinito del cociente entre dos polinomios m´onicos del mismo grado es1, entonces

Derivando logaritmicamente la funci´ongse tiene que ig0(it)

(36)

Haciendot→+∞, usando el l´ımite (2.21) y un l´ımite simple entre polinomios, obtenemos

l´ım

t→+∞

α(t+a)−α(t−a)

tk = +∞,

Por lo tanto para una función entera realf(z)con las hipótesis dadas y además quef(0)6= 0, hemos probado que:

1. l´ım

t→+∞

|f(it+ia)| − |f(it−ia)|

tk = +∞, para cadak∈N.

2. La funci´on|f(it)|es creciente y positiva enh0,+∞i. 3. La funci´on|f(it)|0_{es creciente y positiva en}_h0,_+∞i.

Vamos a extender este resultado para una funci´on enteraf(z)con las mismas hip´otesis, pero cum-pliendo quef(0) = 0. Sabemos que para todoz∈_Cse cumple que

f(z) =zmF(z), (2.22)

dondem≥1yF(0)6= 0. En virtud queF(0)6= 0se tienen los resultados anteriores 1. l´ım

t→+∞

|F(it+ia)| − |F(it−ia)|

tk = +∞.

2. La funci´on|F(it)|es creciente y positiva enh0,+∞i. 3. La funci´on|F(it)|0es creciente y positiva enh0,+∞i. Por lo tanto parat≥atenemos que

tk =

|(it+ia)mF(it+ia)| − |(it−ia)mF(it−ia)| tk

= (t+a)

m_|F_(it₊_{ia)| −}_(t₋_a)m_|F_(it₋_ia)|

tk

≥ (t+a)

m_(|F_(it₊_{ia)| − |F}_(it₋_ia)|)

tk .

Haciendot→+∞se tiene que

l´ım

t→+∞

tk = +∞.

Reemplazandoz=itcont∈Ren la expresi´on (2.22) y tomando m´odulo obtenemos |f(it)|=tm|F(it)|,

que derivando se tiene que

(37)

Como las funciones|F(it)|y|F(it)|0son crecientes parat >0, la función|f(it)|0es creciente para t >0. Por lo tanto, hemos probado que para una función entera real de género0o1que solo posee ceros reales cumple las siguientes propiedades.

1. l´ım

t→+∞

tk = +∞.

2. La funci´onα(t) =|f(it)|es creciente y positiva enh0,+∞i. 3. La funci´onα0(t) =|f(it)|0 es creciente y positiva enh0,+∞i.

Finalmente de la definici´on deGse tiene parat≥2asuficientemente grande |G(it)|2

tk =

|f(it−ia)e−ib+f(it+ia)eib|2

tk ≥

(|f(it+ia)| − |f(it−ia)|)2 tk

= (α(t+a)−α(t−a)) 2

tk ≥2aα

0_(t₋_a)(α(t+a)−α(t−a))

tk

≥2aα0(a)(α(t+a)−α(t−a))

tk .

Finalmente, haciendot→+∞se cumple que

l´ım

t→+∞

|G(it)|2

tk = +∞.

Teorema 2.1.5. Seana >0yb∈R. Sif(z)∈ LP∗y tiene infinitos ceros, entonces la funci´on

es tambi´en una funci´on enLP∗ que posee infinitos ceros.

Demostración. Por la observación 2.1.6 y la proposición 2.1.2 se tiene que G(z) es una función entera real que solo posee ceros reales. Comof(z) ∈ LP∗ se tiene que la funciónf(z)es de orden menor que2, lo que implica que la funciónG(z)es de orden menor que 2. Por lo tanto la función G(z)∈ LP∗, en particular es una función de género0o1. Finalmente usando los lemas 2.1.3 y 2.1.2 concluimos que la funciónG(z)tiene infinitos ceros.

Debemos notar que en el teorema 2.1.3 hemos probado el resultado para funciones de g´enero0 o1, en cambio en el teorema 2.1.5 solo para funciones enLP∗. Para funciones de g´enero0o1con infinitos ceros, podemos dar el siguiente resultado

Proposición 2.1.3. Seana >0yb∈_R. Sif(z)es una función entera real de género0o1, que posee infinitos ceros y todos son reales, entonces la función

(38)

es una funci´on enLP.

Demostración. Por la observación 2.1.6 y la proposición 2.1.2,G(z)es una función entera real que solo posee ceros reales. Como f(z−ia)e−ib y f(z+ia)eib son funciones de orden a lo más 2, entonces la funciónGtiene a lo más orden2. Por el teorema de Hadamard se tiene

G(z) =dzmeδz2+βz k= 0. Sip= +∞entoncesGposee infinitos ceros, y vamos a probar quek6= 2por contradicci´on. Suponiendo quek= 2se tiene la divergencia de la serie

+∞

Reemplanzadoz=itcont∈_Ren (2.23) y tomando m´odulo elevado al cuadrado se tiene

|G(it)|2 =|d|2t2me−2δt2

Reemplazando esto en la igualdad (2.24) se tiene

|G(it)|2 ≤ |d|2t2me−2δt2

(39)

Finalmente, haciendot∈+∞y mediante un simple c´alculo de l´ımite concluimos que

l´ım

t→+∞

|G(it)|2 t2m = 0,

lo que nos da una contradicci´on con el lema 2.1.3. Por lo tantok6= 2, lo que implica quek∈ {0,1}. Probemos ahora queδ ≤0. En virtud quefes de la forma

f(z) =czqeαz +∞

Y

n=1

1− z an

eanz _,

podemos definir una sucesi´on de funciones enterasfmde la forma

fm(z) =czqeαz m

Y

n=1

1− z an

eanz _,

tal que se tiene la convergencia uniforme en compactosfm → f cuandom → +∞. Por lo tanto la

sucesi´on de funciones enteras

Gm(z) =fm(z−ia)e−ib+fm(z+ia)eib

tambi´en converge uniformemente en compactosGm → Gcuando m → +∞. Por el teorema 2.1.3

estas funciones enteras realesGmson de g´enero0o1, luego son expresados de la forma

Gm(z) =dmzqmeβmz km

Y

l=1

1− z bl,m

e

z bl,m_,

dondedm, βm ∈R,dm 6= 0,qm ∈ N∪ {0}ykm ∈ {m+q−qm, m+q−qm−1}. Note que la

cantidad de ceros de las funcionesGm no pueden ser uniformemente acotada, en virtud del teorema

de Hurwitz y que G(z) posee infinitos ceros. Por la convergencia uniforme Gm → G, usando el

teorema de Hurwitz [42, p. 97], para cadabnpodemos escoger una sucesi´on de ceros, a los cuales

hab´ıamos denotado porbn,m tal que l´ım

m→+∞bn,m =bn. Mediante un simple c´alculo de derivadas, se

obtienen las relaciones 1. s2 =−G

00_(0)G(0)₋_G0₍₀₎2

G(0)2 =−2δ+

p

X

n=1 1 b2

n

.

2. s2,m =−

G00_m(0)Gm(0)−G0m(0)2

Gm(0)2

= 2δ+

nm

X

n=1 1 b2

n,m

(40)

Por la convergencia se tiene que l´ım

m→+∞s2,m=s2. DadoN ∈Nse tiene

N

X

n=1 1 b2

n

= l´ım

m→+∞

N

X

n=1 1 b2

n,m

≤ l´ım

m→+∞s2,m=s2.

Finalmente haciendoN →+∞(los casosp= 0yp∈_Nse analizan an´alogamente) se tiene +∞

X

n=1 1 b2

n

≤ −2δ+ +∞

X

n=1 1 b2

n

.

Concluimos queδ ≤0, lo que implica queG∈ LP.

Generalizaremos este último resultado para funciones en LP, usando una equivalencia de las funciones de la clase de Laguerre-Pólya. En el año1913, Pólya [37, p. 279] demostró que la clase de funcionesLP coincide con el l´ımite uniforme por compactos de polinomios que solo poseen ceros reales.

Proposici´on 2.1.4. Seana >0yb∈_R. Sif(z)∈ LP, entonces la funci´on

es tambi´en una funci´on enLP.

Demostración. Sabemos por la observación 2.1.6 y la proposición 2.1.2 se tiene que G(z) es una función entera real que solo posee ceros reales. Comof(z)∈ LP existe una sucesión de polinomios con ceros realesPn(z)tales que se tiene la convergencia uniforme por compactosPn → f. Por lo

tanto, si definimos

Gn(z) =Pn(z−ia)e−ib+Pn(z+ia)eib,

la sucesiónGn son polinomios con solo ceros reales, en virtud de la proposición 2.1.2. Además, se

tiene la convergenciaGn →Guniforme en compactos. Por la equivalencia de las funciones enLP,

concluimos queG∈ LP.

Se prueba fácilmente queLPes cerrado bajo la diferenciación. Pólya se preguntó si el rec´ıproco es verdad. Es decir, si todas las derivadas de una función enteral real tienen solo ceros reales, entonces tal función está enLP. En el año2002Bergweiler, Eremenko y Langley consiguieron un interesante resultado con respecto a este estudio de funciones enLP.

Teorema 2.1.6. Sif(z)es una funci´on entera real tal que f(z) y f00(z)solo poseen ceros reales, entoncesf(z)∈ LP.

(41)

2.2. Suma de funciones enteras que tienen solo ceros reales

2.2.1. Estudios de los ceros de la funci´onHn

Definición 2.2.1. Seaf(z)una función entera,{an}n∈Nnúmeros reales positivos y{wn}n∈N⊂ HB.

Denotemos los conjuntosT ={1,2, ..., n},S ⊆T yS0 =T\S. 1. Definamos la secuencia{Hn(s, z)}n∈Nde la siguiente manera:

H0(s, z) =f(s)

Hn(s, z) =Hn−1(s−ian, z)w∗n(z) +Hn−1(s+ian, z)wn(z) paran≥1.

Adem´as podemos representar{H_n(s, z)}_n∈Nde la siguiente manera:

Hn(s, z) =

X

S⊆T

f s−X

k∈S0

iak+

X

l∈S

ial

! Y

k∈S0

w∗_k(z)Y

l∈S

wl(z)

paran≥1.

2. Definamos la secuencia de polinomios {Pn(s, x)}n∈N donde x = (x1, x2, ..., xn), de la

si-guiente manera:

P0(s, x) =f(s)

Pn(s, x) =Pn−1(s−ian, x) +Pn−1(s+ian, x)xn paran≥1.

Adem´as podemos representar{Pn(s, x)}n∈Nde la siguiente manera:

Pn(s, x) =

X

S⊆T

f s− X

k∈S0

iak+

X

l∈S

ial

! Y

l∈S

xl

paran≥1.

El objetivo de esta sección es relacionar el lema 2.1.1 y la proposición 2.1.1 para obtener funciones más complejas formadas por sumas y productos entre funciones de la clase de Hermite-Biehler y funcionesf(z)∈ LP∗, y que la función obtenida mantenga la propiedad de poseer solo ceros reales. Nos proponemos a probar el siguiente teorema.

Teorema 2.2.1 (Adams, Cardon-2007). Si f(z) ∈ LP∗ y {wn}n∈N ⊂ HB, entonces con las

no-taciones de la definici´on 2.2.1 la funci´onHn definida como Hn(z) = Hn(0, z) solo posee ceros

(42)

Lema 2.2.1. Con las notaciones de la definici´on 2.2.1, para todon∈_Nse cumple

Demostración. Probaremos este resultado usando inducción matemática. Para n=1 se cumple

P1 Supongamos el resultado v´alido paran−1, veamos que cumple paran

Pn

2.2.2. Estudio de los ceros de los polinomios de recurrencia

Proposici´on 2.2.1. Seaf(z) ∈ LP∗ que posee por lo menosn≥1ceros, repetidos seg´un multipli-cidad. SeanA >0y{a_k}n

k=1n´umeros reales positivos.

1. SiPn(iA;x1, ..., xn) = 0y|x1| ≥1, ...,|xn−1| ≥1entonces|xn|<1.

2. SiPn(−iA;x1, ..., xn) = 0y|x1| ≤1, ...,|xn−1| ≤1entonces|xn|>1.

Demostraci´on. Tenemos quef(z)es de la forma

(43)

dondem+p ≥ n óp = +∞. Probaremos la primera parte de esta proposición usando el segundo principio de inducción matemática. La segunda parte de la proposición se demuestra análogamente. Seaf(z)∈ LP∗, definaremos nuestro conjunto inductivo de la siguiente manera

X= n´umeros positivos, tal que el polinomio de recurrencia asociado Pncumple con la siguiente propiedad:

Si Pn(iA;x1, ..., xn) = 0, y se tiene que|x1| ≥1, ...,|xn−1| ≥1,

Paran= 1, suponemos quef(z)posee por lo menos un cero, y adem´as

0 =P1(iA;x) =f(iA−ia1) +f(iA+ia1)x1. (2.25) por lo menos uno. Luego, se tiene que

|f(is)|=

Despejandox1en la igualdad (2.25) y usando lo anterior obtenemos |x₁|=

(44)

la proposición válida parak∈_Ncon1≤k < n, es decir{1,2, ..., n−1} ⊂X. Nuestro objetivo será verificar la condición paran, es decir dadosA >0,{ak}n_k₌₁números positivos, tal que el polinomio

de recurrencia asociadoPncumple la propiedad

Pn(iA;x1, ..., xn) = 0, |x1| ≥1, ...,|xn−1| ≥1,

entonces se tiene que|xn|<1. Veamos por contradicci´on, es decir supongamos que|xn| ≥1. Como

ftiene por lo menosnceros, en particular tiene por lo menoskceros, donde1≤k < n. Se tiene que 0 =Pn(iA;x1, ..., xn) =Pn−1(iA−ian;x1, ..., xn−1) (2.26)

+Pn−1(iA+ian;x1, ..., xn−1)xn

=Pn−2(iA−ian−ian−1;x1, ..., xn−2)

+Pn−2(iA−ian+ian−1;x1, ..., xn−2)xn−1 +Pn−2(iA+ian−ian−1;x1, ..., xn−2)xn

+Pn−2(iA+ian+ian−1;x1, ..., xn−2)xn−1xn. (2.27)

Por hip´otesis inductiva se tiene quePn−2(iA+ian+ian−1;x1, ..., xn−2)6= 0. Definamos

x0_n−1 =−

Pn−2(iA+ian−ian−1;x1, ..., xn−2)

Pn−2(iA+ian+ian−1;x1, ..., xn−2) ,

lo que implica que

Pn−2(iA+ian+ian−1;x1, ..., xn−2)x0n−1+Pn−2(iA+ian−ian−1;x1, ..., xn−2) = 0 Pn−1(iA+ian;x1, ..., xn−2, x0n−1) = 0.

Por la hip´otesis inductiva se tiene que|x0

n−1|<1. Veamos adem´as que

Pn−2(iA−ian+ian−1;x1, ..., xn−2) +Pn−2(iA+ian+ian−1;x1, ..., xn−2)xn6= 0.

Sean los n´umerosB > 0 y {bk}_kn₌₁, donde bk = ak para 1 ≤ k ≤ n−2, bn−1 = an y bn =

an−1. Si consideramos los polinomios de recurrencia{Pk∗}asociado a estos n´umerosbk, se tiene que

Pn−2(s, x) =Pn∗−2(s, x). Adem´as se tiene que

P_n∗₋₁(iB, x1, ...xn−2, xn) =Pn∗−2(iB−ibn−1, x) +Pn∗−2(iB+ibn−1, x)xn

=Pn−2(iB−ibn−1, x) +Pn−2(iB+ibn−1, x)xn

(45)

SiB =A+ian−1 >0, por hip´otesis inductiva se tiene que P_n∗−1(iB, x1, ...xn−2, xn)6= 0,

lo que implica que

Pn−2(iA−ian+ian−1;x) +Pn−2(iA+ian+ian−1;x)xn6= 0. (2.28)

Definamosg:C\ {x∗} →Cmediante

g(z) = −Pn−2(iA−ian−ian−1;x1, ..., xn−2)−Pn−2(iA+ian−ian−1;x1, ..., xn−2)z Pn−2(iA−ian+ian−1;x1, ..., xn−2) +Pn−2(iA+ian+ian−1;x1, ..., xn−2)z

,

dondex∗ ∈Canula el denominador. De la relaci´on (2.28) se tiene quex∗6=xn. Por la definici´on de

los polinomios de recurrencia, se tiene que la funci´ongrelacionazcong(z)de tal modo que Pn(iA;x1, ..., xn−2, g(z), z) = 0.

De la relaci´on (2.27), se tiene queg(xn) = xn−1, luego|g(xn)| = |xn−1| ≥ 1. Supongamos que |g(xn)|=|xn−1|>1. En virtud que

l´ım

|z|→+∞|g(z)|=

Pn−2(iA+ian−ian−1;x) Pn−2(iA+ian+ian−1;x)

<1,

existe unz∈_Ctal que|z|>|x_n|,|g(z)|<1conx∗ ∈/[xn, z] ={w=txn+ (1−t)z, t∈[0,1]}y

de modo quezyxntengan una diferencia de argumentos suficientemente peque˜na. Como[xn, z]es

un conjunto conexo, y la funci´on|g(.)|es continua, entonces su imagen es un intervalo, y en virtud que|g(x_n)| > 1y|g(z)| < 1, entonces existe un zn ∈ [xn, z]tal que|g(zn)| = 1y|zn| ≥ |xn|.

Luego de la definici´on deg(z)se tiene

Pn(iA;x1, ..., xn−2, g(zn), zn) = 0,

con|g(z_n)|= 1y|z_n| ≥ |x_n|. Si|g(x_n)|=|x_n−1|= 1, entonces se cumplir´a lo mismo. Es decir, al final obtenemos una nueva soluci´on descrita de este modo

Pn(iA;x1, ..., xn−2, un−1, un) = 0,

donde|xi| ≥1para1≤i≤n−2,|un−1|= 1y|un| ≥ |xn| ≥1. Repitiendo este proceso, para los

(46)

donde|uj|= 1para1≤j≤n−1y|un| ≥ |xn| ≥1. Luego

0 =Pn(iA;u1, ..., un−1, un) =Pn−1(iA−ian;u1, ..., un−1)

+Pn−1(iA+ian;u1, ..., un−1)un.

Definamos las funcionesgk(s)recursivamente mediante

g1(s) =f(s−ia1) +f(s+ia1)u1,

gk(s) =gk−1(s−iak) +gk−1(s+iak)uk, donde 2≤k≤n.

De esta manera se tiene que

gn−1(iA−ian) =Pn−1(iA−ian;u1, ..., un−1),

gn−1(iA+ian) =Pn−1(iA+ian;u1, ..., un−1), donde 2≤k≤n.

En virtud que|uk|= 1para1 ≤k ≤n−1, entonces existenθk ∈Rtal queuk =e2iθk, luego las

relaciones recursivas se pueden escribir de la forma

g1(s) =eiθ1_(f_(s₋_ia1)e−iθ1₊_f_(s₊_ia1)eiθ1_),

gk(s) =eiθk(gk−1(s−iak)e−iθk+gk−1(s+iak)eiθk).

para2≤k≤n−1. Por los teoremas 2.1.3 y 2.1.5 las funcionesgk(s)est´an enLP∗. Por las mismas

proposiciones, se tiene queg1(s)tiene por lo menosn−1ceros, luegog2(s)tiene por lo menosn−2 ceros. Gracias a la definici´on recursiva de las funcionesgk(s), tenemos quegn−1(s) ∈ LP∗ y tiene por lo menos un cero real. Luego, en virtud que|A−an|<|A+an|, por un proceso an´alogo al caso

n= 1se tiene que

|g_n−1(iA−ian)|<|gn−1(iA+ian)|.

Finalmente, por las relaciones anteriores, obtenemos

|u_n|=

Pn−1(iA−ian;u1, ..., un−1) Pn−1(iA+ian;u1, ..., un−1)

=

gn−1(iA−ian)

gn−1(iA+ian)

<1.

Pero|u_n| ≥ |x_n| ≥1lo que nos da una contradicci´on. Por lo tanto|x_n|<1.

Observaci´on 2.2.1. Seaf(z) ∈ LP∗ que posee al menos un cero. SeanA > 0yz ∈ _C, entonces con las notaciones de la definici´on 2.2.1, tenemos que

(47)

Demostración. Esto es fácil ver, en virtud de la observación 2.1.6.

2.2.3. Estudio de los ceros de la funci´onHn, caso particular

Proposici´on 2.2.2. Seaf(z) ∈ LP∗ que posee por lo menosn≥1ceros, repetidos seg´un multipli-cidad. SeanA >0,{a_k}n

k=1n´umeros reales positivos y{wk(z)}nk=1⊂ HB. 1. SiHn(iA, z) = 0, entonces=(z)>0.

2. SiHn(−iA, z) = 0, entonces=(z)<0.

3. SiHn(0, z) = 0, entoncesz∈R.

Demostraci´on. Recordemos la relaci´on entrePnyHndada en el lema 2.2.1

Pn

Si=(z) ≥0, entonces por la definici´on 2.1.6 y por continuidad de las funciones de Hermite-Biehler se tiene que

tenemos que tambi´en se cumple el ´ıtem1. A continuaci´on, probaremos que el l´ımite l´ım

A→0+Hn(iA, z) =Hn(0, z)

(48)

Usando las desigualdades de (2.29), obtenemos es uniforme en compactos deC. An´alogamente, se tiene que el l´ımite

l´ım

A→0+Hn(−iA, z) =Hn(0, z)

es tambi´en uniforme en compactos deC. Definamos las funciones enteras gm(z) =Hn

i

m, z

, g(z) =Hn(0, z).

Por lo demostrado, se tiene quegm converge aguniformemente en compactos deC. Siz0 ∈ Ctal queg(z0) = 0, entonces probaremos que=(z0) ≥0. Supongamos lo contrario, es decir=(z0)<0. Podemos tomar unδ >0suficientemente peque˜no de tal manera que

{z∈_C:g(z) = 0} ∩D(z0, δ) =z0,

y además que se tenga=(z) < 0para z ∈ D(z0, δ). Por el teorema de Hurwitz [42, p. 97] existe m0 ∈Ntal quegm0(z)posee por lo menos un cero enD(z0, δ), lo que implica que posee un cero con parte imaginaria negativa. Pero aplicando el ´ıtem1a la funcióngm0(z)(con A = 1/m0)tenemos que sus ceros están enH, con lo que llegamos a una contradicción. Por lo tanto se tiene que=(z0)≥0. Por un razonamiento análogo con las funciones definidas por

gm(z) =Hn

−i

m, z

(49)

junto con el ´ıtem2, obtenemos que=(z0)≤ 0. Finalmente, se tiene que=(z0) = 0. Por lo tanto, si Hn(0, z) = 0entoncesz∈R.

2.2.4. Estudio de ceros de la funci´onHn, caso general

Finalmente, vamos a dar la prueba del teorema 2.2.1

Demostración. Analizaremos el caso quen≥1. Sif(z)posee por lo menosnceros, por la propo-sición 2.2.2, obtenemos lo pedido. A continuación estudiaremos el caso en el cual la funciónf(z) posee una cantidad de ceros menor quen. Entoncesf(z)es de la forma

f(z) =czmeαz

p

Y

n=1

1− z an

eanz _,

donde0≤m+p < n. Para cadaN ∈_N, definamos

fN(z) =

1− z N

n−(p+m)

czmeαz

p

Y

n=1

1− z an

eanz _,

lo cual es equivalente a

fN(z) =

1− z N

n−(p+m)

f(z).

LuegofN(z)tienenceros reales. Denotemos porHN,n(z)la suma correspondiente afN(z)definida

como

HN,n(z) =

X

S⊆T

fN

−X

k∈S0

iak+

X

l∈S

ial

Y

k∈S0

w∗_k(z)Y

l∈S

wl(z).

Como las funcionesfN(z)cumplen las hip´otesis de la proposici´on 2.2.2, para cadaN ∈Nse cumple queHN,n(z)solo tiene ceros reales. Ahora probemos que el l´ımite

l´ım

N→+∞HN,n(z) =Hn(z)

es uniforme en compactos deC. Consideremos un subconjunto compactoK ⊂ C. En virtud de la continuidad de{w_k(z)}n

k=1y de{w∗k(z)}nk=1, existeM >0tal que

|wk(z)| ≤M, |w∗k(z)| ≤M (2.30)