Formas cuadr´ aticas.

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PR ´ ACTICA 4

Formas cuadr´ aticas.

Contenido:

Formas sesquilineales y cuadráticas: matriz coordenada, cambio de base, conjugación, diag- onalización, clasificación. Factorización de Cholesky: resolución de sistemas lineales.

4.1 Formas sesquilineales y formas cuadr´ aticas

4.1.1 Matriz coordenada; cambio de base

La matriz coordenada de una forma sesquilineal F de un espacio vectorial de dimensi´on n F : V × V =⇒ K, K = IR o lC

respecto de una base cualquiera {v1, . . . , vn} es la matriz A cuyos elementos son ai j = F (vi, vj), i, j = 1, 2, . . . , n.

Una forma cuadr´atica Q define biun´ıvocamente una única forma F sesquilineal herm´ıtica (o bilineal simétrica, en el caso real) que se llama forma polar de Q. La matriz coordenada de la forma cuadr´atica Q coincide con la de F .

Las matrices coordenadas de una forma cuadr´atica Q respecto a dos bases cualesquiera est´an relacionadas por la relaci´on de congruencia:

P A P^∗ = B siendo P la transpuesta de la matriz del cambio de base.

Ejercicios

1. Encontrar la matriz A₁ coordenada respecto de la base est´andar de la forma sesquilineal F : lC²× lC² −→ lC

deﬁnida por

F ((x1, x2), (y1, y2)) = x1y₁ + 3x1y₂− x2y₁+ 2x2y₂.

Hallar la imagen mediante F del par de vectores complejos u = (2i, 1− i), v = (1 + 2i, 2− i). ¿Es F una forma bilineal sim´etrica?.

21

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2. Encontrar la matriz A₂ coordenada respecto de la base natural de la forma sesquilineal F : IR3[x]× IR3[x]−→ IR

deﬁnida por

F (p(x), q(x)) =

₁

−1p(x) q(x) dx.

¿Es F una forma bilineal sim´etrica?. ¿Cu´al es su forma cuadr´atica Q asociada?. Cal- cular Q(1 + 2x + x²).

3. Encontrar la matriz A₃ coordenada respecto de la base est´andar de la forma sesquilineal F : lC3[x]× lC3[x]−→ lC

deﬁnida por

F (p(x), q(x)) = p(0) q(0).

¿Es F una forma bilineal sim´etrica?. ¿Cu´al es su forma cuadr´atica Q asociada?. Cal- cular Q(1 + (1− i)x + (2 + i)x²).

4. Encontrar la matriz coordenada de cada una de las formas sesquilineales anteriores respecto de las bases siguientes:

4.1.1-1 {(i, 1), (2, i)}

4.1.1-2 {1, 1 − x, (1 − x)², (1− x)³} 4.1.1-3 {i, i − x, (i − x)², (i− x)³}

y calcular las im´agenes que se piden suponiendo que los vectores est´an ahora referidos a las bases nuevas.

4.1.2 Conjugaci´ on

Dada una forma cuadr´atica Q : V −→ K y su forma polar F , dos vectores u, v se dicen vectores conjugados respecto de Q si F (u, v) = 0. Un vector conjugado de s´ı mismo se dice autoconjugado o is´otropo, es decir, Q(u) = 0.

Dado un subconjunto S no vac´ıo de V , el conjunto de vectores de V conjugados con todos los vectores de S es un subespacio vectorial que denotamos por S^⊥ y se denomina complemento ortogonal de S. Se llama n´ucleo de V a V^⊥.

Siempre se puede encontrar una base cuyos vectores son conjugados dos a dos respecto de Q, que llamaremos base de vectores conjugados. El proceso para encontrar una tal base puede ser el siguiente:

a) Escoger un vector v1 ∈ V que no sea is´otropo;

b) encontrar S₁^⊥ ={v1}^⊥; c) escoger un vector v2 ∈ S1^⊥; d) encontrar S₂^⊥ ={v1, v2}^⊥; e) escoger un vector v2 ∈ S2^⊥;

f) repetir el proceso hasta completar una base de V .

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Ejercicios

1. Dada la forma herm´ıtica F : lC³× lC³ −→ lC deﬁnida por

F ((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1y¯1 + x2y¯2+ x3y¯3,

encontrar el complemento ortogonal del subespacio S = lC{(1, i, 0)}. Hallar el n´ucelo de lC³. Encontrar una base de vectores conjugados.

2. Construir una base de IR³ de vectores conjugados respecto de cada una de las formas cuadr´aticas:

Q1/x1, x2, x3) = x²₁+ 2x²₂ + 5x²₃+ 2x1x2+ 4x2x3

Q2/x1, x2, x3) = x1x2+ x2x3+ x1x3

y encontrar la matriz coordenada de la forma cuadr´atica correspondiente respecto de la base hallada.

3. Sea la forma cuadr´atica A cuya matriz coordenada respecto de la base can´onica es

A =





1 −1 0

−1 0 1

0 1 −1





hallar una base de vectores conjugados del subespacio L de ecuaci´on 2x− 3y + z = 0

4.1.3 Diagonalizaci´ on

Para diagonalizar una matriz herm´ıtica (simétrica en el caso real) asociada a una forma cuadrática puede utilizarse cualquiera de los métodos conocidos: encontrar una base de vectores conjugados, encontrar una base ortonormal de vectores propios, método de diago- nalización por congruencia.

El método más habitual utiliza matrices elementales para obtener una matriz diagonal congruente a la matriz coordenada de una forma cuadrática, determinando fácilmente la matriz del cambio a la base nueva. Este método lo denominaremos método de diagonalización por congruencia, y consiste en realizar operaciones elementales de congruencia sobre la matriz A coordenada de la forma cuadr´atica, es decir, efectuar las mismas operaciones elementales sobre filas y columnas para llegar a una diagonal congruente; basta recordar que las operaciones sobre columnas requieren la utilización de la matriz elemental transpuesta de la utilizada para hacer la misma operación sobre las filas.

En la pr´actica hay ampliar la matriz A con la matriz unidad y realizar las operaciones elementales de congruencia mencionadas; en el lugar de la matriz unidad quedarán reflejadas las operaciones sobre las filas, es decir, la matriz P que verifica la relaci´on de congruencia:

P A P^T = D Ejercicios

1. Sea la forma cuadr´atica Q sobre lC³ deﬁnida por: Q(x) = X^TA X, siendo la matriz

A =





2 i 0

−i 0 1− i 0 1 + i 1





encontrar una matriz diagonal congruente herm´ıtica con A.

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2. Idem

A2 =





1 1 0 1 2 2 0 2 5





3. Idem

A3 =





0 1 1 1 0 1 1 1 0





4. Idem

A4 =





0 1 + i 1

1− i 0 −1

1 −1 0





4.1.4 Clasiﬁcaci´ on

La clasificación de una forma cuadrática o de cualquiera de sus matrices coordenadas re- quiere, en primer lugar, la determinación de su rango y de signatura; para ello, hay que diagonalizar la matriz por cualquier procedimiento; finalmente, aplicar el teorema de clasi- ficación lineal de formas cuadráticas.

1. Clasificar las formas cuadráticas cuyas matrices coordenadas son las que han aparecido en esta práctica.

2. Discutir los puntos cr´ıticos de las funciones f (x, y) = x²+ y³ y g(x, y) = (x− y)²+ (x + y)³ (Ver ﬁgura 4.1.1)

3. Encontrar los momentos principales de inercia y los ejes principales de inercia (ejes de simetr´ıa, si los hay) del s´olido cuyos momentos y productos de inercia respecto de los ejes coordenados son los elementos de la matriz siguiente:

A =





1 1 2 1 3 2 2 2 7





Figura 4.1.1.— Gr´aﬁca de las funciones f (x, y) = x²+ y³ y g(x, y) = (x− y)²+ (x + y)³ .

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4.2 Factorizaci´ on de Cholesky.

Se denomina factorizaci´on de Cholesky de una matriz herm´ıtica deﬁnida positiva a la descomposici´on de la matriz A como producto de una matriz L triangular inferior y de su conjugada transpuesta L^∗:

A = L L^∗

Para encontrar la factorizaci´on antedicha se debe seguir el siguiente proceso:

• Diagonalizar (por cualquier procedimiento) la matriz A hasta llegar a la forma diagonal reducida.

• Clasificar la matriz A (debe ser definida positiva, caso contrario, no se puede obtener esta factorización)

• La matriz L buscada es la matriz L = P⁻¹; esta P es la que verifica: P A P^∗ = I L^∗. En las librer´ıas de los ordenadores suele suponerse que la factorización de Cholesky existe y se determinan los elementos de la matriz L identificando los elementos de A con los del producto L L^∗, este proceso conduce a un sistema de ecuaciones que se resuelve progresivamente, no simultaneamente.

1. Encontrar, caso de que sea posible, la factorizaci´on de Cholesky de las matrices A, B, C y D siguientes:

A =





1 1 0 1 2 2 0 2 5



, B =





2 1 1 1 2 1 1 1 2



, C =





8 2i −2i

−2i 3 1

2i 1 3



, D =





8 2i −2i

2i 3 1

−2i 1 3





4.2.1 Resoluci´ on de sistemas lineales

1. Caso de que sea posible, resolver mediante la factorización de Cholesky los sistemas definidos por las matrices A, B, C y D del ejercicio 4.2– 1 anterior y los términos independientes siguientes

BA =





2

−1−3



, BB =





2 0 0



, BC =





8 2− 2i

−2 + 2i



, BD =





8 2 + 2i

−2 − 2i



