EC 2322 Ondas en Medios Infinitos pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.2. ONDAS EN MEDIOS INFINITOS.. 2.2.1 Determinación de los campos Si se supone que las fuentes del campo tienen distribución de amplitud y fase uniforme en el plano z = constante donde están ubicadas, el campo eléctrico también tendrá distribución de amplitud y fase uniforme en cualquier plano z = constante, es decir: ˆ t± ∂ E ˆ t± ∂E = =0 ∂ u1 ∂ u2. (2.23). Por lo tanto: eˆ t ± (u1 , u 2 ) = 1e eˆ0 ±. (2.24). e± 1e eˆ0 ± ˆh t ± = ± 1z × ˆ t = ± 1z × = 1h ± hˆ0 ± ηˆ TEM ηˆ TEM. (2.25). donde: 1h ± = ± 1z × 1e. (2.26). ± e ˆ ± 0 hˆ0 = ηˆ TEM. (2.27). La uniformidad de los campos hace que no sea necesaria la determinación de la función φt para obtener el campo eléctrico. A la onda formada por campos electromagnéticos uniformes se le denomina onda plana uniforme (OPU). La existencia de las ondas planas uniformes está entonces. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 40.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. asociada a la ausencia de condiciones de frontera respecto a las coordenadas transversales. Suponiendo que: ±. ±. eˆ0 = eˆ0 e. jθ 0 ±. ± ˆh0 ± = hˆ0 ± e j (θ 0 −θη ). las expresiones para los campos en el dominio temporal son las siguientes: ±   E ± ( z , t ) = Re 1e eˆ0 ± e jθ 0 e m γˆ z e jω t   . E ± ( z , t ) = 1e eˆ0 ± e mα z cos  ω t m β z + θ 0 ±   . (2.28). H ± ( z , t ) = 1h ± hˆ0 ± e mα z cos  ω t m β z + θ 0 ± − θη   . (2.29). Ejemplo 2.2: Expresión de los campos de una onda TEM. Se tiene un campo eléctrico en dirección x cuya amplitud compleja es 100∠0° V/m y cuya frecuencia es 900 MHz correspondiente a una onda plana uniforme que se propaga en dirección z en un material dieléctrico ideal cuya constante dieléctrica es 4. Determine los fasores de campo eléctrico y de campo magnético de la onda. Solución En primer lugar, hay que determinar las constantes de atenuación y de fase, y la impedancia intrínseca del material. Como el dieléctrico es ideal, su constante de atenuación es nula, mientras que su constante de fase es:. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 41.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. ω ε r 2π × 900 × 106 × 2 β= = = 12π rad/m 3 × 108. c. La impedancia intrínseca es:. ηˆTEM = 120π / ε r = 60π Ω El campo eléctrico es entonces: ˆ = 1x 100 e − jβ z V/m = 1x 100 e − j12π z V/m E Para el campo magnético, se tiene: − j12π z 100 e 5 − j12π z ˆ = 1z × H = 1z × 1x A/m = 1y e A/m ηTEM 60π 3π. ˆ E. 2.2.2 Representación de una onda plana uniforme en un medio sin pérdidas. Una onda plana uniforme puede concebirse como una colección de infinitos frentes de onda paralelos entre sí, en cada uno de los cuales hay un patrón de campo electromagnético; todo el conjunto se desplaza a la velocidad de propagación. En el caso de que la onda se propaga en un medio con pérdidas, la constante de atenuación va modificando la amplitud de los campos a medida que la onda penetra en el material, por lo que no hay repetición de patrones de campo. En cambio, en el caso de ondas que se propagan en un medio sin pérdidas, los patrones de campo tienen periodicidad espacial (el período. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 42.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. espacial es λ) y temporal (el período temporal es T). Por esta razón resulta más sencillo representar una onda electromagnética que se propaga en un medio sin pérdidas, ya que basta representar varios patrones de campo dentro de un período y, si se desea, repetir varios períodos. Supóngase la onda plana uniforme cuyo campo eléctrico es: E( z , t ) = 1x 100 cos [ω t − 2π ( z / λ ) ] mV/m Usualmente, se hace la representación para t = 0, aunque también puede elegirse el instante de tiempo en que se maximiza el coseno para z = 0 cuando hay un desfasaje distinto de cero. De acuerdo con la expresión del campo, la longitud de onda es 1 m, la amplitud del campo es 100 mV/m y la onda se propaga en dirección z positiva. Como se va a graficar una longitud de onda, primero se procede a calcular los valores del campo para varias posiciones en una longitud de onda. Conviene elegir posiciones tales que el valor resultante sea fácil de representar, por ejemplo, cada λ /6, como se muestra en la tabla 2.1. Tabla 2.1: Valores del campo eléctrico para la gráfica de la onda. (6 ) E(λ4 ,0) E(λ3 ,0). E ( 0, 0 ). E λ ,0. 1x 100. 1x 50. 1x 0. − 1x 50. (2 ) E(23λ ,0) E(34λ ,0) E(56λ ,0). E λ ,0. − 1x 100. − 1x 50. 1x 0. 1x 50. E(λ ,0) 1x 100. En cada frente de onda se tiene un campo eléctrico uniforme, y también un campo magnético uniforme que es perpendicular al eléctrico y proporcional. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 43.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. a éste, ya que al no haber pérdidas ambos campos están en fase. En la figura 2.1 se muestra un dibujo del patrón de campo para z = 0, t = 0.. Fig. 2.1 Patrón de campo electromagnético para z = 0, t = 0. Las líneas rojas representan al vector campo eléctrico y las azules al vector campo magnético. Los patrones de campo de los otros frentes de onda se obtienen modificando la separación y orientación de las líneas de flujo del campo. La representación completa de la onda en una longitud de onda sería como se muestra en la figura 2.2 de la siguiente página. Obviamente, en la realidad cada frente de onda es infinito en extensión, y además existen infinitos frentes de onda intermedios entre los que se dibujaron. Adicionalmente, el conjunto de una longitud de onda se repite indefinidamente hacia adelante y hacia atrás, y la onda completa llena todo el espacio, desplazándose en dirección z a la velocidad de propagación.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 44.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. 0 λ/6. λ/3. λ/2 2λ/3. 5λ/6. z. Fig. 2.2: Vista tridimensional de una longitud de onda de una onda plana uniforme. Las líneas rojas representan al vector campo eléctrico, y las azules al vector campo magnético. 2.2.3 Profundidad de penetración, atenuación y efecto pelicular Como puede verse en las expresiones 2.28 y 2.29, las ondas que existen en un medio con pérdidas se atenúan a lo largo de la dirección de propagación a medida que se propagan, y eventualmente se extinguen.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 45.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. Se define como profundidad de penetración δ p a la distancia que debe recorrer una onda plana uniforme en un medio con pérdidas para que su valor máximo se atenúe e−1 respecto al valor máximo en una posición de referencia arbitraria. De acuerdo con esta definición: E + ( z0 , t ). máx. = eˆ0 + e −α z 0. E + ( z0 + δ p , t ). máx. = eˆ0 + e. −α ( z 0 + δ p ). =e. −1. E + ( z0 , t ). máx. De aquí se obtiene que:. δ p = 1/ α. (2.30). La atenuación en dB que sufre una onda plana uniforme al recorrer una distancia d desde una posición de referencia es:.  E+ ( z ,t)  0   αd máx Att (dB) ≡ 20 log  = 20 log e +  E ( z0 + d , t )  máx  . ( ). Att (dB) = 8,686 α d. (2.31). Por ejemplo, para una distancia igual a 5 δ p respecto al plano donde comienza. el. medio. con. pérdidas,. la. onda. se. habrá. extinguido. aproximadamente un 99 %. La atenuación que sufre una onda al recorrer dicha distancia es 43,43 dB. La profundidad de penetración es importante tanto para los buenos conductores como para los buenos aislantes. Para un buen conductor se espera. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 46.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. que la profundidad de penetración sea muy pequeña, ya que en el caso ideal de conductividad infinita la profundidad de penetración es nula. En cambio, para un buen aislante, como en el caso del dieléctrico de un cable coaxial, se espera que la profundidad de penetración sea muy grande, lo cual permitirá que la atenuación de la onda por unidad de longitud sea pequeña y la onda se propague una mayor distancia en el material. Es importante destacar que la profundidad de penetración es una función de la frecuencia de operación, además de los parámetros electromagnéticos del material. Por ejemplo, el dieléctrico de un cable coaxial puede tener una atenuación aceptable para un conjunto de frecuencias e inaceptable para otro conjunto de frecuencias. Para buenos conductores, la profundidad de penetración puede aproximarse a:. δp ≈. 1. π µσ f. =. k f. (2.32). donde la constante k depende de las propiedades electromagnéticas del conductor. La tabla 2.2 de la siguiente página muestra los valores de k para algunos conductores. Adicionalmente a la onda electromagnética, existe una densidad de corriente de conducción J c = σ E que tiene el mismo comportamiento del campo eléctrico, y que por lo tanto puede aproximarse a una corriente Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 47.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. superficial de densidad K c . A este efecto de concentración de la corriente en una película delgada adyacente a la superficie del conductor se le conoce como efecto pelicular. Tabla 2.2: Valores de la constante k asociada a la profundidad de penetración para algunos buenos conductores [1]. Plata. Cobre. Aluminio. Bronce. Hojalata. Grafito. 0,064. 0,066. 0,083. 0,13. 0,17. 1,6. El efecto pelicular hace posible la utilización de láminas conductoras como blindaje electromagnético en altas frecuencias. El blindaje se produce justamente porque la onda que penetra dentro de la lámina se extingue casi por completo en una distancia muy corta dentro de la lámina. Resulta impráctico o al menos muy costoso fabricar un blindaje electromagnético o Jaula de Faraday para frecuencias bajas, como la frecuencia de línea (60 Hz), ya que el grosor necesario para las paredes conductoras sería del orden de decenas de centímetros, dependiendo del aislamiento requerido. Por ejemplo, para un aislamiento del orden de 120 dB se requiere un grosor de casi 15 δ p .. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 48.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. Ejemplo 2.3: Determinación del grosor de un blindaje para un aislamiento dado. Calcular el grosor que debe tener un blindaje de aluminio ( σ c = 3,72 × 107 siemens/m) para que proporcione un aislamiento de 100 dB a las siguientes frecuencias: 50 Hz, 500 MHz y 5 GHz. Solución En primer lugar, hay que calcular la constante de atenuación del cobre. Como es un buen conductor, se puede usar la fórmula aproximada:. α≈. ω µσ 2. 85,6912 Neper/m, si f = 50 Hz  = π fµ σ = 22360,6798 Neper/m, si f = 500 MHz 856912,2285 Neper/m, si f = 5 GHz . Ahora se calcula la distancia despejando de la fórmula de atenuación:. 134,3519 mm, si f = 50 Hz Att (dB)  = 0,5148 mm, si f = 500 MHz Att (dB) = 8,686α ⇒ d = 8,686α  13,4352 µ m, si f = 5 GHz Comentario: Se observa que a la frecuencia más baja (50 Hz) el grosor necesario hace casi impracticable la construcción del blindaje. En cambio, a la frecuencia de 5 GHz el blindaje se podría hacer con papel de aluminio. Sin embargo, tomando en cuenta que la rugosidad de este material puede estropear la uniformidad de las ondas que refleja y de las que se propagan en su interior, es preferible utilizar un material más rígido cuya superficie pueda pulirse de. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 49.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. tal manera que la rugosidad sea mucho menor a la distancia calculada para el blindaje, aunque el grosor del material exceda con creces el calculado.. 2.2.4 Ondas planas uniformes que se propagan en una dirección arbitraria Existen situaciones en que coexisten ondas que se propagan en direcciones distintas, como en el estudio de la reflexión producida por una onda que incide oblicuamente sobre la interfaz que separa dos medios LIH. En estas situaciones es necesario poder describir ondas que se propagan en una dirección arbitraria 1v . Dado que se supone que las ondas son planas, el vector 1v debe ser un vector constante. Además, como las ondas son TEM, no deben existir componentes del campo en la dirección de propagación. Para obtener la expresión general de un campo eléctrico o magnético correspondiente a una onda plana uniforme que se propaga en dirección 1v basta con modificar la exponencial de propagación de la onda y aplicar las dos condiciones descritas en el párrafo anterior. Entonces, la expresión general en el dominio fasorial de una onda Fˆ (r ) (campo eléctrico o campo magnético). que se propaga según 1v , siendo 1v un vector unitario en la dirección de la velocidad de propagación de la onda, es: Fˆ (r ) = 1f Fˆ0 e −γˆ 1v ⋅r. (2.33). donde: 1v = 1x v x + 1y v y + 1z v z = cte , con v x 2 + v y 2 + v z 2 = 1 Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 50.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. 1v ⋅ r = x v x + y v y + z v z 1v ⋅ 1e = 1v ⋅ 1h = 0 (condiciones para onda TEM). La ecuación 1v ⋅ r = cte es la ecuación de los frentes de onda, que son planos normales al vector 1v . Puede demostrarse, partiendo de las leyes de Gauss, que toda onda plana uniforme en un medio LIH y sin fuentes es TEM respecto a la dirección de propagación. En ausencia de fuentes, ∇ ⋅ Fˆ (r ) = 0 tanto para el campo eléctrico como para el magnético. Entonces, suponiendo que los campos son ondas planas uniformes:. (. ∇ ⋅ Fˆ (r ) = 0 = ∇ ⋅ 1f Fˆ0 e −γˆ 1v ⋅r. (. ). ). 0 = 1f ⋅ ∇ Fˆ0 e −γˆ 1v ⋅r + Fˆ0 e −γˆ 1v ⋅r ∇ ⋅ (1f ) El segundo término es cero porque 1f es un vector constante. Para el primer término, se tiene:. (. ). −γˆ ( x v x + y v y + z v z )  0 = 1f ⋅ ∇ Fˆ0 e −γˆ 1v ⋅r = 1f Fˆ0 ⋅ ∇ e   . (. −γˆ ( x v x + y v y + z v z ) = −γˆ Fˆ0 e 1f ⋅ ∇ x v x + y v y + z v z. (. ). ). 0 = −γˆ Fˆ0 e −γˆ 1v ⋅r 1f ⋅ 1x v x + 1y v y + 1z v z 144424443 1v. En la expresión anterior, ni la constante de propagación ni la amplitud del campo ni la exponencial de propagación pueden ser nulas, por lo que debe cumplirse 0 = 1f ⋅ 1v para el campo eléctrico y el campo magnético (condición de onda TEM) para que se cumplan las Leyes de Gauss. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 51.

(13) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. 2.2.5 Densidad de potencia promedio de una onda plana uniforme. Sean el campo eléctrico y el campo magnético de una onda plana uniforme que se propaga en dirección arbitraria 1v : ˆ (r ) = 1e eˆ0 e −γˆ 1v ⋅r E ˆ (r ) = 1v × 1e H. eˆ0. ηˆTEM. (2.34) e −γˆ 1v ⋅r = 1h hˆ0 e −γˆ 1v ⋅r. (2.35). Entonces, la densidad de potencia promedio es:. {. }. 1 ˆ * (r ) S(r ) = Re Eˆ (r ) × H 2. 1  eˆ0 eˆ0* −γˆ 1v ⋅r −γˆ 1v ⋅r *  S(r ) = 11 e4 ×2 1v 4 ×3 1e Re e (e )  2 η ˆ  TEM  1v 2. eˆ0 S(r ) = 1v e − 2α 1v ⋅r cos(θη ) 2 ηˆTEM. (2.36). Nótese que este resultado es el mismo al que se obtendría si en la ecuación de la densidad de potencia promedio que corresponde a ondas TEM que se propagan en dirección 1v (ecuación 2.22) se hubiese reemplazado ± 1z por 1v y la magnitud del campo êt ± por ê0 . Ejemplo 2.4:Determinación los campos de una OPU y de su densidad de potencia promedio Se tiene una OPU que se propaga en un dieléctrico ideal a la frecuencia de 300 MHz, la cual tiene eˆ t = 41z − 31x V/m y hˆ t = −1y 1 (16π ) A/m. Determinar Êt , Ĥ t y la densidad de potencia promedio de la onda. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 52.

(14) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 2: ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS INFINITOS. Solución ˆ t = eˆ t e − jβ 1v ⋅r y H ˆ t = hˆ t e − jβ 1v ⋅r . Por lo tanto, hay Se tiene que E que determinar la constante de fase β y el vector de propagación 1v . Para determinar la constante de fase se requiere de la constante dieléctrica del material, la cual se obtiene de la impedancia del medio, calculada con los fasores de los campos. 2. eˆ ⋅ 1e 5 V/m 120π Ω  120  η= t = = 80π Ω = ⇒ εr =   = 2,25 hˆ t ⋅ 1h 1 / 16π A/m εr  80 . β=. ω c. εr =. 2π × 300 × 10 6 3 × 108. × 1,5 = 3π rad/m. Ahora se calcula la dirección de propagación, 1v = 1e × 1h : 1v =. 41z − 31x 41x + 31z × (− 1y ) = 5 5. Finalmente, se escriben los campos y se calcula la densidad de potencia promedio, sabiendo que 1v ⋅ r = 0,8 x + 0,6 z :. ˆ t = (41z − 31x ) e − j 3π (0,8 x +0,6 z ) V/m E ˆ t = −1y 1 e − j 3π (0,8 x + 0,6 z ) A/m H 16π 2. eˆ t 41x + 31z 5 2 2,25 41x + 31z  5  2 S = 1v = =   W/m 2η 5 2 × 120π 5  32π . Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 53.

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