Expansión de acciones supersimétricas en el formalismo espinorial puro utilizando Mathematica

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(1)Expansión de acciones supersimétricas en el formalismo espinorial puro utilizando Mathematica. Carlos Alberto Dagua Conda. Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de ingenierías Programa de ingeniería física. Pereira, 2017.

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(3) Expansión de acciones supersimétricas en el formalismo espinorial puro utilizando Mathematica. TRABAJO DE GRADO PRESENTADO POR. Carlos Alberto Dagua Conda. COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR POR EL TÍTULO DE INGENIERO FÍSICO. DIRECTOR DE TRABAJO DE GRADO. Ph.D. Hector Iván Arcos Velasco. Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de ingenierías Programa de ingeniería física. Pereira, 2017.

(4) iii. Nota de Aceptación. M.Sc Jhon Jairo Santa Chávez Director de Programa. Ph.D. Hector Ivan Arcos Velasco Director. Universidad Tecnológica de Pereira Facultad de ingenierías Programa de ingeniería física. Pereira, 2017.

(5) Resumen Un revolucionario método para la descripción de modelos con teorías supersimétricas en el superespacio en dimensiones de orden superior, fue propuesto recientemente por N. Berkovits y M. Cederwall en el marco del formalismo espinorial puro, con el objetivo de alcanzar la construcción de acciones manifiestamente supersimétricas que no requieran de imponer ligaduras diferentes a las convencionales para su manipulación. Lo anterior proporciona una correcta descripción para los modelos de Super Yang-Mills (SYM) en las dimensiones espacio temporales D=10 y Supergravedad (SG) en D=11, obteniéndose al final ecuaciones de movimiento con supersimetría manifiesta. El principal objetivo de este trabajo de grado, es alcanzar una correcta manipulación de los paquetes de cálculo, xAct, GAMMA y LieART, de Mathematica e implementar rutinas para obtener las expansiones de los supercampos que surgen de la formulación de las descripciones propuesta por N. Berkovits y M. Cederwall. Al final del trabajo se muestran los códigos en los que se encuentran basados nuestros resultados.. Palabras claves: Supersimetría manifiesta, superespacio, supercampos, formalismo espinorial puro, Mathematica.. iv.

(6) Agradecimientos En primer lugar me gustaría agradecer a mi familia por su constante apoyo y sus palabras de motivación, desde el comienzo de mis estudios hasta ahora, en especifico me gustaría agradecerle infinitamente a mi madre Amanda Dagua, quién me apoyo en todas mis decisiones académicas y las relacionadas con mi vida, quién además tuvo la paciencia y la compresión para identificar mis propósitos de vida y darme la oportunidad de alcanzarlos. También quiero agradecerle a mi hermana y a mi sobrina Luciana, quién ha llenado de alegría nuestras vidas. También quisiera agradecerle al profesor Hector Iván Arcos quién me motivo y me introdujo sobre esta área del conocimiento y sin importar mis limitaciones tuvo la confianza en mis capacidades para afrontar estos temas y desarrollarlos en su parcialidad, al profesor Ulf Gran de Chalmers University of Technology, por dar respuesta a las diversas preguntas que surgieron en la manipulación del paquete GAMMA. Debo decir que también me encuentro muy agradecido con los profesores que hicieron parte de mi formación, todos ellos contribuyeron a la construcción de nuevos conocimientos para mi y representaron una motivación para alcanzar el entendimiento de algunos temas.. v.

(7) Índice general Resumen. iv. Agradecimientos. v. 1 Introducción. 1. 2 Notaciones y convenciones. 4. 3 Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 6. 3.1. Formulación en componentes de SYM en 𝐷 = 10 . . . . . . . . . . . . .. 6. 3.2. Formulación del superespacio de SYM en D=10 . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3.3. Cálculo de la cohomología del operador 𝑄 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.3.1. Primera potencia de 𝜆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.3.2. Segunda potencia de 𝜆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.3.3. Tercera potencia de 𝜆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 4 Teoría de Supergravedad en 𝐷 = 11, utilizando espinores puros 4.1. 43. Formulación en componentes de SG en D=11 . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 4.1.1. SG en D=11 de la forma Cremmer-Julia-Scherk . . . . . . . . . .. 43. 4.2. Formulación del superespacio de SG en D=11 . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 4.3. Formulación en supercampos de espinores puros . . . . . . . . . . . . . .. 50. 4.4. Cálculo de la cohomología del operador 𝑄 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 5 Conclusiones. 55 vi.

(8) Índice general. vii. A Indentidades de los espinores puros en 𝐷 = 10 y 𝐷 = 11. 57. A.1 Identidades en 𝐷 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. A.2 Identidades en 𝐷 = 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. B Código de Mathematica para SYM en 𝐷 = 10. 60. B.1 Variación del tensor de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. B.2 SYM en D=10, utilizando espinores puros . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. C Código de Mathematica para SG en 𝐷 = 11. 66. C.1 Supergravedad en D=11, Cremmer-Julia-Scherk . . . . . . . . . . . . . .. 66. C.2 Transformaciones de Fierz en D=11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. C.3 Cohomología espinorial (Cederwall, Nilsson, Tsimpis) . . . . . . . . . . .. 74. Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 76.

(9) Capítulo 1. Introducción El problema que representa obtener una formulación covariante de los modelos supersimétricos, ha incentivado que en los últimos años el problema sea abordado desde diferentes aproximaciones: La primera que podríamos destacar es la cuantización de la partícula (teoría de cuerdas) y la segunda mediante teoría de campos, ambas sin poder resolver el problema. El estudio formal del problema, presenta una combinación de ligaduras de primera y segunda clase, las cuales no pueden ser separadas en una forma covariante de Lorentz, como puede observarse en la superpartícula de Brink-Schwarz [3] o en la supercuerda de Green-Schwarz [11]. Esta ultima presenta dificultades en formular una descripción mediante supercampos (con supersimetria manifiesta) para las teorías Super Yang-Mills (SYM) en 𝐷 = 10 y supergravedad (SG) en 𝐷 = 11, donde las dos son teorías con supersimétria. Sin embargo recientemente fue propuesta la construcción de acciones mediante el uso componentes y la formulación del superespacio, para la teoría SYM en 𝐷 = 10 y SG en 𝐷 = 11, donde se obtiene una acción que no es manifiestamente supersimétrica. Por estas razones se replanteo el problema y se alcanzó una solución mediante el uso de los espinores puros, los cuales son objetos del álgebra de Cartan [4]. El descubrimiento del rol que tienen estos objetos en la formulación del principio de acción manifiestamente supersimétrico, para modelos con supesimetría, fue solo realizado recientemente desde 1.

(10) 1. Introducción. 2. dos lineas de investigación: El primer paso lo dio N. Berkovits cuando alcanzó a cuantizar la supercuerda covariantamente mediante la introducción de un conjunto adecuado de variables ghost (variables espinoriales puras) [2]. Por otro lado M. Cederwall, realizó intentos de encontrar posibles deformaciones en las derivadas de orden superior en los términos de los modelos supersimétricos mediante el estudio de las ligaduras en el superespacio, lo cual revelo una estructura cohomologíca de estas deformaciones y se llego a la conclusión de que el operador BRST se convierte por medio del formalismo espinorial puro [6]. Fue posible a principios del año 2000, conocer la construcción de acciones para versiones linealizadas (teorías que no interactúan) de SYM en 𝐷 = 10 y SG en 𝐷 = 11, mediante el uso de supercampos de espinores puros (los cuales son dependientes del supercampo en el espacio ordinario de las coordenadas y de una variable espinorial pura 𝜆 : Ψ(𝑥, 𝜃, 𝜆)) y un operador BRST en el formalismo espinorial puro (𝑄 = 𝜆𝐷, donde 𝐷 es la derivada supersimétrica en 𝐷 = 10 y 𝐷 = 11, respectivamente). En esta aproximación, después de definir a lo que se le denomina numero ghost y de asignar naturalmente los valores numéricos +1 para la variable espinorial pura y 0 para campos de materia, la correspondiente teoría física es obtenida como la cohomología del operador BRST (SYM en 𝐷 = 10 con numero ghost +1 y SG en 𝐷 = 11 numero ghost +3), correspondiente a las ecuaciones de movimiento obtenidas al generar el correspondiente supercampo de espinores puros es un estado del operador BRST ”acotado” (𝑄Ψ = 0) y la invariancia gauge a este supercampo, donde el operador BRST es ”exacto” (𝛿Ψ = 𝑄Λ, para algunos supercampos espinoriales puros Λ). Es así que durante el desarrollo del presente trabajo de grado, obtuvimos diferentes valores de la cohomología correspondiente al operador BRST, en el formalismo espinorial puro. Lo anterior fue logrado a partir de la expansión de los supercampos en los diferentes niveles de 𝜃 y 𝜆, por medio de los paquetes xAct, Gamma y LieART, los códigos se encuentran disponibles en https://github.com/GyTU/Gamma-xAct. Obteniendo al final, la correspondiente cohomología donde se encuentran los campos físicos auxiliares de la teoría SYM en 𝐷 = 10.

(11) 1. Introducción. 3. y SG en 𝐷 = 11. Acerca de la construcción de la acción para la cohomología alcanzada, pudimos reescribir la acción linealizada, en términos de los supercampos, es decir 𝑆=. ∫︁. [𝑑𝑥] < Ψ𝑄Ψ >. (1.1).

(12) Capítulo 2. Notaciones y convenciones Durante el desarrollo de este trabajo de grado encontraremos diferentes tipos de tensores, asignados mediante las siguiente notación Superespacio 𝑥𝑀 ≡ (𝑥𝑚 , 𝜃𝛼 , 𝜃^𝛼 ),. 𝜃𝛼 =. (︂ 𝑎 )︂ 𝜃 𝜃𝑎˙. (2.1). donde 𝜃𝛼 y 𝜃^𝛼 , son variables Grassmanianas y anticonmutan entre sí. Espacio curvo 𝑚, 𝑛, 𝑝, . . . = 0, 1, 2, 3, . . . , 𝐷 − 1. índices de Einstein,. (2.2). índices de Lorentz,. (2.3). índices del espinor de Majorana,. (2.4). Espacio plano 𝑎, 𝑏, 𝑐, . . . = 0, 1, 2, 3, . . . , 𝐷 − 1 Representación espinorial 𝜇, 𝜈, 𝜌, . . . = 0, 1, 2, 3, . . . , 𝐷 − 1. 4.

(13) 2. Notaciones y convenciones. 5. Corchete de Poisson y derivadas. 𝑛 {𝑝𝑚 , 𝑥𝑛 } = 𝛿𝑚 = − {𝑥𝑛 , 𝑝𝑚 }. (2.5). 𝑛 {𝑏𝑚 , 𝑐𝑛 } = 𝛿𝑚 = −(−)𝑏𝑐 {𝑐𝑛 , 𝑏𝑚 }. (2.6). 𝜕 𝑓 ≡ 𝜕𝑚 𝑓 ≡ 𝑓,𝑚 𝜕𝑥𝑚. (2.7). Las convenciones asociadas, son las siguientes: {︀ }︀ • Se define el álgebra de Clifford tangente al espacio Γ𝑎 , Γ𝑏 = 2𝜂 𝑎𝑏 donde Γ𝑎 , son matrices 32 × 32 en la representación de Majorana-Weyl • Las matrices gamma simétricas 16 × 16, están representadas mediante. 𝑚 , 𝛾𝛼𝛽. (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽. (2.8). las cuales se encuentran relacionadas a las matrices Γ𝑎 , donde 𝛾 𝑚 satisface la relación del álgebra de Clifford tangente al espacio, expuesto anteriormente. • Las matrices anteriormente mencionadas satisfacen las siguientes propiedades:. 𝑛 𝑚 (𝛾 𝑚 )𝛽𝛿 = 2𝜂 𝑚𝑛 𝛿𝛼𝛿 (𝛾 𝑛 )𝛽𝛿 + 𝛾𝛼𝛽 𝛾𝛼𝛽. 𝑚 𝛾𝛼(𝛽 (𝛾𝑚 )𝜆𝛿) = 0. (2.9). (2.10). • En la configuración espacio temporal de dimensión 𝐷 = 10, los espinores de (︀ )︀ ¯ , Majorana-Weyl se asigna en la representación del grupo 𝑆𝑂(1, 9) 32 = 16 + 16 donde se utilizara la notación para los espinores de Weyl 𝜒𝛼 (16) y para los espi¯ nores anti-Weyl 𝜒𝛼 (16).

(14) Capítulo 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros El presente capitulo se encuentra principalmente basado en la tesis de maestría de F. Eliasson [8], en este trabajo se pueden encontrar algunos de los cálculos correspondientes a la teoría Super Yang-Mills en el superespacio de dimensión espacio temporal 𝐷 = 10. Sin embargo, para nuestro desarrollar nuestro objetivo, nos limitamos a realizar una descripción poco detallada, debido a que de la teoría SYM en 𝐷 = 10 nos interesa específicamente, comprender los cálculos para el desarrollo de la teoría gauge y las ligaduras convencionales y dinámicas en el superespacio, mediante identidades de Bianchi, las cuales son obtenidas a partir del uso de los paquetes GAMMA y xAct [9, 10, 17] de Mathematica.. 3.1. Formulación en componentes de SYM en 𝐷 = 10. En esta sección vamos a encontrar una breve descripción de la teoría SYM en 𝐷 = 10, para campos en la configuración on-shell, particularmente nos fijamos en el caso abeliano. Algunos de los cálculos correspondientes son obtenidos mediante Mathematica, de manera que durante el el desarrollo del capitulo observaremos lineas de código correspondientes a la implementación computacional 6.

(15) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 7. Caso abeliano Para construir una versión supersimétrica de la teoría ordinaria de Yang Mills (YM) en 𝐷 = 10, los campos asociados a esta teoría deberían encontrarse en las representaciones del álgebra supersimétrica [19], en nuestro caso consistiría de campos bosónicos y fermiónicos, además uno de estos debería corresponder a el campo gauge de la teoría ordinaria de YM en 𝐷 = 10. Es así que la utilización de transformaciones supersimétricas (SUSY) proporcionan transformaciones de acuerdo a las representaciones del álgebra SUSY, necesario para construir SYM en 𝐷 = 10. El principal problema que surge de esta teoría, es que a medida que se involucran más campos a la ecuaciones de movimiento, estas no reajustan automáticamente, el correspondiente número de componentes. La solución es introducir los campos asociados a una configuración on-shell, un análisis más detallado de los grados de libertad de la configuración on-shell puede encontrarse en el apéndice C de [12]. Lo anterior puede observarse mediante el uso de ecuaciones de movimiento y la invariancia en el espacio del momentum, como se muestra en el apéndice A. Así la acción para la teoría SYM en 𝐷 = 10 viene dada por 𝑆=. ∫︁. [︂ ]︂ 1 𝑚𝑛 𝑖 𝑝 𝑑 𝑥 − 𝐹 𝐹𝑚𝑛 + 𝜒𝛾 𝜕𝑝 𝜒 4 2 10. (3.1). para obtener la ecuaciones de movimiento utilizamos las ecuaciones de Euler-Lagrange. (︂ )︂ 𝑑 𝜕ℒ 𝜕ℒ − =0 𝑑𝑡 𝜕 𝑞˙𝑖 𝜕𝑞𝑖 )︂ (︂ 𝜕ℒ 𝜕ℒ 𝜕𝑚 − = 0 → 𝜕𝑚 (𝜕 𝑚 𝐴𝑛 − 𝜕 𝑛 𝐴𝑚 ) = 0 → 𝜕𝑚 𝐹 𝑚𝑛 = 0 𝜕 (𝜕𝑚 𝐴𝑛 ) 𝜕𝐴𝑚 (︂ )︂ 𝜕ℒ 𝜕ℒ 𝑖 𝑚 𝑚 𝜕𝑚 − = 0 → {𝛾𝛼𝛽 , 𝜕𝑚 𝜒𝛽 } = 0 → 𝛾𝛼𝛽 𝜕𝑚 𝜒𝛽 = 0 𝛼 𝛼 𝜕 (𝜕𝑚 𝜒 ) 𝜕𝜒 2. (3.2). donde 𝐹 es la magnitud del campo ordinario, construida a partir del vector 𝐹𝑚𝑛 = 𝜕𝑚 𝐴𝑛 − 𝜕𝑛 𝐴𝑚 y 𝜒𝛼 es un espinor de Weyl que toma valores de 1 a 16..

(16) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 8. Consideramos las siguientes transformaciones SUSY. 𝛿𝜖 𝐴𝑚 = 𝑖 (𝜖𝛾𝑚 𝜒) 𝑖 𝛿𝜖 𝜒𝛼 = 𝐹 𝑚𝑛 (𝛾 𝑚𝑛 )𝛼 𝜖𝛽 2. (3.3). donde 𝜖𝛼 es una parámetro constante del espinor de Majorana-Weyl. En cuanto a demostrar que la acción 3.1 es invariante bajo transformaciones SUSY, podemos utilizar las identidades de Fierz [13]. 𝛾 𝑚𝑛 𝛾 𝑝 = 𝛾 𝑚𝑛𝑝 + 2𝜂 𝑝[𝑛 𝛾 𝑚] ,. 𝜒𝛾 𝑝 𝛾 𝑚𝑛 𝜖 = 𝜖𝛾 𝑚𝑛 𝛾 𝑝 𝜒. y podemos observar que la variación de la acción en la primera parte corresponde al tensor de Maxwell, obtenido a partir del paquete xAct de Mathematica, apéndice B. ]︁ 1 𝑖 𝑖 𝐹𝑚𝑛 𝛿 (𝐹 𝑚𝑛 ) + 𝛿𝜒𝛾 𝑚 𝜕𝑚 𝜒 + 𝜒𝛾 𝑝 𝜕𝑝 (𝛿𝜒) 2 2 2 1 𝑚𝑛 𝑖 𝐹 (2𝜕 𝑚 𝛿𝐴𝑛 ) + 𝐹𝑚𝑛 (𝛾 𝑚𝑛 )𝛼 𝜆 𝜖𝜆 𝛾 𝑝 𝛼𝛽 𝜕𝑝 𝜒𝛽 + 2 4 ]︁ 𝑖 + 𝜒𝛼 𝛾 𝑝 𝛼𝛽 𝐹𝑚𝑛 (𝛾 𝑚𝑛 )𝛽 𝜆 𝜖𝜆 4∫︁ [︁ 1 ]︁ 1 = 𝑖 𝑑10 𝑥 − 𝜕𝑝 (𝐹𝑚𝑛 𝜖𝛾 𝑚𝑛𝑝 𝜒) + 𝜕𝑝 (𝐹𝑚𝑛 𝜖𝛾 𝑚𝑛 𝛾 𝑝 𝜒) 2 4 ∫︁. [︁ 𝑑10 𝑥 − ∫︁ [︁ = 𝑑10 𝑥 −. 𝛿𝑆 =. =0 lo anterior es obtenido mediante el uso de las identidades de Bianchi tipo 𝜕[𝑚 𝐹𝑛𝑝] = 0, de esta manera la acción es invariante bajo transformaciones 3.3, asumiendo que los campos convergen a cero en el infinito. Por otro lado, para derivar el álgebra de los generadores que satisfacen la siguiente relación, tenemos {𝑄𝛽 , 𝑄𝛿 } Ψ (𝐹𝑚𝑛 , 𝜒𝛼 ) = −2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛽𝛿 𝜕𝑚 Ψ (𝐹𝑚𝑛 , 𝜒𝛼 ). (3.4). esto es posible obtenerse utilizando el paquete GAMMA, como se muestra a conti-.

(17) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 9. nuación. (I/2) GammaExpand[ GammaProd[{m}, {p, q}]* Tensor[F, {p, q}]] \[Epsilon]1 ** \[Epsilon]2 // ExpandAll donde hemos utilizado las funciones 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎𝑃 𝑟𝑜𝑑 y 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑 para obtener los correspondientes términos de las identidades de Fierz.. 𝑖 𝛿2 𝛿1 𝐴𝑚 = 𝑖𝛿2 (𝜖1 𝛾𝑚 𝜒) = 𝜖1 𝛾𝑚𝑝𝑞 𝜖2 𝐹 𝑝𝑞 + 𝑖𝜖1 𝛾 𝑞 𝜖2 𝐹𝑚𝑞 2 𝑖 𝛿1 𝛿2 𝐴𝑚 = 𝑖𝛿1 (𝜖𝛾𝑚 𝜒) = 𝜖2 𝛾𝑚𝑝𝑞 𝜖1 𝐹 𝑝𝑞 + 𝑖𝜖2 𝛾 𝑞 𝜖1 𝐹𝑚𝑞 2. (3.5). posteriormente, repetimos el mismo procedimiento anterior y obtenemos. (I/2) GammaExpand[ GammaProd[{m}, {p, q}]* Tensor[F, {p, q}]] \[Epsilon]2 ** \[Epsilon]1 // ExpandAll finalmente se obtiene. 𝑖 𝑖 [𝛿1 , 𝛿2 ] 𝐴𝑚 = 𝜖2 𝛾𝑚𝑝𝑞 𝜖1 𝐹 𝑝𝑞 − 𝑖𝜖1 𝛾 𝑞 𝜖2 𝐹𝑚𝑞 − 𝜖2 𝛾𝑚𝑝𝑞 𝜖1 𝐹 𝑝𝑞 − 𝑖𝜖1 𝛾 𝑞 𝜖2 𝐹𝑚𝑞 2 2. (3.6). = −2𝑖 (𝜖1 𝛾 𝑞 𝜖2 ) 𝐹𝑚𝑞 Por otro lado, realizamos el mismo procedimiento con el conmutador para el campo 𝐹𝑚𝑛. 𝛿1 𝛿2 (𝐹𝑚𝑛 ) = 𝛿1 𝛿2 (𝜕𝑚 𝐴𝑛 − 𝜕𝑛 𝐴𝑚 ) = 𝜕𝑚 (𝛿1 𝛿2 𝐴𝑛 ) − 𝜕𝑛 (𝛿1 𝛿2 𝐴𝑚 ) 𝛿2 𝛿1 (𝐹𝑚𝑛 ) = 𝛿2 𝛿1 (𝜕𝑚 𝐴𝑛 − 𝜕𝑛 𝐴𝑚 ) = 𝜕𝑚 (𝛿2 𝛿1 𝐴𝑛 ) − 𝜕𝑛 (𝛿2 𝛿1 𝐴𝑚 ). (3.7).

(18) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 10. de igual forma se obtiene. [𝛿1 , 𝛿2 ] 𝐹𝑚𝑛 = 𝛿1 𝛿2 𝐹𝑚𝑛 − 𝛿2 𝛿1 𝐹𝑚𝑛 = 𝜕𝑚 (𝛿1 𝛿2 𝐴𝑛 ) − 𝜕𝑛 (𝛿1 𝛿2 𝐴𝑚 ) − 𝜕𝑚 (𝛿2 𝛿1 𝐴𝑛 ) + + 𝜕𝑛 (𝛿2 𝛿1 𝐴𝑚 ) = 𝜕𝑚 ([𝛿1 , 𝛿2 ] 𝐴𝑛 ) − 𝜕𝑛 ([𝛿1 , 𝛿2 𝐴𝑚 ]). (3.8). = 2𝑖𝜖1 𝛾 𝑝 𝜖2 𝜕𝑝 𝐹𝑚𝑛 vamos a denotar los generadores de las transformaciones 3.3 mediante 𝑄𝛼 , lo que indica 𝛿1 𝐹𝑚𝑛 = 𝜖𝛼1 𝑄𝛼 𝐹𝑚𝑛. (3.9). esto nos permite reescribir el conmutador de las transformaciones [𝛿1 , 𝛿2 ], como un anticonmutador de generadores de la forma 𝜖𝛼1 𝜖𝛽2 {𝑄𝛼 , 𝑄𝛽 } y se escribe como. )︁ (︁ [𝛿1 , 𝛿2 ] 𝐹𝑚𝑛 = −𝜖𝛼1 𝜖𝛽2 𝑄𝛼 𝑄𝛽 𝐹𝑚𝑛 − −𝜖𝛽2 𝜖𝛼1 𝑄𝛽 𝑄𝛼 𝐹𝑚𝑛 = −𝜖𝛼1 𝜖𝛽2 𝑄𝛼 𝑄𝛽 𝐹𝑚𝑛 + 𝜖𝛽2 𝜖𝛼1 𝑄𝛽 𝑄𝛼 𝐹𝑚𝑛 = −𝜖𝛼1 𝜖𝛽2 {𝑄𝛼 , 𝑄𝛽 }𝐹𝑚𝑛. (3.10). {𝑄𝛼 , 𝑄𝛽 } = −2𝑖 (𝛾 𝑝 )𝛼𝛽 𝜕𝑝 𝐹𝑚𝑛 se puede observar que la expresión anterior, transforma de acuerdo a las reglas de transformación del álgebra SUSY. Repitiendo el procedimiento anterior para el espinor de Majorana-Weyl, de manera similar se obtiene el inverso de la variación actuando sobre el espinor, como se muestra a continuación. [︁ ]︁ 𝑖 𝛿1 𝛿2 𝜒𝛼 = − 𝜖𝛽1 𝜖𝛿2 (𝛾𝑛 )𝛽𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛿 − (𝛾𝑛 )𝛽𝜆 (𝛾 𝑛 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑚 )𝜎𝛿 𝜕𝑚 𝜒𝜆 2 [︁ ]︁ 𝑖 𝛿2 𝛿1 𝜒𝛼 = − 𝜖𝛿2 𝜖𝛽1 (𝛾𝑛 )𝛿𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 − (𝛾𝑛 )𝛿𝜆 (𝛾 𝑛 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑚 )𝜎𝛽 𝜕𝑚 𝜒𝜆 2.

(19) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 11. el siguiente paso es realizar nuevamente las reglas de conmutación sobre 𝜒𝛼 y se obtiene. [︁ 𝑖 [𝛿1 , 𝛿2 ] 𝜒𝛼 = − 𝜖𝛽1 𝜖𝛿2 (𝛾𝑛 )𝛽𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛿 − (𝛾𝑛 )𝛽𝜆 (𝛾 𝑛 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛿 + 2 ]︁ + (𝛾𝑛 )𝛿𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛽 − (𝛾𝑛 )𝛿𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑚 )𝜎𝛽 𝜕𝑚 𝜒𝜆 [︁ ]︁ 𝑖 = − 𝜖𝛽1 𝜖𝛿2 −2 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾𝑛 )𝜆𝜎 (𝛾 𝑛 )𝛽𝛿 − 2𝛿 𝛼 𝛿 (𝛾 𝑚 )𝛽𝜆 − 2𝛿 𝛼 𝛽 (𝛾 𝑚 )𝛿𝜆 𝜕𝑚 𝜒𝜆 2 lo que puede ser simplificado utilizando el álgebra de la matrices gamma (𝛾 𝑛 )𝛼(𝛽 (𝛾𝑛 )𝜆𝛿) , implementado en este trabajo con ayuda del software Cadabra [18], como se observa en el apéndice A. [︁ ]︁ (𝛾𝑛 )𝛽𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛿 + (𝛾𝑛 )𝛿𝜆 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛽 = (𝛾 𝑚 )𝛼𝜎 (𝛾𝑛 )𝛽𝜆 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛿 + (𝛾𝑛 )𝛿𝜆 (𝛾 𝑛 )𝜎𝛽 = −4𝛿𝜆𝛼 (𝛾 𝑚 )𝛽𝛿 + 2 (𝛾𝑛 )𝛼𝜎 (𝛾 𝑚 )𝜆𝜎 (𝛾 𝑛 )𝛽𝛿 Es importante recordar que consideramos los campos en la configuración on-shell de 𝑚 )𝜕 𝜒𝛽 = 0, lo cual nos permite obtener el conmutador la forma (𝛾𝛼𝛽 𝑚. [𝛿1 , 𝛿2 ] 𝜒𝛼 = 2𝑖𝜖𝛽1 𝜖𝛿2 (𝛾 𝑚 )𝛽𝛿 𝜕𝑚 𝜒𝛼. (3.11). es posible ahora escribir la variación en términos de los generadores SUSY (𝛿1 𝜒𝛼 = 𝜖𝜆1 𝑄𝜆 (𝜒𝛼 )). Escritos de manera conveniente se tiene {𝑄𝛼 , 𝑄𝛿 } 𝜒𝛼 = −2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛽𝛿 𝜕𝑚 𝜒𝛼 Por último, para el espinor de Weyl 1 𝛿𝜒𝛾 𝑚 𝜕𝑚 𝜒 = 𝐹𝑚𝑛 (𝛾 𝑚𝑛 )𝛼 𝜆 𝜖𝜆 𝛾 𝑝 𝛼𝛽 𝜕𝑝 𝜒 2 𝜒𝛾 𝑝 𝜕𝑝 (𝛿𝜒) = 𝜒𝛼 𝛾 𝑝 𝛼𝛽 𝐹𝑚𝑛 (𝛾 𝑚𝑛 )𝛽 𝜆 𝜖𝜆. (3.12).

(20) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 12. y la magnitud del campo 𝐹𝑚𝑛 , se obtiene. 𝑚. 𝑛. (︂. −𝐹𝑚𝑛 𝜖𝜕 𝜒𝜕 𝜒. 𝛾𝑛 𝛾𝑚 + 𝜕𝑚𝜒 𝜕𝑛𝜒. )︂. = −𝐹𝑚𝑛 (𝜖𝛾 𝑛 𝜕 𝑚 𝜒) − 𝐹𝑚𝑛 (𝜖𝛾 𝑚 𝜕 𝑛 𝜒) 1 = − 𝐹𝑚𝑛 𝜖𝛾 𝑚𝑛 2. Caso no-abeliano Podemos generalizar el caso no-abeliano a partir del caso abeliano introduciendo las siguientes observaciones: • Los campos 𝐴𝑚 y 𝜒𝛼 adquieren valores en el gauge del álgebra de Lie, mediante la introducción de una base en la que se pueda expandir el campo de la forma 𝐴𝑚 = 𝐴𝑚 𝑎 𝑇𝑎 • La derivada ordinaria 𝜕𝑚 ahora sera reemplazada por la derivada covariante ∇𝑚 = 𝜕𝑚 + [, 𝐴𝑚 ] La acción SYM en 𝐷 = 10 de esta manera, toma la forma 𝑆=. ∫︁. ]︂ [︂ 𝑖 𝑚 1 𝑚𝑛 𝑑 𝑥𝑇 𝑟 − 𝐹 𝐹𝑚𝑛 + 𝜒𝛾 ∇𝑚 𝜒 4 2. (3.13). 10. Para encontrar las ecuaciones de movimiento, se debe incluir las siguiente convenciones: • 𝑇 𝑟(𝑇 𝑎 𝑇 𝑏 ) = 𝛿 𝑎𝑏 , donde 𝑇 𝑎 es un generador hermitanio correspondiente a el álgebra [︀ ]︀ de Lie y satisface la relación 𝑇 𝑎 , 𝑇 𝑏 = 𝑓 𝑎𝑏𝑐 𝑇 𝑐 • Vamos a expandir los campos en términos del generador 𝑇 𝑎 de la siguiente forma 𝑎 𝑇 𝑎 , 𝐴 = 𝐴𝑎 𝑇 𝑎 y 𝜒𝛽 = 𝜒𝛽𝑎 𝑇 𝑎 𝐹𝑚𝑛 = 𝐹𝑚𝑛 𝑚 𝑚. Por lo anterior la acción 3.13, toma la forma. 1 𝑖 𝑖 𝑎 𝑆 = 𝑑 𝑥 − 𝐹 𝑚𝑛𝑎 𝐹𝑚𝑛 + 𝜒𝛼𝑎 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝑚 𝜒𝛽𝑎 + 𝜒𝛼𝑐 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝑓 𝑎𝑏𝑐 𝜒𝛽𝑎 𝐴𝑏𝑛 4 2 2 10. [︂. ]︂. (3.14).

(21) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 13. Utilizando la ecuación 3.2 se obtienen las ecuaciones de movimiento, escritas de forma compacta. (︂. 𝜕ℒ 𝜕 (𝜕𝑚 𝜒𝛽𝑎 ). )︂. 𝜕ℒ =0 𝜕𝜒𝛽𝑎 )︁ 𝑖 𝑚 𝑖 𝑚 𝑖 (︁ 𝑚 𝑐𝑏𝑎 𝛼𝑐 𝑏 𝑚 𝑎𝑏𝑐 𝑐 − 𝛾𝛼𝛽 𝜕𝑚 𝜒𝛼𝑎 − 𝛾𝛼𝛽 𝜕𝑚 𝜒𝛼𝑎 − 𝛾𝛽𝛼 𝑓 𝜒 𝐴𝑚 − 𝜒𝛼𝑏 𝛾𝛼𝛽 𝑓 𝐴𝑚 = 0 2 2 2 (︁ )︁ 𝑚 𝛾𝛽𝛼 𝜕𝑚 𝜒𝛼𝑎 + 𝑓 𝑎𝑏𝑐 𝜒𝑎𝑏𝑐 𝜒𝛼𝑏 𝐴𝑐𝑚 = 0 𝜕𝑚. −. (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝑚 𝜒𝛽 = 0 Para el campo de gauge se sigue los mismos pasos anteriores. (︂. )︂. 𝜕ℒ =0 𝜕𝐴𝑎𝑛 )︁ (︁ 𝑖 −𝜕𝑚 𝐹 𝑚𝑛𝑎 + 𝑓 𝑎𝑏𝑐 𝜕 𝑛 𝐴𝑚𝑏 − 𝜕 𝑚 𝐴𝑛𝑏 − 𝑓 𝑏𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑑 𝐴𝑚𝑒 𝐴𝑐𝑚 = 𝜒𝛼𝑐 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝑓 𝑏𝑎𝑐 𝜒𝛽𝑏 2 𝑖 𝑛 {︁ 𝛽 𝛼 }︁ 𝑚𝑛 𝜒 ,𝜒 −∇𝑚 𝐹 = 𝛾𝛼𝛽 2 𝜕𝑚. 𝜕ℒ 𝜕 (𝜕𝑚 𝐴𝑎𝑛 ). −. de esta manera obtenemos 𝑖 𝑛 {︁ 𝛽 𝛼 }︁ ∇𝑚 𝐹 𝑚𝑛 = − 𝛾𝛼𝛽 𝜒 ,𝜒 2. (3.15). cuando aplicamos la invariancia de esta nueva acción bajo transformaciones 3.3 obtenemos el caso abeliano. Lo anterior es aplicable para los casos 𝐷 = 3, 4, 6 y 10 debido a la proporcionalidad del termino (𝛾 𝑚 )𝛼(𝜆 (𝛾𝑚 )𝛽𝛿) = 0. El álgebra de los generadores tipo on-shell satisfacen el caso abeliano para los valores de 𝐷 y define su álgebra SUSY como {∇𝛼 , ∇𝛽 } = −2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝑚. (3.16). donde ∇𝛼 y ∇𝑚 son las derivadas covariantes fermiónica y bosónica, respectivamente.

(22) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 3.2. 14. Formulación del superespacio de SYM en D=10. En este capítulo pretendemos realizar una descripción de las trasformaciones supersimétricas como una transformación de coordenadas en el superespacio y a partir de esto construir una teoría gauge correspondiente a nuestros objetivos.. Construcción de una teoría gauge en el superespacio Los ingredientes necesarios para la construcción son: • Definir una supervariedad 𝑋, parametrizada en el conjunto de coordenadas. 𝑍 𝑀 = (𝑥𝑚 , 𝜃𝛼 ) , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 = 0, . . . , 9 𝛼 = 1, . . . , 16. (3.17). • Introducir vectores tangentes, a la supervariedad 𝑇 𝑋, el cual corresponde a la unión de los espacios tangentes a la variedad, con base coordenada {𝜕𝑀 } = {(𝜕𝑀 , 𝜕𝛼 )} – Definimos la 1-forma dual al vector tangente, denominado vector cotangente a la variedad 𝑑𝑍 𝑀 • Tomar una sección 𝑠 de 𝑇 𝑋, mediante el siguiente mapa 𝑠 : 𝑋 −→ 𝑇 𝑋 podemos tomar, de manera similar, 𝑟 como una sección del espacio dual a 𝑇 𝑋, es decir 𝑟 : 𝑋 −→ 𝑇 * 𝑋, donde. (𝑠, 𝑟) −→ 𝑇 𝑋 ⊗ · · · ⊗ 𝑇 𝑋 ⊗ 𝑇 * 𝑋 ⊗ · · · ⊗ 𝑇 * 𝑋 ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ 𝑠. (3.18). 𝑟. • Generalizar el caso de las 𝑘-formas Ω𝑘 (𝑋, R), mediante la suma directa. ⨁︁. Ω𝑘 (𝑋, R). (3.19). 𝑘∈Z+ 0. donde hemos formado el conjunto del espacio de todas las 𝑘-formas – Una 𝑘-forma 𝑝(𝑘) puede ser expandida en las siguiente base coordenada.

(23) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 𝑝(𝑘) =. 1 𝑀𝑘 𝑑𝑍 · · · 𝑑𝑍 𝑀1 𝑃𝑀1 · · · 𝑃𝑀𝑘 𝑘!. 15. (3.20). un ejemplo de esto, es el caso bosónico. 𝑑𝑍 𝑀 𝑑𝑍 𝑁 = −(−1)|𝑀 ||𝑁 | 𝑑𝑍 𝑁 𝑑𝑍 𝑀. (3.21). – El producto de una 𝑘-forma y una 1-forma esta dado por. 𝑝(𝑘) 𝑞 (𝑙) = (−1)𝑘𝑙+|𝑝||𝑞| 𝑞 (𝑙) 𝑝(𝑘). (3.22). donde 𝑘 y 𝑙 son los grados de las formas 𝑝(𝑘) y 𝑞 (𝑙) , respectivamente • Derivar exteriormente en la variedad 𝑋 significa. 𝑑 :Ω𝑘 (𝑋, R) −→ Ω𝑘+1 (𝑋, R) 𝑑 = 𝑑𝑍 𝑀 𝜕𝑀 𝑑𝑝(𝑘) =. (3.23). 1 𝑀𝑘 𝑑𝑍 · · · 𝑑𝑍 𝑀1 𝑑𝑍 𝑁 𝜕𝑃𝑀1 ···𝑀𝑘 𝑘!. – La principal característica de la derivada exterior es su nilpotencia. 2 (𝑘). 𝑑 𝑝. )︂ 1 𝑀𝑘 𝑀1 =𝑑 𝑑𝑍 · · · 𝑑𝑍 𝑝𝑀1 ···𝑀𝑘 𝑘! )︀ 1 (︀ = 𝑑 𝑑𝑍 𝑀𝑘 · · · 𝑑𝑍 𝑀1 𝑑𝑍 𝑁 𝜕𝑁 𝑝𝑀1 ···𝑀𝑘 𝑘! 1 = 𝑑𝑍 𝑀𝑘 · · · 𝑑𝑍 𝑀1 𝑑𝑍 𝑁 𝑑𝑍 𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝑝𝑀1 ···𝑀𝑘 𝑘! 2. (︂. 𝑑2 𝑝(𝑘) = 0 donde 𝑑𝑍 𝑁 𝑑𝑍 𝑀 = −(−1)|𝑀 ||𝑁 | 𝑑𝑍 𝑀 𝑑𝑍 𝑁 y 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = (−1)|𝑀 ||𝑁 | 𝜕𝑁 𝜕𝑀 • Definir una métrica de la forma 𝑔(𝑝) : 𝑇𝑝 𝑋 ×𝑇𝑝 𝑋 → R, en nuestra base coordenada.

(24) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 16. se tiene. 𝑔𝑀 𝑁 = 𝑔 (𝜕𝑀 , 𝜕𝑁 ). (3.24). donde es posible definir una base ortonormal 𝐸 𝐴 = 𝐸 𝑀 𝐴 𝜕𝑀 ⎛ 𝑔𝐴𝐵 = 𝑔 (𝐸𝐴 , 𝐸𝐵 ) = 𝐸𝐴 𝑀 𝑔𝑀 𝑁 𝐸𝐵 𝑁 = ⎝. 𝜂𝑚𝑛 0. ⎞. 0 𝛿𝛼𝛽. ⎠. (3.25). De esta forma nos acercamos a definir una teoría de gauge sobre el superespacio, en este caso, denominada teoría SYM, la cual posee curvatura nula. El último paso es describir un término asociado a las transformaciones locales de Lorentz y configurar una base ortonormal tangente al espacio mencionada anteriormente. El uso de las transformaciones SUSY, nos permite escoger un conjunto de coordenadas para la supervariedad donde el espacio tangente es la coordenada base. Sea la base definida mediante. 𝐷𝑚 = 𝜕𝑚 𝐷𝛼 = 𝜕𝛼 + 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜃𝛽 𝜕𝑚 donde utilizaremos los vectores tangente a la variedad 𝑋. Como consecuencia podemos escribir la base anterior en términos de la base coordenada 𝐷𝐴 = 𝐷𝐴 𝑀 𝜕𝑀 , lo anterior 𝐴 , donde nos permite definir una base para la 1-forma mediante 𝐸 𝐴 = 𝑑𝑍 𝑀 𝐸𝑀. ⎛ 𝐷𝐴 𝑀 = ⎝. 𝛿𝑛𝑚. 0. +𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜃𝛽. 𝛿𝛼𝛽. ⎞ ⎠,. ⎛. 𝑛 𝛿𝑚. 0. ⎞. ⎠ 𝐸𝑀𝐴 = ⎝ −𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛽𝛼 𝜃𝛼 𝛿𝛽𝛼. (3.26). observemos la importancia del trabajo con esta base por medio del siguiente ejemplo: Supongamos que tenemos un campo escalar definido en el superespacio Φ(𝑍), si aplica-.

(25) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 17. mos transformaciones SUSY, el campo cambia mediante 𝛿Φ(𝑍) = 𝜖𝛼 𝑄𝛼 Φ(𝑍), también es posible aplicar un cambio de coordenadas arbitrarias en el superespacio, es decir. 𝑍. ′𝑀. = 𝑍 𝑀 − 𝜁 𝑀 (𝑍). ′. Φ (𝑍) = Φ(𝑍) + 𝜁 𝑀 (𝑍)𝜕𝑀 Φ(𝑍) de la misma manera, si deseamos realizar transformaciones SUSY como transformaciones de coordenadas en el superespacio, deberíamos obtener. 𝜖𝛼 𝑄𝛼 = 𝜁 𝑀 (𝑍)𝜕𝑀 𝛿𝑍 𝑀 = −𝜁 𝑀 (𝑍) = −𝜖𝛼 𝑄𝛼 𝑍 𝑀 donde los generadores 𝑄𝛼 y 𝑄𝛽 satisfacen el álgebra SUSY, 𝑄𝛼 = 𝜕𝛼 −𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜆 𝜃𝜆 𝜕𝑚 y 𝑄𝛽 = 𝜕𝛽 − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛽𝜎 𝜃𝜎 𝜕𝑛 , es decir. {𝑄𝛼 , 𝑄𝛽 } = 𝑄𝛼 𝑄𝛽 + 𝑄𝛽 𝑄𝛼 (︁ )︁ (︁ )︁ = 𝜕𝛼 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜆 𝜃𝜆 𝜕𝑚 𝜕𝛽 − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛽𝜎 𝜃𝜎 𝜕𝑛 + (︁ )︁ (︁ )︁ + 𝜕𝛽 − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛽𝜎 𝜃𝜎 𝜕𝑛 𝜕𝛼 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜆 𝜃𝜆 𝜕𝑚 = −𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜃𝛽 𝜕𝑚 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜃𝛽 𝜕𝑚 = −2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝑚 ′. 𝜕𝑍 𝑁 𝜕𝑍 ′ 𝑀 𝜕𝛽 −𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛽𝜎. también se puede aplicar a cambios de coordenadas de la forma 𝜕𝑀 = el cual introduce el álgebra SUSY, 𝐷𝛼 = 𝜕𝛼 +𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜃𝛽 𝜕𝑚 y 𝑄𝛽 =. 𝜃𝜎 𝜕𝑛.

(26) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. {𝐷𝛼 , 𝑄𝛽 } =. 18. {︁(︁ )︁ (︁ )︁}︁ 𝜕𝛼 + 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜆 𝜃𝜆 𝜕𝑚 , 𝜕𝛽 − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛽𝜎 𝜃𝜎 𝜕𝑛. = 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜆 𝜃𝜆 𝜕𝑚 𝜕𝛽 + 𝑖𝜕𝛽 (𝛾 𝑚 )𝛼𝜆 𝜃𝜆 𝜕𝑚 = −𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝑚 + 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝑚 =0 En este sentido podemos demostrar que 𝛿𝐷𝐴 = 0 bajo transformación de coordenada SUSY, mediante la definición del siguiente sistema coordenado. ′𝑛. =𝑥 −𝜖. ′𝛽. =𝜃 −𝜖. 𝑥 𝜃. 𝑛. 𝛽. 𝛼. 𝛽. (︂. 𝜕 𝜕 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜃𝛽 𝑚 𝛼 𝜕𝜃 𝜕𝑥 →. 𝜃 =𝜃 𝛽. ′𝛽. )︂. 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 + 𝑖𝜖𝛼 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝜃𝛽. (3.27). +𝜖. 𝛽. la pregunta que surge es, ¿qué sucede si a la base 𝐷𝛼 realizamos una transformación de coordenadas de la forma 3.27?, lo anterior se puede observar en lo siguiente. 𝜕 𝜕 + 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝜃𝛽 𝑛 𝛼 𝜕𝜃 𝜕𝑥 (︃ )︃ ′𝑛 ′ ′ ′𝜆 )︁ 𝜃′ 𝜎 𝜕 (︁ ′ 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝜕𝑥 𝑚 𝜕 𝜕𝜃 𝑛 𝛽 𝛽 = + + 𝑖 (𝛾 )𝛼𝛽 𝜃 + 𝜖 + + 𝜕𝜃𝛼 𝜕𝜃′ 𝜆 𝜕𝜃𝛼 𝜕𝑥′ 𝑛 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝜃′ 𝜎 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝜃′ 𝜎 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑥′ 𝑚. 𝐷𝛼 =. 𝜕 𝜕 𝜕 𝜕 ′𝛽 𝛽 𝑛 𝑛 𝛽 𝑛 ′ 𝛼 − 𝑖𝜖 (𝛾 )𝛼𝛽 ′ 𝑛 + 𝑖 (𝛾 )𝛼𝛽 𝜃 ′ 𝑛 + 𝑖𝜖 (𝛾 )𝛼𝛽 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥′ 𝑛 𝜕 𝜕 ′ = ′ 𝛼 + 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝜃 𝛽 ′ 𝑛 𝜕𝜃 𝜕𝑥. =. ′. = 𝐷𝛼 lo cual demuestra que las derivadas fermiónicas son aplicables a cambio de coordenadas bajo transformación tipo SUSY 3.3 El último paso es introducir una teoría tipo gauge en el superespacio definido previamen-.

(27) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 19. te. Sea G el grupo de gauge (grupo de Lie), en orden a definir las cantidades covariantes a la conexión 1-forma del campo 𝐴, nos interesa la derivada covariante, donde se muestra la acción de la derivada covariante sobre la derecha del campo 𝐴.. ∇ 𝑚 = 𝜕 𝑚 + 𝐴𝑚 ,. ∇𝑚 Φ = 𝜕𝑚 Φ + [Φ, 𝐴𝑚 ]. ∇𝛼 = 𝐷𝛼 + 𝐴𝑚 ,. ∇𝛼 Φ = 𝐷𝛼 Φ + [Φ, 𝐴𝛼 ]. (3.28). con el propósito de proporcionar una generalización de la teoría, definimos la 2-forma del campo mediante 𝐹 = 𝑑𝐴 + 𝐴 ∧ 𝐴 y 𝐴 = 𝐸 𝐶 𝐴𝐶 , de esta manera tenemos entonces. 𝐹 = 𝑑𝐴 + 𝐴 ∧ 𝐴 (︀ )︀ (︀ )︀ 1 𝐵 𝐶 𝐸 𝐸 𝐹𝐶𝐵 = 𝑑 𝐸 𝐵 𝐴𝐵 + 𝐸 𝐴 𝐸 𝐵 𝐴𝐵 2 (︀ )︀ = 𝑑 𝐸 𝐵 𝐴𝐵 + 𝐸 𝐵 𝐸 𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐵 + (−1)𝐴𝐵 𝐸 𝐴 𝐸 𝐵 𝐴𝐴 𝐴𝐵. (3.29). 1 = 𝐸 𝐵 𝐸 𝐶 𝐷𝐶 𝐴𝐵 + (−1)𝐵𝐶 𝐸 𝐵 𝐸 𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶 + 𝐸 𝐵 𝐸 𝐶 𝑇 𝐷 𝐶𝐵 𝐴𝐷 2 donde 𝐴𝐴 𝐸 𝐵 = (−1)𝐴𝐵+0,1 𝐸 𝐵 𝐴𝐴 y definimos la torsión mediante 𝑑𝐸 𝐵 = 21 𝐸 𝐶 𝐸 𝐷 𝑇 𝐵 𝐶𝐷 𝐹𝐶𝐵 = 2𝐷[𝐶 𝐴𝐵) + 2 (−1)𝐵𝐶 𝐴[𝐵 𝐴𝐶) + 𝑇 𝐷 𝐶𝐵 𝐴𝐷. (3.30). lo anterior nos conduce a las siguientes expresiones donde se relacionan las magnitudes 𝑚 ), lo que nos de los campos. La componente no nula de la torsión es 𝑇 𝑚 𝛼𝛽 = 2𝑖(𝛾𝛼𝛽. permite escribir de forma más compacta las relaciones anteriores. 𝐹𝛼𝛽 = 𝐷𝛼 𝐴𝛽 + 𝐷𝛽 𝐴𝛼 − {𝐴𝛼 , 𝐴𝛽 } − 2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝐴𝑚 = {∇𝛼 , ∇𝛽 } − 2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝑚 𝐹𝑚𝛼 = 𝜕𝑚 𝐴𝛼 − 𝐷𝛼 𝐴𝑚 − [𝐴𝑚 , 𝐴𝛼 ] = [∇𝑚 , ∇𝛼 ] 𝐹𝑚𝑛 = 𝜕𝑚 𝐴𝑛 − 𝜕𝑛 𝐴𝑚 − [𝐴𝑚 , 𝐴𝑛 ] = [∇𝑚 , ∇𝑛 ].

(28) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 20. de esta manera podemos demostrar que todas las componentes de la torsión son nulas excepto 𝑇 𝑚 𝛼𝛽 = −2𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 , que corresponde a la dimensión 0. Al realizar el cálculo directo desde la definición de la intensidad de campo, obtenemos. 𝑠 ∧ 𝐹 = ∇2 = ∇ (∇𝐴 + 𝑠 ∧ 𝐴) = ∇2 𝑠 + ∇𝑠 ∧ 𝐴 + ∇ (𝑠 ∧ 𝐴) + 𝑠 ∧ 𝐴 ∧ 𝐴 (︀ )︀ = 𝑠 ∧ 𝐸 𝐴 ∇𝐴 𝑠. (3.31). donde 𝑠 es una 0-forma (campo escalar), entonces en términos de la torsión, tenemos 𝐹𝐴𝐵 = [∇𝐴 , ∇𝐵 ) + 𝑇 𝐶. 𝐵𝐴 ∇𝐶. (3.32). Finalmente podemos obtener las identidades de Bianchi. 𝑑𝐹 = 𝑑2 𝐴 + 𝐴 ∧ 𝑑𝐴 − 𝑑𝐴 ∧ 𝐴 𝑑𝐹 = 𝐴 ∧ (𝐹 − 𝐴 ∧ 𝐴) − (𝐹 − 𝐴 ∧ 𝐴) ∧ 𝐴 (3.33). 𝑑𝐹 = 𝐴 ∧ 𝐹 − 𝐹 ∧ 𝐴 𝑑𝐹 + [𝐹, 𝐴] = 0 ∇𝐹 = 0 en forma de componentes se tiene. ∇𝐹 = ∇. (︂. 1 𝐴 𝐵 𝐸 𝐸 𝐹𝐵𝐴 2. ∇[𝐷 𝐹𝐶𝐴) + 𝑇. 𝐵. )︂. [𝐷𝐶 𝐹|𝐵|𝐴). =0. (3.34). =0. ahora podemos escribir nuestras expresiones en términos de las super identidades de Bianchi.

(29) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 21. ∇(𝛼 𝐹𝛽𝜎) (𝑥, 𝜃) + 2𝑖 (𝛾 𝑛 )(𝛼𝛽 𝐹𝜎)𝑛 (𝑥, 𝜃) = 0 ∇𝑚 𝐹𝛼𝛽 (𝑥, 𝜃) + 2∇(𝛼 𝐹𝛽)𝑚 (𝑥, 𝜃) − 2𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝐹𝜎)𝑛 (𝑥, 𝜃) = 0 2∇[𝑚 𝐹𝑛]𝛼 (𝑥, 𝜃) + ∇𝛼 𝐹𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃) = 0. (3.35). ∇[𝑚 𝐹𝑛𝑝] (𝑥, 𝜃) = 0 los campos 𝐹𝐴𝐵 = (𝐹𝑚𝑛 , 𝐹𝑚𝛼 , 𝐹𝛼𝛽 ) satisfacen las condiciones del álgebra de Bianchi en el superespacio.. Ligaduras convencionales y dinámicas Ligaduras convencionales Partimos de la noción de que los campos pueden ser expandidos de la siguiente forma: • Para el campo biespinor simétrico 𝐹𝛼𝛽 (𝑥, 𝜃), se tiene. 𝐹𝛼𝛽 (𝑥, 𝜃) = (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝑓𝑚 (𝑥, 𝜃) + (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 𝑓𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 (𝑥, 𝜃). (3.36). donde hemos asumido que los índices espinoriales poseen la misma quiralidad • Para el vector-espinor 𝐹𝑚𝛼 (𝑥, 𝜃), se tiene 𝐹𝑚𝛼 (𝑥, 𝜃) = 𝑓˜𝑚𝛼 (𝑥, 𝜃) + (𝛾𝑚 )𝛽𝛼 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃). (3.37). el primer término corresponde a vector-espinor con traza nula • El campo 𝑓𝑚 (𝑥, 𝜃) se puede expandir en la base de Grassmaniana 𝜃𝛼. (2). (16). (0) (1) 𝑓𝑚 (𝑥, 𝜃) = 𝑓𝑚 (𝑥) + 𝜃𝛼 𝑓𝑚𝛼 + 𝜃𝛼 𝜃𝛽 𝑓𝑚𝛼𝛽 + 𝜃𝛼1 · · · 𝜃𝛼16 𝑓𝑚𝛼1 ···𝛼2 (𝑥). (3.38). donde el super índice de 𝑓 representa el orden de la potencia asociada, la cual corresponde a la expansión en 𝜃..

(30) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 22. Lo anterior también nos permite comprender como puede ser expandido el vector-espinor (1). (𝑓𝑚𝛼 (𝑥)) de la ecuación 3.37 , esto lo podemos realizar mediante la expansión en representaciones irreducibles (1) (1) 𝑓𝑚𝛼 = 𝑓˜𝑚𝛼 (𝑥) + (𝛾𝑚 )𝛼𝛽 𝜆𝛽 (𝑥). (3.39). (1) donde una vez más aparece un vector-espinor de traza nula 𝑓˜𝑚𝛼 (𝑥) y además se puede. observar la presencia de un campo espinorial 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) de igual dimensión al vectorespinor (︁ )︁ (︁ )︁𝛽 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) = 𝜓 (0) (𝑥) + 𝜃𝛼 𝜓 (0). 𝛽 𝛼. (3.40). es claro que al realizar nuevas expansiones sobre el campo espinorial se obtiene otro campo espinorial de igual dimensión al campo 𝐹𝑚𝛼 , a este se le conoce como el campo espinorial asociado a SYM en 𝐷 = 10 cuya dimensión física es 23 , de lo anterior podemos describir formas de expansión de los campos de la teoría a partir de una restricción que contenga las identidades de Bianchi actuando sobre el superespacio. Ligaduras dinámicas. (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 (𝑥, 𝜃) = 0 (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 (𝛾𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝜆𝜎 𝐹𝜆𝜎 (𝑥, 𝜃) = 0. (3.41). este tipo de ligadura elimina la 5-forma en la expansión del campo 𝐹𝛼𝛽 , en forma resumida las condiciones de ligadura cumplen la condición 𝐹𝛼𝛽 (𝑥, 𝜃) = 0. si ahora reemplazamos esta condición en las identidades de Bianchi, obtenemos.

(31) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 23. (𝛾 𝑛 )(𝛼𝛽 𝐹𝜎)𝑛 (𝑥, 𝜃) = 0 [︁ ]︁ (𝛾 𝑛 )(𝛼𝛽 𝑓^𝜎)𝑛 (𝑥, 𝜃) + (𝛾𝑛 )𝜎)𝜆 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 0 (𝛾 𝑛 )(𝛼𝛽 𝑓^𝜎)𝑛 (𝑥, 𝜃) + (𝛾 𝑛 )(𝛼𝛽 (𝛾𝑛 )𝜎)𝜆 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 0 (𝛾 𝑛 )(𝛼𝛽 𝑓^𝜎)𝑛 (𝑥, 𝜃) = 0 𝑓^𝜎𝑛 (𝑥, 𝜃) = 0. (3.42). ∇(𝛼 𝐹𝛽)𝑚 (𝑥, 𝜃) − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝐹𝑛𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 (︁ )︁ (𝛾𝑠 )𝛼𝛽 ∇(𝛼 𝐹𝛽)𝑚 (𝑥, 𝜃) − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝐹𝑛𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 (︁ )︁ (𝛾𝑝𝑞𝑟𝑠𝑡 )𝛼𝛽 ∇(𝛼 𝐹𝛽)𝑚 (𝑥, 𝜃) − 𝑖 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝐹𝑛𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 ∇[𝑚 𝐹𝑛𝑝] (𝑥, 𝜃) = 0 en este sentido 𝐹𝑚𝛼 = (𝛾𝑚 )𝛼𝛽 𝜓 𝛽. (3.43). utilizando las propiedades de ortogonalidad de las matrices gamma y la identidad (︀ (𝑚 )︀ (︀ 𝑛) )︀𝛽𝜆 = 𝜂 𝑚𝑛 𝛿𝛼𝜆 , como se muestra en el apéndice A, podemos obtener 𝛾 𝛾 𝛼𝛽. − (𝛾𝑠 )𝛼𝛽 (𝛾𝑚 )(𝛽|𝜆| ∇𝛼) 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) − 𝑖 (𝛾𝑠 )𝛼𝛽 (𝛾 𝑛 )𝛼𝛽 𝐹𝑛𝑚 (𝑐, 𝜃) = 0 − (𝛾𝑠 )𝛼𝛽 (𝛾𝑚 )𝛽𝜆 ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) − 16𝑖𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 − (𝜂𝑠𝑚 𝛿𝜆𝛼 + (𝛾𝑠𝑚 )𝛼 𝜆 ) ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) − 16𝑖𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 − (𝛾𝑠𝑚 )𝛼. 𝜆 ∇𝛼 𝜓. 𝜆. (3.44). (𝑥, 𝜃) − 16𝑖𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) − 𝜂𝑠𝑚 𝛿𝜆𝛼 ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 0. donde identificamos la antisimetría de los índices 𝑠 y 𝑚 en los dos primero términos y la simetría en los dos últimos índices, entonces.

(32) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 16𝑖𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) = − (𝛾𝑠𝑚 )𝛼. 𝜆 ∇𝛼 𝜓. 𝜆. 24. 𝑖 (𝛾𝑠𝑚 )𝛼 𝜆 ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) 16 𝑖 𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) = (𝛾𝑠𝑚 )𝛼 𝜆 (𝛾𝑝𝑞 )𝜆 𝛼 𝐶 [𝑝𝑞] (𝑥, 𝜃) 16 𝑖 𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) = 𝑇 𝑟 (𝛾𝑠𝑚 𝛾𝑝𝑞 ) 𝐶 [𝑝𝑞] (𝑥, 𝜃) 16. (𝑥, 𝜃) → 𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) =. 𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) = −2𝑖𝐶[𝑠𝑚] (𝑥, 𝜃). 𝛿𝜆𝛼 ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 0 son las ecuaciones asociadas, mediante el uso de la ortogonalidad de las matrices gamma entre la 1-forma y la 5-forma. Ahora es fácil determinar la expansión del coespinor ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃), donde los índices contienen quiralidad opuesta. ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 𝛿𝛼𝜆 𝐶 (0) (𝑥, 𝜃) + (𝛾𝑚𝑛 )𝜆. 𝛼𝐶. [𝑚𝑛]. (𝑥, 𝜃) + (𝛾𝑚𝑛𝑝𝑞 )𝜆. 𝛼𝐶. [𝑚𝑛𝑝𝑞]. (𝑥, 𝜃). (3.45). y al reemplazar en la expresión 3.44, se obtiene. 𝑖 (𝛾𝑠𝑚 )𝛼 𝜆 (𝛾𝑝𝑞 )𝜆 𝛼 𝐶 [𝑝𝑞] (𝑥, 𝜃) 16 𝑖 = 𝑇 𝑟 (𝛾𝑠𝑚 𝛾𝑝𝑞 ) 𝐶 [𝑝𝑞] (𝑥, 𝜃) 16. 𝐹𝑠𝑚 (𝑥, 𝜃) =. (3.46). = −2𝑖𝐶[𝑠𝑚] (𝑥, 𝜃) este es el punto que más no interesa observar, debido a las reglas de operación entre los campos.

(33) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. (︀ )︀ (𝛾𝑝𝑞𝑟𝑠 )𝛼𝛽 ∇(𝛼 𝐹𝛽)𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 (︁ )︁ (𝛾𝑝𝑞𝑟𝑠𝑡 )𝛼𝛽 (𝛾𝑚 )(𝛽|𝜆| ∇𝛼) 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 0 (︁ )︁ (𝛾𝑝𝑞𝑟𝑠𝑡 )𝛼𝛽 (𝛾𝑚 )𝛽𝜆 ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 0 𝑖 𝑇 𝑟 (𝛾𝑝𝑞𝑟𝑠𝑡 𝛾𝑚 𝛾𝑙𝑘 ) 𝐹 𝑙𝑘 (𝑥, 𝜃) + 𝑇 𝑟 (𝛾𝑝𝑞𝑟𝑠𝑡 𝛾𝑚 𝛾𝑙𝑘𝑢𝑣 ) 𝐶 [𝑙𝑘𝑢𝑣] (𝑥, 𝜃) = 0 2. 25. (3.47). 𝑚𝑙𝑘𝑢𝑣 16 · 5𝛿𝑝𝑞𝑟𝑠𝑡 𝐶[𝑙𝑘𝑢𝑣] (𝑥, 𝜃) = 0. 𝐶[𝑞𝑟𝑠𝑡] (𝑥, 𝜃) = 0. ∇𝛼 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) =. 𝑖 (𝛾𝑚𝑛 )𝜆 2. 𝛼𝐹. 𝑚𝑛. (𝑥, 𝜃). (3.48). expandiendo los campos de la siguiente forma. )︁ 𝜆 (︁ (𝑥) + . . . 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) = 𝜒𝜆 (𝑥) + 𝜃𝛼 𝜓 (1) 𝛼 (︁ )︁ 𝑚𝑛 𝐹 𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃) = 𝐹 𝑚𝑛 (𝑥) + 𝜃𝛼 𝐹 (1) (𝑥) + . . .. (3.49). 𝛼. ∇𝛼 ∇𝛽 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) =. 𝑖 (𝛾𝑚𝑛 )𝜆 2. ∇𝛼 𝐹 𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃). (3.50). ∇𝛼 𝐹𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃) + 2∇[𝑚 𝐹𝑛]𝛼 (𝑥, 𝜃) = 0 (︀ )︀ ∇𝛼 𝐹𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃) + 2∇[𝑚 𝛾𝑛] 𝛼𝛿 𝜓 𝛿 (𝑥, 𝜃) = 0 (︀ )︀ ∇𝛼 𝐹𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃) + 2 𝛾[𝑛 |𝛼𝛿| ∇𝑚] 𝜓 𝛿 (𝑥, 𝜃) = 0. (3.51). 𝛽. donde se obtiene. de la misma manera.

(34) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 𝑖 𝑚𝑛 𝜆 (𝛾 ) 2. 26. [︁ (︀ )︀ ]︁ 𝛿 −2 𝛾 ∇ 𝜓 (𝑥, 𝜃) [𝑛 𝑚] 𝛽 |𝛼𝛿| [︁ ]︁ = −𝑖 (𝛾 𝑚𝑛 )𝜆 𝛽 (𝛾𝑛 )𝛼𝛿 ∇𝑚 𝜓 𝛿 (𝑥, 𝜃). ∇𝛼 ∇𝛽 𝜓 𝜆 (𝑥, 𝜃) =. (3.52). lo cual cumple con la condición ∇[𝑚 𝐹𝑛𝑝] (𝑥) = 0. (3.53). finalmente se obtiene. 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝑚 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) = − {∇𝛼 , ∇𝛽 } 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) 2 [︁(︀ )︀ ]︁ = − (𝛾 𝑚𝑛 )𝛽 (𝛼 𝛾|𝑛| 𝛽)𝛿 ∇𝑚 𝜓 𝛿 (𝑥, 𝜃) 1 [︁ = − (𝛾 𝑚𝑛 )𝛽 𝛼 (𝛾𝑛 )𝛽𝛿 ∇𝑚 𝜓 𝛿 (𝑥, 𝜃) + (𝛾 𝑚𝑛 )𝛽 2 1 = − (𝛾𝑛 𝛾 𝑚𝑛 )𝛿𝛼 ∇𝑚 𝜓 𝛿 (𝑥, 𝜃) 2 7 𝑚 = (𝛾 )𝛼𝛽 ∇𝑚 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) 2. ]︁ 𝛿 (𝛾 ) ∇ 𝜓 (𝑥, 𝜃) 𝑛 𝑚 𝛼𝛿 𝛽. (3.54) donde el término de la 1-forma de la matrices gamma sigue (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝑚 𝜒𝛽 (𝑥) = 0 por último se obtiene la expansión. (3.55).

(35) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 27. (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝜎 ∇𝑚 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) = 0 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 [∇𝜎 , ∇𝑚 ] 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) + (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 ∇𝑚 ∇𝜎 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) = 0 [︁ ]︁ 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝐹𝜎𝑚 (𝑥, 𝜃)𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) + 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃)𝐹𝜎𝑚 (𝑥, 𝜃) + (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 (𝛾𝑝𝑞 )𝛽 𝜎 ∇𝑚 𝐹 𝑝𝑞 (𝑥, 𝜃) = 0 2 (︁ )︁ 𝑖 𝑚 𝜆 𝛽 − (𝛾 )𝛼𝛽 (𝛾𝑚 )𝜎𝜆 𝜓 , 𝜓 (𝑥, 𝜃) + (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 (𝛾𝑝𝑞 )𝛽 𝜎 ∇𝑚 𝐹 𝑝𝑞 (𝑥, 𝜃) = 0 2 (︁ )︁ 𝑖 − (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 (𝛾 𝑛 )𝛼𝜎 (𝛾𝑚 )𝜎𝜆 𝜓 𝜆 , 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) − (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 (𝛾 𝑛 )𝛼𝜎 (𝛾𝑝𝑞 )𝜎 𝛽 ∇𝑚 𝐹 𝑝𝑞 (𝑥, 𝜃) = 0 2 (︁ )︁ 𝑖 𝑚 𝑛 𝜆 𝛽 − (𝛾 𝛾 𝛾𝑚 )𝛽𝜆 𝜓 , 𝜓 (𝑥, 𝜃) − 𝑇 𝑟 (𝛾 𝑚 𝛾 𝑛 𝛾𝑝𝑞 ) ∇𝑚 𝐹 𝑝𝑞 (𝑥, 𝜃) = 0 2 (︁ )︁ 𝑚𝑛 8 (𝛾 𝑛 )𝛽𝜆 𝜓 𝜆 , 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) + 16𝑖𝛿𝑝𝑞 ∇𝑚 𝐹 𝑝𝑞 (𝑥, 𝜃) = 0 (3.56) donde el campo físico 𝐹 𝑚𝑛 al aplicarle la identidades de super bianchi, toma la forma ∇𝑚 𝐹 𝑚𝑛 (𝑥, 𝜃) =. )︁ )︁ (︁ (︁ 𝑖 𝑖 𝑛 (𝛾 )𝛽𝜆 𝜓 𝜆 , 𝜓 𝛽 (𝑥, 𝜃) = (𝛾 𝑛 )𝛽𝜆 𝜒𝜆 , 𝜒𝛽 (𝑥) 2 2. (3.57). Teoría Gauge y transformaciones SUSY en el superespacio Las ligaduras convencionales nos muestran como se relacionan los campos 𝐴𝑚 y 𝐴𝛼. (𝛾 𝑝 )𝛼𝛽 𝐹𝛼𝛽 (𝑥, 𝜃) = 0 (︁ )︁ 𝑝 𝛼𝛽 𝑚 (𝛾 ) 𝐷𝛼 𝐴𝛽 + 𝐷𝛽 𝐴𝛼 − (𝐴𝛼 , 𝐴𝛽 ) − 2𝑖 (𝛾 )𝛼𝛽 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0 (︁ )︁ (𝛾 𝑝 )𝛼𝛽 𝐷𝛼 𝐴𝛽 − 𝐴𝛼 𝐴𝛽 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃) = 0. 𝐴𝑝 (𝑥, 𝜃) = −. 𝑖 (𝛾 𝑝 )𝛼𝛽 (𝐷𝛼 𝐴𝛽 (𝑥, 𝜃) − 𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃)𝐴𝛽 (𝑥, 𝜃)) 16. (3.58). el supercampo 𝐴𝑝 (𝑥, 𝜃) es determinado mediante el supercampo 𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃). Sin embargo nuestro trabajo se enfoca principalmente en el campo 𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃). El cual satisface la invariancia de gauge por medio de la super-conexión, donde el índice 𝐴 = (𝑚, 𝛼) y Λ es.

(36) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 28. un supercampo escalar bosónico. Tenemos en particular 𝛿𝐴𝐴 (𝑥, 𝜃) = ∇𝐴 Λ(𝑥, 𝜃). 𝛿𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃) = ∇𝛼 Λ(𝑥, 𝜃) (3.59). 𝛿𝐴𝛼 = 𝐷𝛼 Λ(𝑥, 𝜃) + [∇, 𝐴𝛼 ] (𝑥, 𝜃) = 𝜕𝛼 Λ(𝑥, 𝜃) + 𝑖 (𝜃𝛾 𝑚 )𝛼 𝜕𝑚 Λ(𝑥, 𝜃) + [Λ, 𝐴𝛼 ] (𝑥, 𝜃) podemos expandir los supercampos de la siguiente manera. (1). (2). 𝛽1 𝛽1 𝛽2 𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃) = 𝐴(0) 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 + . . . 𝛼 (𝑥) + 𝜃 𝐴𝛼𝛽1 (𝑥) + 𝜃 (1). (2). Λ(𝑥, 𝜃) = Λ(0) (𝑥) + 𝜃𝛽1 Λ𝛽1 Λ𝛽1 (𝑥) + 𝜃𝛽1 𝛽2 Λ𝛽1 𝛽2 + . . .. (3.60) (3.61). reemplazando estas expresiones en la ecuación 3.59 y luego aplicando la invariancia de gauge a cada nivel de 𝜃, se obtiene. [︁ ]︁ (1) 𝑚 (0) (0) (0) 𝛿𝐴(0) (𝑥) = Λ (𝑥) + 𝑖 (𝜃𝛾 ) 𝜕 Λ (𝑥) + Λ , 𝐴 (𝑥) 𝑚 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 [︁ ]︁ (1) (2) (1) 𝜃𝛽1 𝛿𝐴𝛼𝛽1 (𝑥) = 2𝜃𝛽1 Λ𝛼𝛽1 (𝑥) + 𝑖 (𝜃𝛾 𝑚 )𝛼 𝜃𝛽1 𝜕𝑚 Λ𝛽1 (𝑥) + 𝜃𝛽1 Λ(0) , 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥)+ {︁ }︁ (1) + 𝜃𝛽1 Λ𝛽1 , 𝐴(0) (𝑥) 𝛼 (2). (3). (2). 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝛿𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) = 3𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 Λ𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) + 𝑖 (𝜃𝛾 𝑚 )𝛼 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝜕𝑚 Λ𝛽1 𝛽2 (𝑥)+ [︁ ]︁ [︁ ]︁ (1) (1) (2) + 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 Λ𝛽2 , 𝐴𝛼𝛽1 (𝑥) + 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 Λ𝛽1 𝛽2 , 𝐴(0) (𝑥) 𝛼 = ... lo que es igual. [︁ ]︁ (1) (0) (0) 𝛿𝐴(0) (𝑥) 𝛼 (𝑥) = Λ𝛼 (𝑥) + Λ , 𝐴𝛼 [︁ ]︁ (︁ ]︁ (1) (2) (1) (1) 𝛿𝐴𝛼𝛽1 (𝑥) = 2Λ𝛼𝛽1 + 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝑚 Λ(0) (𝑥) + Λ(0) , 𝐴𝛼𝛽1 (𝑥) + Λ𝛽1 , 𝐴(0) (𝑥) 𝛼.

(37) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 29. [︁ ]︁ [︁ ]︁ (2) (3) (1) (2) (1) (1) 𝛿𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) = 3Λ𝛼𝛽1 𝛽2 + 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝑚 Λ𝛽2 (𝑥) + Λ(0) , 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) + Λ𝛽1 , 𝐴𝛼𝛽1 (𝑥)+ [︁ ]︁ (2) + Λ𝛽1 𝛽2 , 𝐴(0) (𝑥) 𝛼 Para nuestras intenciones de obtener la expansión de los supercampos y su respectiva cohomología es importante introducir lo siguiente: Análisis de la invariancia de gauge En esta parte del trabajo vamos a realizar un análisis detallado de la simplificación de las expresiones de los supercampos en términos de la base de la matrices gamma y de las ligaduras que proporcionan la identidades de bianchi en el superespacio, es así como obtenemos (0). • Nivel cero de 𝜃, componente 𝐴𝛼 (𝑥) [︁ ]︁ (0) (0) (0) Λ(1) = −𝐴 (𝑥) − Λ , 𝐴 (𝑥) 𝛼 𝛼 𝛼. (3.62). para este caso es fácil determinar el correspondiente nivel de gauge, debido a que no existe relación entre los índices. (1). • Primer nivel de 𝜃, componente 𝐴𝛼𝛽 (𝑥), para este caso tenemos antisimetría entre los índices 𝛼 y 𝛽, la descomposición en representaciones irreducibles. ⊕ (10000) (00010) ⊗ (00010) = (00020) ⊕ (00100) (00010)⊗𝐴 2 = (00100). (3.63). se puede identificar que los índices antisimétricos son proporcionales a la 3-forma de las matrices gamma, así podemos descartar la 3-forma y expandir el campo en la 5-forma, mediante el uso de las ligaduras dinámicas, como sigue.

(38) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 30. (︀ )︀ 𝑚 (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 𝐷𝛼 𝐴𝛽 − 𝐴𝛼 𝐴𝛽 − 𝑖𝛾𝛼𝛽 𝐴𝑚 (𝑥) = 0 (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 (𝜕𝛼 𝐴𝛽 + 𝑖 (𝜃𝛾 𝑚 )𝛼 𝜕𝑚 𝐴𝛽 − 𝐴𝛼 𝐴𝛽 ) (𝑥) = 0. (3.64). (1). (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 𝐴𝛼𝛽 (𝑥) = 0 por lo tanto, ahora solo nos queda el término de la 1-forma la cual corresponde a (1). la invariancia de gauge para el primer nivel de 𝜃, es decir 𝐴𝛼𝛽 (𝑥) = 𝑖(𝛾 𝑚 )𝛼𝛽 𝑎𝑚 (𝑥), donde 𝑎𝑚 (𝑥) es un potencial de gauge para SYM en 𝐷 = 10 y puede ser escrito en términos de los supercampos como. 𝑖 (𝛾𝑚 )𝛼𝛽 (𝐷𝛼 𝐴𝛽 − 𝐴𝛼 𝐴𝛽 ) (𝑥, 𝜃) 16 (︁ )︁ 𝑖 = − (𝛾𝑚 )𝛼𝛽 𝜕𝛼 𝑖𝜃𝛽2 (𝛾 𝑛 )𝛽1 𝛽2 𝑎𝑛 (𝑥) 16 1 (𝛾𝑚 )𝛼𝛽 (𝛾 𝑛 )𝛽𝛼 𝑎𝑛 (𝑥) = 16. 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃) = − 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃)|𝜃=0 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃)|𝜃=0. (3.65). 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃) = 𝑎𝑚 (𝑥) donde se satisface las transformaciones de gauge 3.59. [︁ ]︁ (1) (1) 𝛿𝐴𝛼𝛽 = 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽1 𝜕𝑚 Λ(0) (𝑥) + Λ(0) , 𝐴𝛼𝛽1 (𝑥) [︁ ]︁ 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽1 𝛿𝑎𝑚 = 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽1 𝜕𝑚 Λ(0) (𝑥) + 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼𝛽1 Λ(0) , 𝑎𝑚 (𝑥) [︁ ]︁ 𝛿𝑎𝑚 (𝑥) = 𝜕𝑚 Λ(0) (𝑥) + Λ(0) , 𝑎𝑚 (𝑥) (2). (3.66). • Segundo nivel de 𝜃, componente 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 , una vez más para este caso tenemos que utilizar la descomposición en representaciones irreducibles.

(39) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 31. ⊕ (01001)⊕ (00010) ⊗ (00010)⊗𝑆 2 = (00020) ⊕ (10000) = (00030) ⏟ ⏞ ⊗(00010). (3.67). ⊕ (00001) ⊕ (10010) ⊕ (00010)⊗𝐴 3 = (00030) (10010). utilizando las ligaduras dinámicas para la 5-forma de las matrices gamma se tiene. (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 (𝜕𝛼 𝐴𝛽 + 𝑖 (𝜃𝛾 𝑚 )𝛼 𝜕𝑚 𝐴𝛽 − 𝐴𝛼 𝐴𝛽 ) (𝑥, 𝜃) = 0 (3.68). (2). (𝛾 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 )𝛼𝛽 𝜃𝛽1 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) = 0 (2). 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) = (𝛾 𝑚𝑛𝑝 )𝛽𝛽1 𝑓𝑚𝑛𝑝𝛼 (𝑥) (2). donde 𝑓𝑚𝑛𝑝𝛼 = (𝛾𝑚𝑛𝑝 )𝛼𝜎 𝜁 𝜎 es antisimétrico en 𝑚, 𝑛 y 𝑝. Así 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) toma la forma. (2). 𝐴𝛼𝛽1 𝛽2 (𝑥) = (𝛾)𝛽1 𝛽2 (𝛾𝑚𝑛𝑝 )𝛼𝜎 𝜁 𝜎. (︀. 𝛾 𝑟𝑠𝑡𝑢𝑣. )︀𝛼𝛽. 𝜃𝛽1 (𝛾 𝑚𝑛𝑝 )𝛽1 𝛽2 (𝛾𝑚𝑛𝑝 )𝛼𝜎 𝜁 𝜎 → −𝜃𝛾 𝑚𝑛𝑝 𝛾 𝑟𝑠𝑡𝑢𝑣 𝛾𝑚𝑛𝑝 𝜁 = 0. (3.69). (3.70). donde también se puede observar la expansión del supercampo 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃) en el primer nivel como (utilizando ligaduras convencionales). (1). (︁ )︁ 𝑖 (𝛾𝑟 )𝛼𝛽 2𝜃𝛽1 𝐴𝛼𝛽𝛽1 (𝑥) 16 𝑖 = − (𝛾𝑟 )𝛼𝛽 𝜃𝛽1 (𝛾 𝑚𝑛𝑝 )𝛽𝛽1 (𝛾𝑚𝑛𝑝 )𝛼𝜎 𝜁 𝜎 (𝑥) 8 48𝑖 · 3! 𝛽1 =− 𝜃 (𝛾𝑟 )𝛽1 𝜎 𝜁 𝜎 (𝑥) 8. 𝜃𝛽1 𝐴𝑟𝛽1 (𝑥) = −. = −36𝑖 (𝛾𝑟 )𝛽1 𝜎 𝜁 𝜎 (𝑥). (3.71).

(40) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 32. y nos permite escribir las expansiones de los campos correspondientes, como sigue. 𝐴𝑚 (𝑥, 𝜃) = 𝑎𝑚 (𝑥) + 𝑖𝜃𝛾𝑚 𝜒 + . . . 𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃) = 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼 𝑎𝑚 − +. 3.3. 1 (𝜃𝛾 𝑚𝑛𝑝 𝜃) (𝛾𝑚𝑛𝑝 𝜒)𝛼 + 36. (3.72). 1 𝑚𝑛𝑝𝑞𝑟 (𝛾 𝜃)𝛼 (𝜃𝛾𝑚𝑛𝑝 𝜃) (𝜕𝑚 𝑎𝑛 + 𝑎𝑟 𝑎𝑞 ) + . . . 24. Cálculo de la cohomología del operador 𝑄. En esta parte del trabajo obtenemos las ecuaciones de movimiento y la invariancia de gauge de los campos físicos emergentes de la expansión de los supercampos mediante la aplicación del operador 𝑄. Este operador es construido a partir de un tipo de espinores, denominados espinores puros. La aproximación al formalismo de los espinores puros a SYM fue introducido por N. Berkovits quién desarrolló la idea de cuantizar covariantemente la supercuerda de Green-Schwarz [15] y ajustar la teoría de gauge a los campos adicionales tipo "ghost"[1], con el objetivo de obtener los grados de libertad correspondientes al sistema. Para obtener super Yang-Mills, N. Berkovits trabajo en el formalismo espinorial puro 𝜆𝛼 en 𝐷 = 10, que satisface la condición del espinor de Majorana-Weyl y demuestra los campos contenidos en la configuración on-shell mediante la ligadura espinorial pura (𝜆𝛼 𝛾 𝑚 𝜆𝛽 ) = 0. (3.73). donde se desarrolla mediante el parámetro bosónico 𝜆𝛼 y el fermiónico 𝜆𝛽 y se puede observar que las ligaduras se encuentran definidas covariantemente en las representaciones del grupo de Lorentz, lo cual desarrolla transformaciones espinoriales puras. Como se va a mostrar más adelante las ligaduras de los espinores puros reducen el número de componentes independientes a 11. Lo anterior es posible simplemente rompiendo la simetría manifiesta de Lorentz y escogiendo una base de matrices gamma apropiadas..

(41) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 3.3.1. 33. Primera potencia de 𝜆. Para alcanzar una correcta descripción, empezamos definiendo los campos asociados en la teoría, en términos de las representaciones irreducibles del grupo 𝑆𝑂(1, 9) ≈ 𝐷5 [5], los campos transforman 𝐴𝛼 ∼ (00010);. 𝜆𝛼 ∼ (00001);. 𝐷𝛿1 · · · 𝐷𝛿𝑛 𝜆 ∼ (𝑛0001).. (3.74). con base en lo anterior, podemos ahora definir el operador 𝑄, mediante 𝑄 = 𝜆𝛼 𝐷𝛼 = 𝜆𝛼 (𝜕𝛼 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼 𝜕𝑚 ). (3.75). donde 𝜆𝛼 es un espinor puro. Q es un operador BRST diferente al generador del álgebra SUSY (𝑄𝛼 ). Para demostrar que 𝑄 es nilpotente cuando actúa sobre un campo ordinario tenemos. 𝑄2 Ψ = (𝜆𝛼 𝜕𝛼 − 𝑖(𝜆𝛾 𝑚 𝜃)𝜕𝑚 )(𝜆𝛽 𝜕𝛽 − 𝑖(𝜆𝛾 𝑛 𝜃)𝜕𝑛 )Ψ = 𝜆𝛼 𝜆𝛽 𝜕𝛼 𝜕𝛽 Ψ − 𝑖(𝜆𝛾 𝑛 𝜆)𝜕𝑛 Ψ + 𝑖𝜆𝛼 (𝜆𝛾 𝑛 𝜃)𝜕𝑛 𝜕𝛼 Ψ− − 𝑖𝜆𝛽 (𝜆𝛾 𝑚 𝜃)𝜕𝑚 𝜕𝛽 Ψ − 𝑖(𝜆𝛾 𝑚 𝜃)(𝜆𝛾 𝛽 𝜃)𝜕𝛼 𝜕𝛽 Ψ. (3.76). =0 el primer término de la segundo linea de la ecuación 3.76 es cero debido al producto de los espinores puros es simétrico, mientras que las dos derivadas son anticonmutativas. el segundo término es cero por las ligaduras de los espinores puros 3.73. Por último los dos siguientes términos se cancelan entre sí y el último es nulo debido a la simetría opuesta de los indices 𝛼 y 𝛽 de los matrices gamma comparado a sus derivadas. Es importante tener en cuenta el calculo del operador 𝑄 para esta cohomología. Para el operador 𝑄 actuando sobre un espacio vectorial (𝑄 : Λ → Λ), se tiene que la cohomología es un espacio vectorial cociente 𝐻 (𝑄) =. 𝐾𝑒𝑟(𝑄) 𝐼𝑚(𝑄) ,. en otras palabras los elementos del.

(42) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 34. espacio vectorial cerrado a 𝑄 no son exactos. El espacio Λ es el espacio de funciones de las variables 𝑥𝑚 , 𝜃𝛼 y 𝜆𝛼 . Específicamente nos restringimos a las funciones que pueden ser expandidas en series de potencia de 𝜃 y 𝜆. Lo anterior es debido a la antisimetría de orden superior de 𝜃. Una función general en el espacio Λ puede ser expandida, apéndice B. (︁ 𝛼1 𝛽1 (1) 𝛼1 𝛽1 𝛽2 (2) 𝑄Ψ = 𝑄 𝜆𝛼1 𝐴(0) 𝛼1 (𝑥) + 𝜆 𝜃 𝐴𝛼1 𝛽1 (𝑥) + 𝜆 𝜃 𝜃 𝐴𝛼1 𝛽1 𝛽2 (𝑥) + · · · (0). (1). (2). +𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛽1 (𝑥) + 𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜃𝛽1 𝐴𝛼1 𝜆2 𝛽1 (𝑥) + 𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛽1 𝛽2 (𝑥)+ (3). + 𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝜃𝛽3 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛽1 𝛽1 𝛽3 (𝑥) + · · · (1). (2). 𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 𝛽2 +𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜆𝛼3 𝐴(0) 𝛼1 𝛼2 𝛼3 (𝑥) + 𝜆 𝜆 𝜆 𝜃 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 + 𝜆 𝜆 𝜆 𝜃 𝜃 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 𝛽2 (𝑥)+ (3). (3). + 𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜆𝛼3 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝜃𝛽3 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 𝛽2 𝛽3 (𝑥) + 𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜆𝛼3 𝜃𝛽1 · · · 𝜃𝛽4 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 ···𝛽4 (𝑥)+ )︁ (5) + 𝜆𝛼1 𝜆𝛼2 𝜆𝛼3 𝜃𝛽1 · · · 𝜃𝛽5 𝐴𝛼1 𝛼2 𝛼3 𝛽1 ···𝛽5 (𝑥) (3.77) más adelante vamos a observar como el operador 𝑄 actua sobre el subespacio vectorial de la forma 𝑄 : Λ(𝑖,𝑗) → Λ(𝑖+1,𝑗−1). ⨁︁. Λ(𝑖+1,𝑗+1). (3.78). El efecto de que 𝑄 no incluya diferentes niveles de 𝜆 indica que la cohomología en cada subespacio proporciona una específica potencia de 𝜆. Si ahora definimos el subespacio ⨁︀ (𝑖,𝑗) y asignamos 𝑄 (𝑖) Λ(𝑖) = 16 (𝑖) al subespacio Λ , la cohomología para una potencia 𝑗=1 Λ dada (𝑖) de 𝜆 es 𝐻 (𝑖) (𝑄) = 𝐻(𝑄(𝑖) ) = 𝐾𝑒𝑟(𝑄(𝑖) )/𝐼𝑚(𝑄𝑖−1 ), es así entonces que podemos obtener la cohomología completa a partir de 𝐻(𝑄) =. ⨁︁. 𝐻 (𝑖) (𝑄). (3.79). 𝑖. ahora nos podemos disponer al realizar los cálculos de la cohomología 𝑄, considerando el primer nivel de 𝜆, es decir 𝐻 (1) (𝑄). Para esta caso tenemos el espacio de los campos.

(43) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 35. dados por las funciones de la forma 𝜆𝛼 𝐴𝛼 (𝑥, 𝜃), donde 𝐴𝛼 puede ser expandido, apéndice B (1). (16). 𝛽1 𝛽1 𝛽16 𝑎𝛼1 𝛽1 ···𝛽16 (𝑥) 𝐴𝛼1 (𝑥, 𝜃) = 𝑎(0) 𝛼1 (𝑥) + 𝜃 𝑎𝛼1 𝛽1 (𝑥) + · · · + 𝜃 · · · 𝜃. (3.80). para un campo particular 𝐴𝛼 la cohomología debería satisfacer (3.81). 𝑄𝜆𝛼1 𝐴𝛼1 = 𝜆𝛿 𝐷𝛿 𝜆𝛼1 𝐴𝛼1 = 𝜆𝛿 𝜆𝛼1 𝐷𝛿 𝐴𝛼1. donde la última igualdad no contiende derivadas con respecto 𝜆𝛼 . Ahora los dos índices de los espinores puros pueden ser expandidos en matrices gamma, debido a que los espinores puros conmutan con solo los términos proporcionales a 𝛾 (1) y 𝛾 (5) , 𝜆 𝛿 𝜆 𝛼1 =. 1 (𝛾𝑎1 ···𝑎5 )𝛿𝛼1 (𝜆𝛾 𝑎1 ···𝑎5 𝜆) 16 · 5!. (3.82). así, la ecuación de movimiento de los elementos cerrados de 𝑄 son equivalentes a (︀ (5) )︀𝛼𝛽 𝛾 𝐷𝛼 𝐴𝛽 = 0 [19]. Sin embargo, todavía no se ha identificado los campos exactos asociados 𝑄, lo cual puede ser interpretado mediante la siguiente invariancia de gauge 𝜆𝛼 𝛿𝐴𝛼 = 𝑄Ω = 𝜆𝛼 𝐷𝛼 Ω, donde Ω ∈ Λ(0) puede expandirse, apéndice B (1). (16). Ω(𝑥, 𝜃) = 𝜔 (0) (𝑥) + 𝜃𝛽1 𝜔𝛽1 (𝑥) + · · · + 𝜃𝛽1 · · · 𝜃𝛽16 𝜔𝛽1 ···𝛽16 (𝑥). (3.83). de esta manera tenemos para los diferentes niveles de la expansión Invariancia de gauge y ecuación de movimiento Encontramos la ecuación de movimiento y la invariancia de gauge respectivamente, de los términos de la expansión 3.77 • Nivel cero de 𝜃 (invariancia de gauge).

(44) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 𝜆𝛼1 𝛿𝐴𝛼1 = 𝜆𝛼1 𝐷𝛼1 Ω )︀ (︀ 𝛼1 𝜆𝛼1 𝛿𝑎(0) 𝜕𝛼1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼1 𝜕𝑚 𝜔 (0) (𝑥) 𝛼1 = 𝜆 )︁ (︁ = 𝜆𝛼1 𝜕𝛼1 𝜔 (0) − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼1 𝜕𝑚 𝜔 (0) (𝑥). 36. (3.84). = 𝜔𝛼(1) (𝑥) 1 Para esta cohomología, no existe correspondencia entre los índices de la invariancia de gauge y la ecuación de movimiento, debido a esto la invariancia de gauge para el supercampo, esta dada por. (1) 𝑎(0) 𝛼 1 = 𝜔𝛼 1. (3.85). • Nivel cero de 𝜃 (ecuación de movimiento). 𝛼1 𝛿 𝑚 (0) 𝜆𝛼1 𝜆𝛿 𝐷𝛿 𝑎(0) 𝛼1 = 𝜆 𝜆 (𝜕𝛿 − 𝑖 (𝛾 𝜃)𝛿 𝜕𝑚 ) 𝑎𝛼1 (𝑥) )︁𝛼1 𝛿 (︁ (︁ )︁ (0) (5) 𝑚 (0) 𝜕𝛿 𝑎𝛼1 − 𝑖 (𝛾 𝜃)𝛿 𝜕𝑚 𝑎𝛼1 (𝑥) = 𝛾 )︁𝛼1 𝛿 (︁ (1) = 𝛾 (5) 𝑎𝛼1 𝛿 (𝑥) = 0. (3.86). • Primer nivel de 𝜃 (invariancia de gauge) (︀ )︀ (1) (1) 𝜃𝛽1 𝜆𝛼1 𝛿𝑎𝛼1 𝛽1 (𝑥) = 𝜃𝛽1 𝜆𝛼1 𝜕𝛼1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼1 𝜕𝑚 𝜔𝛽1 (𝑥) (︁ )︁ (1) (1) = 𝜃𝛽1 𝜆𝛼1 𝜕𝛼1 𝜔𝛽1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼1 𝜕𝛼1 𝜔𝛽1 (𝑥) )︁ (︁ (2) = 2𝜔𝛼1 𝛽1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼1 𝛽1 𝜕𝑚 𝜔 (0) (𝑥) – Descomposición en representaciones irreducibles. (3.87).

(45) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 37. (1). 𝑎𝛼1 𝛽1 (𝑥) ⊕ (10000) (00010) ⊗ (00010) = (00020) ⊕ (00100) (2). 𝜔𝛼1 𝛽1 (𝑥) (00010)⊗𝐴 2 = (00100). Para determinar esta cohomología, principalmente nos fijamos en la antisimetría (1). de los índices 𝛼1 y 𝛽1 de 𝑎𝛼1 𝛽1 (igual que en la sección anterior) e identificamos los términos en la expansión proporcionales a las matrices gamma antisimétricas (2). (𝛾 (1) , 𝛾 (3) y 𝛾 (5) ). Por otro lado, los índices de la invariancia de gauge 𝜔𝛼1 𝛽1 , son antisimétricos; al realizar la descomposición en representaciones irreducibles, como se muestra aquí, se simplifica la 3-forma de la ecuación de movimiento, además las ligaduras dinámicas nos indican que la 5-forma de la matrices gamma es cero (1). 3.41, es decir (𝛾 (5) )𝛼1 𝛽1 𝑎𝛼1 𝛽1 (𝑥) = 0 , es por esto que la única solución posible es la 1-forma, que se puede escribir como. (1). 𝑎𝛼1 𝛽1 = −𝑖(𝛾 𝑚 )𝛼1 𝛽1 𝑎𝑚 (𝑥). (3.88). Hasta ahora, los cálculos han sido relativamente fáciles, sin embargo a medida que aumenta el nivel de la expansión de 𝜃, es necesario implementar el método propuesto por [8], para simplificar las expresiones de los supercampos mediante la descomposición en representaciones irreducibles, presentes en la invariancia de gauge y la ecuación de movimiento; también vamos a poder observar como funciona este método sistemático para obtener los valores asociados a la primera expansión en potencia de 𝜆. Nuestro análisis se limita a la expansión de la potencia tres de 𝜃 y a partir de lo aprendido, implementar las expansión en el orden de 𝜆3 𝜃5 , lo que corresponde a nuestro principal objetivo.

(46) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 38. • Primer nivel 𝜃 (ecuación de movimiento). (1). (1). 𝜆𝛼1 𝜆𝛿 𝜃𝛽1 𝐷𝛿 𝑎𝛼1 𝛽1 = 𝜆𝛼1 𝜆𝛿 𝜃𝛽1 (𝜕𝛼1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛿 𝜕𝑚 ) 𝑎𝛼1 𝛽1 (𝑥) (︁ (︁ )︁𝛼1 𝛿𝛽1 )︁ (2) (0) 𝜃𝛽1 2𝑎𝛿𝛼1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼1 𝛽1 𝜕𝑚 𝑎𝛿 (𝑥) = 0 = 𝛾 (5). (3.89). – Descomposición en representaciones irreducibles. 𝜆𝛼1 𝜆𝛿 𝜃𝛽1 (00001) ⊗ (00001) = (00002) ⊕ (00100) ⊕ (10000) = ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⊗(00001). ⊗(00001). = (00002) ⊕ (00001) = (00003) ⊕ (00101) ⊕ (10001) (2). 𝑎𝛼1 𝛿𝛽1 (00010)⊗2𝐴 ⊗ (00010) = (00100) ⊗ (00010) = (00110)⊕. (01001) ⊕ (10010) ⊕ (00001) (0). (𝛾 𝑚 )𝛼1 𝛽1 𝜕𝑚 𝑎𝛿. (00010) ⊗ (00010) = (10000) ⊗ (00010) = (10010) ⊕ (00001) ⏞ ⏟ ⊗(00010). • Segundo nivel de 𝜃 (Invariancia de gauge). (︀ )︀ (2) (2) 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝜆𝛼1 𝛿𝑎𝛼1 𝛽1 𝛽2 (𝑥) = 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝜆𝛼1 𝜕𝛼1 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼1 𝜕𝑚 𝜔𝛽1 𝛽2 (𝑥) (︁ )︁ (2) (2) = 𝜃𝛽1 𝜃𝛽2 𝜆𝛼1 𝜕𝛼1 𝜔𝛽1 𝛽2 − 𝑖 (𝛾 𝑚 𝜃)𝛼1 𝜕𝑚 𝜔𝛽1 𝛽2 (𝑥) )︁ (︁ (3) (1) = 3𝜔𝛼1 𝛽1 𝛽2 − 𝑖 (𝛾 𝑚 )𝛼1 𝛽1 𝜕𝑚 𝜔𝛽2 (𝑥) – Descomposición en representaciones irreducibles. (3.90).

(47) 3. Teoria Super Yang-Mills en 𝐷 = 10, utilizando espinores puros. 39. 𝜆 𝛼1 𝜃 𝛽1 𝜃 𝛽2 (00001) ⊗ (00001)⊗𝐴 2 = (00001) ⊗ (00100) = (00101)⊕ ⊕ (01010) ⊕ (10001) ⊕ (00010) (2). 𝑎𝛼1 𝛽1 𝛽2 (00010)⊗𝐴 2 ⊗ (00010) = (00100) ⊗ (00010) = (00110)⊕ ⊕ (00001) ⊕ (01001) ⊕ (10010) (3). 𝜔𝛼1 𝛽1 𝛽2 (00010)⊗𝐴 3 = (01001) (1). (𝛾 𝑚 )𝛼1 𝛽1 𝜕𝑚 𝜔𝛽2. (00010) ⊗ (00010) = (00020) ⊕ (00100) ⊕ (10000) = ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⊗(00010). ⊗(00010). = (10010) ⊕ (00001). (2). Para esta cohomología, expandimos el campo 𝑎𝛼1 𝛽1 𝛽2 en representaciones irreducibles, teniendo en cuenta la antisimetría de los índices 𝛽# . Donde podemos observar que son proporcionales a la 3-forma de las matrices gamma (𝛾 (3) ) y puede ser es(2). crito 𝑎𝛼1 𝛽1 𝛽2 = (𝛾 𝑚1 𝑚2 𝑚3 )𝛽1 𝛽2 𝑘𝛼1 𝑚1 𝑚2 𝑚3 , denominado espinor 3-forma y puede ser expandido como 3.37, es decir. (︀ )︀ (︀ )︀ 𝑘𝛼1 𝑚1 𝑚2 𝑚3 = 𝑘˜𝛼1 𝑚1 𝑚2 𝑚3 + 𝛾[𝑚1 𝑠˜𝑚2 𝑚3 ] 𝛼 + 𝛾[𝑚1 𝑚2 𝑠˜𝑚3 ] 𝛼 + (𝛾𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑠)𝛼1 1. 1. (3.91) donde 𝑘˜ es un espinor 3-forma, 𝑠˜ es un coespinor 2-forma y un vector espinor y 𝑠 es un coespinor, todos tienen en común que no poseen traza con respecto a las matrices gamma A.1. (3). Para la invariancia de gauge 𝜔𝛼1 𝛽1 𝛽2 tenemos antisimetría en todos lo índices. Así.