Ejercicios Propuestos de Distribución Muéstrales

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALES

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALES

1

1

Suponga que una máquina produce tornillos, cuyos diámetros se distribuyen normalmente, con media igual a 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.01 pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido entre 0.! y 0.51 pulgadas, para una muestra de  tornillos"

R/

R/

_Datos:

Datos:

μ

=

0,5 σ

=

0.01 n

=

4 x1

=

0,49 x2

=

0,51 P

(

0,49

<

x

<

0,51

)=

P

(−

1

<

Z

<

1

)

Z

=

x

−

μ σ _x ⇒σ x´

=

σ √ n

=

0.01 √ 4

=

0.005 Para0,49 Z 1

=

0,49

−

0,5 0,005

=

−

0,01 0,005

=−

2 Z 1

=−

2 Para0,51 Z ₂

=

0,51

₋

0,5 0,005

=

0,010,005

=

2 Z ₂

=

2 P

(−

2

<

Z

<

2

)=

P

(

Z

<

2

)−

P

(

Z

<−

2

)

P

(−

2

<

Z

<

2

)=

0,9772

−

0,0228 P

(−

2

<

Z

<

2

)=

0,9544

2

2

Se desea estudiar una muestra de ! personas para saber la proporción de ellas que tienen más de 0 a#os$ sabiendo que la proporción en la población es de 0.. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea menor que 0.5, si se trata de una población muy grande"

R/

R/

_Datos:

Datos:

n

=

49

´

p

=

0.5 P

=

0,4 q

=

1

−

P

=

1

−

0,4

=

0,6 Z

=

p

−

P σ x´ ⇒σ _x´

=

√

Pq n

=

√

(

0,4

) (

0,6

)

49

=

0,07 Z

=

0.5

−

0,4 0,07

=

0,1 0,07

=

1,43 Z

=

1,43 P

( ´

p

<

0,5

)=

P

(

Z

<

1,43

)=

0,9236

3

3

Se sabe por e%periencia que el &5' de los estudiantes universitarios de cierta ciudad, pre(ieren cierta marca de crema dental. Cuál es la probabilidad de que

en una muestra de 100 universitarios de dic)a ciudad encontre mos que como má%imo el &*' son usuarios de este tipo de crema.

R/

R/

Datos:

Datos:

P

=

65

=

0,65 n

=

100 q

=

1

−

P

=

1

−

0,65

=

0,35 P

( ´

p

<

0,68

)

Z

=

p

−

P σ x´ ⇒σ _x´

=

√

Pq n

=

√

(

0,65

) (

0,35

)

100

=

0,047 Z

=

0,68

−

0,65 0,047

=

0,03 0,047

=

0,63 Z

=

0,63 P

( ´

p

<

0,68

)=

P

(

Z

<

0,63

)=

0,7357

4

4

+ara elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 0' de los votos. eterminar la probabilidad de que entre -00 de los electores elegidos aleatoriamente entre un total *00 a(iliados, se )ubiera obtenido la mayora de los votos para dic)o candidato. /sumamos que la mayora es un porcentae superior al 51'.

R/

R/

Datos:

Datos:

P

=

0,40

´

p

=

0,51 n

=

200 1 2n

=

1 2

∗(

200

)

=

1 400

=

0,0025 Entonces Z

=

(

(

0.50

−

0.0025

)−

0.40

)

√

(

0.40

)∗(

0.60

)

200 Z

=

0.4975

−

0.40

√

0.24 200 Z

=

0.0975

√

0.24 200 Z

=

0.0975 √ 0.0012

=

2.81 Z

=

2.81→ A

(

0.4975

)

P

=

0.5

−

0.4975

=

0.0025 P

=

0.25

5

5

Si se obtienen todas las posibles muestras de tama#o -5 en una distribución normal con media -0 y desviación estándar $ dentro de que lmites se encuentra el !0' central de las medias muéstrales.

R/

R/

Datos:

Datos:

n

=

25 μ

=

20 σ

=

4 P

₍

x1

<

Z

<

x2

)

=

0.9 P

(

x1

>

Z

)

−

P

(

x2

<

Z

)

=

0.9 1

−

P

(

x1

<

Z

)

−

P

(

x2

<

Z

)

=

0.9 → Z 2

=−

Z 1 1

−

P

₍

Z ₂

₎

−

P

₍

Z ₂

₎

=

0.9 1

−

2 P

(

Z

)=

0.9 1

−

0.9

=

2 P

(

Z

)

0.1

=

2 P

(

Z

)

P

(

Z

)=

0.1

2

=

0.05 Loque indicaque Z 2

=

0.64 Conla formula deZ tenemos

Z ₂

=

x

−

μ σ _x

=

20

−

μ 4 √ 25

=

20

−

μ 4 5

=

0.64 Despejamos μ ,tenemos 20

−

μ

=

4 5

∗(

0.64

)

μ

=

20

−

(

4 5

∗(

0.64

)

)

=

20

−

0.512

=

19.488

En formasimilar parael valor de

−

Z tenemos μ

₌

20

₊

(

45

∗(

0.64

)

)

=

20

+

0.512

=

20.512

6

6

Con el (in de estimar la di(erencia de proporciones entre dos poblaciones / y , se tomaron muestras de ambas poblaciones de tama#os 20 y !0 respectivamente. Se pide calcular el error estándar de la di(erencia de las proporciones muéstrales, si se sabe que éstas 3ltimas (ueron 45' y 1' respectivamente.

R/

R/

Datos:

Datos:

n₁

=

7 n2

=

90 p₁

=

0,35 p₂

=

0,41 σ

=(

p1 p2

)=

√

p₁

(

1

−

p₁

)

n1

+

p2

(

1

−

p2

)

n2 σ

=

√

(

0,35

) (

1

−

0,35

)

70

+

(

0,41

) (

1

−

041

)

90 σ

₌

√

(

0,35

) (

0,65

)

70

₊

(

0,41

) (

0,59

)

90

₌

√

0,2275 70

₊

0,2419 90 σ

=

√ 0.00594

=

0,077.





n una población normal con media igual a 2-.0 y desviación estándar igual a 4.0, )allar la probabilidad que en una muestra de !0, la media sea menor 21.20.

R/

R/

Datos:

Datos:

μ

=

72,2 σ

=

3,0 n

=

90 P

(´

x

<

71,70

)

Z

=

x

−

μ σ _x´ ⇒σ x´

=

σ √ n

=

3,0 √ 90

=

0,31 Z

=

71,70

−

72,0 0,31

=

−

0,3 0,31

−

0,96 Z

=−

0,96 P

( ´

x

<

71,70

)=

P

(

Z

<−

0,96

)

P

(

Z

<−

0,96

)=

0,1685

!

!

n cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón están

normalmente distribuidos, con una media de 6 1.&50.00 7S y una desviación estándar de 6 150.00 7S. 8a población de mineros es superior a 1500. Cuál es

la probabilidad de que en una muestra representativa de -5 de esos mineros, el salario medio sea in(erior a 61.525.00 7S.

R/

R/

Datos:

Datos:

μ

=

1650 σ

=

150 n

=

25 P

(´

x

<

1575

)

Z

₌

x

−

μ σ _x´ ⇒_σ x´

₌

σ √ n

=

150 √ 25

=

30 Z

=

1575

−

1650 30

=

−

75 30

=−

2,5 P

( ´

x

<

1575

)=

P

(

Z

<−

2,5

)

P

(

Z

<−

2,5

)=

0.0062

EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTER"ALOS DE CON#IAN$A

EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTER"ALOS DE CON#IAN$A

1

1

Se sabe por e%periencia que la desviación estándar de la duración de cierto tipo de (usibles producidos por una compa#a es de -,* )oras. Se toma aleatoriamente una muestra de 100 unidades de dic)o tipo de (usible y se encuentra que la misma presenta una media de 1&*5,- )oras. etermine el intervalo de con(ian9a de con(ian9a para estimar la media de la duración con un nivel de con(ian9a de !!'.

R/

R/

Datos:

Datos:

σ

=

24.8 n

=

100

´

x

=

1685.2 Conf

=

99

=

0.99 α 2

=

1 2

=

0.5

=

0.005 0.99

+

0.005

=

0.9950→2.575enlatala Z α 2

=

2.575 _σ ´ x

=

σ √ n

=

24.8 √ 100

=

2.48

´

x

−

Z α 2

∗

σ x_´! μ ! x

´

+

Z α 2

∗

σ x_{´ 1685.2}

−(

_2.575

∗

_2.48

)

_{! μ !1685.2}

+(

_2.575

∗

_2.48

)

1678.8! μ !1691.6

S% %st&'a (o) *) ++, -% (o).&a)a 0*% a -*a(&) o'%-&o -% os

S% %st&'a (o) *) ++, -% (o).&a)a 0*% a -*a(&) o'%-&o -% os

.*s&%s 0*% o-*(% a (o'a7a os(&a %)t% 16!8! 9 16+186

.*s&%s 0*% o-*(% a (o'a7a os(&a %)t% 16!8! 9 16+186

2

2

Con relación al problema 1 cuál es el error má%imo en la estimación.

R/

R/

Datos:

Datos:

Z α ₂

=

2.575 σ x´

₌

_2.48 E

=

Z _α 2

∗

σ _x´ E

=

2.575

∗

2.48 E

=

6.386

3

3

Con relación al problema 1 suponga que la muestra (ue de tama#o -0 cuya media es 1&*5,- )oras y desviación estándar -,* )oras. Calcule el intervalo de con(ian9a de !!'.

R/

R/

Datos:

Datos:

n

₌

20

´

x

=

1685.2 σ

=

24.8 Conf

=

99

=

0.99 α 2

=

1 2

=

0.5

=

0.005 0.99

+

0.005

=

0.9950→2.575enlatala Z α 2

=

2.575 _σ ´ x

=

σ √ n

=

24.8 √ 20

=

5.545

´

x

−

Z _α 2

∗

σ _x´! μ ! x

´

+

Z _α 2

∗

σ _{x´ 1685.2}

₋₍

_2.575

_∗

_5.545

₎

_{! μ !1685.2}

₊₍

_2.575

_∗

_5.545

₎

1670.93! μ !1699.47

S% %st&'a (o) *) ++, -% (o).&a)a 0*% a -*a(&) o'%-&o -% os

S% %st&'a (o) *) ++, -% (o).&a)a 0*% a -*a(&) o'%-&o -% os

.*s&%s 0*% o-*(% a (o'a7a os(&a %)t% 168+3 9 16++84

.*s&%s 0*% o-*(% a (o'a7a os(&a %)t% 168+3 9 16++84

4

4

Con relación al problema 1 si se quiere tener un má%imo error en la estimación de - )oras cual debe ser el tama#o de la muestra.

R/

R/

Datos:

Datos:

Z α 2

=

2.575 σ

=

24.8 n

=

# E

=

Z _α 2

∗

σ x´ E

=

Z _α 2

∗

σ √ n √ n

=

Z α 2

∗

σ E n

=

(

Z α 2

∗

σ E

)

2 n

=

(

2.575

∗

24.8 2

)

2

=

(

63.86 2

)

2

=

1019,5 n

=

1019,5

E)to)(%s s& 0*%%'os t%)% *) ';<&'o %o %) a %st&'a(&) -% 2 =oas

E)to)(%s s& 0*%%'os t%)% *) ';<&'o %o %) a %st&'a(&) -% 2 =oas

% ta'ao aa a '*sta -%%; s% -% 11+85

% ta'ao aa a '*sta -%%; s% -% 11+85

5

5

7na industria de muebles compro un lote de pie9as de madera de 1 metro de longitud seg3n el vendedor. 8a industria con el (in de comprobar la e%actitud de dic)a medida tomo una muestra aleatoria de dic)o lote y encontró las siguientes medidas: 0.!!, 1.0, 0.!*, 0.!2, 1.05, 1.0-, 1.01, 1.00, 0.!!, 0.!5, 1.04, 1.0-. Calcule el intervalo de con(ian9a del verdadero promedio de longitud del lote con un nivel de con(ian9a del !0'.

R/

R/

Datos:

Datos:

n

=

12

´

x

=

1.0041 $

=

0.029 $ _x´

=

$ √ n

=

0.029 √ 12

=

0.0083 Conf

=

90

=

0.90 α 2

=

10 2

=

5

=

0.05 %l

=

n

−

1

=

12

−

1

=

11 t

(

%l: α 2

)

=

t

(

11:0.05

)=

1.796

´

x

−

t α 2

∗

$ x_´! μ ! x

´

+

t α 2

∗

$ x_{´ 1.0041}

−(

_1.796

∗

_0.0083

)

_{! μ !1.0041}

+(

_1.796

∗

_0.0083

)

0.9891! μ !1.0190

S% %st&'a (o) *) +, -% (o).&a)a 0*% % >%-a-%o o'%-&o -%

S% %st&'a (o) *) +, -% (o).&a)a 0*% % >%-a-%o o'%-&o -%

o)?&t*- -% ot% -% &%as -% 'a-%a

6

6

7na muestra aleato ria de 500 obreros de una ciudad arroo que 1** de ellos eran )ombres que vivan en unión libr e. Calcular el intervalo de con(ian9a del !0' para la verdadera proporción de este tipo de unión entre la totalidad de obreros de la ciudad.

R/

R/

Datos:

Datos:

n

=

5400 x

=

188 &omres viven en

∪

lire Conf

₌

90

₌

0.90 α 2

=

10 2

=

5

=

0.05 0.900

+

0.050

=

0.950→1.645enlatala Z α 2

=

1.645

´

p

=

x n

=

188 5400 _σ ´ p

=

√

pq n

=

√

(

188 5400

)

∗(

5212 5400

)

5400

=

0.0025 σ _p´

=

0.0025

´

p

−

Z α 2

∗

σ p_´! P !

´

p

+

Z α 2

∗

σ p_´ 188 5400

−(

1.645

∗

0.0025

)

! P ! 188 5400

+(

1.645

∗

0.0025

)

0.030! P !0.038 3 ! P !3.8

S% %st&'a (o) *) +, -% (o).&a)a 0*% a oo(&) -% =o'%s 0*%

S% %st&'a (o) *) +, -% (o).&a)a 0*% a oo(&) -% =o'%s 0*%

taa@a) %) %sa %'%sa 9 >&>%) %) *)&) &% %s(&a %)t% 3, 9 38!,8

taa@a) %) %sa %'%sa 9 >&>%) %) *)&) &% %s(&a %)t% 3, 9 38!,8





n una empresa dedicada al engorde de pollo para la venta se toma una muestra de 00 con una edad de 4 meses y el &0' de ellos presentan un peso de más de 4 libras. 7n a#o después la empresa decide introducir unos cambios en la alimentación y en algunas técnicas recomendadas por una casa veterinaria y más tarde cuando los cambios de supona que )aban )ec)o e(ecto, tomo una muestra aleatoria de &00 pollos con una edad de 4 meses y encontró que el 0' de ellos pesaban más de 4 libras. Se pide calcular un intervalo de con(ian9a del !5' para la verdadera di(erencia de proporciones antes y después del nuevo tratamiento.

R/

R/

Datos:

Datos:

n1

=

400 p1

=

60

=

0.6 q1

=

1

−

p

=

0.4 n2

=

600 p2

=

40

=

0.4 q2

=

1

−

p

=

0.6 'C

=

95

=

0.95

α 2

=

5 2

=

2.5

=

0.025 0.95

+

0.025

=

0.9750→1.96enlatala Z α 2

=

1.96 σ _p´

=

√

p₁q₁ n1

+

p2q2 n2

=

√

0.6

∗

0.4 400

+

0.4

∗

0.6 600

=

_√ 0.0006

+

0.0004

=

0.0316

´

p

´

p

(

¿¿

1

− ´

p2

)+

Z α 2

∗

σ p´

(

¿¿

1

− ´

p2

)−

Z α 2

∗

σ _p´! p₁

−

p₂!

¿

¿

(

0.6

−

0.4

)−(

1.96

∗

0.0316

)

! p₁

−

p₂!

(

0.6

−

0.4

)+(

1.96

∗

0.0316

)

0.1380! p₁

−

p₂!0.2619 13.8 ! p1

−

p2!26.19

S% %st&'a (o) *) +5, -% (o).&a)a 0*% a -&.%%)(&a -% oo(&o)%s

S% %st&'a (o) *) +5, -% (o).&a)a 0*% a -&.%%)(&a -% oo(&o)%s

%)

%)t

t%

% %

% t

tat

ata'

a'&%

&%)t

)to

o -%

-% a)

a)t%

t%s

s 9

9 %

% -%

-% -%

-%s

s*

*s

s -%

-% a

a&

&(a

(a

 %

% )*

)*%>

%>o

o

tata'&%)to os(&a %)t% 138! 9 2681+,8

tata'&%)to os(&a %)t% 138! 9 2681+,8

!

!

7n pro(esor de estadsticas reali9a un idéntico cuestionario a dos grupos de estudiantes de dos universidades di(erentes de la misma ciudad. n una muestra aleatoria de ! estudiantes de la universidad /, el promedio de notas (ue de 2,5 y desviación estándar de 0,. n otra muestra aleatoria de ! estudiantes de la universidad  la media de las notas (ue de &,2 y desviación estándar de 0,&. Calcular los lmites de con(ian9a de !5' para la di(erencia de medias de las notas entre las dos universidades. Se sabe que la escala de cali(icación es de 0 a 10.

R/

R/

_Datos:

Datos:

n _A

=

9

´

x _A

=

7.5 $ _A

=

0.4 n₍

=

9

´

x₍

=

6.7 $₍

=

0.6 'C

=

95

=

0.95 α 2

=

5 2

=

2.5

=

0.025 %l

=

(

n _A

−

1

)

+

(

n₍

−

1

)

=(

9

−

1

)+(

9

−

1

)=

16 t

(

%l: α 2

)

=

t

(

16:0.025

)=

2.120

$

=

√

(

n A

−

1

)

∗

$ A 2

+

(

n₍

−

1

)

∗

$2₍

(

n _A

+

n₍

)−

2 0.6

¿

2

¿

¿

(

9

+

9

)−

2 0.4

_¿

2

+(

9

₋

1

_)∗

_¿

(

9

−

1

)∗

¿

¿

$

=

√

¿

(

x

´

_A

− ´

x₍

₎

−

t _α 2

∗

√

$ 2 n _A

+

$2 n₍! p A

−

p(!

(

x

´

A

− ´

x(

)

+

t α 2

∗

√

$ 2 n _A

+

$2 n₍

(

7.5

−

6.7

)−

(

2.120

∗

√

(

0.5099

)

2 9

+

(

0.5099

)

2 9

)

! p _A

−

p₍!

(

7.5

−

6.7

)+

(

2.120

∗

√

(

0.5099

)

2 9

+

(

0.5099

)

2 9

)

0.8

−

(

2.120

∗

0.24

)

! p _A

−

p₍!0.8

+(

2.120

∗

0.24

)

0.8

−

0.5088! p _A

−

p₍!0.8

+

0.5088 0.2912! p _A

−

p₍!1.3088

S% %st&'a (o) *) +5, -% (o).&a)a 0*% a -&.%%)(&a -% as '%-&as -% as

S% %st&'a (o) *) +5, -% (o).&a)a 0*% a -&.%%)(&a -% as '%-&as -% as

)otas %)t% a *)&>%s&-a- A 9 a *)&>%s&-a- B os(&a) %)t% 82+12 9

)otas %)t% a *)&>%s&-a- A 9 a *)&>%s&-a- B os(&a) %)t% 82+12 9

183!!

183!!

+

+

Se quiere estimar el peso promedio de 500 peces listos para e%portación. Si para ello se va a tomar una muestra aleatori a, ¿Cuál deberá ser el tama#o de esta, si se desea un má%imo error en la estimación de - on9as con un nivel de con(ian9a del !0'" Se sabe que la desviación estándar poblacional es de 10.

R/

R/

Datos:

Datos:

1

1

7na muestra aleatoria de * pedidos que le )acen a una compa#a, nos muestra que los mismos demoraron en ser atendido as: 10, 1-, 1!, 1, 15, 1*, 11, 12 y 14 das. Construir el intervalo de con(ian9a del !!' para la desviación estándar del tiempo que tarda la compa#a en atender la orden.

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE PRUEBAS DE

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE PRUEBAS DE IPÓTESIS

IPÓTESIS

1 Se somete a prueba a la totalidad de los integrantes del magisterio par a ense#an9a básica primaria de un pas y un e%perto en educación a(irma que el promedio de la cali(icación, sobre una base de 100. ;ue de 2&. 7n representante del alto gobierno pone en duda dic)a a(irmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 00 maestros cuya media (ue de 2 con desviación estándar de 1&. +robar la )ipótesis con un nivel de signi(icación de 1'.

<=

- 7na muestra aleatoria de 0 band as para mo tores de cier tas sierras circulares presentaron un promedio de duración de 1.0* a#os con una desviación estándar de 0.5 a#os. Se sabe por e%periencia que dic)as bandas duran en promedio 1.-* a#os. ¿%iste ra9ón para considerar tal disminución, como una pérdida de calidad" >ivel de signi(icación 1'.

<=)ttp:==???.buenastareas.com=ensayos=+rueba@e@Apotes)=51!!!!-4.)tml

4 7n estudio de -! de los pa gos )ec)os por comisiones mensuales )ec)as a los vendedores de una compa#a arroa una media mensual de 650.*00 y desviación estándar de 6&00. ocimar la )ipótesis de que el verdadero promedio es de 650.000, (rente a la )ipótesis alternativa de que no es de 650.000, con un nivel de signi(icación del 5'.

 7na compa#a estima que tien e una part icipación en el merc ado de un *0' para su producto estrella. Bediante una muestra aleatoria de 00 posibles consumidores se encuentra que el 25' de los mismos consumen el re(erido producto. ¿Con un nivel de signi(icación del 5' puede concluirse a través de los resultados que dic)a proporción es menor"

)ttps:==???.yumpu.com=es=document=vie?=1&25450=variacion@normal@y@ e%ponencial=-5

5 Se quiere comprar una maquina troqueladora y se adqu irirá si la pr oporción de pie9as de(ectuosas producidas por la maquina es 10' o menos. Se e%amina una muestra aleatoria de 0 pie9as y se encuentra que 2,5' resultaron de(ectuosas. ¿Con un nivel de signi(icación del ', puede concluirse que la maquina satis(ace los requerimientos"

& 7na compa#a de trasporte de carga intermunicipal, asegura que solo el &' de sus servicios de carga su(ren reclamos. 7na muestra aleatoria de -00 servicios revela que el *,5' de ellos su(ren reclamos. Con un nivel de signi(icación del 1' probar la )ipótesis nula de que +0,0&, contra la alternativa de que +D0,0&.

2 7na muestra aleatoria de t ama#o n1

=

25 tomada de una población normal

con desviación estándar σ 1

=

4,8 . Eiene una x

´

1

=

75 . 7na segunda muestra

aleatoria de tama#o n2

=

36 , tomada de una población normal con desviación

estándar σ 2

=

3,5 , tiene una media x

´

2

=

70 . +ruebe la )ipótesis nula μ₁

=

μ_{2 en contraposición a la alterna} μ₁

>

μ_{2 . >ivel de signi(icación del 5'.}

* os máquinas di( erentes / y  se uti li9a para prod ucir pern os idén ticos que deben tener - pulgadas de longitud. Se toma una muestra aleatoria de -5 penos de la producción de la maquina / y otra muestra aleatoria de -5 pernos de la maquina , las cuales arroan varian9a de 0,0 y 0,0 pulgadas respectivamente. ¿evidencian los anteriores datos que la varian9a de  es mayor que la de /" 7tilice un nivel de signi(icación del 1'.

! 8a desviación tpica de la tensi ón de rupt uras de ci ertos cables producidos por una empresa es de -0 libras. Eras un cambio en el proceso de producción, una muestra de * cables dio una desviación tpica de 400 libras. Anvestigar si es signi(icativo ese incremento en la variabilidad. Con un nivel de signi(icación del '.