CAPITULO 4
ESTABILIDAD
Estabilidad
Cada punto donde la bola se puede detener es un punto de equilibrio.
A y F: puntos inestables: un cambio infinitesimal en la posición lleva a lo bola a otra
posición final.
E y G: puntos estables: un cambio infinitesimal en la posición aleja a la bola pero
retorna a la misma posición original.
C: un cambio infinitesimal en la posición lleva a la bola a una nueva posición de
Estabilidad
Cuando las perturbaciones son infinitesimales se define
Estabilidad Local. Cuando son grandes se define
Estabilidad Global
Para el punto E un desplazamiento amplio puede llevar
a la bola a otro punto de equilibrio: la estabilidad
depende del tamaño del disturbio.
Si la superficie S cambia con el tiempo es necesario
evaluar la estabilidad para cada t.
Si la superficie S no cambia con el tiempo se puede
evaluar la estabilidad uniforme para todo t.
Estabilidad
La estabilidad de un sistema puede pensarse como una continuidad en su comportamiento dinámico. Si se presenta un cambio pequeño en las entradas o condiciones iniciales, un sistema estable presentará modificaciones pequeñas en su respuesta perturbada. Por otro lado, en un sistema inestable cualquier perturbación, por pequeña que sea, llevará a los estados y/o las salidas a crecer sin límite o hasta que el sistema se salga de rango dinámico, se desintegre o se queme.
La estabilidad es un requerimiento básico de los sistemas dinámicos destinados a realizar operaciones o procesar señales, y es lo primero que debe garantizarse en el diseño de un sistema de control.
Estabilidad
Como la respuesta de los sistemas dinámicos lineales se descompone en la respuesta a estado cero y respuesta a entrada cero, se puede hablar de dos “tipos” de estabilidad:
● Estabilidad Externa, o Entrada/Salida, se refiere a la estabilidad
del sistema con condiciones iniciales nulas. La estabilidad externa describe el efecto de perturbaciones en las entradas sobre el comportamiento dinámico de la salida del sistema.
● Estabilidad Interna, se refiere a la estabilidad del sistema
autónomo (sin entradas). La estabilidad interna describe el efecto de perturbaciones en las condiciones iniciales sobre comportamiento dinámico de los estados del sistema.
Estabilidad
La estabilidad interna del sistema depende únicamente de las condiciones iniciales x(0) = x0 . No se aplica entrada externa.
La estabilidad interna describe las propiedades de convergencia de las trayectorias seguidas por los estados del sistema hacia puntos de operación o de equilibrio del sistema.
En general se estudiará la estabilidad interna de sistemas descritos por la ecuación dinámica de estado:
)
),
(
),
(
(
)
(
t
f
x
t
u
t
t
x
&
=
Estabilidad
)
,
0
,
(
0
)
(
t
f
x
t
x
&
=
=
ePunto de Equilibrio: Un punto de equilibrio xe de un sistema es un vector constante tal que si x(0) = xe y u(t) = 0, entonces x(t) = xe para todo t ≥ 0.
El punto de equilibrio es la solución en estado estable de la ecuación dinámica.
Para sistemas lineales la ecuación es estado estable:
excepto cuando la matriz A tenga valores propios nulos, existe un solo punto de equilibrio: el origen. Otros puntos de equilibrio están en el espacio nulo de A e
Ax
0
(t)
x
&
=
=
Estabilidad
Ejemplo. El sistema
La matriz A tiene un valor propio nulo y otro en 10. Se puede verificar que η(A) está generada por el vector
xe = [-3 1]T
Como la matriz A tiene un valor propio nulo, existen múltiples
puntos de equilibrio a lo largo de la línea definida por el vector xe . Este es un conjunto de puntos de equilibrio no aislados
Estabilidad
La dirección definida por xe es entonces un conjunto de equilibrios, es decir que hay infinitos puntos de equilibrio, en particular no aislados. El retrato de fase indica que cualquier condición inicial que no esté exactamente sobre la recta de equilibrios generada por el vector [-3 1]T
dará origen a una trayectoria que crecerá en forma ilimitada con t. Condiciones iniciales sobre la recta de equilibrios darán origen a
Estabilidad
El sistema no lineal:
Haciendo x´(t) = - sen(x
e) = 0, se obtiene x
e= k
π
, donde k
= 0,
±
1, . . .
Hay infinitos puntos de equilibrio aislados.
La definición de punto de equilibrio también es válida
para sistemas no lineales, donde pueden existir varios
puntos.
Estabilidad
Este tipo de estabilidad interna recibe el nombre del científico ruso Alexander Mikhailovich Lyapunov, quien realizó estudios pioneros en el tema a fines del siglo 19. Lyapunov introdujo por primera vez métodos que permiten determinar la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de calcular explícitamente las soluciones.
La estabilidad en el sentido de Lyapunov hace hincapié en las propiedades de los puntos de equilibrio, y se basa en una generalización matemática del concepto de “energía” de sistemas mecánicos. Los métodos de Lyapunov pueden aplicarse a sistemas no lineales y no
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
El (equilibrio del) sistema x´(t) = Ax(t) es estable en el sentido de Lyapunov, o simplemente estable, si toda condición inicial finita origina una trayectoria acotada.
Un punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t) es estable en el sentido de Lyapunov (ESL) si para cualquier ε > 0 existe un valor δ(t0, ε) >0 tal que: 0 0 t t t de nte independie ) ( ) ( > ∀ < − ⇒ < − xe δ x t xe ε t x
El punto de equilibrio es uniformemente estable en el sentido de
Lyapunov (ESL) si δ(t0, ε) = δ(ε): la constante δ no depende del tiempo inicial t0
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
En un sistema ESL un disturbio en la condición inicial
menor de δ produce un vector de estado x(t) confinado a
una distancia máxima ε de x
e: para estabilidad el estado
debe permanecer en las vecindades del punto de
equilibrio.
Cuando
Se dice que el punto de equilibrio es asintóticamente
estable.
∞ → → − 0cuando t ) (t xe xEstabilidad en el Sentido de Lyapunov.
Dependiendo del valor de δ se puede hablar de:
Estabilidad local: δ pequeño Estabilidad global: δ grande.
Si un punto de equilibrio es asintóticamente estable la trayectoria
desde cualquier condición inicial tiende asintóticamente hacia ese punto.
Para sistemas lineales todos los puntos de equilibrio son globales: o
son puntos aislados o son subespacios invariantes
Para sistemas no lineales existen múltiples puntos aislados y se
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
Además de la estabilidad asintótica también se define exponencialmente Estable: e t t e
e
x
t
x
x
t
x
(
)
−
≤
γ
−λ( − 0)(
0)
−
Sistema LIT que es asintóticamente estable también es exponencialmente Estable. No es necesariamente cierto para variantes y no lineales.
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
Teorema: para un sistema descrito por:
La respuesta homogénea es ESL si y sólo si existe una
constante
la matriz de transición de estados φ(t,t
0) satisface la
relación:
Si la constante κ no depende de t
0el punto de equilibrio
es uniformemente estable.
)
(
)
(
)
(
t
A
t
x
t
x
&
=
0 0)
tal
que
t
t
(
t
<
∞
∀
≥
κ
)
(
)
,
(
t
t
0≤
κ
t
0Φ
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
El adjetivo uniforme se refiere a que no debe depender de la elección del tiempo inicial.
Ejemplo. La ecuación x´(t) = [4tsen(t) - 2t]x(t), x(t0) = x0 puede verificarse que tiene la solución
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
Sin embargo, la ecuación de estado no es uniformemente estable. Con un estado inicial x0 fijo, la secuencia t0 = 2k
π
, con k=0,1,2,. . ., y los valores de las correspondientes soluciones evaluadasπ
segundos más tarde:Claramente, no hay cota del factor exponencial independiente de k, o sea que γ va a depender forzosamente de k, y así del tiempo inicial t0. Es fácil ver que para un t0 fijo, existe un γ tal que x(t) es acotada por γ||x0|| para todo t ≥ t0, dado que el término -t2 domina en el exponente cuando t crece.
Estabilidad en el Sentido de Lyapunov.
Teorema: el origen del sistema descrito por
es uniforme y asintóticamente estable
si y sólo si existen dos constantes κ
1> 0 κ
2> 0
tal que:
Una vez establecidos los teoremas para el caso
general, el caso estacionario o invariante es más
sencillo.
)
(
)
(
)
(
t
A
t
x
t
x
&
=
) ( 1 0)
2 0,
(
t te
t
t
≤
− −Φ
κ
κEstabilidad en el Sentido de Lyapunov.
El adjetivo uniforme se refiere a que κ1 > 0 κ2 > 0 son independientes de t0:
Estabilidad – Invariantes
Teorema: El punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t)
es estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los
valores propios de A tienen parte real no positiva, y
aquellos con parte real cero son raíces simples del
polinomio mínimo de A
Teorema: El punto de equilibrio del sistema x´(t) = Ax(t)
es asintóticamente estable si y sólo si todos los valores
propios de A tienen parte real negativa.
Estabilidad – Invariantes
(
1
)
0
2
λ
+
=
λ
Ejemplo. Sea el sistema
Tiene un valor propio doble en 0 y uno simple en - 1.
La ecuación característica es :
El polinomio mínimo es:
por lo tanto se concluye que el sistema es estable en el
sentido de Lyapunov.
(
λ
+
1
)
=
0
Estabilidad – Invariantes
Por su parte, el sistema
aunque tiene los mismos valores propios, pero esta vez el valor propio nulo está asociado a un bloque de Jordan de orden 2, y por lo tanto el sistema es inestable.
Ejemplo. Sea el sistema no estacionario
El polinomio característico de A(t) es
por lo que A(t) tiene dos valores propios en
λ
= -1 para todo t.Puede verificarse que la matriz
satisface la condición
y es por lo tanto la matriz de transición de estados del sistema. Como el parámetro a12(t) de A(t) crece en forma ilimitada con t, el sistema
no puede ser asintóticamente o Lyapunov estable.
A diferencia del caso estacionario, los valores propios de A(t) no son útiles para verificar la estabilidad.
Estabilidad – Variantes
No se pueden hacer conclusiones basadas en la ubicación
de los valores propios en un tiempo determinado:
1.
Valores propios congelados en un t dado tienen todos
parte real negativa: el sistema no necesariamente es
estable.
2.
Si los valores propios de A(t) + A
T(t) tienen siempre
parte real negativa el sistema es asintóticamente estable.
Condición suficiente pero no necesaria.
3. Si todos los valores propios de A(t) + A
T(t) tienen
Estabilidad – Variantes
4. Si algunos valores propios de A(t) tienen parte real positiva, el sistema no necesariamente es inestable.
5. Si los valores propios tienen parte real tal que: y el sistema es suficientemente lento entonces es asintóticamente estable.
6. Si el sistema es suficientemente lento y tiene un valor propio positivo que nunca cruza el eje imaginario es inestable
Suficientemente lento significa que
t y s ´ 0 ) Re(λ <γ < ∀ λ ∀
ν
(t)
A
que
tal
ν
≤
∃
&
Método directo de Lyapunov
Parte del principio de conservación de energía y disipación.
En un sistema aislado la respuesta depende únicamente de la
energía inicial almacenada: si esta energía es decreciente el
sistema es estable.
Como no todos los estados de un sistema están asociados a
energía el concepto se debe extender a una cantidad abstracta
no negativa.
Es una forma alternativa de verificar la estabilidad asintótica
de x´(t) = Ax(t). En su forma general permite estudiar la
estabilidad de sistemas no estacionarios o no lineales.
Método directo de Lyapunov
Teorema: el origen de un sistema lineal variante con el tiempo
descrito por:
Es estable en el sentido de Lyapunov si existe una función variante con el tiempo V(x,t) tal que se satisfacen:
1ra condición:
La función γ1(x) debe ser función del estado x, no de t
explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual a cero cuando x = 0 ) ), ( ( ) (t f x t t x& =
0
x
cuando
solamente
0
t)
V(x,
t
y
0
x
0
)
(
)
,
(
1=
=
∀
≠
∀
>
≥
x
t
x
V
γ
Método directo de Lyapunov
2da Condición
La función γ2(x) debe ser función del estado x, no de t
explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual a cero cuando x = 0
t
t
x
V
t
x
f
x
t
x
V
t
x
V
donde
x
t
x
V
∂
∂
+
∂
∂
=
∀
≠
∀
<
−
≤
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
:
t
y
0
x
0
)
(
)
,
(
2&
&
γ
Método directo de Lyapunov
Teorema: el origen del sistema es uniformemente estable en el sentido de Lyapunov si además de las dos condiciones 1 y 2 anteriores existe:
La función γ2(x) debe ser función del estado x, no de t
explícitamente, continua, no decreciente y debe ser igual acero cuando x = 0
t
y
0
x
)
,
(
)
(
3x
≥
V
x
t
∀
≠
∀
γ
Método directo de Lyapunov
Teorema: el origen del sistema es globalmente estable en el sentido de Lyapunov si además de las dos condiciones 1 y 2 anteriores si:
Teorema: el origen del sistema es asintóticamente estable si además de la condición 1 , la condición 2 se establece como
Condición 2a:
∞
→
x
cuando
ilimitada
es
)
,
( t
x
V
t
y
0
x
0
)
(
)
,
(
x
t
<
−
2x
<
∀
≠
∀
V
&
γ
Método directo de Lyapunov
Condición 1 es equivalente a que la función V(x,t) sea
Positiva definida.
Condición 2 es equivalente a que la función V’(x,t) sea
Negativa semi- definida.
Condición 3 es equivalente a que la función V’(x,t) sea
Negativa definida.
Para sistemas lineales estos términos se usan en el
Método directo de Lyapunov
Para sistemas invariantes con el tiempo:
Toda la estabilidad es uniforme. Las funciones se clasifican como:
V(ξ) es positiva definida si V(ξ) > 0 para todo ξ diferente de cero y
V(0) = 0.
V(ξ) es positiva semi definida si V(ξ) ≥ 0 para todo ξ diferente de
cero y V(0) = 0.
Una función V(ξ) es negativa definida si -V(ξ) es positiva definida Una función V(ξ) es negativa semi definida si -V(ξ) es positiva
Método directo de Lyapunov
Teorema: El origen de un sistema lineal e invariante con el tiempo es
ESL si existe una función V(x) positiva definida tal que su derivada:
Es negativa semi definida. Si V’(x) es negativa definida, el origen es asintóticamente estable.
Para sistemas discretos la derivada se reemplaza por la primera
diferencia:
)
(
)
(
)
(
)
(
f
x
dx
x
dV
dt
dx
dx
x
dV
x
V
&
=
=
)
),
(
(
)
1
),
1
(
(
)
,
(
x
k
V
x
k
k
V
x
k
k
V
=
+
+
−
Δ
Método directo de Lyapunov
Cuando V(x) y V’(x) existen se llaman funciones de
Lyapunov.
Los teoremas no definen las funciones, solamente las
condiciones que deben cumplir.
Sistemas lineales: generalmente son formas cuadráticas
Sistemas no lineales: se plantean funciones candidatas y
se verifican las condiciones. Es un proceso de prueba y
error.
Método directo de Lyapunov
Teorema de LaSalle: dentro de la región del
espacio de estado para el cual la derivada de la
función de Lyapunov candidata es tal que V´(x)
≤ 0; sea Z el subconjunto del espacio de estado
en el cual V’(x) = 0. Dentro de Z, sea M el mayor
subespacio invariante. Entonces todo estado
inicial se aproxima a M, aún si V es no positiva
definida.
Método directo de Lyapunov
No requiere que V(x,t) sea positiva
definida.
Pero al ser positiva definida se asegura la
Método directo de Lyapunov
Para sistemas lineales las formas cuadráticas satisfacen
los requisitos de las funciones de Lyapunov.
Para sistemas lineales la estabilidad es global y las
formas cuadráticas cumplen con V(x) no limitado
cuando
Dado el sistema LIT descrito por:
∞
→
x
definida
positiva
simetrica
P
con
)
(
:
Lyapunov
de
candidata
función
la
y
Px
x
x
V
Ax
x
T=
=
&
Método directo de Lyapunov
La condición sobre la derivada:
Para satisfacer el teorema se necesita que la matriz:
Sea negativa definida para estabilidad asintótica y
negativa semi definida para ESL
PA)x
P
(A
x
PAx
x
Px
A
x
P(Ax)
x
Px
(Ax)
x
P
x
Px
x
T T T T T T T T T+
=
+
=
+
=
+
=
)
(
&
&
& x
V
(
A
TP
+
PA
)
Método directo de Lyapunov
Para alguna matriz Q positiva (semi) definida es
suficiente demostrar que:
Si la matriz es no negativa nada ha sido
demostrado.
El teorema establece que si se encuentra la
función de Lyapunov el sistema es estable.
Q
PA
P
Método directo de Lyapunov
El teorema no establece que si la función falla el
sistema es inestable.
Si se escoge P positiva definida y se obtiene una
Q indefinida NADA HA SIDO DEMOSTRADO.
Pero si Q es negativa definida se puede
demostrar inestabilidad
Entonces se selecciona una Q positiva (semi)
Método directo de Lyapunov
Teorema: el origen de un sistema lineal invariante con el tiempo es asintóticamente estable si y solo si dada una matriz Q positiva definida, la ecuación matricial de Lyapunov tiene una solución P positiva definida:
Q
PA
P
A
T+
=
−
Cómo asegurar que el origen es estable en sentido de Lyapunov?
Para ello se necesita que al escoger una matriz Q positiva semi definida, la ecuación matricial de Lyapunov tenga una solución P positiva definida:
Método directo de Lyapunov
El origen del sistema es estable en el sentido de
Lyapunov si y solo si dada una matriz Q positiva semi
definida , tal que
No es idéntica a cero cuando se evalúa sobre una
trayectoria no nula de x’ = Ax, la ecuación matricial de
Lyapunov tiene una solución P positiva definida.
Qx
x
TEstabilidad
Corolario. Todos los valores propios de la matriz A tienen parte real negativa si y sólo sí para cualquier matriz N m × n con m < n y la propiedad
la ecuación de Lyapunov
tiene una solución única simétrica y definida positiva P.
Q
N
N
PA
P
A
T+
=
−
T=
−
Estabilidad
Q
PA
P
A
T+
=
−
Teorema. Si todos los valores propios de A tienen parte real negativa entonces la ecuación de Lyapunov
tiene una solución única para cada Q que puede ser expresada como Un resultado importante que se emplea en la demostración del Teorema de Lyapunov es el siguiente:
dt
e
e
ATtQ
A tP
∫
∞=
0Método directo de Lyapunov
Teorema: el origen el sistema lineal variante es INESTABLE si existe
una función V(x,t) y una función del estado únicamente, continua y no decreciente, γ(x), tal que:
y se cumplen:
1. V(0,t)= 0 para t≥ t0
2. V(x,t0 ) > 0 para cualquier punto arbitrariamente cercano al origen
3. Es positiva definida en una región arbitraria alrededor de origen
y t
x
)
,
(
)
(
x
>
V
x
t
∀
γ
) , ( tx V&Estabilidad
Invariancia frente a transformaciones de equivalencia
En el caso estacionario las propiedades de estabilidad, determinadas por los valores propios de A, son invariantes frente a transformaciones de equivalencia. En el caso no estacionario sabemos que esta propiedad no se conserva, ya es posible llevar la matriz A(t) a una matriz constante arbitraria  mediante una transformación de equivalencia no estacionaria P(t). No obstante, para ciertas P(t), es posible hacer que las propiedades de estabilidad sean también invariantes en el caso no estacionario.
Transformación de Lyapunov. Una matriz n×n P(t) que es continuamente diferenciable e invertible en cada t se llama
transformación de Lyapunov si existen constantes
ρ
yη
tales que para todo tEstabilidad
Una condición equivalente a la anterior es la existencia de una constante
ρ
tal que para todo tes uniformemente (exponencialmente) estable si y sólo si la ecuación de estado
Teorema (Equivalencia y Estabilidad en Sistemas No Estacionarios).
Supongamos que P(t) es una transformación de Lyapunov. Entonces la ecuación lineal
Estabilidad discretos
Para el sistema discreto
En este sistema los equilibrios están definidos por los x tales que
x[k + 1] = x[k],
es decir, (A - I)xe = 0. Como la matriz (A - I) es no singular, el único equilibrio posible es el origen, xe = [0 0]T.
Para sistemas discretos el punto de equilibrio es el vector xe tal que: e
x
k
x
k
x
(
+
1
)
=
(
)
=
Estabilidad discretos
Sistemas Discretos:
Las definiciones de estabilidad en el sentido de Lyapunov y asintótica son las mismas para sistemas en tiempo discreto:
Teorema (Estabilidad Lyapunov para Sistemas Discretos). El sistema x[k + 1] = Ax[k] es:
● estable en el sentido de Lyapunov si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud no mayor que 1, y aquellos con magnitud igual a 1 son raíces simples del polinomio mínimo de A.
● asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de A tienen magnitud menor que 1.
Para el sistema discreto
La función candidata:
Ax
k
x
(
+ )
1
=
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
k
x
P
PA
A
k
x
k
Px
k
x
k
Px
k
x
k
V
k
V
k
x
V
k
Px
k
x
k
V
T T T T T−
=
−
+
+
=
−
+
=
Δ
=
Estabilidad Discretos
Para que la forma cuadrática V(k) sea una función válida
la matriz:
Debe ser negativa definida.
La ecuación discreta de Lyapunov es:
P
PA
A
T−
Q
P
PA
A
T−
=
−
Estabilidad Discretos
La función MATLAB lyap calcula la solución de la
ecuación de Lyapunov continua, mientras que la función
Estabilidad Discretos
Teorema (Solución de la Ecuación de Lyapunov Discreta). Si todos los valores propios de la matriz A tienen magnitud menor que 1, entonces la ecuación de Lyapunov
tiene solución única para cada Q, y la solución puede expresarse en la forma
Aún cuando A tuviera valores propios con magnitud mayor que 1, la ecuación de Lyapunov tiene solución si se cumple
pero no puede expresarse en la forma anterior.
Q
P
PA
A
T−
=
−
( )
m m m TQA
A
P
∑
∞ ==
0Estabilidad Externa
Sea un sistema lineal, causal , relajado, estacionario , descrito por la ecuación de estado:
Se estudia la estabilidad externa del sistema con respecto a la familia de señales de entrada acotadas. Una señal de entrada dada u(t) se dice acotada si existe una constante positiva Mu tal que
Ejemplos de señales acotadas son u(t) = sen(wt), u(t) = te-t, o u(t) = -2.
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x + = + = &
Estabilidad Externa
Un sistema es BIBO estable si para cualquier entrada limitada u(t),
y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una constante finita N(M,x0 t0 ) tal que
La estabilidad BIBO se refiere a una propiedad del sistema que sólo considera los efectos de la entrada sobre la salida, es decir, el comportamiento externo del sistema, independientemente de lo que pase con los estados.
M t u( ) ≤ 0 t t ) (t ≤ N ∀ ≥ y
Un sistema es BIBS estable si para cualquier entrada limitada u(t),
y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una constante finita N(M,x0 t0 ) tal que
M t u( ) ≤ 0 t t ) (t ≤ N ∀ ≥ x
Estabilidad Externa
Teorema Un sistema es estable BIBO si y sólo si su respuesta impulso h(t) es absolutamente integrable en el intervalo [0,∞), es decir, existe una constante NH ≥ 0 tal que
H t
N
d
t
H
≤
∫
∞ −τ
τ
)
,
(
La matriz de respuestas impulso está dada por:
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
τ
C
Φ
τ
B
τ
δ
τ
D
τ
H
t
=
t
t
+
t
−
La norma de la matriz de respuestas impulso se debe calcular empleando una de las definiciones ya estudiadas.
Estabilidad Externa
El Teorema de Estabilidad BIBO es útil para una clase general de sistemas lineales. Sin embargo, para utilizarlo se debe tener la respuesta impulso del sistema para poder evaluar si es absolutamente integrable. Esta prueba puede no ser fácil de realizar.
Una función absolutamente integrable no necesariamente es acotada y puede no ir a cero cuando t → ∞. Un ejemplo de una función que es absolutamente integrable y no va a cero cuando t → ∞ es
Estabilidad Externa
Para un sistema invariante ( o estacionario) la matriz de respuestas impulso se evalúa como:
Aplicando el teorema anterior:
D
B
C
H
(
t
,
τ
)
=
e
A(t−τ)+
δ
(
t
−
τ
)
Si D es finita la integral del termino δ(t-τ)D es limitada y su contribución a la integral completa es simplemente aditiva.
H t t A t
N
d
D
t
B
Ce
d
t
H
=
∫
+
−
≤
∫
∞ − − ∞ −τ
τ
δ
τ
τ
)
τ(
)
,
(
( ) H t t A t t AN
B
d
e
C
d
B
Ce
⎟⎟
≤
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
∫
( −τ)τ
( −τ)τ
Estabilidad Externa
La norma de la matriz de transición de estados también se emplea para estudiar la estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Pero estabilidad BIBO y ESL NO son equivalentes: no se pueden despreciar los efectos de las matrices C y B: Si
)
(
) (C
Null
B
d
e
t t A∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∫
∞ − − − ττ
Independiente del tamaño de la integral, al premultiplicarse por C el resultado será limitado:
Un sistema que NO es ESL puede ser BIBO estable.
Lo contrario si es cierto: un sistema asintóticamente estable es BIBO estable.
Estabilidad Externa
Un sistema es BIBS si para toda entrada limitada, existe una constante Ns finita tal que:
t
N
d
B
t
s t)
(
)
(
⎟⎟
≤
∀
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Φ
∫
∞ −τ
τ
τ
Para sistemas causales, de dimensión finita y LIT la
aproximación en el domino de la frecuencia es más sencilla:
(
)
}
{
1 1 − −−
=
L
sI
A
e
AtLa demostración de acotamiento se puede hacer sobre:
(
sI
A
)
B
CL
−1{
−
−1}
Estabilidad Externa
Corolario: Estabilidad BIBO para Funciones Racionales y Propias. Un sistema SISO con una función transferencia racional y propia h(s) es BIBO estable si y sólo si todos los polos de h(s) tienen parte real negativa.
Pero como pueden existir entradas acotadas con frecuencias
características imaginarias conjugadas, los polos de la expresión anterior deben estar en el semiplano izquierdo abierto.
D
B
A
sI
C
s
H
(
)
=
(
−
)
−1+
Estabilidad Externa
La estabilidad BIBO es la base del clásico concepto de respuesta en
régimen permanente (estado estacionario) de un sistema lineal
estacionario. Esta es la respuesta del sistema una vez extinguidos los transitorios originados en el momento que se aplica la señal de entrada.
El criterio de Routh – Hurwitz determina la estabilidad BIBO.
La estabilidad del sistema queda determinada por los polos de la función transferencia, siendo la región de estabilidad el semiplano izquierdo (abierto) del plano complejo. Este tipo de estabilidad sólo tiene en cuenta el comportamiento externo del sistema, ignorando el efecto de condiciones iniciales, que se asumen nulas.
Estabilidad Externa
Teorema (Estabilidad BIBO y Respuesta en Régimen Permanente). Si un sistema con respuesta impulso h(t) es estable BIBO, entonces cuando t → ∞
● La salida correspondiente a una entrada constante u(t) = a, para t ≥ 0, tiende a la constante
● La salida correspondiente a una entrada senoidales u(t) = sen(w0t),
para t ≥ 0, tiende a la senoidal
El teorema anterior especifica la respuesta de un sistema BIBO a señales constantes y senoidales una vez que los transitorios se extinguen.
a
h
t
y
ss(
)
=
(
0
)
))
(
(
)
(
)
(
t
h
jw
0sen
ω
0t
h
j
ω
0y
ss=
+
∠
Estabilidad Externa
Para analizar sistemas que no tienen una función transferencia racional y propia, se debe apelar al teorema original.
Ejemplo. Sea un sistema con realimentación positiva que incluye un retardo unitario, T = 1, y una ganancia estática de valor a.
El sistema es de dimensión infinita, puesto que incluye un retardo, y no tiene función transferencia racional.
Estabilidad Externa
Cuando la entrada es un impulso, u(t) =
δ
(t), la salida está dada porConsiderando los impulsos como positivos:
El sistema es BIBO estable si y sólo sí ||a|| < 1.
) (t
Estabilidad Externa
Caso MIMO: Los resultados de estabilidad BIBO para sistemas MIMO son una generalización de los de sistemas SISO, ya que una matriz transferencia será BIBO estable si y sólo sí cada una de sus entradas son BIBO estables.
Las pruebas del Teorema de Estabilidad BIBO de Sistemas SISO y el Corolario correspondiente deben realizarse sobre cada elemento de la respuesta al impulso o matriz transferencia del sistema.
Un sistema multivariable con matriz de respuestas impulso
es BIBO estable si y sólo sí cada gij(t) es absolutamente integrable en [0,∞ )
[
( )]
)(s = gij s
G
Un sistema multivariable con matriz de funciones de transferencia racionales y propias es BIBO estable si y sólo sí todos los polos de todos los g (s) tienen parte real negativa
)] ( [ ) (t = gij t G
Estabilidad Externa
Ejemplo: Dado el sistema
El sistema NO es estable en el sentido de Lyapunov: tiene un valor propio con parte real positiva en
λ
= 1El sistema es estable BIBO, dado que su función transferencia es
Estabilidad Externa
Caso Discreto:
Para el sistema descrito por
donde g[k] es la secuencia respuesta a un impulso discreto aplicado en el instante k = 0.
Teorema (Estabilidad BIBO Discreta). Un sistema discreto MIMO con matriz respuesta al impulso G[k] = gij[k] es estable BIBO si y sólo si cada gij[k] es absolutamente sumable, es decir, existe una constante
Estabilidad Externa
Corolario (Estabilidad BIBO para Funciones Discretas Racionales y Propias). Un sistema discreto MIMO con matriz transferencia racional y propia G(z) = [gij(z)] es estable BIBO si y sólo si todo polo de gij(z) tienen magnitud menor que 1.
El siguiente corolario establece una prueba para la estabilidad externa para sistemas discretos descritos por matrices de transferencia racionales y propias.
A diferencia del caso de tiempo continuo, en el caso de tiempo discreto, si g[k] es absolutamente sumable entonces debe necesariamente ser acotada y aproximarse a 0 cuando k
→
∞.Estabilidad Externa
Teorema (Respuesta en Régimen Permanente Discreta). Si un sistema discreto con respuesta al impulso g[k] es estable BIBO, entonces, cuando k
→
∞,● La salida excitada por u[k] = a, para k ≥ 0, tiende a g(1)a. ● La salida excitada por u[k] = sen(wok), para k ≥ 0, tiende a
Estabilidad Externa
Ejemplo. Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al impulso g[k] = 1/k, para k ≥ 1, y g[0] = 0. Analizamos si g[k] es absolutamente sumable,
La secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no sumable, por lo tanto el sistema no es estable BIBO.
Estabilidad
Relaciones entre Estabilidad Externa e Interna.
La relación entre estabilidad externa y estabilidad interna se puede resumir en el siguiente diagrama
Pueden existir sistemas estables para entrada cero (ESL) pero inestables con entrada externa aplicada (no estables BIBO)
Estabilidad
Sin embargo, no todo valor propio de A aparecerá como polo de G(s), ya que puede haber cancelaciones de ceros y polos. Por lo tanto, estabilidad BIBO no implica estabilidad interna; es decir, un sistema puede ser BIBO estable pero no Lyapunov o asintóticamente estable.
Por otro lado, como todo polo de la matriz transferencia del sistema debe ser un valor propio de A, estabilidad interna
asintótica implica estabilidad BIBO.
Por definición, estabilidad exponencial implica estabilidad asintótica y
Estabilidad
Ejemplo. El sistema descrito por la ecuación diferencial
La función transferencia no tiene ningún polo con parte real no negativa, entonces el sistema es BIBO estable.
Estabilidad
Una representación en variables de estado es:
Los valores propios de la matriz A son
λ
= 1,λ
= -2, entonces elsistema no es internamente estable, ni asintóticamente, estable en el sentido de Lyapunov, ya que tiene un autovalor con parte real positiva.
Estabilidad
Resumen:
• Se introdujeron los conceptos de estabilidad de sistemas estacionarios, comenzando por la estabilidad externa BIBO:
entrada-acotada/salida- acotada.
• Un sistema es BIBO estable si y sólo si
° su respuesta al impulso es absolutamente integrable (sumable, para sistemas discretos), o
° si su función transferencia g(s) (en discreto g(z)) es racional y propia, todos los polos de g(s) tienen parte real negativa (los polos de g(z) tienen magnitud menor que 1).
• Los sistemas MIMO son BIBO estables si y sólo si todos los subsistemas SISO que conectan las diferentes entradas y salidas son
Estabilidad
• La respuesta en régimen permanente de un sistema BIBO a una entrada sinusoidal de frecuencia w0 es sinusoidal de la misma frecuencia, y con magnitud y fase dadas por la magnitud y fase de la función transferencia del sistema evaluada en s = jw0 (z = ejw0 en
sistemas discretos).
• Para un sistema con entradas nulas se definen la estabilidad interna, la estabilidad según Lyapunov, y la estabilidad asintótica.
• La condición necesaria y suficiente para estabilidad según Lyapunov es que la matriz A en x´ = Ax no tenga valores propios con parte real positiva, y para aquellos valores propios con parte real nula, que no estén asociados a un bloque de Jordan de dimensión mayor que 1.
• La condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica es que todos los autovalores de A tengan para real
negativa-Estabilidad
• Un método alternativo de verificar si la matriz A tiene todos sus autovalores con parte real negativa es verificar la existencia de solución de una ecuación de Lyapunov.
• El teorema de Lyapunov para sistemas discretos, que vincula la existencia de solución de la ecuación M - ATMA = N con la propiedad
de que A tenga todos sus valores propios dentro del círculo unitario. • Para la estabilidad de sistemas lineales no estacionarios, se empleó el método de Lyapunov..
• Una nota importante es que los autovalores de A(t) en general no determinan la estabilidad en sistemas lineales no estacionarios.
