Sea un sistema lineal, causal , relajado, estacionario , descrito por la ecuación de estado:
Se estudia la estabilidad externa del sistema con respecto a la familia de señales de entrada acotadas. Una señal de entrada dada u(t) se dice acotada si existe una constante positiva Mu tal que
Ejemplos de señales acotadas son u(t) = sen(wt), u(t) = te-t, o u(t) = -2.
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x + = + = &
Estabilidad Externa
Un sistema es BIBO estable si para cualquier entrada limitada u(t),
y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una constante finita N(M,x0 t0 ) tal que
La estabilidad BIBO se refiere a una propiedad del sistema que sólo considera los efectos de la entrada sobre la salida, es decir, el comportamiento externo del sistema, independientemente de lo que pase con los estados.
M t u( ) ≤ 0 t t ) (t ≤ N ∀ ≥ y
Un sistema es BIBS estable si para cualquier entrada limitada u(t),
y para cualquier condición inicial x(t0 ) existe una constante finita N(M,x0 t0 ) tal que
M t u( ) ≤ 0 t t ) (t ≤ N ∀ ≥ x
Estabilidad Externa
Teorema Un sistema es estable BIBO si y sólo si su respuesta impulso h(t) es absolutamente integrable en el intervalo [0,∞), es decir, existe una constante NH ≥ 0 tal que
H t
N
d
t
H
≤
∫
∞ −τ
τ)
,
(
La matriz de respuestas impulso está dada por:
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
(
τ
C
Φ
τ
B
τ
δ
τ
D
τ
H
t
=
t
t
+
t
−
La norma de la matriz de respuestas impulso se debe calcular empleando una de las definiciones ya estudiadas.
Estabilidad Externa
El Teorema de Estabilidad BIBO es útil para una clase general de sistemas lineales. Sin embargo, para utilizarlo se debe tener la respuesta impulso del sistema para poder evaluar si es absolutamente integrable. Esta prueba puede no ser fácil de realizar.
Una función absolutamente integrable no necesariamente es acotada y puede no ir a cero cuando t → ∞. Un ejemplo de una función que es absolutamente integrable y no va a cero cuando t → ∞ es
Estabilidad Externa
Para un sistema invariante ( o estacionario) la matriz de respuestas impulso se evalúa como:
Aplicando el teorema anterior:
D
B
C
H(t,τ)
=
e
A(t−τ)+δ(t
−τ)
Si D es finita la integral del termino δ(t-τ)D es limitada y su contribución a la integral completa es simplemente aditiva.
H t t A t
N
d
D
t
B
Ce
d
t
H
=
∫
+
−
≤
∫
∞ − − ∞ −τ
τ
δ
τ
τ)
τ(
)
,
(
( ) H t t A t t AN
B
d
e
C
d
B
Ce
⎟⎟
≤
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
∫
∫
( −τ)τ
( −τ)τ
Estabilidad Externa
La norma de la matriz de transición de estados también se emplea para estudiar la estabilidad en el sentido de Lyapunov.
Pero estabilidad BIBO y ESL NO son equivalentes: no se pueden despreciar los efectos de las matrices C y B: Si
)
(
) (C
Null
B
d
e
t t A∈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∫
∞ − − − ττ
Independiente del tamaño de la integral, al premultiplicarse por C el resultado será limitado:
Un sistema que NO es ESL puede ser BIBO estable.
Lo contrario si es cierto: un sistema asintóticamente estable es BIBO estable.
Estabilidad Externa
Un sistema es BIBS si para toda entrada limitada, existe una constante Ns finita tal que:
t
N
d
B
t
s t)
(
)
(
⎟⎟
≤
∀
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
Φ
∫
∞ −τ
τ
τ
Para sistemas causales, de dimensión finita y LIT la
aproximación en el domino de la frecuencia es más sencilla:
(
)
}
{
1 1 − −−
=
L
sI
A
e
AtLa demostración de acotamiento se puede hacer sobre:
(sI
A)
B
CL
−1{
−
−1}
Estabilidad Externa
Corolario: Estabilidad BIBO para Funciones Racionales y Propias. Un sistema SISO con una función transferencia racional y propia h(s) es BIBO estable si y sólo si todos los polos de h(s) tienen parte real negativa.
Pero como pueden existir entradas acotadas con frecuencias
características imaginarias conjugadas, los polos de la expresión anterior deben estar en el semiplano izquierdo abierto.
D
B
A
sI
C
s
H(
)
=
(
−
)
−1+
Estabilidad Externa
La estabilidad BIBO es la base del clásico concepto de respuesta en
régimen permanente (estado estacionario) de un sistema lineal
estacionario. Esta es la respuesta del sistema una vez extinguidos los transitorios originados en el momento que se aplica la señal de entrada.
El criterio de Routh – Hurwitz determina la estabilidad BIBO.
La estabilidad del sistema queda determinada por los polos de la función transferencia, siendo la región de estabilidad el semiplano izquierdo (abierto) del plano complejo. Este tipo de estabilidad sólo tiene en cuenta el comportamiento externo del sistema, ignorando el efecto de condiciones iniciales, que se asumen nulas.
Estabilidad Externa
Teorema (Estabilidad BIBO y Respuesta en Régimen Permanente). Si un sistema con respuesta impulso h(t) es estable BIBO, entonces cuando t → ∞
● La salida correspondiente a una entrada constante u(t) = a, para t ≥ 0, tiende a la constante
● La salida correspondiente a una entrada senoidales u(t) = sen(w0t),
para t ≥ 0, tiende a la senoidal
El teorema anterior especifica la respuesta de un sistema BIBO a señales constantes y senoidales una vez que los transitorios se extinguen.
a
h
t
y
ss(
)
=
(0)
))
(
(
)
(
)
(t
h
jw
0sen
ω
0t
h
jω
0y
ss=
+∠
Estabilidad Externa
Para analizar sistemas que no tienen una función transferencia racional y propia, se debe apelar al teorema original.
Ejemplo. Sea un sistema con realimentación positiva que incluye un retardo unitario, T = 1, y una ganancia estática de valor a.
El sistema es de dimensión infinita, puesto que incluye un retardo, y no tiene función transferencia racional.
Estabilidad Externa
Cuando la entrada es un impulso, u(t) =
δ
(t), la salida está dada porConsiderando los impulsos como positivos:
El sistema es BIBO estable si y sólo sí ||a|| < 1.
) (t
Estabilidad Externa
Caso MIMO: Los resultados de estabilidad BIBO para sistemas MIMO son una generalización de los de sistemas SISO, ya que una matriz transferencia será BIBO estable si y sólo sí cada una de sus entradas son BIBO estables.
Las pruebas del Teorema de Estabilidad BIBO de Sistemas SISO y el Corolario correspondiente deben realizarse sobre cada elemento de la respuesta al impulso o matriz transferencia del sistema.
Un sistema multivariable con matriz de respuestas impulso
es BIBO estable si y sólo sí cada gij(t) es absolutamente integrable en [0,∞ )
[
( )]
)(s = gij s
G
Un sistema multivariable con matriz de funciones de transferencia racionales y propias es BIBO estable si y sólo sí todos los polos de todos los g (s) tienen parte real negativa
)] ( [ ) (t = gij t G
Estabilidad Externa
Ejemplo: Dado el sistema
El sistema NO es estable en el sentido de Lyapunov: tiene un valor propio con parte real positiva en
λ
= 1El sistema es estable BIBO, dado que su función transferencia es
Estabilidad Externa
Caso Discreto:
Para el sistema descrito por
donde g[k] es la secuencia respuesta a un impulso discreto aplicado en el instante k = 0.
Teorema (Estabilidad BIBO Discreta). Un sistema discreto MIMO con matriz respuesta al impulso G[k] = gij[k] es estable BIBO si y sólo si cada gij[k] es absolutamente sumable, es decir, existe una constante
Estabilidad Externa
Corolario (Estabilidad BIBO para Funciones Discretas Racionales y Propias). Un sistema discreto MIMO con matriz transferencia racional y propia G(z) = [gij(z)] es estable BIBO si y sólo si todo polo de gij(z) tienen magnitud menor que 1.
El siguiente corolario establece una prueba para la estabilidad externa para sistemas discretos descritos por matrices de transferencia racionales y propias.
A diferencia del caso de tiempo continuo, en el caso de tiempo discreto, si g[k] es absolutamente sumable entonces debe necesariamente ser acotada y aproximarse a 0 cuando k
→
∞.Estabilidad Externa
Teorema (Respuesta en Régimen Permanente Discreta). Si un sistema discreto con respuesta al impulso g[k] es estable BIBO, entonces, cuando k
→
∞,● La salida excitada por u[k] = a, para k ≥ 0, tiende a g(1)a. ● La salida excitada por u[k] = sen(wok), para k ≥ 0, tiende a
Estabilidad Externa
Ejemplo. Sea un sistema discreto estacionario con respuesta al impulso g[k] = 1/k, para k ≥ 1, y g[0] = 0. Analizamos si g[k] es absolutamente sumable,
La secuencia de la respuesta al impulso es acotada pero no sumable, por lo tanto el sistema no es estable BIBO.
Estabilidad
Relaciones entre Estabilidad Externa e Interna.
La relación entre estabilidad externa y estabilidad interna se puede resumir en el siguiente diagrama
Pueden existir sistemas estables para entrada cero (ESL) pero inestables con entrada externa aplicada (no estables BIBO)
Estabilidad
Sin embargo, no todo valor propio de A aparecerá como polo de G(s), ya que puede haber cancelaciones de ceros y polos. Por lo tanto, estabilidad BIBO no implica estabilidad interna; es decir, un sistema puede ser BIBO estable pero no Lyapunov o asintóticamente estable.
Por otro lado, como todo polo de la matriz transferencia del sistema debe ser un valor propio de A, estabilidad interna
asintótica implica estabilidad BIBO.
Por definición, estabilidad exponencial implica estabilidad asintótica y
Estabilidad
Ejemplo. El sistema descrito por la ecuación diferencial
La función transferencia no tiene ningún polo con parte real no negativa, entonces el sistema es BIBO estable.
Estabilidad
Una representación en variables de estado es:
Los valores propios de la matriz A son
λ
= 1,λ
= -2, entonces elsistema no es internamente estable, ni asintóticamente, estable en el sentido de Lyapunov, ya que tiene un autovalor con parte real positiva.
Estabilidad
Resumen:
• Se introdujeron los conceptos de estabilidad de sistemas estacionarios, comenzando por la estabilidad externa BIBO: entrada-
acotada/salida- acotada.
• Un sistema es BIBO estable si y sólo si
° su respuesta al impulso es absolutamente integrable (sumable, para sistemas discretos), o
° si su función transferencia g(s) (en discreto g(z)) es racional y propia, todos los polos de g(s) tienen parte real negativa (los polos de g(z) tienen magnitud menor que 1).
• Los sistemas MIMO son BIBO estables si y sólo si todos los subsistemas SISO que conectan las diferentes entradas y salidas son
Estabilidad
• La respuesta en régimen permanente de un sistema BIBO a una entrada sinusoidal de frecuencia w0 es sinusoidal de la misma frecuencia, y con magnitud y fase dadas por la magnitud y fase de la función transferencia del sistema evaluada en s = jw0 (z = ejw0 en
sistemas discretos).
• Para un sistema con entradas nulas se definen la estabilidad interna, la estabilidad según Lyapunov, y la estabilidad asintótica.
• La condición necesaria y suficiente para estabilidad según Lyapunov es que la matriz A en x´ = Ax no tenga valores propios con parte real positiva, y para aquellos valores propios con parte real nula, que no estén asociados a un bloque de Jordan de dimensión mayor que 1.
• La condición necesaria y suficiente para estabilidad asintótica es que todos los autovalores de A tengan para real negativa-
Estabilidad
• Un método alternativo de verificar si la matriz A tiene todos sus autovalores con parte real negativa es verificar la existencia de solución de una ecuación de Lyapunov.
• El teorema de Lyapunov para sistemas discretos, que vincula la existencia de solución de la ecuación M - ATMA = N con la propiedad
de que A tenga todos sus valores propios dentro del círculo unitario. • Para la estabilidad de sistemas lineales no estacionarios, se empleó el método de Lyapunov..
• Una nota importante es que los autovalores de A(t) en general no determinan la estabilidad en sistemas lineales no estacionarios.