Dinámica del Sólido. Índice

Dinámica del Sólido

Índice

1. Sólido con eje fijo 2

1.1. Cinemática del SEF . . . 2

1.2. Introducción a la dinámica del SEF . . . 2

1.3. Ecuaciones de la dinámica del SEF . . . 3

1.4. Movimiento . . . 3

1.4.1. Regularización . . . 3

1.5. Reacciones . . . 3

1.5.1. Equilibrado . . . 4

1.6. Ejes permanentes de rotación . . . 4

1.7. Ejes espontáneos de rotación . . . 5

2. Sólido con punto fijo 6 2.1. Cinemática del SPF . . . 6

2.2. Introducción a la dinámica del SPF . . . 7

2.3. Ecuaciones de la dinámica del SPF . . . 8

2.3.1. Caso General . . . 8

2.3.2. Caso de tensor cilíndrico . . . 9

2.4. Caso de Euler-Poinsot . . . 10

2.4.1. Primera fase de integración . . . 10

2.4.2. Análisis cualitativo de la estabilidad de las rotaciones . . . 12

2.4.3. Segunda fase de integración . . . 13

2.4.4. Casos particulares asociados a condiciones iniciales . . . 14

2.4.5. Casos particulares asociados a características másicas . . . 16

2.4.6. Interpretación de Poinsot . . . 17

2.5. Sólido pesado con punto fijo (O6≡G) . . . 19

2.6. Caso de Lagrange . . . 20

2.6.1. Reducción a cuadraturas . . . 20

2.6.2. Análisis cualitativo . . . 22

2.6.3. Casos del sólido de Lagrange . . . 23

2.6.4. Movimientos estacionarios del trompo de Lagrange . . . 25

3. Sólido libre 26 3.1. Introducción . . . 26

1.

Sólido con eje fijo

1.1.

Cinemática del SEF

θ θ O O′ G G′ x y z ≡ z1 x1 y1 ¯ R ¯ R1 ¯ F ¯ MO Geometría: OO′_{= h ~k, OG}′ _{= (~k · OG) ~k}

Campo de velocidades y aceleraciones del sólido: ¯ ω01(t) = ˙θ ~k ⇒ ¯α01(t) = ¨θ ~k ¯ vO01(t) = ¯0 ⇒ ¯γ01O(t) = ¯0 ¯ v₀₁G CV S= ¯v₀₁O + ¯ω01∧ OG = ¯ω01∧ (  OG′_{+ G}′_{G)= ˙θ(~k ∧ G}′_G) ¯ γ₀₁G CAS= ¯γ₀₁O + ¯α01∧ OG + ¯ω01∧ (¯ω01∧ OG) = ¨θ(~k ∧ G′G) − ˙θ2G′G

1.2.

Introducción a la dinámica del SEF

Se pretende estudiar el problema mecánico de un sólido con un eje fijo (eje de puntos fijos). Sistemas de referencia:

Ox1y1z1: Ejes inerciales (referente del movimiento) Sólido 1

Oxyz: _{Ejes cuerpo (con Oz ≡ Oz}1) Sólido 0

0/1 Movimiento de interés Incógnitas: 1 GDL: θ [1] Rótula ideal en O: R¯ [3] Cojinete oscilante en O′_{: R}¯ 1 ( ¯R1 ⊥ ~k) [2]

Fuerzas directamente aplicadas: Resultante: _{F (θ, ˙θ, t)}¯ Momento en O: _M¯_{O(θ, ˙θ, t)}

1.3.

Ecuaciones de la dinámica del SEF

Ecuaciones generales: ECM: m¯γ₀₁G = ¯F + ¯R + ¯R1 EMC: d ¯HO dt   1 = ¯MO+ OO′∧ ¯R1 Cinética: ¯ HO = ¯¯IO. ¯ω01 d ¯HO dt   1 = d ¯HO dt   0+ ¯ω01∧ ¯HO = ¯¯IO. ¯α01+ ¯ω01∧ ¯¯IO. ¯ω01=

= ¨θ ¯¯IO. ~k + ˙θ2(~k ∧ ¯¯IO. ~k) = ¨θ ¯I_O,~k+ ˙θ2(~k ∧ ¯I_O,~k) ( ¯I_O,~k = ¯¯IO. ~k Vector de inercia)

m ¨_{θ(~k ∧ G}′_{G) − ˙θ}2_G′G _{= F + ¯¯ R + ¯R}

1 (1)

¨

θ ¯I_O,~k+ ˙θ2_{(~k ∧ ¯}I_O,~k) = M¯O+ OO′∧ ¯R1 (2)

1.4.

Movimiento

Multiplicando la ecuación (2) escalarmente por ~k obtenemos: ¯

MO· ~k +_



(OO′_{∧ ¯R1) · ~k = ¨θ ¯I}

O,~k· ~k = ¨θ IO,~k (IO,~k= ¯IO,~k· ~k Momento de inercia)

¨

θ = M¯O(θ, ˙θ, t) · ~k

I_O,~k = F (θ, ˙θ, t) t = t0 : θ = θ0 , ˙θ = ˙θ0 (Problema de Cauchy) 1.4.1. Regularización

I_{O,~k ↑ ⇒ ¨θ ↓ →} l´ım

I_O,~k→∞ ˙θ ≃ CTE

La regularización de un sólido giratorio significa aumentar el momento de inercia respecto al eje de giro (añadiendo volantes de inercia) con objeto de limitar el valor de la aceleración angular.

1.5.

Reacciones

Premultiplicando (2) vectorialmente por ~k se obtiene: ¨

θ ~k ∧ ¯I_O,~k+ ˙θ2~k ∧ (~k ∧ ¯I_{O,~k) = ~k ∧ ¯}MO+ h~k ∧ (~k ∧ ¯R1) = ~k ∧ ¯MO+ h

 _{(~k · ¯R1}_{)~k − ¯R1} Despejando se tiene: ¯ R1 = 1 h~k ∧ ¯MO− ¨θ ~k ∧ ¯IO,~k− ˙θ 2_(I

O,~k~k − ¯IO,~k)



Despejando de (1) obtenemos: ¯ R = − ¯F − ¯R1+ m ¨θ(~k ∧ G′G) − ˙θ2G′G  (4) 1.5.1. Equilibrado

Posiciones de equilibrio: aquellos valores θ∗ _{para los que abandonando el sólido en reposo ( ˙θ = 0)}

tenemos valores nulos de aceleración angular (¨θ = 0): {θ∗ : ¯MO(θ∗, 0, t) · ~k = 0, ∀t ≥ t0}

Las reacciones en equilibrio se obtienen particularizando (3) y (4) con θ = θ∗_{, ˙θ = 0, ¨θ = 0:}

¯ R1 = ~k ∧ ¯ MO h ∂ ¯R1 ∂θ = ¯0 (5) ¯ R = − ¯F −~k ∧ ¯MO h ∂ ¯R ∂θ = ¯0 (6)

Regímenes de funcionamiento de las máquinas giratorias: Transitorio : |¨θ| ≫ 0 (periodos de arranque y parada: TT1 y TT2)

Estacionario : |¨θ| ≃ 0 (periodo de funcionamiento nominal u óptimo: TE)

Lo habitual es que TT1 + TT2 ≪ TE, por lo interesa eliminar los términos que más contribuyen a

cargar las reacciones en régimen estacionario, es decir, los términos en ˙θ2 _{de (3) y (4).}

Eliminación de los términos en ˙θ2 _{de (3):}

I_O,~k~k = ¯I_{O,~k ⇔ ~k ∧ ¯}I_{O,~k = ¯0 ⇔ ~k es DPI en O ≡ Oz (eje de giro) es principal de inercia} Pero además desaparece el término en ¨θ, luego se obtiene:

¯ R1 = ~k ∧ ¯ MO h donde ∂ ¯R1 ∂θ = 1 h(~k ∧ ∂ ¯MO ∂θ ) 6= ¯0 al contrario que en (5) Eliminación de los términos en ˙θ2 _{de (4):}

GG′ _{= ¯0 ⇔ G ∈ Oz ⇔ Oz (eje de giro) es central}

Pero también desaparece el término en ¨θ, luego se obtiene: ¯ R = − ¯F −~k ∧ ¯_hMO donde ∂ ¯R ∂θ = − ∂ ¯F ∂θ − 1 h(~k ∧ ∂ ¯MO ∂θ ) 6= ¯0 al contrario que en (6) Equilibrado de un sólido giratorio es hacer que el eje de giro sea central y principal de inercia para minimizar las reacciones de ligadura. Con ello se consigue que las expresiones que proporcionan las reacciones dinámicas tengan la misma definición matemática que la de los casos de equilibrio (aunque no las mismas dependencias).

1.6.

Ejes permanentes de rotación

Si se satisface que:

Oz es DPI en O ¯

Entonces se tiene que ¯R1 = ¯0, ˙θ = CTE.

No hace falta el cojinete oscilante porque no se necesita reaccionar. Se quita y obtenemos un sólido con punto fijo (SPF) girando a velocidad angular constante alrededor de Oz, denominado eje permanente de rotación (EPR).

1.7.

Ejes espontáneos de rotación

Si se satisface que:

Oz es EPR. Oz es eje central.

¯ F ≡ 0.

Entonces se tiene que ¯R = ¯0, ˙θ = CTE.

No hace falta la rótula porque no se necesita reaccionar. Se quita y obtenemos un sólido libre (SL) girando a velocidad angular constante alrededor de Oz, llamado eje espontáneo de rotación (EER).

2.

Sólido con punto fijo

2.1.

Cinemática del SPF

ψ ψ θ θ ϕ ϕ O G x y z ≡ z3 x1 y1 z2 ≡ z1 x2 ≡ x3 y2 y3 ¯ R LN ¯ F ¯ MO

Velocidades angulares de las rotaciones asociadas a los ángulos de Euler ¯ ω03= ˙ϕ ~k = ˙ϕ ~k3 ¯ ω32= ˙θ~ı2 = ˙θ~ı3 ¯ ω21= ˙ψ ~k1 Geometría de vectores ~ı2 = cos ϕ~ı − sin ϕ ~ ~k1 = sin θ ~3+ cos θ ~k3 ~3 = sin ϕ~ı + cos ϕ ~

Proyectando la velocidad angular en ejes 0: ¯

ω01= ¯ω03+ ¯ω32+ ¯ω21= ˙ϕ ~k + ˙θ[cos ϕ~ı − sin ϕ ~] + ˙ψ[sin θ(sin ϕ~ı + cos ϕ ~) + cos θ ~k] =

= ˙ψ sin θ sin ϕ + ˙θ cos ϕ

| {z }

p

~ı + ˙_{ψ sin θ cos ϕ − ˙θ sin ϕ}

| {z } q ~ + ˙ψ cos θ + ˙ϕ | {z } r ~k    p q r    =  

sin θ sin ϕ cos ϕ 0 sin θ cos ϕ − sin ϕ 0 cos θ 0 1   | {z } [A]    ˙ ψ ˙θ ˙ ϕ     A= − sin θ Si A6= 0 ⇒    ˙ ψ ˙θ ˙ ϕ    = [A∗] T |A|    p q r   

¯ α01= d¯ω01 dt |1 = d¯ω01 dt |0+(((( ( ¯ ω01∧ ¯ω01= ˙p~ı + ˙q ~ + ˙r ~k

Proyectando la velocidad angular en ejes 3: ¯ ω01 = ¯ω03+ ¯ω32+ ¯ω21= ˙ψ(sin θ ~3+ cos θ ~k3) + ˙θ~ı3+ ˙ϕ ~k3 = = ˙θ |{z} P ~ı3 + ˙ψ sin θ | {z } Q ~3+ ˙ψ cos θ + ˙ϕ | {z } R ~k3    P Q R    =   0 1 0 sin θ 0 0 cos θ 0 1   | {z } [B]    ˙ ψ ˙θ ˙ ϕ     B= − sin θ Si B6= 0 ⇒    ˙ ψ ˙θ ˙ ϕ    = [B ∗_]T |B|    P Q R   

Proyectando la velocidad angular 3/1 en ejes 3: ¯ ω31= ¯ω32+ ¯ω21= ˙ψ(sin θ ~3+ cos θ ~k3) + ˙θ~ı3 = P ~ı3 + Q ~3+ (R − ˙ϕ) ~k3 ¯ α01= d¯ω01 dt |1 = d¯ω01 dt |3+ ¯ω31∧ ¯ω01= ˙P ~ı3+ ˙Q ~3+ ˙R ~k3+       ~ı3 ~3 ~k3 P Q R − ˙ϕ P Q R       = = ( ˙P + Q ˙ϕ)~ı3+ ( ˙Q − P ˙ϕ) ~3+ ˙R ~k3

2.2.

Introducción a la dinámica del SPF

Se pretende estudiar el problema mecánico de un sólido con un punto O fijo. Sistemas de referencia:

Ox1y1z1: Ejes inerciales (referente del movimiento) Sólido 1

Oxyz: Ejes principales de inercia del sólido en O (ejes cuerpo) Sólido 0 0/1 Movimiento de interés

Incógnitas:

3 GDL: ψ, θ, ϕ [3] Rótula ideal en O: _R¯ _[3] Fuerzas directamente aplicadas:

Resultante: F (ψ, θ, ϕ, ˙¯ ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) Momento en O: M¯O(ψ, θ, ϕ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t)

2.3.

Ecuaciones de la dinámica del SPF

ECM: m¯γ₀₁G = ¯F + ¯R EMC: d ¯HO dt  

1 = ¯MO (Sin incógnitas de ligadura)

2.3.1. Caso General Geometría de masas: ¯¯I= O (Oxyz)   A 0 0 0 B 0 0 0 C   Cinética: ¯ HO = ¯¯IO. ¯ω01 d dt → d ¯H_dtO 1 = d ¯HO dt   0+ ¯ω01∧ ¯HO = ¯¯IO. ¯α01+ ¯ω01∧ (¯¯IO. ¯ω01)

Ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo: ¯

ω01= p~ı + q ~ + r ~k

¯

α01= ˙p~ı + ˙q ~ + ˙r ~k

p = ˙ψ sin θ sin ϕ + ˙θ cos ϕ (7)

q = ˙_{ψ sin θ cos ϕ− ˙θ sin ϕ} (8)

r = ˙ψ cos θ + ˙ϕ (9)

Acciones directamente aplicadas: ¯ MO= Mx~ı + My~ + Mz~k Operaciones: ¯ ω01∧ (¯¯IO· ¯ω01) =       ~ı ~ ~k p q r Ap Bq Cr      

Ecuaciones de Euler (EMC):

A ˙p + (C − B)qr = Mx (10)

B ˙q + (A − C)pr = My (11)

C ˙r + (B − A)pq = Mz (12)

que, en vista de las dependencias de las componentes de la velocidad angular y de los momentos, constituyen un sistema de 3 EDO de segundo orden en ψ, θ, ϕ, que habrá de ser integrado, tras sustituir las ecuaciones (7-9), con las siguientes condiciones iniciales para conocer el movimiento:

t = t0 :

(

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

˙

ψ = ˙ψ0, ˙θ = ˙θ0, ˙ϕ = ˙ϕ0 (p = p0, q = q0, r = r0)

Las fuerzas de ligadura se calculan, una vez conocido el movimiento del SPF, despejándolas de la ECM.

2.3.2. Caso de tensor cilíndrico Sistemas de referencia:

Ox3y3z3: Referencia de Résal (tensor cilíndrico) Sólido 3

0/1 Movimiento de interés

Ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo: ¯ ω01 = ψ ~k˙ 1+ ˙θ~ı2+ ˙ϕ ~k = ˙ψ(sin θ ~3+ cos θ ~k3) + ˙θ~ı3+ ˙ϕ ~k3 = = ˙θ |{z} P ~ı3 + ˙ψ sin θ | {z } Q ~3+ ( ˙ψ cos θ + ˙ϕ) | {z } R ~k3 = P ~ı3+ Q ~3+ R ~k3 ¯ ω31 = ˙θ~ı2+ ˙ψ ~k1 = ˙θ~ı3+ ˙ψ sin θ ~3+ ˙ψ cos θ ~k3 = P ~ı3+ Q ~3+ (R − ˙ϕ) ~k3 Geometría de masas: ¯¯I= O (Ox3y3z3)   A 0 0 0 A 0 0 0 C   Cinética: ¯ HO = ¯¯IO . ¯ω01 = AP ~ı3+ AQ ~3+ CR ~k3 d dt → d ¯HO dt   1 = d ¯HO dt   3+ ¯ω31∧ ¯HO = A ˙P ~ı3+ A ˙Q ~3+ C ˙R ~k3+       ~ı3 ~3 ~k3 P Q _{R − ˙ϕ} AP AQ CR      

Acciones directamente aplicadas: ¯ MO= Mx3~ı3+ My3~3+ Mz3~k3 Ecuaciones de Euler: A ˙_{P + Q[(C − A)R + A ˙ϕ] = M}x3 A ˙_{Q − P [(C − A)R + A ˙ϕ] = M}y3 C ˙R = Mz3

que, en vista de las dependencias de las componentes de la velocidad angular y de los momentos, constituyen un sistema de 3 EDO de segundo orden en ψ, θ, ϕ, que habrá de ser integrado, tras sustituir las ecuaciones que determinan las componentes de la velocidad angular, con las siguientes condiciones iniciales para conocer el movimiento:

t = t0 :

(

ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

˙

2.4.

Caso de Euler-Poinsot

Se caracteriza por: M¯O ≡ ¯0 EMC → H¯O = CTE Hipótesis simplificativa: A ≥ B ≥ C Ecuaciones de Euler: A ˙p + (C − B)qr = 0 (13) B ˙q + (A − C)pr = 0 (14) C ˙r + (B − A)pq = 0 (15)

Para conocer el movimiento hay que resolver el sistema formado por las ecuaciones (7-9, 13-15) con las siguientes condiciones iniciales:

t = t0 : ( ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 ˙ ψ = ˙ψ0, ˙θ = ˙θ0, ˙ϕ = ˙ϕ0 (p = p0, q = q0, r = r0) Fases de integración:

1. El SEDO (13-15) se puede concebir como de primer orden en p, q, r. Obtenemos p, q, r como funciones del tiempo integrando el SEDO (13-15).

2. Introduciendo la solución anterior en el SEDO (7-9) o en otro similar, obtenemos por integración ψ, θ, ϕ como funciones del tiempo.

2.4.1. Primera fase de integración

Se pretende obtener p(t), q(t), r(t) de las ecuaciones de Euler.

En primer lugar, se obtienen dos integrales primeras por combinaciones de las mismas. Combinación p(13)+q(14)+r(15): Ap ˙p + Bq ˙q + Cr ˙r = 0 = 1 2 d(Ap2_{+ Bq}2_{+ Cr}2₎ dt R → Ap2_{+ Bq}2_{+ Cr}2 _{= C} 1 (16) Combinación Ap(13)+Bq(14)+Cr(15): A2_{p ˙p + B}2_{q ˙q + C}2_{r ˙r = 0 =} 1 2 d(A2_p2_{+ B}2_q2 _{+ C}2_r2₎ dt R → A2_p2_{+ B}2_q2_{+ C}2_r2 _{= C} 2 (17) Significado físico de (17): ¯ HO = Ap~ı + Bq ~ + Cr ~k = CTE |·|2 → | ¯HO|2 = A2p2+ B2q2+ C2r2 = |CTE|2 = C2 Significado físico de (16): T = 1 2ω . ¯¯I¯ O. ¯ω = 1 2(Ap 2_{+ Bq}2_{+ Cr}2₎ EE → dT_dt = ¯_{R ·}_v¯O₊ M¯O· ¯ω = 0 R → T = CTE = C₂1 Substitución de constantes de integración por homogeneidad:

   C2 = D2Ω2 ≥ 0 C1 = DΩ2 ≥ 0            D = C2 C1 = | ¯HO| 2

2T (dimensiones de momento de inercia) Ω = _√C1

C2

= 2T | ¯HO|

Integrales primeras:

A p2+ B q2+ C r2 = D Ω2 (18)

A2p2+ B2q2+ C2r2 = D2Ω2 (19)

Son un sistema algebraico lineal de dos ecuaciones con tres incógnitas: p2_{, q}2_{, r}2_.

Para resolver el problema vamos a despejar dos de ellas en función de la tercera, en nuestro caso serán p = p(q), r = r(q), que sustituiremos en (14) para obtener una EDO de primer orden con la que calcular q(t). Combinación A(18)-(19): D(A − D)Ω2 _{= B(A − B)} | {z } ≥0 q2_{+ C(A − C)} | {z } ≥0 r2 _{≥ 0 ⇒ D ≤ A (20)} Combinación (19)-C(18): D(D − C)Ω2 = A(A − C) | {z } ≥0 p2_{+ B(B − C)} | {z } ≥0 q2 _{≥ 0 ⇒ D ≥ C} (21)

Combinación (19)-B(18), que usaremos mas adelante: D(D − B)Ω2 = A(A − B) | {z } ≥0 p2_{− C(B − C)} | {z } ≥0 r2 (22) Luego: C ≤ D ≤ A Despejando p de (21): p(q) = ± s B(B − C) A(A − C) | {z } kp v u u u t D(D − C) B(B − C)Ω 2 | {z } f2 −q2 ₍₂₃₎

A 6= C (tensor no esférico), B 6= C (tensor no cilíndrico), A 6= 0, B 6= 0 (sólido no degenerado) Despejando r de (20): r(q) = ± s B(A − B) C(A − C) | {z } kr v u u u t D(A − D) B(A − B)Ω 2 | {z } g2 −q2 ₍₂₄₎

A 6= C (tensor no esférico), A 6= B (tensor no cilíndrico), A 6= 0, B 6= 0 (sólido no degenerado) Despejando de la ecuación (14):

dt = − Bdq

(A − C)pr ⇒ sign( ˙q) = −sign(p)sign(r)

Introduciendo las soluciones (23) y (24) en la ecuación anterior e integrando entre la situación inicial y una genérica se obtiene la siguiente cuadratura:

⇒ r (A − B)(B − C) AC | {z } kq (t − t0) = ± Z q q0 dq p (f2_{− q}2_)(g2_{− q}2₎ (25)

El segundo miembro es una integral elíptica, por contener la raíz de un polinomio de cuatro grado. Una vez calculada q(t) de (25) se introduce en (23) y en (24) para obtener p(t) y q(t).

2.4.2. Análisis cualitativo de la estabilidad de las rotaciones

Aprovechando el tipo de cuadratura del segundo miembro podemos utilizar el análisis cualitativo para estudiar la estabilidad de las rotaciones. Teniendo en cuenta que el denominador es de la forma p

E − V (q) se tendrá que:

NIVEL ENERGÉTICO E = f2g2 f2g2 _{≥ 0} POTENCIAL: V (q) = (f2+ g2)q2_{− q}4 f2+ g2 _{≥ 0} RAÍCES: q∗ _{= 0 (doble), ±}pf2_{+ g}2

PUNTOS CRÍTICOS: qmax = ±

r f2_{+ g}2 2 Vmax = (f2_{+ g}2₎2 4 qmin = 0 Vmin = 0 TENDENCIAS EXTREMAS: _{q → ±∞ V → −∞} E , V

ANALISIS CUALITATIVO DEL MOVIMIENTO DEL SOLIDO DE EULER-POINSOT

zona permitida zona prohibida zona prohibida q 0 0 E= f2_g2 Vmax=(f 2_+g2₎2 4 −pf2_{+ g}2 − q f2+g2 2 − m´ax(f, g) − m´ın(f, g) m´ın(f, g) m´ax(f, g) q f2+g2 2 pf2_{+ g}2

De la figura se desprende que se satisface la siguiente relación: − m´ın(f, g) ≤ q(t) ≤ m´ın(f, g)

2.4.3. Segunda fase de integración

Conocidas las funciones p(t), q(t), r(t) se trata de calcular las funciones ψ(t), θ(t), ϕ(t). Elijamos el referente inercial del movimiento de forma que:

~k1 =

¯ HO

| ¯HO|

En estas condiciones se tiene que: ¯

HO = DΩ ~k1 = DΩ(sin θ sin ϕ~ı + sin θ cos ϕ ~ + cos θ ~k) = Ap~ı + Bq ~ + Cr ~k

Por componentes:

Ap = DΩ sin θ sin ϕ (26)

Bq = DΩ sin θ cos ϕ (27)

Cr = DΩ cos θ (28)

De (28) se tiene fácilmente que:

θ(t) = arc cos(Cr(t)_{DΩ )} (29)

Dividiendo (26) entre (27) se tiene fácilmente que: ϕ(t) = arctan(Ap(t)

Bq(t)) (30)

Para sacar ψ(t) hay que hacer un mayor esfuerzo, porque no interviene en las ecuaciones (26-28). Habrá que obtenerlo de las ecuaciones de la cinemática del SPF.

En primer lugar eliminamos ˙θ mediante la combinación sin ϕ(7) + cos ϕ(8) y despejamos ˙ψ: ˙

ψ = p sin ϕ + q cos ϕ sin θ

p sin ϕ se saca multiplicando p(26) y despejando del segundo miembro: p sin ϕ = Ap

2

DΩ sin θ

q cos ϕ se saca multiplicando q(27) y despejando del segundo miembro: q cos ϕ = Bq

2

DΩ sin θ

sin θ se saca despejando de la combinación (26)2 _{+ (27)}2_:

sin θ = p

A2_p2_{+ B}2_q2

DΩ

Sustituyendo todo se tiene: ˙ ψ = Ap 2_{+ Bq}2 DΩ sin2_θ = DΩ Ap2_{+ Bq}2 A2_p2_{+ B}2_q2 = DΩ DΩ2_{− Cr}2 D2_Ω2_{− C}2_r2 R → ψ(t) − ψ0 = DΩ Z t t0 DΩ2 _{− Cr}2(t) D2Ω2 _{− C}2r2(t)dt (31)

2.4.4. Casos particulares asociados a condiciones iniciales Caso D=A O ¯ ω01= Ω~ı x1 y1 z1 ≡ x LN y z ψ(t) FASE 1: q(t) (20)= r(t) (20)= 0 p(t) (21)_{= ±Ω} ) ⇒ ~ω01= Ω~k1 = ±Ω~ı ANÁLISIS CUALITATIVO: f 6= 0 g = 0 ) ⇒ ( E = 0 V = f2q2_{− q}4 ) ⇒ ⇒ q = 0 mínimo relativo del potencial FASE 2:

θ(t)(29)_{= ±π/2} ϕ(t) (30)_{= ±π/2} ψ(t)(31)= Ωt + ψ0

CONCLUSIONES:

Ox eje permanente de rotación estable. Caso D=C O ¯ ω01= Ω~k x1 y1 z1 ≡ z x y ψ(t) + ϕ(t) FASE 1: p(t)(21)= q(t)(21)= 0 r(t)(20)_{= ±Ω}    ⇒ ~ω01= Ω~k1 = ±Ω~k ANÁLISIS CUALITATIVO: f = 0 g 6= 0 ) ⇒ ( E = 0 V = g2q2_{− q}4 ) ⇒ ⇒ q = 0 mínimo relativo del potencial FASE 2: θ(t)(29)_{= 0, π(6 ∃LN)} ψ(t) =? ϕ(t) =? ψ(t) ± ϕ(t)(9)= Ωt + ψ0± ϕ0 CONCLUSIONES:

Caso D=B

(22) : _{A(A − B)p}2

− C(B − C)r2 = 0 Condiciones iniciales : A(A − B)p2

0− C(B − C)q02 = 0 ANÁLISIS CUALITATIVO: f2 = Ω2 g2 = Ω2 ) ⇒ ( E = Ω4 V = 2Ω2q2_{− q}4 ) ⇒ ⇒ q = ±Ω máximos relativos del potencial Subcaso p0 = r0 = 0 O ¯ ω01 = Ω~ x1 y1 z1 ≡ y x z LN ψ(t) FASE 1: q(t)(20−21)= _±Ω p(t)(23)= r(t)(24)= 0    ⇒ ¯ ω01= Ω~k1 = ±Ω~ FASE 2: θ(t)(29)= π/2 ϕ(t) (30)= 0, π (solución doble) ψ(t)(31)= Ωt + ψ0 CONCLUSIONES:

Oy eje permanente de rotación inestable. Subcaso p2 0+ r026= 0 FASE 1: p r = ± q A_(B−C) C(A−B) = p0 r0, f 2 _{= g}2 _{= Ω}2 p(t) (23)= sign(p0) kpΩ cosh[n(t − t0)] q(t) (25)= sign( ˙q0) Ω tanh[n(t − t0)] r(t) (24)= sign(r0) krΩ cosh[n(t − t0)] kp = s B(B − C) A(A − C) kr = s B(A − B) C(A − C) n = kqΩ = Ω r (A − B)(B − C) AC FASE 2: ˙ ψ(t)(31)= BΩ BΩ 2_{− Cr}2 B2_Ω2_{− C}2_r2 θ(t)(29)= arc cos(Cr BΩ) ϕ(t) (30)= arctan(Ap Bq) CONCLUSIONES:

El eje instantáneo recorre en eje ligados al sólido el plano r0x − p0z = 0 y tiende asintóticamente

a ser el eje Oy. l´ım t→∞    p(t) q(t) r(t)    =    0 sign( ˙q0)Ω 0    l´ım t→∞    ψ(t) θ(t) ϕ(t)    =    ∞ π/2 0   

2.4.5. Casos particulares asociados a características másicas Caso A=B=C(Sólido con tensor esférico en el punto O)

Solución:

GM ¯¯IO = A ¯¯U Cinética ¯HO = ¯¯IO. ¯ω01 = A ¯ω01

EMC d ¯HO

dt |1 = A d¯ω01

dt |1 = ¯0 ⇒ ω¯01(t) = (¯ω01)0 CONCLUSIONES:

La recta soporte de la velocidad angular inicial permanece fija en el espacio (eje permanente de rotación). Las axoides degeneran en esa misma recta.

Caso A=B (Sólido con tensor cilíndrico respecto al eje Oz) Ecuaciones:

(15)

→ r = r0

(18 ó 19)

→ p2+ q2 = k2

Solución (en este caso las dos fases de integración no están desacopladas): θ(t) (29)= arc cos(Cr0 DΩ) = θ0 ˙ ψ(t)(31)= DΩ A ⇒ ψ(t) = ψ0+ DΩ A t ˙ ϕ(t)(9)= r0(1 − C A) ⇒ ϕ(t) = ϕ0+ r0(1 − C A)t p(t) (7)= DΩ A sin θ0sin(ϕ(t)) q(t) (8)= DΩ A sin θ0cos(ϕ(t)) CONCLUSIONES:

El movimiento puede considerarse como composición de dos rotaciones puras uniformes: ¯

ω01 = ¯ω03+ ¯ω31 | ¯ω01| = CTE

¯

ω03 = ϕ˙0~k |¯ω03| = CTE → RPU alrededor del eje giratorio Oz

¯

ω31 = ψ˙0~k1 |¯ω31| = CTE → RPU alrededor del eje fijo Oz1

Caso de cuerpo prolato (A>C) ˙ ψ > 0 ˙ ϕ > 0

E

.I

.R

.

z

z

₁

H

O

ω

˙

ψ

θ

˙

ϕ

Caso de cuerpo oblato (A<C) ˙ ψ > 0 ˙ ϕ < 0 E.I .R. z z1 HO ω ˙ ψ θ ˙ ϕ

2.4.6. Interpretación de Poinsot

Elipsoide de inercia en los ejes cuerpo (Oxyz): EI : Ax2_{+ By}2_{+ Cz}2 _{= 1} Implícita

⇒ F (x, y, z) = Ax2+ By2+ Cz2_{− 1 = 0} (32) Eje instantáneo de rotación (paramétricas en ejes cuerpo):

EIR : {O; ¯ω} Paramétricas⇒ (x(λ, t), y(λ, t), z(λ, t)) = λ(p(t), q(t), r(t)) (33) Polos: {M, M′_{} = EIR ∩ EI} λ = ±√1 D Ω ⇒ r¯ M = p~ı + q ~ + r ~k√ D Ω , r¯ M′ = −p~ı + q ~ + r ~k√ D Ω (34)

Normal al elipsoide en un punto P (xP_{, y}P_{, z}P_):

¯ NP = 1

2∇F (¯x

P

) = AxP~ı + ByP~ + CzP~k (A(xP)2 + B(yP)2+ C(zP)2 = 1) (35) Plano tangente al elipsoide en un punto P del mismo (ecuación implícita):

ΠP _{: ¯N}P · (¯x − ¯xP_{) = 0} ⇒ N¯P · ¯x = ¯NP · ¯xP (AxP_{~ı + By}P_{~ + Cz}P_{~k) · (x~ı + y~ + z~k) = ¯N}P · ¯xP _{= A(x}P₎2 _{+ B(y}P₎2_{+ C(z}P₎2 _{= 1} AxP_{x + By}P_{y + Cz}P_{z = 1 (36)}

Versor normal al plano tangente: ~nP ₌ N¯P

| ¯NP_| =

AxP_{~ı + By}P_{~ + Cz}P~k

p

A2_(xP₎2_{+ B}2_(yP₎2_{+ C}2_(zP₎2 (37)

Plano tangente al elipsoide en el polo M del mismo:

ΠM : Apx + Bqy + Crz = √D Ω (38)

Versor normal al plano tangente en el polo M: ~nM = pAp~ı + Bq ~ + Cr ~k A2_p2_{+ B}2_q2_{+ C}2_r2 = ¯ HO D Ω ⇒ d~nM dt |1 = 1 D Ω d ¯HO dt |1 = ¯0 ⇒ ~n M = CTE Distancia del punto fijo O al plano tangente en el polo M:

d(O, ΠM) = OM |{z} ¯ rM · ~nM = (Ap 2_{+ Bq}2_{+ Cr}2₎ D Ω√D Ω = _{D Ω}2 _{D Ω}2√_D = 1 √ D = CTE = d(O, Π M ) xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx M O π′ E.I.R. M′ ω π HO

Demostración:

Elipsoide de inercia

El plano tangente en el polo:

1. Mantiene su versor director

2. Mantiene su distancia al punto fijo

Luego puede considerarse como un plano fijo del espacio asociado al referente inercial del movi-miento. ¯ vM 01 = ¯v01O |{z} Fijo +ω¯01∧ OM | {z } ¯ ω01 k OM = ¯0

Por consiguiente, el movimiento del elipsoide sobre el plano tangente al mismo en el polo es un movimiento de sólidos en contacto sin deslizamiento.

Curvas generadas por los polos:

POLODIA Lugar geométrico que describe el polo en el elipsoide de inercia (ejes cuerpo)

HERPOLODIA Lugar geométrico que describe el polo en el plano tangente al elipsoide en el polo (ejes inerciales)

Ecuaciones de la Polodia:

POLODIA ≡ AXOIDE MÓVIL ∩ ELIPSOIDE DE INERCIA Ecuaciones paramétricas : (x(t), y(t), z(t)) = _√1

D Ω(p(t), q(t), r(t)) Integrales primeras (Relaciones dinámicas):

A p2+ B q2+ C r2 = D Ω2 A2p2+ B2q2+ C2r2 = D2Ω2

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores los valores de p, q, r de las ecuaciones paramétricas obtenemos dos cuádricas cuyas matrices asociadas son definidas positivas, que definen por intersección la Polodia:

_{D Ω}2_{(A x}2_{+ B y}2_{+ C z}2_{) =DΩ}2 _{1 Elipsoide de Inercia}

_{D Ω}2_(A2_x2 _{+ B}2_y2_{+ C}2_x2_{) =D}
2_Ω2 _{Elipsoide extraño}

Multiplicando por D la primera y restándola de la segunda obtenemos: A(A − D)x2+B(B − D)y2+C(C − D)z2= 0 Cono

Ax2+ By2+ Cz2= 1 Elipsoide de Inercia La Polodia es la intersección de las dos superficies anteriores.

Formas características de la polodia: D = A : y = z = 0, x = ±√1

A

Par de vértices opuestos del elipsoide

B < D < A : Cortando el cono por planos x = CTE (0 < CTE < _√1

A) :

Elipses que rodean al eje Ox que aproximan a las polodias

Polodias cerradas que rodean al eje Ox

D = B : A(A − B)x2 _{= C(B − C)z}2

Cono degenerado en par de planos que contienen al eje Oy

Polodias cerradas que cortan al eje Oy

C < D < B : Cortando el cono por planos z = CTE (0 < CTE < √1

C) :

Elipses que rodean al eje Oz que aproximan a las polodias

Polodias cerradas que rodean al eje Oz

D = C : x = y = 0, z = ±√1 C

2.5.

_{Sólido pesado con punto fijo (O6≡G)}

ψ ψ θ θ ϕ ϕ O G x y z ≡ z3 x1 y1 z2 ≡ z1 x2 ≡ x3 y2 y3 ¯ R LN ¯ F ¯ MO

Fuerza directamente aplicada: Peso ¯

P = m¯g : ¯g = CTE en 1 (campo paralelo y uniforme). Elección de sistema de referencia inercial:

~k1 = − ¯ g |¯g| ¯ MFE O = OG ∧ −mg~k1= = −mg       ~ı ~ ~k ξ η ζ

sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ cos θ       = = −mg   

η cos θ − ζ sin θ cos ϕ ζ sin θ sin ϕ − ξ cos θ sin θ(ξ cos ϕ − η sin ϕ)

 



Ecuaciones de Euler:

A ˙p + (C − B)qr = mg(ζ sin θ cos ϕ − η cos θ) B ˙q + (A − C)pr = mg(ξ cos θ − ζ sin θ sin ϕ) C ˙r + (B − A)pq = mg sin θ(η sin ϕ − ξ cos ϕ) Integrales primeras:

1. Integral de la energía:

Solo el peso realiza trabajo respecto al referente inercial y es una fuerza potencial dT = −dV ⇒ T + V = E T = 1 2ω¯01. ¯¯IO. ¯ω01= 1 2[Ap 2_{+ Bq}2_{+ Cr}2_]

V = mgzG_{1 = mg OG · ~k}1 = mg[ξ sin θ sin ϕ + η sin θ cos ϕ + ζ cos θ]

1 2[Ap

2_{+ Bq}2_{+ Cr}2_{] + mg[ξ sin θ sin ϕ + η sin θ cos ϕ + ζ cos θ] = E (39)}

2. Conservación del momento cinético según la vertical: d ¯HO dt |1 = ¯M FE O (·~k1) ⇒ ~k1 · d ¯HO dt |1= d(~k1· ¯HO) dt |1 = ~k1· ¯M FE O = ~k1· (OG ∧ −mg~k1) = 0 ⇒ ⇒ ¯HO· ~k1 = CTE

2.6.

Caso de Lagrange

Condiciones del caso de Lagrange:

1. Sólido pesado con punto fijo O, donde O 6≡ G

2. Tensor de inercia cilíndrico en O respecto a Oz: A = B 3. G ∈ Oz (eje central y principal de inercia): ξ = η = 0, ζ > 0 Particularización de la altura del centro de masas:

zG

1 = ζ cos θ

Particularización de las ecuaciones de la Dinámica:

(39)

→ A[p2+ q2] + Cr2+ 2mgζ cos θ = 2E (41)

(40)

→ A sin θ(p sin ϕ + q cos ϕ) + Cr cos θ = K (42)

(15)

→ r = r0 (43)

2.6.1. Reducción a cuadraturas

De las ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo se tiene: p2+ q2 = ˙ψ2sin2θ + ˙θ2

p sin ϕ + q cos ϕ = ˙ψ sin θ r = ˙ψ cos θ + ˙ϕ

Sustituyéndolas en las ecuaciones de la Dinámica (41-43): ˙ ψ2sin2θ + ˙θ2 (41)= (2E A − C Ar 2 0)− 2mgζ

A cos θ = α − a cos θ (≥ 0, ∀θ alcanzable) (44) ˙ ψ sin2θ (42)= K A − C Ar0cos θ = β − br0cos θ (45) ˙ ψ cos θ + ˙ϕ (43)= r0 = r0 (46) donde:

r0 es una constante dependiente solamente de las condiciones iniciales;

a = 2mgζ_A > 0, b = C

A ≥ 0 son constantes dependientes solamente de las características másicas;

α = 2E_{A −}C

Ar0, β = K

A son constantes que dependen tanto de las condiciones iniciales como de las

Transformando las ecuaciones (44-46) se tiene: (45) → ψ =˙ β − br0cos θ

sin2θ (47)

(44)(47)_→ ˙θ2sin2_{θ = (α − a cos θ) sin}2_{θ − (β − br}0cos θ)2 (48)

(46)(47)_→ ϕ =˙ r0(b − 1) cos

2_{θ − β cos θ + r} 0

sin2θ (49)

Cambio de variable para quitar inconvenientes de las razones trigonométricas: u = cos θ _{SENTIDO FÍSICO (0 ≤ θ ≤ π ⇒ −1 ≤ u ≤ 1)}

˙u = − ˙θ sin θ = − ˙θ√1 − u2 _{⇒ ˙θ = −√} ˙u

1 − u2 ˙θ2_sin2_{θ = ˙u}2 _{ψ =˙} dψ du ˙u ϕ =˙ dϕ du ˙u Reducción a cuadraturas: CV(47)_→ (du dt) 2 = (α − au)(1 − u2) − (β − br0u)2 = f (u) ⇒ (50) t − t0 = ± Z u u0 du p f (u) (51) CV(48)_→ dψ du = ± β − br0u (1 − u2₎p_{f (u)} ⇒ (52) ψ − ψ0 = ± Z u u0 (β − br0u)du (1 − u2₎p_{f (u)} (53) CV(49)_→ dϕ du = ± r0(b − 1)u2− βu + r0 (1 − u2₎p_{f (u)} ⇒ (54) ϕ − ϕ0 = ± Z u u0

(r0(b − 1)u2− βu + r0)du

2.6.2. Análisis cualitativo (du dt) 2 = E − V (u) = f(u) ⇒  E = 0 V (u) = −f(u) 

V (u) = −(α − au)(1 − u2) + (β − br0u)2 (Polinomio cúbico) (56)

Zona Movimiento u u1 u2 u3 −1 1 V (−1) V (1) V (u) E = 0 Representación del diagrama energético

1. Tendencias extremas V (u)u→±∞_{≈ −au}3 _⇒ ⇒( l´ımu→∞V (u) = −∞ l´ım u→−∞V (u) = ∞ 2. Raíces: {∃ui(α, β, r0, a, b) ∈ R | V (ui) = 0} Por el T. F. Algebra (i = 1, . . . , 3). Supongamos que u1 ≤ u2 ≤ u3

3. Localización de las raíces: V (1) = (β − br0)2 ≥ 0

V (−1) = (β + br0)2 ≥ 0

u1, u2 ∈ [−1, 1] ⇒ u1 < u < u2 (Zona permitida con sentido físico)

u3 ∈ [1, ∞[ ⇒ u3 < u (Zona permitida sin sentido físico)

V′(u1) ≤ 0, V′(u2) ≥ 0, V′(u3) ≤ 0

Visualización del movimiento del trompo de Lagrange: Referencia estroboscópica Ox3y3z3:

¯

ω03= ˙ϕ~k Rotación propia: visualización trivial

¯

ω31 = ˙ψ~k1 + ˙θ~ı2 Precesión y Nutación: visualización con movimiento del punto traza

Punto Traza ≡ Oz ∩ Esfera(O; R = 1) r¯T(ψ, θ) = sin θ sin ψ~ı1− sin θ cos ψ~1+ cos θ~k1

Inversión del movimiento de Precesión.

La precisión cambiaría de sentido cuando ˙ψ = 0 si hubiera cambio real de signo de ˙ψ: ˙

ψ(u∗_{) = 0 ⇒ u}∗ = β br0

2.6.3. Casos del sólido de Lagrange 1. |u∗_{| > 1 ⇒ u}∗ _{6∈ [u} 1, u2] 2. |u∗_{| < 1} A. u∗ _> α a ⇒ V (u∗) > 0 ⇒ u∗ 6∈ [u1, u2] B. u∗ ₌ α a ⇒ V (u∗) = 0

V (u) = −(u∗_{− u)}_{a(1 − u}2_{) − (br}

0)2(u∗− u)  V′_(u∗_{) = a}_{1 − (u}∗₎2_{> 0}  ⇒ u∗ = u2 C. u∗ _< α a ⇒ V (u∗) < 0 ⇒ u∗ ∈ ]u1, u2[

3. |u∗_{| = 1 (Trazas en los polos)}

A. u∗ _{= 1 ⇔ β = br}

0 (Traza en polo norte)

V (u) = −(1 − u)(α − au)(1 + u) − β2(1 − u) V′_{(1) = 2(α − a)}

a. α > a ⇒ V′_{(1) > 0 ⇒ u}∗ _{= u}

2 = 1 raíz simple

b. α = a ⇒ V′_{(1) = 0 ⇒ V}′′_{(1) = 2(β}2_{− 2a) raíz múltiple (TROMPO DORMIDO)}

1) β2 _{> 2a ⇒ V}′′_{(1) > 0 ⇒}

⇒ u∗ _{= u}

1 = u2 = 1 raíz doble (mínimo, ESTABLE)

2) β2 _{= 2a ⇒ V}′′_{(1) = 0, V}′′′_{(1) = −6a 6= 0 ⇒}

⇒ u∗ _{= u}

1 = u2 = u3 = 1 raíz triple (inflexión, TRANSICIÓN)

3) β2 _{< 2a ⇒ V}′′_{(1) < 0 ⇒}

⇒ u∗ _{= u}

2 = u3 = 1 raíz doble (máximo, INESTABLE)

c. α < a ⇒ V′_{(1) < 0 ⇒ u}∗ _{= u}

3 = 1 6∈ [u1, u2] raíz simple

B. u∗ _{= −1 ⇔ β = −br}

0 (Traza en polo sur)

V (u) = −(1 + u)(α − au)(1 − u) − β2(1 + u) V′_{(−1) = −2(α + a)}(44),cos θ=−1_≤ 0 a. α + a > 0 ⇒ V′_{(−1) < 0 ⇒ u}∗ _{= u} 1 = −1 raíz simple b. α + a = 0 ⇒ V′_{(−1) = 0 ⇒ V (u) = (1 + u)}2_{[a(1 − u) + β}2_] V′′_{(−1) = 2(β}2_{+ 2a) > 0 ⇒ u}∗ _{= u}

1 = u2 = −1 raíz doble (mínimo, ESTABLE)









β

br

0









> 1

u

∗

_{∈ [u}

_/

₁

_{, u}

₂

_]

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3









β

br

0









< 1

α > au

∗

_u

∗

_{∈ [u}

₁

_{, u}

₂

_]

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3 u*

α < au

∗

_u

∗

_{∈ [u}

_/

₁

_{, u}

₂

_]

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3 u*

α = au

∗

_u

∗

_{= u}

₂

h

_V

′

_(u

∗

_{) = a}



_{1 − u}

∗2



_{> 0}

i

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3 u*









β

br

0









= 1

u

∗

_{= +1}

V

′

_{(1) =}

2

_{(α − a)}

α > a

˙θ(1) =

√

_{α − a}

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3

α < a

u

= 1 imposible, pues T < 0

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3

α = a

b

2

r

2₀

>

2a

Trompo

dormido

estable

−1 0 1 Vef(u) u u1=u2 u3

b

2

r

2₀

=

2a

Transici´on:

ω

∗

₌

2 C

pAmgζ

−1 0 1 Vef(u) u u1=u2=u3

b

2

r

2₀

<

2a

Trompo

dormido

inestable

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2=u3

u

∗

_{= −1}

V

′

_{(1) =}

−2(α +

a

)

α + a > 0

−1 0 1 Vef(u) u u1 u2 u3

α + a = 0

−1 0 1 Vef(u) u u1=u2 u3

2.6.4. Movimientos estacionarios del trompo de Lagrange Son aquellos para los que ˙qj = CTE (j = 1, . . . , 3)

Ecuaciones de Euler del movimiento (44 - 46) ˙

ψ2sin2θ+ ˙θ2 _{=α −a cos θ} ˙

ψ sin2θ _{=β −br}0cos θ

˙

ψ cos θ + ˙ϕ=r0

Como θ es la única coordenada generalizada que interviene en las ecuaciones anteriores, solo puede haber soluciones estacionarias para θ = CTE, ˙θ = 0, luego las condiciones iniciales de un movimiento estacionario serán: t = 0 : θ = θ0, ˙θ = 0, ˙ψ = ˙ψ0, ˙ϕ = ˙ϕ0

Despejando los valores de las constantes dependientes de las condiciones iniciales:

α = ˙ψ2_{0(1 − u}2₀) + au0 (57) β = ˙ψ0(1 − u20) + br0u0 (58) r0 = ˙ψ0u0+ ˙ϕ0 (59) Evolución de u = cos θ ˙u2 = f (u) d dt

→ 2˙u¨u = f′(u)˙u ˙u2₀ = f (u0) = 0, u¨0 =

1 2f

′_(u

0) = 0

Imponiendo la nulidad de la pendiente del potencial: V (u) = −(α − au)(1 − u2) + (β − br0u)2

V′_{(u) = a(1 − u}2_{) + 2u(α − au) − 2br}0(β − br0u)

V_S′(u0) = a(1 − u20) + 2u0[ ˙ψ20(1 − u20) − a  (u0− u0)] − 2br0[ ˙ψ0(1 − u20) + br0(u0− u0)] (1 − u20)[a + 2u0ψ˙02− 2br0ψ˙0] = 0 (60) Casos: 1. u0 = ±1 Trompos dormidos 2. 2u0(1 − b) ˙ψ20− 2b ˙ϕ0ψ˙0+ a = 0 Precesión regular

Despejando las velocidades angulares: ˙ ψ0 = 2b ˙ϕ0± p 4b2_ϕ˙2 0− 8a(1 − b)u0 4u0(1 − b) (dos raíces si ( ˙ϕ0)2 > 2a1 − b b2 u0 : u0(1 − b) ≥ 0) ˙ ϕ0 = a 2b |{z} n 1 ˙ ψ0 + u01 − b b | {z } m ˙ ψ0 ω∗pu 0(1 − b) ˙ ϕ0 ˙ ψ0 u0>₀ b < 1: Prolato ˙ ψr 0 ˙ ψl 0 si m ≈ 0 ⇒ ˙ψl 0 = n ˙ ϕ0 Precesión Lenta si n ≈ 0 ⇒ ˙ψr 0 = ˙ ϕ0 m Precesión Rápida

3.

Sólido libre

3.1.

Introducción

ψ ψ θ θ ϕ ϕ O G xG yG zG ≡ z2 x y z ≡ z3 x1 y1 z1 x2 ≡ x3 y2 y3 LN ¯ F ¯ MG ξ η ζ Sistemas de referencia Ox1y1z1: Referente inercial

GxGyGzG: Ejes ligados al centro de masas

Gxyz: Ejes cuerpo principales y centrales Incógnitas

GDL: qj (j = 1, . . . , 6) = ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ [6]

Fuerzas exteriores

Fuerzas exteriores de ligadura: No hay Fuerzas exteriores directamente aplicadas (Reducción al centro de masas G):

¯ F (ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = X1~ı1+ Y1~1+ Z1~k1 ¯ MG(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = Mx~ı + My~ + Mz~k Cinemática: Posición: OG = ξ~ı1+ η ~1+ ζ ~k1 Velocidad: v¯G 01= ˙ξ~ı1+ ˙η ~1+ ˙ζ ~k1 Aceleración: ¯γG 01= ¨ξ~ı1+ ¨η ~1+ ¨ζ ~k1 Velocidad angular: ω¯01= p~ı + q ~ + r ~k Aceleración angular: ¯α01= ˙p~ı + ˙q ~ + ˙r ~k Cinética:

Momento cinético : H¯G = Ap~ı + Bq ~ + Cr ~k

Derivada ¯HG: d ¯HG dt    1 = A ˙p~ı + B ˙q ~ + C ˙r ~k + (C − B) qr~ı + (A − C) pr ~ + (B − A) pq ~k Ecuaciones generales: ECM: m¯γG 01 = ¯F [3] EMC: d ¯HG dt    1= ¯MG [3]  _¯ MG= 0 Caso Euler-Poinsot ¯ MG6= 0 Caso General

3.2.

Sistema de ecuaciones diferenciales

Ecuaciones de cantidad de movimiento (Newton)

X1(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = m¨ξ (61)

Y1(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = m¨η (62)

Z1(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = m¨ζ (63)

Ecuaciones de momento cinético (Euler)

Mx(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = A ˙p + (C − B)qr (64)

My(ξ, η, ζ, ψ, θ, ϕ, ˙ξ, ˙η, ˙ζ, ˙ψ, ˙θ, ˙ϕ, t) = B ˙q + (A − C)pr (65)

Ecuaciones de la cinemática del sólido con punto fijo p = ˙ψ sin θ sin ϕ + ˙θ cos ϕ (7)

q = ˙_{ψ sin θ cos ϕ− ˙θ sin ϕ} (8) r = ˙ψ cos θ + ˙ϕ (9) Condiciones iniciales:

t = t0 :

 ξ = ξ0, η = η0, ζ = ζ0, ψ = ψ0, θ = θ0, ϕ = ϕ0

˙ξ = ˙ξ0, ˙η = ˙η0, ˙ζ = ˙ζ0, p = p0, q = q0, r = r0

El sistema formado por las 9 ecuaciones (61, 62, 63, 64, 65, 66, 7, 8, 9) está fuertemente acoplado y no queda más remedio hay que resolver simultáneamente las nueve ecuaciones, salvo situaciones particulares de dependencia sencilla.