Consideraciones previas:
*DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO: P(xa,yb) . Q(xa,yb) d=
(
xa −xb) (
2 + ya −yb)
2*SIMETRAL DE UN TRAZO.: perpendicular en el punto medio.
*ALTURA: perpendicular bajada del vértice al lado opuesto en un triángulo. Concurren en un mismo punto denominado ORTOCENTRO.
*TRANSVERSAL DE GRAVEDAD: trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto en un triángulo. Concurren en un mismo punto denominado BARICENTRO.
*SIMETRALES EN UN TRIANGULO: perpendicular levantada en el punto medio del lado del triangulo Las simetrales concurren en un mismo punto denominado CIRCUNSCENTRO, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triangulo.
*BISECTRICES: semirrecta cuyo origen es el vértice, y que divide al ángulo interior en dos ángulos congruentes, .Las tres bisectrices son concurrentes a un punto denominado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita.
*MEDIANAS: trazo que une los puntos medios de los lados contiguos en el triángulo. La mediana es paralela al lado opuesto e igual a la mitad de este lado.
*DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
PARALELAS.
*AREA DE UN TRIANGULO EN EL PLANO. Veremos algunos métodos:
1º) calculando la medida de la altura a uno de los lados aplicando sistemas de ecuaciones para determinar las coordenadas del pie de altura y luego aplicando la formula de la distancia. 2º) por diferencia de áreas completando el rectángulo que circunscribe el triángulo. 3º) por vértices.
4º) Por trigonometría
5º) Aplicando fórmula de Herón: A= 6º) Producto vectorial.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN.
1.- Dados los puntos: A (2,3), B (6,5).determine:
1.1.- La ecuación de la recta que contiene los puntos A y B. 1.2.- La ecuación de la simetral del trazo AB.
1.3.- La ordenada del punto P que pertenece a la simetral cuya abscisa es 7.
1.4.- La abscisa del punto Q que pertenece a la simetral, sabiendo que la ordenada es 10. 1.5.- Pruebe si el punto S (4,5) pertenece a la recta que contiene al trazo AB.
1.6.- La medida del trazo AB.
1.7.- La intersección de la simetral al trazo AB con el eje de las abscisas. 1.8.- El perímetro del triangulo ABP.
1.9.- El área del triángulo ABS.
2.-Dados los puntos: A (-3,2), B (6,-1).determine:
2.1.- La ecuación de la recta que contiene los puntos A y B. 2.2.- La ecuación de la simetral del trazo AB.
2.3.- La ordenada del punto P que pertenece a la simetral cuya abscisa es 7.
2.4.- La abscisa del punto Q que pertenece a la simetral, sabiendo que la ordenada es 10. 2.5.- Pruebe si el punto S (4,5) pertenece a la recta que contiene al trazo AB.
2.7.- La intersección de la simetral al trazo AB con el eje de las abscisas. 2.8.- El perímetro del triangulo ABP.
2.9.- El área del triangulo ABS.
3.- Dada la recta L: 6x-15y-30=0. Determine:
3.1.- La intersección de la recta con los ejes coordenados.
3.2.- El área del triangulo que forma la recta con los ejes coordenados. 3.3- Pruebe si el punto P (10,-6) pertenece a la recta.
3.4.- La ecuación de la recta que pasa por Q (1,2) y que es paralela a la recta L.
3.5.- La ecuación que contiene el origen del sistema y que es perpendicular a la recta L. 3.6.- La distancia del punto T (4,-5) a la recta L
4.- Dada la recta L: 2x+4y-24=0. Determine:
4.1.- La intersección de la recta con los ejes coordenados.
4.2.- El área del triángulo que forma la recta con los ejes coordenados. 4.3- Pruebe si el punto P (24,-6) pertenece a la recta.
4.4.- La ecuación de la recta que pasa por Q (1,2) y que es paralela a la recta L.
4.5.- La ecuación que contiene el origen del sistema y que es perpendicular a la recta L. 4.6.- La distancia del punto T (4,-5) a la recta L
5.- Considere los vértices del triángulo A (2,3), B (1,2), C (-3,-2).Determine: 5.1.- La ecuación del lado a
5.2.-La ecuación del lado b 5.3.- La ecuación del lado c
5.4.- La ecuación de la transversal al lado a 5.5.- La ecuación de la transversal al lado b
5.6.- La ecuación de la transversal al lado c 5.7.- La ecuación de la mediana al lado a 5.8.- La ecuación de la mediana al lado b 5.9.-La ecuación de la mediana al lado c 5.10.-La ecuación de la simetral al lado a 5.11.- La ecuación de la simetral al lado b 5.12.- La ecuación de la simetral al lado c 5.13.-Las coordenadas del pie de altura al lado a 5.14.- Las coordenadas del pie de altura al lado b 515.- Las coordenadas del pie de altura al lado c 516.- Las coordenadas del ortocentro.
5.17.- Las coordenadas del baricentro. 5.18.- Las coordenadas del circunscentro. 5.19.- El perímetro del triángulo.
5.20.- El área del triangulo por la formula general del área. 5.21.- El área del triángulo por diferencia de áreas.
5.22.-El área del triángulo por la formula de los vértices. 5.23.-El radio de la circunferencia inscrita.
5.24.- El radio de la circunferencia inscrita. 5.25.- El área de la circunferencia inscrita. 5.26.- El área de la circunferencia circunscrita. 5.27.- El área del triángulo pedal.
5.28.- El área del triángulo formado por las medianas del triángulo.
6.- Considere los vértices del triángulo A (-2,-3), B (1,6), C (3,-2).Determine: 6.1.- La ecuación del lado a
6.2.-La ecuación del lado b 6.3.- La ecuación del lado c
6.4.- La ecuación de la transversal al lado a 6.5.- La ecuación de la transversal al lado b 6.6.- La ecuación de la transversal al lado c 6.7.- La ecuación de la mediana al lado a 6.8.- La ecuación de la mediana al lado b 6.9.-La ecuación de la mediana al lado c 6.10.-La ecuación de la simetral al lado a 6.11.- La ecuación de la simetral al lado b 6.12.- La ecuación de la simetral al lado c 6.13.-Las coordenadas del pie de altura al lado a 6.14.- Las coordenadas del pie de altura al lado b 615.- Las coordenadas del pie de altura al lado c 616.- Las coordenadas del ortocentro.
6.17.- Las coordenadas del baricentro. 6.18.- Las coordenadas del circunscentro. 6.19.- El perímetro del triángulo.
6.20.- El área del triángulo por la formula general del área. 6.21.- El área del triángulo por diferencia de áreas.
6.22.-El área del triángulo por la formula de los vértices. 6.23.-El radio de la circunferencia inscrita.
6.24.- El radio de la circunferencia inscrita. 6.25.- El área de la circunferencia inscrita. 6.26.- El área de la circunferencia circunscrita. 6.27.- El área del triangulo pedal.
6.28.- El área del triángulo formado por las medianas del triángulo.
7.- Pruebe si los puntos A (4,5), B (3/4, 11/4), C (-2,1/2), son colineales. De serlo, escriba la ecuación que los contiene.
8.- Demuestre analíticamente que las bisectrices del sistema de ejes coordenados son perpendiculares entre si.
9.- El punto P (2,1) pertenece a la recta de ecuación: y=2x+k. Determine el valor de k y escriba la ecuación general de la recta.
10.- Verifique que los puntos A (1,6), B (2,2), C (1,2) .son los vértices de un triángulo rectángulo. Calcule además su área y su perímetro.
11.- Pruebe si los puntos A (-2,-1), B (0,-3), C (4,1), D (2,3).Son los vértices de un rectángulo. Calcule el área y el perímetro.
12.- Dados los puntos: A (-3,2), B (-1,0), C (1,2), D (-1,4). 12.1.- Pruebe si es un cuadrado.
12.2.- Calcule el área del polígono. 12.3.- Calcule el perímetro del polígono.
13.- Dados los puntos. A (1,2), B (5,2), C (-3,-2), D (1,-2). 13.1.- Pruebe si corresponden a los vértices de un trapecio. 13.2.-Calcule el área del polígono que se determina. 13.3.- Calcule el perímetro del perímetro.
14.- Dados los puntos: A (-2,1), B (1,-2), C (7,4), D (1,4).
14.1.- Pruebe si corresponden a los vértices de un trapecio recto. 14.2.- Calcule el área del polígono.
14.3.- Calcule el perímetro del polígono.
14.4.- Calcule la medida de cada una de las diagonales.
15.- Dados los puntos: A (-3,2), B (0,1), C (-2,1), D (1,-2).
15,1, Pruebe que los puntos corresponden a los vértices de un rombo. 15.2.- Calcule el perímetro del rombo.
15.3.- Calcule las medidas de las diagonales.
15.4.- Determine las medidas de los ángulos interiores del rombo. 15.5.- Determine el área del rombo.
16.- Dados los puntos: A (-3,-1), B (0,-4), C (6,4), D (3,7).
16.1.-Pruebe que si se unen los puntos medios del cuadrilátero ABCD, se forma un paralelogramo. 16.2.- Calcule el área comprendidas entre ambos.
17.- Considere la figura:
