EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD 8 y 9 FUNCIONES 4º-B

(1)

EJERCICIOS de REPRESENTACIÓN GRÁFICA de FUNCIONES

 Ejercicio: Dada la función f(x)=_{2x + 1}1 indica su dominio y su gráfica.

Solución:

Dominio de f(x) = ℝ - {- 1/2} Recorrido de f(x) = ℝ - { 0 }

Tomando algunos valores para la “x” de la función “f(x)” se puede obtener la gráfica:

x -2 -1 0 1 2

f(x) -1/3 -1 1 1/3 1/5

Llevando los valores obtenidos (tanto positivos como negativos se puede dibujar la gráfica y conocer jun-to al “Dominio” y el “Recorrido” (Calculados ante-riormente) el comportamiento de la gráfica y como va a ser la gráfica de dicha función para poder di-bujarla correctamente.

 Ejercicio: Dada la función f(x)=_{3x + 6}1 indica su dominio y su gráfica.

Solución:

Dominio de f(x) = ℝ - { 2 } Recorrido de f(x) = ℝ - { 0 }

x -4 -3 -1 0 1

f(x) -1/6 -1/3 1/3 1/6 1/9

(2)

 Ejercicio: Dada la función f(x)= √ 2x+1 indica su dominio y su gráfica.

Solución:

Dominio de f(x) = [-1/2, ∞)

Recorrido de f(x) = [0, ∞)

x -1/2 0 3/2 2 3

f(x) 0 1 2 2.2 2,6

Llevando los valores obtenidos (tanto positivos como negativos se puede dibujar la gráfica y conocer jun-to al “Dominio” y el “Recorrido” (Calculados ante-riormente) el comportamiento de la gráfica y como va a ser la gráfica de dicha función para poder di-bujarla correctamente.

 Ejercicio: Representa las siguientes funciones e indica su dominio, su recorrido y su gráfica.

a) f(x) = x2, si x ∈(-∞, 0)

2x , si x ∈[0,2] b) f(x) = 3, si x ∈-2,1 2 , si x ∈ (1,2)

Solución (a): Solución (b):

Dominio de f(x) = (-∞

,2

]

Dominio de f(x) = [-2

,2

]

Recorrido de f(x) = [0,+∞

)

Recorrido de f(x) = {2,3}

(3)

 Ejercicio: Representa las siguientes funciones a intervalos e indica su dominio, su recorrido y su gráfica.

a) f(x) = _{-x+1 , si}x-1 , si x _{-3 ≤}< _{x <}-3₀ 3 , si 0 ≤ x <∞

b) f(x) =

1/x , si x < -2 3 , si -2 ≤x <1

√x , si 1 ≤ x

Dominio de f(x) = ℝ Dominio de f(x) = ℝ

Recorrido de f(x) = (-∞, 4) u (1,4]

Recorrido de f(x) = [-1/2,0) u [1 , +∞)

Tomando algunos valores para la “x” de la función “f(x)” se pueden obtener ambas gráficas:

 Ejercicio: Representa las siguientes funciones e indica su dominio, su recorrido, máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus puntos de inflexión y su gráfica.

a) f(x) = x2, si x ∈(-∞, 0)

2x , si x ∈[0,2] b) f(x) = -x, si x ∈ -2,1 x , si x ∈ (1,2]

,2

]

,

2

]

)

Recorrido de f(x) = [-1,+2

(4)

 Ejercicio: Dada las siguiente gráfica, indica: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetría, perio-dicidad crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

Solución:

Dominio: ℝ - {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8…}; ℝ - {2n} Recorrido: (-2,2)

Corte eje OY: No tiene

Corte eje OX: x ={-7,-5,-3,-1,1,3,5,7….} Simetría: Es simétrica respecto del origen Periodicidad: Es periódica con T = 2

Creciente: Nunca Decreciente: En tos los trozos de la función Continuidad: la función no es continua en: x = {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8…}

Máximos: los valores máximos son los del principio del intervalo y los mínimos los del final.

 Ejercicio: Representa las siguientes funciones a trozos.

a) f(x) = x

2_{, si x < 0} |x| , si 0 ≤ x < 1

x , si 1 ≤ x <

∞

b) f(x) =

x-1 , si x < -3 -x+1 , si -3 ≤ x < 0

3 , si 0 ≤ x <

∞

,2

]

,

2

]

)

Recorrido de f(x) = [-1,+2

(5)

 Ejercicio: La gráfica que se da a continuación indica la evolución de un valor de la bolsa (en el eje verti-cal en miles de euros por acción) durante una jor-nada. Estudia su dominio, recorrido, puntos de cor-te, simetría, periodicidad, crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

Solución:

Dominio: [10,16 ) Recorrido: [-2000, 6000) Corte eje OX: 12:45 y 14:15

Corte eje OY: No aparece en la gráfica (y = 0) por tanto no se puede decir el punto de corte. Simetría: No es simétrica

Periodicidad: No es periódica

Creciente: Intervalos 10:00h a 10:30h; 11:00h a 11:30h; 14:00h a 14:30h

Decreciente: Intervalos 11:30h a 12:00h; 12:30h a 13:00h; 14:30h a 16:00h Continuidad: La función es continua en todo su dominio

Máximos: (11:30h , 6000), (14:30h , 4000) Mínimos: (13:00h ,-2000)

 Ejercicio: Las siguientes funciones no son simétricas ni respecto al origen ni respecto al eje OY, pero lo son con respecto a otros ejes u otros puntos. Dibújalas y di con respecto a que ejes o puntos son simétricas y sus zonas de crecimiento y decrecimiento.

a) y = x2_{+ 2x +1} _; _{b) y = x}3₊₁

Simétrica respecto a la recta x = 3 Simétrica respecto al punto (0,-1)

Creciente: x < 3 Siempre decreciente.

Decreciente: x > 3 Siempre decreciente.

Tomando algunos valores para la “x” de la función “f(x)” se pueden obtener ambas gráficas:

€/acc

t

(6)

 Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a las funciones que se dan a continuación?

Solución:

La función a) f (x) está representada en la gráfica 1 La función b) g (x) está representada en la gráfica 3

 Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a las funciones que se dan a continuación?

Solución:

(7)

 Ejercicio: ¿Cuántas veces puede cortar una función al eje de las x? ¿Y al eje de las y?

Solución:

Una función puede cortar al eje de las x todas las veces que quiera, es al eje de las y al que solo puede cortar en una ocasión ya que si lo cortara más veces no se trataría de una función. Las funciones periódicas que cortan al eje en alguna ocasión lo hacen repetidas veces (hasta infinito).

Solo una vez ya que si cortase al eje y en más de una ocasión al valor de x = 0 no le

correspondería un único valor, que es una condición indispensable para que una gráfica defina una función.

 Ejercicio: Indica para qué valores de “x” las siguientes funciones son continuas:

Solución:

a) ℝ - {-3,0,5} ; b) (-∞, -2] u [3,+ ∞)

Solución:

a) ℝ - {-1,3,7} ; b) ℝ - {±1}

Solución:

(8)

 Ejercicio: Representar las siguiente función , estudiando su: Dominio, Simetría, Puntos de corte con los ejes, Crecimiento y decrecimiento, Máximos y mínimos, Concavidad y convexidad y Puntos de inflexión.

Solución:  Dominio:

 Simetría:

Simetría respecto al origen, es decir, función impar

 Puntos de corte con los ejes:

 Puntos de corte con OX:

 Punto de corte con OY: (0 , 0)

 Crecimiento y decrecimiento

 Creciente:

 Decreciente:

 Máximos y Mínimos:

 Mínimos: (-1 , -2)

 Máximos: (1 , 2)

 Concavidad y convexidad



 Puntos de inflexión: (0, 0)

 Representación Gráfica:

 Asíntotas: No tiene asíntotas.

(9)

Solución: Dominio:

 Simetría:

Simetría respecto al eje OY, es decir, la función es par.

 Puntos de corte con los ejes

Puntos de corte con OX:

Punto de corte con OY: (0 , -8)



Mínimos:

Máximos:



 Puntos de inflexión:

 Representación Gráfica:

 Asíntotas: No tiene asíntotas.

(10)

Solución:

 Dominio:

 Simetría:



Punto de corte con OY:

 Crecimiento y decrecimiento:

Creciente:

Decreciente:

Máximos y Mínimos:

Máximos: No tiene

Mínimos:



Asíntotas:

Asíntota horizontal:

No tiene asíntota horizontal

Asíntotas verticales:

Asíntota oblicua:

(11)

Simetría:

Simetría respecto al eje OY, es decir, se trata de una función par.



 Máximos y Mínimos.

 Máximos: No tiene.

Mínimos:



No hay punto de inflexión.

 Asíntotas:

Asíntotas verticales

Asíntota oblicua

 Ramas parabólicas:

(12)

 Simetría:

Simetría respecto al origen, es decir, se trata de una función impar.

Punto de corte con OX:



Mínimos:

Máximos:



 Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas.

(13)

 Simetría:

Creciente:

Decreciente:

Máximos

Mínimos

 (3 , -1) , (1 , 0)

(14)

Solución: Dominio

 Simetría

No presenta simetría.



No existen extremos locales.



No hay punto de inflexión.

 Asíntotas:

No hay asíntotas horizontales ni verticales ni oblicuas.

(15)

 Ejercicio: Representar las siguiente función , estudiando su: Dominio, Simetría, Puntos de corte con los ejes, Crecimiento y decrecimiento, Máximos y mínimos, Concavidad y

convexidad y Puntos de inflexión.

 Simetría:

 Puntos de corte con OX:

 Punto de corte con OY:



 Mínimos:

 Máximos:

 Concavidad y convexidad:



 No hay punto de inflexión.

 Asíntotas:

 Asíntota horizontal:

 Asíntotas verticales

 Asíntota oblicua

(16)

 Ejercicio: Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:  Tipo de función.  Creciente y Decreciente.

 Dominio.  Corte con los ejes.

 Recorrido o imagen.  Máximos y mínimos.

 Continuidad.  Signos de la función.

 Simetrías.  Curvatura y puntos de inflexión. Solución:

Tipo de función: Es una función polinómica de grado 3, es decir, es una función cúbica.

Dominio: Dom(f) = R

Recorrido o imagen: Im(f) = R

Continuidad: Es continua en todo R, es decir, la función está bien definida para todo valor real.

Periodicidad: No es periódica.

Simetrías:

f(-x) = (-x)3_{+ 3x + 2 = - x}3_{+ 3x + 2}

f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par. f(-x) ≠ - f(x) , por lo que no tiene simetría impar.

La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.

Corte con los ejes:

• x = 0: y = x3_{- 3x + 2}_⇒_{y = 2}_⇒_{A = (0 , 2)}

• y = 0: x3_{- 3x + 2 = 0}

Se calculan las raíces por el método de Ruffini: Los divisores del término independiente son ±1 , ±2.

x3_{- 3x + 2 = (x - 1)(x}2_{+ x - 2) = 0}_⇔_{x = 1 , x}2_{+ x - 2 = 0}

Se obtienen dos puntos de corte con el eje OX: B = (1 , 0) , C = (-2 , 0)

Signo de la función:

Positiva en: (-2 , ∞) Negativa en: (-∞ , -2)

Monotonía:

Creciente en: (-∞ , -1) ∪ (1 , ∞) Decreciente en: (-1 , 1)

Máximos y mínimos relativos:

Tiene un máximo relativo en el punto (-1 , 4). Tiene un mínimo relativo en el punto (1 , 0).

Curvatura (Concavidad y Convexidad):

Convexa en: (-∞ , 0). Cóncava en: (0 , ∞).

Puntos de inflexión:

(17)

 Ejercicio: Dada la siguiente gráfica, estudia todas sus características. Es decir, completa los siguientes apartados:

 Tipo de función.  Creciente y Decreciente.

 Simetrías.  Curvatura y puntos de inflexión.

Solución:

Tipo de función: Es una función polinómica de grado 2, es decir, es una función cuadrática. Es una parábola.

Dominio: como es una función polinómica, Dom(f) = R.

Recorrido o imagen: Im(f) = [0 , ∞)

Continuidad: es continua en todo R, es decir, la función f está bien definida para todo valor real.

Periodicidad: no es periódica.

Simetría:

f(-x) = 4(-x)2_{- 4x + 1 = 4x}2_{- 4x + 1}

f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par. f(-x) ≠ - f(x) , por lo que no tiene simetría impar.

La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.

Corte con los ejes:

• x = 0: y = 4x2_{+ 4x + 1}_⇒_{y = 1}_⇒_{A = (0 , 1)}

• y = 0: 4x2_{+ 4x + 1 = 0}

B = (-1/2 ,0)

Signo: es positiva en todo R.

Monotonía:

• Creciente en: (-1/2 , ∞) • Decreciente en: (-∞ , -1/2)

Máximos y mínimos relativos: Tiene un mínimo relativo en el punto (-1/2 , 0).

(18)

Tipo de función: Es una función polinómica de grado 6.

Dominio: Dom(f) = R

Recorrido o imagen: Im(f) = [-2 , ∞)

Continuidad: Es una función continua en todo R, es decir, está bien definida para todo valor real.

Simetrías:

f(-x) = (-x)6_{- 3(-x)}2_{= x}6_{- 3x}2_{= f(x)}

Como f(-x) = f(x) , tiene simetría par.

La función f es simétrica respecto al eje OY , como además se ve en la gráfica.

• x = 0: y = x6_{- 3x}2_⇒_{y = 0}_⇒_{A = (0 , 0)}

• y = 0: x6_{- 3x}2_{= 0}_⇒_x2_(x4_{- 3) = 0}_⇒_{x = 0 , x}4_{- 3 = 0}

x1 = 0

Tenemos tres puntos de corte con el eje OX:

Signo de la función:

Monotonía:

Creciente en: (-1 , 0) ∪ (1 , ∞) Decreciente en: (-∞ , -1) ∪ (0 , 1)

Máximos y mínimos relativos:

Tiene un máximo relativo en (0 , 0).

Tiene dos mínimos relativos en (-1 , -2) y (1 , -2).

Curvatura y puntos de inflexión:

(19)

Tipo de función: Es una función racional.

Dominio:

x2_{- 4 = 0}_⇔_x2_{= 4}_⇔_{x = ±√4 = ±2}

Dom(f) = R - {-2 , 2}

Recorrido o imagen: Im(f) = R

Continuidad:

La función f no está definida ni en 2, ni en -2. Por tanto, f es continua en R - {-2 , 2}.

Simetrías:

f(-x) ≠ f(x) , por lo que no tiene simetría par. f(-x) ≠ -f(x) , por lo que no tiene simetría impar. La función f no es simétrica, como además se ve en la gráfica.

El punto de corte con el eje OY y con el eje OX es el mismo: (0 , 0)

• Positiva en: (-2 , 0) ∪ (2 , ∞) • Negativa en: (-∞ , -2) ∪ (0 , 2)

Monotonía:

• No hay ningún intervalo en el que la función sea creciente. • Decreciente en: (-∞ , -2) ∪ (-2 , 2) ∪ (2 , ∞)

Máximos y mínimos relativos: no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

• Convexa en: (-∞ , -2) ∪ (0 , 2) • Cóncava en: (-2 , 0) ∪ (2 , ∞)

Asíntotas:

Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a acercarse la gráfica de la función.

Por la gráfica vemos que hay dos asíntotas verticales: x = 2 , x = -2

Además vemos que hay una asíntota horizontal en: y = 0

Se pueden calcular las asíntotas verticales, pues son los valores que anulan al denominador:

x2_{- 4 = 0}_⇔_x2_{= 4}_⇔_{x = ±√4 = ±2} Asíntota horizontal: como se trata de una función racional, dividimos cada término por la variable x elevada al mayor exponente.

(20)

Tipo de función: Es una función racional.

Dominio: Dom(f) = R - {-3 , 3}

x2_{- 9 = 0}_⇔_x2_{= 9}_⇔_{x = ± 3}

Recorrido o imagen: Im(f) = (-∞ , 0] ∪ (1 , ∞) Continuidad:

La función f no está definida ni en 3, ni en -3. Por tanto, f es continua en R - {-3 , 3}.

Simetrías:

f(-x) = f(x) , por lo que tiene simetría par. f(-x) ≠ -f(x) , por lo que no tiene simetría impar.

La función f es simétrica respecto al eje OY , como además se ve en la gráfica.

El punto de corte con el eje OY y con el eje OX es el mismo: (0 , 0)

• Positiva en: (-∞ , -3) ∪ (3 , ∞) • Negativa en: (-3, 3)

Monotonía:

• Creciente en: (-∞ , -3) ∪ (-3 , 0) • Decreciente en: (0 , 3) ∪ (3 , ∞)

Máximos y mínimos relativos.

Tiene un máximo relativo en (0 , 0).

• Convexa en: (-3 , 3)

• Cóncava en: (-∞ , -3) ∪ (3 , ∞) No tiene puntos de inflexión.

Asíntotas:

Las asíntotas son rectas hacia las cuales tiende a acer-carse la gráfica de la función.

Por la gráfica se ve que hay dos asíntotas verticales: x = -3 , x = 3

Además se aprecia que hay una asíntota horizontal en: y = 1

Se puede calcular las asíntotas verticales, pues son los valores que anulan al denominador:

x2_{- 9 = 0}_⇔_x2_{= 9}_⇔_{x = ±√9 = ±3}

Se calcula la asíntota horizontal: como se trata de una función racional, dividimos cada término por la varia-ble x elevada al mayor exponente.

(21)

 Ejercicio: Hacer un estudio de la gráfica de la función:

Solución:

1. Campo de existencia: El denominador, 1 + x², no se anula en ningún punto, por tanto el campo de existencia es todo R.

2. Simetrías: La función es antisimétrica, puesto que:

3. Corte con los ejes: Para x = 0, tenemos que y = 0. Y si hacemos y = 0, encontramos que la úni-ca solución es y=0. En definitiva, hay un solo punto de corte, esto es el (0,0), el orígen.

4. Asíntotas: En cuanto a las asíntotas horizontales podemos hallar los límites:

NO HAY QUE ESTUDIARLAS POR NO SER TEMA DE ESTE CURSO

Lo cual nos indica que el eje x=0 es una asíntota horizontal (tanto por la derecha como por la izquierda). Para las asíntotas verticales vemos dónde se hace infinita la función, y en realidad no hay ninguna, pues no hay

ningún valor de x que anule el denominador.

Tampoco existe asíntota oblicua debido a la existencia de una asíntota horizontal.

5. Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento: Calculamos la primera derivada de f(x):

Se iguala a 0, f '(x) = 0, y resolvemos la ecuación resultante:

Cuyas raíces son x = -1, x = +1. Estos dos puntos son los dos posibles extremos locales, convie-ne apuntar la magnitud de la función en cada uno de estos puntos:

f(-1) = -1/2 , f(+1) = 1/2

Por otra parte, se estudia si son máximos o mínimos haciendo la derivada segunda de f:

SE ESTPUDIARÁ EN LA GRÁFICA POR NO SER TEMA DE ESTE CURSO LAS DERIVADAS

En concreto tenemos, f ''(-1) >0, lo que nos indica que en x=-1 hay un mínimo. Mientras que f ''(-1) <0, lo que significa que en x=+1 hay un máximo.

También podemos hacer un estudio del crecimiento y decrecimiento de la gráfica, estudiando el signo de f ' en las tres regiones (- ,-1), (-1,+1), (+1,+ ):

(22)

6. Concavidad y puntos de inflexión. Hacemos f ''(x) = 0, y hallamos sus raíces:

Estos tres puntos: x= 0, x = - , x = + son precisamente los puntos de inflexión de la cur-va, allí donde la concavidad cambia de tipo. Finalmente la concavidad la estudiamos en estas cuatro regiones, de acuerdo con el signo de f '':

(- ,- ) : f ''(x) < 0 . La curva es convexa (concavidad en ). (- , 0) : f ''(x) < 0 . La curva es concava (concavidad en U). (0, + ) : f ''(x) < 0 . La curva es convexa (concavidad en ). (+ , + ) : f ''(x) < 0 . La curva es concava (concavidad en U).

(23)

 Ejercicio: Hacer un estudio de la gráfica de la función:

Solución:

1. Campo de existencia: El denominador, x+1, se anula únicamente en el punto x = -1, por lo tanto el campo de existencia será todo R excepto el x= -1.

2. Simetrías: Para comprobarlo hacemos:

consecuentemente, la gráfica no será ni simétrica ni antisimétrica. 3. Corte con los ejes: Hacemos primeramente x = 0 y hallamos "y", luego hacemos y=0 y hallamos x:

Los cortes con los ejes son dos: (0,1) y (1,0).

4. Asíntotas: Para hallar las posibles asíntotas horizontales hacemos los límites en el infinito de x:

NO HAY QUE ESTUDIARLAS POR NO SER TEMA DE ESTE CURSO

Que éste límite sea infinito nos indica la no existencia de asíntotas horizontales.

Para las asíntotas verticales tomamos los puntos que hagan infinita la función, en este caso exsite una de ellas:

x = 1

Asíntota oblicua: Se trata de una recta, y = m x + b, cuyos valores m y b son:

por tanto, la asíntota oblicua es la recta: y = x - 3; la cual en forma segmentaria es:

5. Máximos y mínimos. Crecimiento y decrecimiento: Calculamos la primera derivada de f(x):

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación:

Hacemos la segunda derivada de la función, tras simplificarla tenemos:

SE ESTPUDIARÁ EN LA GRÁFICA POR NO SER TEMA DE ESTE CURSO LAS DERIVADAS

Entonces podemos comprobar: f ''(1)>0, lo cual nos indica que la función tiene un mínimo en x=1, es decir el punto (1,0), mientras que f ''(-3)<0 , o sea, f(x) tiene un máximoen x=-3, el punto (-3,-8).

Para estudiar crecimiento y decrecimiento, observamos: (- ,-3) : f '(x) > 0 . La función es creciente.

(24)

6. Concavidad y puntos de inflexión. Hacemos f ''(x) = 0, y hallamos sus raíces:

Ecuación que no tiene ninguna raíz, lo que nos indica que en la gráfica no hay ningún punto de in-flexión. No obstante, debemos estudiar la concavidad de la curva en las regiones (- ,-1), (-1,+ ): (- ,-1) : f ''(x) < 0 . Concavidad en forma .

(-1,+ ): f ''(x) > 0 . Concavidad en forma U.

Con todo esto se puede dibujar gráfica de la función.