TEMA 4

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TEMA 4: FUNCIONES Y GRÁFICAS

4.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN:

Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace que estos dos elementos estén relacionados. En el caso de ambos conjuntos sean los números reales se llamará función real de variable real.

Habitualmente lo expresamos y = f(x) y se lee: “ y es igual a f de x “ ó “ y es función de x”, asimismo la “x” se llama variable independiente y la “y” variable dependiente.

Si queremos conocer con detalle el comportamiento de una función, debemos estudiar sus características:

Dominio: es el conjunto formado por todos los valores de la variable independiente para los cuales existe la función, esto es, la función tiene sentido:

Ejemplos:

a) Funciones polinómicas: _y ₌3_x3 ₋_x2 ₊2

Para cualquier valor que se nos ocurra de ·x· podemos calcular el correspondiente de “y”; diremos que el dominio es, por lo tanto, todos los números reales y lo expresamos por : Domf = ℜ

Si f(x)=P(x): P(x) es un polinomio ⇒Domf =ℜ

b) Funciones racionales:

16 3 5

2 2

− − + =

x x x y

Para los valores de “x” que anulan el denominador, no se puede calcular el valor de “y” correspondiente, por eso decimos que el dominio es todos los números reales, excepto de -4 y el 4 y se expresa: Domf =ℜ−

{

−4,4

}

.

Si

) (

) ( )

(x _QP x_x

f = , P(x) y Q(x) polinomios ⇒Domf=ℜ−

{

x∈ℜ/Q(x)=0

}

c) Funciones irracionales:

En este caso debemos distinguir si el índice es par o impar ya que a los números negativos no se puede extraer una raíz si esta es par, pero si se podría si fuera impar.

_y ₌3 _x3 ₊_4x

(2)

_y ₌ _x2 ₋9

Si al sustituir la x nos sale un número negativo, no podríamos calcular la raíz cuadrada por lo tanto, el dominio serán todos aquellos valores que hacen que sea positivo el polinomio del radicando, es decir,

{

_∈_ℜ/ 2 ₋9_≥0

}

= x x

Domf

Para calcular este conjunto, hay que resolver la inecuación 0

9

2 ₋ _≥

x , utilizaremos la tabla de signos:

Luego )Domf =(−∞,−3]∪[3,∞

Si

_{

_}

   ≥ ℜ ∈ = ⇒ = ⇒ ⇒ = 0 ) ( / ) ( ) ( x g x Domf par es n Si Domg Domf impar es n Si x g x f n

d) Funciones exponenciales: 1

2

2 − = xx y

No todos los valores de “x” sirven en este caso, pero no porque sea una función exponencial sino porque en el exponente tenemos una fracción, es decir, es estos casos el dominio siempre dependerá de la función que esté en el exponente. Así Domf =ℜ−

{ }

1

Si f₍x₎₌ag(x) _⇒ Domf ₌Domg

e) Funciones logarítmicas: y =log(x +1)

Los valores de x que no podemos utilizar serán aquéllos que den negativo o cero al sustituirlos en el polinomio, así en este caso Domf =(− ,1∞)

Si f(x)=log(g(x) ⇒ Domf =

{

x ∈ℜ/g(x)>0

}

f) Funciones definidas a trozos: Son aquellas que no están definidas por una única expresión matemática, sino por varias, dependiendo del intervalo en que nos encontremos.     > − + ≤ + = 3 7 2 3 5 x xx x x y

Tenemos entonces que hacer un estudio pormenorizado en cada uno de los intervalos. Así en el primer intervalo tenemos un polinomio, por lo tanto el dominio son todos los números posibles, en este caso (−∞,3], pero en el segundo intervalo, tenemos una fracción algebraica, hemos de eliminar

−∞ -3 3 ∞

9

2 ₋

x + - +

(3)

entonces el valor x = 7 del intervalo de definición y queda (3,∞)−

{ }

7 . Unimos ahora los dos resultados y obtenemos que el Domf =ℜ−

{ }

7

Si f(x) es una función definida a trozos, hacemos un estudio diferenciado en cada intervalo y luego unimos todos los intervalos.

4.2 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. LA FUNCIÓN INVERSA:

Las funciones al ser expresiones algebraicas tienen operaciones, es decir se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, ... y se procedimiento depende de qué tipo de funciones sean polinómicas, racionales, ... Pero, una operación muy diferente que se puede hacer es la composición de funciones que consiste en lo siguiente:

Sean por ejemplo f(x)=2x y _g(_x)₌_x2 ₋2_{, la composición de f con g, que se} representa g of , es la función que resulta al aplicar la función g(x) a los valores de f(x), es decir:

2 4 2 ) 2 ( ) 2 ( )] ( [ )

(_x ₌ _g _f _x ₌ _g _x ₌ _x 2 ₋ ₌ _x2 ₋

f g _o

Es fundamental darse cuenta que el orden en que se componen las funciones es muy importante, porque si lo hiciéramos al revés, es decir f og:

4 2 ) 2 ·( 2 ) 2 ( )] ( [ )

(_x ₌_f _g _x ₌_f _x2 ₋ ₌ _x2 ₋ ₌ _x2 ₋

g f o

Que es una función , evidentemente distinta a la obtenida anteriormente.

Una función especial la que llamamos función identidad que consiste que a cada valor de x, le hace corresponder exactamente el mismo valor que tiene. Se representa por f(x) = x. En algunas ocasiones , al componer dos funciones, resulta que me da precisamente esta, dichas funciones se llaman inversas la una de la otra. En resumen si tenemos dos funciones y al componerlas, g_of y también f _og, resulta la función y = x, se llaman funciones inversas y normalmente no se usa la letra g en este caso sino la expresión _f−1_.

Supongamos, por ejemplo, la función f(x)=3x −5, si queremos determinar quién es su inversa no es necesario ir componiéndola con todas las que se nos ocurran hasta que me salga f(x) = x, sino que se procede de la manera siguiente:

La expresamos en función de la y ⇒ y =3x −5 Ahora despejamos x

3 5 + =

⇒ x y

Finalmente cambiamos las letras de las variables

3 5 + = ⇒ y x

Y esta es la función inversa de la anterior que escribiremos:

3 5

1 ₌ +

− x

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4.3 FAMILIAS DE FUNCIONES MÁS IMPORTANTES

Función polinómica de grado 1 ó 0

Son todas aquellas del tipo f(x)=ax +b (grado 1) ó f(x)=b (grado 0)

Ya hemos estudiado que su dominio es todo el campo real; además su representación gráfica coincide con una recta, oblicua en el primer caso y horizontal en el segundo.

El número a se llama pendiente de la recta y representa la inclinación, que como ya estudiamos en el curso pasado coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma con el eje x y el número b se llama ordenada del origen, y es el punto por donde corta al eje =Y.

Para representarlas basta hacer una pequeña

tabla de valores o bien interpretar los conceptos de pendiente y de ordenada del origen.

Función polinómica de grado 2

Son las del tipo f₍x₎=ax2 +bx +c_{, igual que las anteriores tiene por dominio} todo el campo real, pero ahora su representación gráfica es una parábola.

El valor a representa si es cóncava o convexa y el valor c, es también la ordenada del origen.

Para representarla bastará con determinar el vértice (

ab x_v

2 −

= ) y los puntos de corte con el eje x (resolver la ecuación _ax2 ₊_bx ₊_c ₌0₎

Funciones racionales

Son un conjunto muy amplio de funciones, aquí estudiaremos solamente las del tipo

n xk x f( )=

Su dominio es ℜ−

{ }

0 . Además no tiene puntos de corte con el eje x, ya que esto necesitaría resolver la ecuación _n

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Si n es impar, su representación gráfica se llama hipérbola y estará en los cuadrantes primero y tercero o en el segundo y cuarto. Para n par, no tiene nombre específico, pero siempre

estará en los cuadrantes primero y segundo o bien en el tercero y cuarto. Su representación gráfica puede hacerse a partir de una pequeña tabla de valores o bien “a ojo” porque ya sabemos que tiene que salir.

Un caso especialmente interesante es para las funciones del tipo _n a x

k x

f

) ( ) (

−

= ,

que son iguales que la anterior, pero ahora el papel que antes tenía el valor x = 0, lo tiene ahora x = a.

Funciones exponenciales

Solamente estudiaremos aquí las del tipo _f₍_x₎₌_k_·_ax_.

Siempre se puede obtener el valor de f(x) por lo tanto su dominio es todo el campo real, además puesto que

x

a es un número positivo independientemente del valor de x, su gráfica estará o totalmente por encima del eje x (k > 0) o totalmente

por debajo (k < 0). Se diferencia de las otras en el comportamiento para valores muy grandes o muy pequeños de x, que en general no es igual, mientras por un lado toma valores muy grandes, por el otro toma valores muy próximos a cero. Para representarlas o hacemos una pequeña tabla de

valores o la dibujaremos a ojo, porque ya sabemos qué forma va a tener.

Funciones logarítmicas

Son las del tipo: f(x)=log_a(x)

Teniendo en cuenta que y x ay x

a ⇔ =

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nos indica que corta al eje X en el punto (1, 0). Para dibujarlas podemos hacer una pequeña tabla de valores, aunque “a ojo” es más sencillo porque todas son similares.

Funciones trigonométricas

A partir de las tablas de la circunferencia goniométrica y de las razones de los ángulos del primer cuadrante conocidos, con una pequeña tabla de valores es muy sencillo la representación. Las tres funciones son cíclicas, es decir, se va repitiendo según una secuencia determinada. Una de las características más importantes la tiene la función y =tgx de cuyo dominio hay que quitar

2

π _{y todos}

los múltiplos, esto se escribe de la siguiente manera:

   



 _∈_ℜ ₌ ₊ _∈

− ℜ

= x x k k Z

Domf · ,

2

/ π π

4.4 ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES:

Representación de y =f(x)±k a partir de y =f(x):

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Representación de y =−f(x)a partir de y =f(x) Es la gráfica simétrica a y =f(x) respecto al eje x

Representación de y =f(x ±a)a partir de y =f(x)

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4.5 EL VALOR ABSOLUTO DE UNA FUNCIÓN.

¾ Función valor absoluto.

   < − ≥ = = 0 x x 0 x x x ) x ( f

Su gráfica es:

En general:    < − ≥ = 0 ) x ( f ) x ( f 0 ) x ( f ) x ( f ) x ( f .

Para representar gráficamente la función anterior, primero representamos f(x), y luego, por simetría, la gráfica que se encuentre en la parte negativa del eje Y, la colocamos en la parte positiva del eje Y. Veámoslo con un ejemplo.